6.3二项式定理导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3《二项式定理》导学案（学生版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月16日 地区：云南省昆明市 ） 第2节 班级： 姓名： 分数： . 1、 二项式定理 （1） 问题探究 1.问题：我们知道, (1)观察以上展开式,分析其运算过程,你能发现什么规律2 (2)根据你发现的规律,你能写出的展开式吗? (3)进一步地,你能写出的展开式吗? 2.探究 我们先来分析的展开过程.根据多项式乘法法则, 可以看到,是2个相乘,只要从一个中选一项(选或),再从另一个中选一项(选或),就得到展开式的一项. 于是,由分步乘法计数原理,在合并同类项之前,的展开式共有项,而且每一项都是的形式. 下面我们再来分析一下形如的同类项的个数. (1)当时,,这是由2个中都不选得到的.因此,出现的次数相当于从2个中取0个(都取)的组合数,即只有1个. (2)当时,,这是由1个中选,另1个中选得到的.由于选定后,的选法也随之确定,因此,出现的次数相当于从2个中取1个的组合数,即共有2个. (3)当时,,这是由2个中都选得到的.因此,出现的次数相当于从2个中取2个的组合数,即只有1个. 由上述分析可以得到 =. 同上理可得 +=. +=. （2） 二项式定理 一般地，对于任意的正整数，都有 公式(1)叫做二项式定理,右边的多项项式叫做的 ,其中各项的系数叫做 ,式中的 叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第 项: . 在二项式定理中,若设则得到公式: 2、 二项式系数的性质 （1） 规律探究 的展开式的二项式系数 . 有很多有趣的性质,而且我们可以从不同角度进行研究. 完成下面的表格 的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 上表还可以写成如下图所示的形式 对于的展开式的二项式系数 . 我们还可以从函数的角度分析它们.可看成以r为自变量的函数,其定义域是 . 对于确定的,我们还可以画出它的图象. 例如,当时,函数的图象是7个离散点,如图所示. （2） 二项式系数的性质 由上探究可得如下的性质 1.对称性 与首末两端" "的两个二项式系数 . 事实上,这一性质可直接由得到.直线将函数的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴. 2.增减性与最大值 因为 即 所以 (1)当,即时，随的增加而 ;由对称性知,当时,随的增加而 . (2)当是偶数时,中间的一项取得 值;当n是奇数时,中间的两项 与 ,且同时取得 值. 3.各二项式系数的和 已知 若设则得到 这就是说的展开式的各二项式系数的和等于 . 三、实例运用 例1．求的展开式． 例2．（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 例3．求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 例4．（1）求的展开式中的常数项； （2）若的展开式中的系数为，求a的值； （3）求的展开式中的常数项； （4）若的展开式中各项系数之和为128，求展开式中的系数． 例5．求的展开式中含的项． 例6．（1）求的展开式； （2）化简． 例7．在的展开式中，的系数是，求a的值． 例8．（1）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，求； （2）的二项式系数的最大值是多少？ 例9．求的展开式中的系数． 例10．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 四、达标检测 练习1．在二项式的展开式中，所有项的系数之和为. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项. 练习2．（1）计算 （2）化简 （3）化简 练习3．设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024. (1)求的值； (2)求的值. 练习4．若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 练习5．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求展开式中含项的系数； (2)求展开式的第六项． 练习6．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值； (2)求展开式中所有的有理项． 练习7．已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比是6:1. (1)求展开式中所有二项式系数的和. (2)若展开式中，第k项为有理项，求k的取值集合. (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3《二项式定理》导学案（教用版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月16日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 一、二项式定理 （1） 问题探究 1.问题：我们知道, (1)观察以上展开式,分析其运算过程,你能发现什么规律2 (2)根据你发现的规律,你能写出的展开式吗? (3)进一步地,你能写出的展开式吗? 2.探究 我们先来分析的展开过程.根据多项式乘法法则, 可以看到,是2个相乘,只要从一个中选一项(选或),再从另一个中选一项(选或),就得到展开式的一项. 于是,由分步乘法计数原理,在合并同类项之前,的展开式共有项,而且每一项都是的形式. 下面我们再来分析一下形如的同类项的个数. (1)当时,,这是由2个中都不选得到的.因此,出现的次数相当于从2个中取0个(都取)的组合数,即只有1个. (2)当时,,这是由1个中选,另1个中选得到的.由于选定后,的选法也随之确定,因此,出现的次数相当于从2个中取1个的组合数,即共有2个. (3)当时,,这是由2个中都选得到的.因此,出现的次数相当于从2个中取2个的组合数,即只有1个. 由上述分析可以得到 =. 同上理可得 +=. +=. （2） 二项式定理 一般地，对于任意的正整数，都有 公式(1)叫做二项式定理,右边的多项项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数,式中的 叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第 项: . 在二项式定理中,若设则得到公式: 二、二项式系数的性质 （1） 规律探究 的展开式的二项式系数 . 有很多有趣的性质,而且我们可以从不同角度进行研究. 完成下面的表格 的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 上表还可以写成如下图所示的形式 对于的展开式的二项式系数 . 我们还可以从函数的角度分析它们.可看成以r为自变量的函数,其定义域是 . 对于确定的,我们还可以画出它的图象. 例如,当时,函数的图象是7个离散点,如图所示. （2） 二项式系数的性质 由上探究可得如下的性质 1.对称性 与首末两端"等距离"的两个二项式系数相等. 事实上,这一性质可直接由得到.直线将函数的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴. 2.增减性与最大值 因为 即 所以 (1)当,即时，随的增加而增大;由对称性知,当时,随的增加而减小. (2)当是偶数时,中间的一项取得最大大值;当n是奇数时,中间的两项 与相等,且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和 已知 若设则得到 这就是说的展开式的各二项式系数的和等于. 三、实例运用 例1．求的展开式． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式 【分析】根据二项式定理即得. 【详解】根据二项式定理， ． 例2．（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 【答案】（1）280；（2）-192. 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【分析】（1）直接利用二项式定理求解第4项的系数； （2）写出展开式的通项，令的次数为即可求出项数，进而可计算出系数. 【详解】解：（1）的展开式的第4项是 ． 因此，展开式第4项的系数是280． （2）的展开式的通项是． 根据题意，令，． 因此，的系数是． 例3．求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】二项式的系数和 【分析】在展开式中令，即可证明. 【详解】证明：在展开式中， 令，，则得． 即． 因此，， 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 例4．（1）求的展开式中的常数项； （2）若的展开式中的系数为，求a的值； （3）求的展开式中的常数项； （4）若的展开式中各项系数之和为128，求展开式中的系数． 【答案】答案见详解 【难度】0.65 【知识点】由项的系数确定参数、求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题、二项展开式各项的系数和 【分析】利用二项式定理计算即可. 【详解】（1）设的展开式通项为： ， 则， 当时，； 故的展开式中的常数项为672； （2）设的展开式通项为： ， 则， 当时，结合题意知此时； 故a的值为2； （3）设的展开式通项分别为： ， 则， 当时，， 当时，， 当时， 故的展开式中的常数项为； （4）令，则由题意可知， 设的展开式通项为，则， 当时，，故展开式中的系数为21. 例5．求的展开式中含的项． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求指定项的系数 【分析】求出展开式的通项，令的指数等于，即可得解. 【详解】展开式中的第项为， 令，则， 所以含的项为． 例6．（1）求的展开式； （2）化简． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式 【分析】（1）先利用立方差公式化简式子，再利用二项展开即可得解； （2）将看作一个整体，再利用二项展开的逆运算即可得解. 【详解】（1） . （2）原式 . 例7．在的展开式中，的系数是，求a的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】利用二项式展开式的通项公式得到关于的方程，从而得解. 【详解】因为的展开通项公式为， 所以含的项为， 则，解得， 所以. 例8．（1）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，求； （2）的二项式系数的最大值是多少？ 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】组合数的性质及应用、二项式系数的增减性和最值、求指定项的二项式系数 【分析】（1）写出第项的二项式系数与第项的二项式系数，即可得到方程，根据组合数的性质计算可得； （2）根据二项式系数的性质计算可得. 【详解】（1）二项式展开式的通项为（且）， 所以第项的二项式系数为，第项的二项式系数为， 依题意可得，所以； （2）二项式展开式的一共项，则第项和第项二项式系数相等同时取得最大值， 又展开式的通项为（且） 所以第项的二项式系数为，第项二项式系数为， 即的二项式系数的最大值是. 例9．求的展开式中的系数． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】先求出的展开式的通项，再分别求出展开式中项、项、项的系数，即可求得的展开式中项的系数． 【详解】由题意，二项式的展开式的通项， 其中项的系数为，项的系数为， 项的系数为， 所以的展开式中项的系数为． 例10．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2)证明过程见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】杨辉三角、组合数的性质及应用、二项式的系数和、利用组合数公式证明 【分析】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为； （2）利用组合数运算公式得到； （3）含项的系数为，结合（2）中性质化简计算出结果. 【详解】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 ； （2）， ， 故； （3）的展开式中，含项的系数为 四、达标检测 练习1．在二项式的展开式中，所有项的系数之和为. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】求二项展开式的第k项、求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）利用二项式的展开式的通项公式计算即可. （2）利用数列最大项的求法列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）二项式的展开式中，所有项的系数之和为. ，解得. 二项式的展开式通项公式为. 令，得. 所以展开式中的常数项为. （2）设第项系数绝对值最大，则 ，解得，又，. . 即展开式中系数绝对值最大的项是. 练习2．（1）计算 （2）化简 （3）化简 【答案】（1）2；（2）（3） 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、二项展开式的应用 【分析】（1）根据且以及得出的值，再应用组合数公式计算即可. （2）利用组合数性质及组合数公式计算； （3）应用二项式展开式的逆用即可得解. 【详解】（1）由题意知，需满足且， 即满足不等式组，即，解得 所以原式. （2） （3） 练习3．设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2)-1 【难度】0.85 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）利用二项式系数和为求得的值； （2）令，得，再令，即可求得. 【详解】（1）由题意得，解得. （2）令，得， 令，得， . 练习4．若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2). (3)第4项和第5项 【难度】0.66 【知识点】二项式的系数和、求有理项或其系数、二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可； （2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可； （3）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果. 【详解】（1）由题，可得，即，即，又，所以，   令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为， 故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. （2）因展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. （3）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得或， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 练习5．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求展开式中含项的系数； (2)求展开式的第六项． 【答案】(1) (2) 【难度】0.81 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的二项式系数、二项式的系数和 【详解】（1）由二项式性质得二项式系数之和是，根据题目可得二项式系数之和是128， 可得，解得，则变为， 由二项式定理得的通项公式为， 令，解得，代入可得含项的系数为. （2）令，解得，代入通项公式可得. 练习6．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2)，，； 【难度】0.66 【知识点】求指定项的二项式系数、求有理项或其系数 【分析】（1）根据二项式系数的定义得到方程，求出答案； （2）由二项式定理得到展开式通项公式，得到有理项； 【详解】（1）根据题意，，即，又，故； （2）由题意得， 其展开式的通项公式， 要想求解展开式中的有理项，需满足为整数，故， 当时，， 当时，， 当时，；当为其他值时，均为无理项， 故有理项为，，； 练习7．已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比是6:1. (1)求展开式中所有二项式系数的和. (2)若展开式中，第k项为有理项，求k的取值集合. (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.5 【知识点】二项式的系数和、求系数最大（小）的项、求有理项或其系数、由项的系数确定参数 【分析】（1）根据展开式的通项及第6项系数与第4项系数之比是6:1，求出的值，根据即可求得二项式系数和； （2）利用（1）的结论及展开式的通项知，当k为偶数时为有理项，由此可得k的取值集合. （3）利用通项写出各项的系数，列出相应的不等式组，求解可得的值，即可得到展开式中系数绝对值最大的项. 【详解】（1）的展开式的通项为. 因为第6项系数与第4项系数之比是6:1，所以，即， 化简得，即. 因为，所以. 所以的展开式中所有二项式系数的和为. （2）由（1）知的展开式的第项为. 若展开式中，第k项为有理项，则是整数，即是奇数，所以为偶数. 所以k的取值集合为. （3）的展开式的通项为，系数为. 令，即， 解得. 因为，所以. 所以展开式中系数绝对值最大的项为. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $