专题8.1 单项式乘单项式（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

专题8.1 单项式乘单项式 知识点1：单项式乘单项式的运算法则 1.文字表述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2.核心依据：乘法交换律、乘法结合律、同底数幂的乘法法则（，为正整数）。 3.运算步骤： ①定系数：系数相乘，先确定符号，再计算数值； ②定相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ③定单独字母：保留只在一个单项式中出现的字母及指数。 4.结果特征：单项式乘单项式的结果仍为单项式。 知识点2：单项式乘单项式的拓展运算 1.多个单项式相乘：法则适用于3个及以上单项式相乘，依次按照“定系数、定相同字母、定单独字母”步骤计算。 2.含乘方的单项式乘法：先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算单项式乘法，最后合并同类项（若有）。 补充公式：，（为正整数）。 3.同类项结合：单项式乘法运算后，若出现同类项，需按照合并同类项法则合并（系数相加减，字母和指数不变）。 知识点3：单项式乘单项式的实际应用 1.几何应用：利用单项式乘法计算长方形、长方体的面积、体积，多个规则图形的面积/体积和差运算。 2.实际生活应用：将实际问题中的数量关系用单项式表示，再通过单项式乘法求解总价、营业额、总数量等实际量。 3.科学记数法结合：单项式中含科学记数法的数相乘时，先将科学记数法的部分和字母部分分别计算，再合并结果。 知识点4：单项式乘单项式与同类项的结合 运算类型 核心要求 解题关键 单项式乘单项式 系数相乘、同底数幂相加，保留单独字母 牢记运算步骤，注意符号和指数运算 同类项判定 所含字母相同，相同字母的指数也相同 仅与字母和指数有关，与系数无关 乘后求同类项字母值 先算单项式乘积，再根据同类项要求列方程 令相同字母的指数相等，解一元一次方程 【基础必考题型】 【题型1】基础单项式乘单项式的直接运算 1.核心知识点 单项式乘单项式的运算法则 同底数幂的乘法法则 2.解题方法技巧 严格遵循“定系数、定相同字母、定单独字母”三步法，系数相乘注意符号（一正一负得负，两负得正）； 同底数幂相乘仅需指数相加，底数保持不变，避免出现“底数相乘、指数相乘”的错误。 【例题1】.（25-26八年级上·广东江门·期中）计算，结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）计算：___________． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·陕西铜川·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型2】含单一乘方的单项式乘法运算 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 积的乘方、幂的乘方法则 2.解题方法技巧 先计算单项式的乘方运算，将原式转化为普通单项式相乘的形式； 乘方运算注意“系数和字母分别乘方”，如，避免遗漏系数乘方和符号。 【例题2】.（25-26七年级下·甘肃兰州·开学考试）计算：______． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南许昌·期末） 计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·福建福州·月考）计算： __________． 【变式题2-3】.（2026·安徽·一模）下列各式中，计算结果等于的是（  ） A． B． C． D． 【题型3】单项式乘法的逆用 1.核心知识点 单项式乘单项式法则的逆推 因数与积的关系 2.解题方法技巧 将积的系数、字母部分分别拆分，拆分为两个单项式的系数、字母部分相乘的形式。 【例题3】.（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【变式题3-1】.（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·四川巴中·期中）如果与相乘的结果是，那么___，___，___． 【题型4】单项式乘法与同类项的结合 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 同类项的判定条件 2.解题方法技巧 先计算单项式的乘积，根据同类项“相同字母指数相等”列一元一次方程； 解方程求出字母值后，可代入验证乘积是否与已知同类项满足条件。 【例题4】.（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是________． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·江苏淮安·月考）若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是________． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·四川内江·月考）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（   ） A．10 B．3 C．5 D．7 【培优高频题型】 【题型5】含乘方与加减的单项式乘法混合运算 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 乘方运算、合并同类项法则 2.解题方法技巧 遵循“先乘方，再乘法，最后加减”的运算顺序，切勿颠倒； 每一步运算后先标记同类项，合并时注意系数的加减运算，字母和指数保持不变。 【例题5】.（25-26七年级下·甘肃兰州·开学考试）计算 (1) (2) 【变式题5-1】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）计算：． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【变式题5-3】.（24-25七年级上·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 【题型6】单项式乘单项式的化简求值题 1.核心知识点 单项式乘法混合运算 代数式化简求值的步骤 2.解题方法技巧 先根据运算法则将代数式化简为最简单项式形式，再代入字母的值计算； 代入负数、小数时，注意添加括号，避免符号错误，可利用积的乘方逆用简化计算（如）。 【例题6】.（24-25七年级下·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）化简计算： (1)． (2)． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·青海西宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求值：；其中，． 【题型7】单项式乘法的几何情境题 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 长方形面积、长方体体积公式 2.解题方法技巧 根据几何图形的边长/棱长写出面积/体积的单项式表达式，再进行乘法运算； 多个图形的面积和差，先分别表示各部分表达式，再合并计算，注意单位的标注。 【例题7】.（25-26八年级上·全国·课后作业）一个直角三角形两直角边的长分别是和，则此三角形的面积是_____；当时，三角形的面积是____． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·吉林长春·月考）观察图，回答下列问题： (1)用含的代数式表示边的长度 ； (2)用含，的代数式，表示阴影部分的周长是 ； (3)用含，的代数式，表示阴影部分的面积是 ； (4)当，时，阴影部分的周长是 ，面积是 ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）（）一条线段的长为，若将它的长扩大到原来的倍，则线段的长变为多少？ （）一个正方形的边长为，若将它的边长扩大到原来的倍，则正方形的面积变为多少？ （）一个正方体的棱长为，若将它的棱长扩大到原来的倍，则正方体的体积变为多少？ 【变式题7-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为____________dm． 【压轴素养题型】 【题型8】含科学记数法的单项式乘法运算 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 科学记数法的乘法运算（，） 2.解题方法技巧 将科学记数法的部分和字母部分分开计算，再将结果合并； 科学记数法相乘后，若系数≥10，需调整为标准形式（如转化为）。 【例题8】.（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算：______（用科学记数法表示）． 【变式题8-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)； (3)． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为，光的速度约为．求太阳系的直径． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南洛阳·期中）电子文件的大小常用等作为单位，其中，，，某视频文件的大小约为，等于（    ） A． B． C． D． 【题型9】单项式乘法的新定义运算题 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 新定义运算的转化思想 2.解题方法技巧 先根据题干的新定义，将新运算转化为常规的单项式乘法运算； 严格按照新定义的规则计算，注意新定义中的符号和运算顺序要求。 【例题9】.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____． 【变式题9-1】.（2025·内蒙古·模拟预测）定义新运算：，则的运算结果是______． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·云南玉溪·期中）定义一种新运算：．例如：，则的结果是______． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期中）若定义表示，表示，则运算结果为（   ） A． B． C． D． 易错点 1.系数相乘时忽略符号运算，尤其是多个负系数相乘时，漏数负号的个数导致符号错误。 2.同底数幂相乘时，错误将“指数相加”算成“指数相乘”或“底数相乘”，如、。 3.含乘方的单项式乘法中，遗漏系数的乘方或符号，如、。 4.运算顺序颠倒，在混合运算中先算乘法再算乘方，导致结果错误。 5.忽略只在一个单项式中出现的字母，运算时直接舍去，如。 6.同类项判定错误，将系数不同或指数不同的单项式当作同类项合并，如和强行合并。 重点 1.掌握单项式乘单项式的核心法则，能熟练完成基础的单项式乘法运算，做到系数、字母、指数运算无错误。 2.牢记“先乘方，再乘法，最后加减”的混合运算顺序，能正确计算含乘方、加减的单项式乘法混合题。 3.能将单项式乘法与同类项结合，通过乘积结果列方程求字母指数的值，掌握方程思想的应用。 4.会用单项式乘法解决几何面积/体积、生活中的营业额/总价等实际问题，实现代数与实际的转化。 5.掌握化简求值题的解题步骤，先化简再求值，能利用积的乘方逆用简化计算过程。 难点 1.含多个乘方、多个单项式的混合运算，易因步骤繁琐出现符号、指数的计算错误，需做到分步运算、步步验证。 2.单项式乘法的逆用和规律探究题，需要具备逆向思维和归纳能力，能从结果推原因、从特殊找一般。 3.多字母指数的综合题，需根据题干条件列多元一次方程组，掌握消元法解方程组的技巧，同时注意指数的隐含条件。 4.新定义运算和跨学科融合题，需要快速理解新规则/跨学科知识，将其转化为常规的单项式乘法运算，考验知识的迁移能力。 5.利用非负数性质求解单项式乘法代数式的最值，需将代数式精准化简为含非负数的形式，结合非负数的性质分析最值情况。 【对应练习题】 一、单选题 1．计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 2．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设，则的值为（） A． B． C． D． 二、填空题 5．计算：_____________． 6．如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为______．（用含x，y的式子表示） 7．北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为________________m． 8．若单项式与单项式相乘的结果是一个十二次单项式，则________． 三、解答题 9．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 10．地球的质量约为，太阳的质量大约是地球质量的倍．求太阳的质量． 11．如图是一个简单的数值运算程序 (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)从、、1、2中任选一个数作为的值代入，求输出的结果． 12．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 13．在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 单项式乘单项式 知识点1：单项式乘单项式的运算法则 1.文字表述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2.核心依据：乘法交换律、乘法结合律、同底数幂的乘法法则（，为正整数）。 3.运算步骤： ①定系数：系数相乘，先确定符号，再计算数值； ②定相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ③定单独字母：保留只在一个单项式中出现的字母及指数。 4.结果特征：单项式乘单项式的结果仍为单项式。 知识点2：单项式乘单项式的拓展运算 1.多个单项式相乘：法则适用于3个及以上单项式相乘，依次按照“定系数、定相同字母、定单独字母”步骤计算。 2.含乘方的单项式乘法：先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算单项式乘法，最后合并同类项（若有）。 补充公式：，（为正整数）。 3.同类项结合：单项式乘法运算后，若出现同类项，需按照合并同类项法则合并（系数相加减，字母和指数不变）。 知识点3：单项式乘单项式的实际应用 1.几何应用：利用单项式乘法计算长方形、长方体的面积、体积，多个规则图形的面积/体积和差运算。 2.实际生活应用：将实际问题中的数量关系用单项式表示，再通过单项式乘法求解总价、营业额、总数量等实际量。 3.科学记数法结合：单项式中含科学记数法的数相乘时，先将科学记数法的部分和字母部分分别计算，再合并结果。 知识点4：单项式乘单项式与同类项的结合 运算类型 核心要求 解题关键 单项式乘单项式 系数相乘、同底数幂相加，保留单独字母 牢记运算步骤，注意符号和指数运算 同类项判定 所含字母相同，相同字母的指数也相同 仅与字母和指数有关，与系数无关 乘后求同类项字母值 先算单项式乘积，再根据同类项要求列方程 令相同字母的指数相等，解一元一次方程 【基础必考题型】 【题型1】基础单项式乘单项式的直接运算 1.核心知识点 单项式乘单项式的运算法则 同底数幂的乘法法则 2.解题方法技巧 严格遵循“定系数、定相同字母、定单独字母”三步法，系数相乘注意符号（一正一负得负，两负得正）； 同底数幂相乘仅需指数相加，底数保持不变，避免出现“底数相乘、指数相乘”的错误。 【例题1】.（25-26八年级上·广东江门·期中）计算，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】单项式乘单项式：系数与系数相乘，相同字母与相同字母相乘． 【详解】解：． 【变式题1-1】.（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的运算，直接根据单项式乘以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·陕西铜川·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘法运算，掌握单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加进行计算是解题的关键． 根据单项式的乘法法则直接求解． 【详解】． 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘法． 长方形的面积等于长乘以宽，直接计算即可． 【详解】解：长方形的面积=长×宽． 故选：D． 【题型2】含单一乘方的单项式乘法运算 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 积的乘方、幂的乘方法则 2.解题方法技巧 先计算单项式的乘方运算，将原式转化为普通单项式相乘的形式； 乘方运算注意“系数和字母分别乘方”，如，避免遗漏系数乘方和符号。 【例题2】.（25-26七年级下·甘肃兰州·开学考试）计算：______． 【答案】 【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可. 【详解】解： . 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南许昌·期末） 计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方运算，直接根据积的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·福建福州·月考）计算： __________． 【答案】 【分析】先依据积的乘方法则计算，再运用同底数幂的乘法法则计算乘法运算，最后合并同类项得出结果． 【详解】解：原式 【变式题2-3】.（2026·安徽·一模）下列各式中，计算结果等于的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，需根据相关运算法则分别计算各选项，再与对比得出答案． 【详解】解：∵积的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴对各选项计算如下： A选项：，符合要求； B选项：； C选项：； D选项：； ∴只有A选项计算结果等于． 故选：A． 【题型3】单项式乘法的逆用 1.核心知识点 单项式乘单项式法则的逆推 因数与积的关系 2.解题方法技巧 将积的系数、字母部分分别拆分，拆分为两个单项式的系数、字母部分相乘的形式。 【例题3】.（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 【变式题3-1】.（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴， 故选：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·四川巴中·期中）如果与相乘的结果是，那么___，___，___． 【答案】 3 4 1 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，列出方程求解 【详解】解：由题意，， ∴，， 解得：，， 则， 故答案为：3；4；1． 【题型4】单项式乘法与同类项的结合 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 同类项的判定条件 2.解题方法技巧 先计算单项式的乘积，根据同类项“相同字母指数相等”列一元一次方程； 解方程求出字母值后，可代入验证乘积是否与已知同类项满足条件。 【例题4】.（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是________． 【答案】/ 【分析】本题考查同类项定义以及单项式乘单项式，由同类项定义求出a，b的值，再求单项式的乘积即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴这两个单项式的积为． 故答案为：． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·江苏淮安·月考）若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，单项式乘以单项式，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得m的值，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·四川内江·月考）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，以及同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相同，因此列出关于m和n的方程并求解，再计算两个单项式的乘积即可． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴且， 解得，， ∴两个单项式为和， ∴它们的乘积为． 故选：A． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（   ） A．10 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同类项的定义，代数式求值．根据单项式乘以单项式结合同类项的定义求出和的值，再代入到中计算即可求解． 【详解】解：单项式和单项式的积为 ， ∵单项式和单项式的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【培优高频题型】 【题型5】含乘方与加减的单项式乘法混合运算 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 乘方运算、合并同类项法则 2.解题方法技巧 遵循“先乘方，再乘法，最后加减”的运算顺序，切勿颠倒； 每一步运算后先标记同类项，合并时注意系数的加减运算，字母和指数保持不变。 【例题5】.（25-26七年级下·甘肃兰州·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可； （2）利用单项式乘以单项式和幂的乘方法则进行计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 【变式题5-1】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先进行乘方运算，再进行乘法运算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，单项式乘以单项式运算，幂的乘方、积的乘方运算等知识点． （1）分别计算有理数乘方，负整数指数幂，零指数幂，再进行加减计算； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，然后计算单项式乘以单项式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式题5-3】.（24-25七年级上·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法和单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减； （2）首先计算幂的乘方，同底数幂的乘法和单项式乘以单项式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型6】单项式乘单项式的化简求值题 1.核心知识点 单项式乘法混合运算 代数式化简求值的步骤 2.解题方法技巧 先根据运算法则将代数式化简为最简单项式形式，再代入字母的值计算； 代入负数、小数时，注意添加括号，避免符号错误，可利用积的乘方逆用简化计算（如）。 【例题6】.（24-25七年级下·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则，先利用相关法则计算括号内的乘方，再与前面的单项式相乘得到结果． 【详解】解：， 故选：C． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）化简计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及合并同类项，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，注意符号的处理，以及同类项的合并． （1）这是单项式乘单项式的运算，需要将系数相乘，同底数幂分别相乘； （2）先进行幂的运算与整式的乘法． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·青海西宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，240 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求值：；其中，． 【答案】； 【分析】此题考查了整式的加减、整式的乘法和化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先提公因式，再合并括号内的同类项进而即可化简，最后把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 将，代入得 ． 【题型7】单项式乘法的几何情境题 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 长方形面积、长方体体积公式 2.解题方法技巧 根据几何图形的边长/棱长写出面积/体积的单项式表达式，再进行乘法运算； 多个图形的面积和差，先分别表示各部分表达式，再合并计算，注意单位的标注。 【例题7】.（25-26八年级上·全国·课后作业）一个直角三角形两直角边的长分别是和，则此三角形的面积是_____；当时，三角形的面积是____． 【答案】 27 【分析】本题考查了单项式乘以单项式的运算，代数式求值，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 先根据单项式乘以单项式的运算法则表示出三角形的面积，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得此三角形的面积是, 当时，三角形的面积是， 故答案为：，27． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·吉林长春·月考）观察图，回答下列问题： (1)用含的代数式表示边的长度 ； (2)用含，的代数式，表示阴影部分的周长是 ； (3)用含，的代数式，表示阴影部分的面积是 ； (4)当，时，阴影部分的周长是 ，面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【分析】（1）结合图形知，阴影部分是长为，宽为的大长方形截去一个长为，宽为的小长方形后的剩余部分，根据线段的和差可得； （2）将阴影部分的逐个边相加即可得出阴影部分的周长； （3）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得出阴影部分的面积； （4）将，代入第（2）、（3）题的表达式进行计算即可． 【详解】（1）解：结合图形知，阴影部分是长为，宽为的大长方形截去一个长为，宽为的小长方形后的剩余部分， ∴， 即边的长度为， 故答案为：； （2）解：∵上下各两条边（包括阴影部分里面的两条边）：， 左右两侧边：， ∴阴影部分的周长是：， 故答案为：； （3）解：∵大长方形的面积是：， 小长方形的面积是：， ∴阴影部分的面积是：， 故答案为：； （4）解：当，时， 阴影部分的周长是：， 阴影部分的面积是：， 故答案为：；． 【点睛】本题考查整式加减的应用，列代数式、求代数式的值的应用，几何图形中周长与面积的计算，长方形的面积与周长．正确理解题意并列出代数式是解题的关键． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）（）一条线段的长为，若将它的长扩大到原来的倍，则线段的长变为多少？ （）一个正方形的边长为，若将它的边长扩大到原来的倍，则正方形的面积变为多少？ （）一个正方体的棱长为，若将它的棱长扩大到原来的倍，则正方体的体积变为多少？ 【答案】 （） （） （） 【分析】本题考查了列代数式，单项式乘单项式等知识点，理解题意是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意表示出正方形的边长，进而即可求解； （）根据题意表示出正方体的棱长，进而即可求解； 【详解】解：（）由题意可得，线段的长变为； （）由题意可得，正方形的边长变为， ∴正方形的面积变为； （）由题意得，正方体的棱长变为， ∴正方体的体积变为． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为____________dm． 【答案】3ab 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长． 【详解】解：长方体的体积为 ， ∵ ∴则该正方体水池的棱长为． 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型8】含科学记数法的单项式乘法运算 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 科学记数法的乘法运算（，） 2.解题方法技巧 将科学记数法的部分和字母部分分开计算，再将结果合并； 科学记数法相乘后，若系数≥10，需调整为标准形式（如转化为）。 【例题8】.（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算：______（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和科学记数法，先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘法，最后将结果化为标准科学记数法形式． 【详解】解： 由于科学记数法要求系数 满足 ，   . 故答案为： ． 【变式题8-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了科学记数法的运算，解题的关键是掌握科学记数法的乘法法则和幂的运算性质； （1）先将系数相乘，再将同底数幂相乘即可； （2）先将系数相乘，再将同底数幂相乘，再将其化为科学记数法形式； （3）先计算积的乘方，再利用同底数幂的乘法运算，系数相乘，再将其化为科学记数法形式． 【详解】（1）解：； （2）解：． （3）解：． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为，光的速度约为．求太阳系的直径． 【答案】km 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，根据光通过太阳系半径的时间，利用距离公式（距离 = 速度 × 时间）求出半径，再乘以2即可得到直径． 【详解】解：圆盘半径 ． 直径 ． 答：太阳系的直径为 ． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南洛阳·期中）电子文件的大小常用等作为单位，其中，，，某视频文件的大小约为，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查幂的乘法，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则． 根据题意及幂的运算法则即可求解． 【详解】解：依题意得． 故选：C． 【题型9】单项式乘法的新定义运算题 1.核心知识点 单项式乘单项式法则 新定义运算的转化思想 2.解题方法技巧 先根据题干的新定义，将新运算转化为常规的单项式乘法运算； 严格按照新定义的规则计算，注意新定义中的符号和运算顺序要求。 【例题9】.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得， ； 故答案为 ． 【变式题9-1】.（2025·内蒙古·模拟预测）定义新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据新定义，列出算式，利用单项式乘以单项式的法则，以及合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·云南玉溪·期中）定义一种新运算：．例如：，则的结果是______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为： 【变式题9-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期中）若定义表示，表示，则运算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义运算，单项式乘法运算，先根据定义列出代数式，然后再利用单项式乘法法则解答即可．根据新定义列出整式是解答本题的关键． 【详解】解：根据题意： ． 故选：A． 易错点 1.系数相乘时忽略符号运算，尤其是多个负系数相乘时，漏数负号的个数导致符号错误。 2.同底数幂相乘时，错误将“指数相加”算成“指数相乘”或“底数相乘”，如、。 3.含乘方的单项式乘法中，遗漏系数的乘方或符号，如、。 4.运算顺序颠倒，在混合运算中先算乘法再算乘方，导致结果错误。 5.忽略只在一个单项式中出现的字母，运算时直接舍去，如。 6.同类项判定错误，将系数不同或指数不同的单项式当作同类项合并，如和强行合并。 重点 1.掌握单项式乘单项式的核心法则，能熟练完成基础的单项式乘法运算，做到系数、字母、指数运算无错误。 2.牢记“先乘方，再乘法，最后加减”的混合运算顺序，能正确计算含乘方、加减的单项式乘法混合题。 3.能将单项式乘法与同类项结合，通过乘积结果列方程求字母指数的值，掌握方程思想的应用。 4.会用单项式乘法解决几何面积/体积、生活中的营业额/总价等实际问题，实现代数与实际的转化。 5.掌握化简求值题的解题步骤，先化简再求值，能利用积的乘方逆用简化计算过程。 难点 1.含多个乘方、多个单项式的混合运算，易因步骤繁琐出现符号、指数的计算错误，需做到分步运算、步步验证。 2.单项式乘法的逆用和规律探究题，需要具备逆向思维和归纳能力，能从结果推原因、从特殊找一般。 3.多字母指数的综合题，需根据题干条件列多元一次方程组，掌握消元法解方程组的技巧，同时注意指数的隐含条件。 4.新定义运算和跨学科融合题，需要快速理解新规则/跨学科知识，将其转化为常规的单项式乘法运算，考验知识的迁移能力。 5.利用非负数性质求解单项式乘法代数式的最值，需将代数式精准化简为含非负数的形式，结合非负数的性质分析最值情况。 【对应练习题】 一、单选题 1．计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的乘法运算，根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解： 故选A． 2．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两个单项式是同类项可知，然后根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可得解：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 此题考查了同类项的定义和单项式乘单项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ， ． 故选：A． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算． 根据单项式乘法、同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐一计算，即可判断． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 4．设，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．根据单项式乘单项式和同底数幂乘法，左边相乘后指数相加，再与右边对比指数，列方程求解和． 【详解】解：∵， 又∵右边为， ∴且， 解方程： ∴ 解得， ∴． 故选：A． 二、填空题 5．计算：_____________． 【答案】 【分析】此题考查了单项式的乘法．单项式乘以单项式：把系数相乘，再把同底数幂相乘，据此进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为______．（用含x，y的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据题目中的图形和长方形的面积计算公式，可以用含、的代数式表示出它们的面积之和． 【详解】解：由图可得， 它们的面积之和为：， 故答案为：． 7．北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为________________m． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据路程公式，路程等于速度乘以时间，将给定的速度和时间表达式相乘，利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：路程为速度与时间的乘积，即： ． 故答案为 ：． 8．若单项式与单项式相乘的结果是一个十二次单项式，则________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的法则是关键． 先根据单项式乘单项式的法则求解，再根据单项式的次数等于所有字母的指数的和求解即可． 【详解】解：∵， 又∵单项式与单项式相乘的结果是一个十二次单项式， ∴， ， ． 故答案为：． 三、解答题 9．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则，分步处理系数相乘、同底数幂相乘及符号判断，避免运算顺序或符号错误； （1）利用同底数幂相乘（底数不变，指数相加），最后确定符号（异号得负）； （2）利用同底数幂相乘计算即可； （3）利用同底数幂相乘计算即可； （4）利用同底数幂相乘计算即可； （5）先根据积的乘方和同底数幂相乘计算即可； （6）先分别根据积的乘方计算，再将两个结果相乘，利用同底数幂的乘法运算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 10．地球的质量约为，太阳的质量大约是地球质量的倍．求太阳的质量． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用和科学记数法，太阳的质量是地球质量的倍，因此将地球质量与倍数相乘即可得到太阳的质量．计算时注意科学记数法的乘法和有效数字的规则． 【详解】解： 太阳质量 ， ∴ ， 答：太阳的质量为． 11．如图是一个简单的数值运算程序 (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)从、、1、2中任选一个数作为的值代入，求输出的结果． 【答案】(1) (2)当时，输出的结果为（答案不唯一） 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及求代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据数值运算程序图可直接进行求解； （2）根据（1）中输出结果可代值进行求解即可． 【详解】（1）解：根据数值运算程序图可知： 输出的结果为； （2）解：由（1）可知：输出的结果为， ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则． 12．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 13．在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查列代数式、单项式乘以单项式的应用，绝对值和偶次方的非负性质、代数式求值，掌握长方形的面积计算公式、绝对值和偶次方的非负性质是解题的关键． （1）利用长方形的面积公式，根据广场的面积大长方形的面积空白长方形的面积计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性质求出、的值，再代入的表达式并计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ，， ，， ， 该广场的面积是35． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $