精品解析：河南濮阳市第一高级中学2025-2026学年高一下学期第二次质量检测数学试题

濮阳市一高高一年级（2025级）下学期第二次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 计算出即可. 【详解】因为 所以其共轭复数是 故选：A 【点睛】本题考查的是复数的计算及其概念，较简单. 2. 设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的基本定理依次判断求解. 【详解】对于A，若A，B，C三点共线，则，， 即，则，此时无解，故A错误； 对于B，若A，B，D三点共线，则，， 而，即， 则，解得，故B正确； 对于C，若A，C，D三点共线，则，， 而，即， 则，此时无解，故C错误； 对于D，若B，C，D三点共线，则，， 即，则，此时无解，故D错误. 3. 已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形求两点距离即得答案. 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段， 由可得，， 由余弦定理，， 从而最短距离为. 4. 已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得，即， 由，所以， 因为，则， 所以，而，则，且， 所以，则得. 5. 位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图， 当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 6. 已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过补形的方法求得正确答案. 【详解】将正四面体补形成正方体如下图所示， 正四面体的棱长为，所以正方体的边长为， 所以正方体的对角线长为， 所以正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：C 7. 已知中，，则此三角形为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状. 【详解】若是的中点，则，故， 所以，显然为等腰三角形，即， 由，可得， 又，故，故为等边三角形. 故选：A 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的中线公式及“爪子”定理，得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为点是的中点，则，又，则， 又三点共线，则，所以，得到， 由，得到，所以， 又，则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. （多选）下列命题中正确的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 棱锥的各侧面一定有一个公共点 D. 棱台各侧棱的延长线交于一点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据棱柱的几何特征可判断AB选项；利用棱锥的定义可判断C选项；利用棱台的几何特征可判断D选项. 【详解】对于A选项，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确； 对于B选项，如图，平面平面， 但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，故B错误； 对于C选项，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确； 对于D选项，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确． 故选：ACD. 10. 设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 是实数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算、复数的模、共轭复数以及复数的定义加以计算判断. 【详解】对于A，令，则， 于是，所以A正确； 对于B，令，则，因为， ，所以B正确； 对于C，令，满足， 而，，所以C错误； 对于D，令，则， 而是实数，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. C. 的最大值为3 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B，在两个小三角形中，分别运用正弦定理，结合中线的定义进行判断即可；对于选项C，运用余弦定理和基本不等式可验证其正确；对于选项D，结合选项C的结论，然后根据向量的模可求出其最小值为. 【详解】对于选项A：根据正弦定理可得，解得， 所以外接圆的半径为，A错误； 对于选项B：在中，，所以. 在中，，所以. 因为， 所以， B正确； 对于选项C： 根据余弦定理得， 可得， 所以，当且仅当时等号成立，此时的最大值为3，C正确； 对于选项D：因为， 所以 因为，所以， 所以， 当时，，所以，此时取最小值. 所以的最小值为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】根据题意，直观图中，，所以，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为 . 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】记该棱台的高为，易得，， 由勾股定理可得11，得， 于是棱台的体积． 14. 如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】取的中点，作，垂足为，根据数量积的运算律整理可得，根据题型面积可得，利用基本不等式结合高线性质即可得最小值. 【详解】取的中点，作，垂足为， 则， 因为该梯形的面积为，且，， 则，即， 可得， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【小问1详解】 因为复数是实数，所以，即， 解得或；所以实数的值为或； 【小问2详解】 因为复数表示的点在第四象限， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 16. 已知单位向量与的夹角为，向量，． （1）若，求实数k的值； （2）若，与的夹角为钝角，求实数k的取值范围； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量共线定理列方程求解即可. （2）问题转化为且与不共线列式求值. 【小问1详解】 因为，所以存在实数，使，即， 由题知，与为不共线的单位向量， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，， 因为与的夹角为钝角，所以且与不共线， 所以，即， 解得， 由（1）知，所以的取值范围为. 17. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解； （2）根据面积关系可得，再结合余弦定理解得，进而可得面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则，可得，所以. 【小问2详解】 因为为的平分线，则， 因为，则， 即，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 18. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可. 【小问1详解】 在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以 ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 19. 如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，． （1）求b边的长度； （2）求的面积； （3）设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出和的关系式，进而求出的长度即可； （2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出，进而求出，再根据三角形面积公式求出面积即可； （3）首先设，，（），根据三点共线公式得到， 再根据面积的倍数关系求出，因此求出的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可． 【小问1详解】 由已知条件可知： 在中，由正弦定理 得 在中，由余弦定理 得 ，又 【小问2详解】 设 为BC边上中线 则 ① 或 由①，得 【小问3详解】 设，，（） ， 根据三点共线公式，得 （，为∠BAC） 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域问题，需要一定的分析和解决问题的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳市一高高一年级（2025级）下学期第二次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 3. 已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 6 B. C. D. 4. 已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，，则此三角形为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. （多选）下列命题中正确的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 棱锥的各侧面一定有一个公共点 D. 棱台各侧棱的延长线交于一点 10. 设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 是实数 11. 如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. C. 的最大值为3 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为__________． 14. 如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 已知单位向量与的夹角为，向量，． （1）若，求实数k的值； （2）若，与的夹角为钝角，求实数k的取值范围； 17. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 18. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 19. 如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，． （1）求b边的长度； （2）求的面积； （3）设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $