6.3.1二项式定理 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

学案7——6.3.1 二项式定理 一、学习目标 1. 能用计数原理证明二项式定理； 2. 掌握二项式定理及其二项展开式的通项； 3. 能解决与二项式定理有关的简单问题． 二、学习重难点 重点：掌握二项式定理及其二项展开式的通项； 难点：能解决与二项式定理有关的简单问题. 三、学习过程 1． 创设情境，引入新知 问题：（1）今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢? （2）如果是15天后的这一天呢？ （3）如果是8100天后的这一天呢？ 2． 探究新知 探究：我们知道，， ． （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ （3）进一步地，你能写出的展开式吗？ 思考1：下面我们再来分析一下形如的同类项的个数． 思考2：依照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？ 思考3：依据上述过程，你能写出展开式吗？ 二项式定理： 展开式：等号右边的多项式叫做的 ，展开式中一共有 项． 二项式系数：各项的系数 (k∈{0,1,2，…，n})叫做 ． 二项展开式的通项：用表示，即通项为展开式的第项： 二项式定理的辨析：(1)二项展开式有 项。 (2)二项式系数都是 (k=0,1,2,…,n), 它值只与n和k的值 关系，与a,b 关系. (3)在排列方式上,按照字母a的 排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次, 同时字母b按 排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. (4)二项式定理对任意的数a, b都成立，若设，，则有 (5)由（4）知，令x=1，得 ，即二项展开式中的二项式系数的和等于 . 3． 应用新知 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) 4． 能力提升 类型一：求二项展开式的指定项（系数） 例1 （1）展开式中的第3项为 . （2） 的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） （3） 的有理项共有（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．8 题型二：求参数值 例2 已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 题型三：多项式的通项公式 例3 在的展开式中,求: (1)第6项的二项式系数; (2)第3项的系数; (3)常数项. 变式1（三项展开式）：已知展开式中有一项是，则 . 变式2（三项展开式）：的展开式中项的系数是 ． 题型四：二项式定理逆用：化简多项式 例4 .化简： ． 例5. 1-2+4-8+…+(-2)n等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n 5． 课堂小结 6． 随堂限时小练 ①求的展开式； ②二项式的展开式中第5项为 . ③的展开式中的含x的项是 ． ④化简：. ⑤在的展开式中，含的项为 ． 6.3.1 二项式定理 学案7答案 判断：（1）×，（2）×，（3）×，（4）√ 例1 （1）：展开式中的通项为， 所以第项为：，故答案为：. （2）由题意可知：， 令，所以常数项为.故答案为： （3）由的通项公式为：， ，，，所以有理项共有6项，故选：C 例2 由二项展开式的通项公式可得， 令，解得，即常数项为，解得. 故选：B 例3 在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，所以含的项为， 所以含的项的系数是. 故选：. 变式1：3367 解：因为展开式中每一项的次数均为，故； 从而含有的项为，所以，故. 变式2：60 解：:将看作个因式相乘， 则得到需从个因式中先选择个因式取，有种不同的取法； 再从剩余个因式中选择个因式取，有种不同的取法， 最后从剩下的因式中取，有种不同的取法， 根据分步乘法计数原理，可得的系数为， 例4 ，故答案为： 例5　C　原式=(-2)0+(-2)1+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n=(1-2)n=(-1)n.故选C. 1．. 2.展开式通项为，.故答案为：15. 3．，令，得：，所以含x的项是， 4．原式 . 5.解法1：，二项式的通项为， 令，则，可求得含的项为. 解法2：，通项， 令，即时，可求得含的项为． 解法3：表示4个相乘，每个相乘时有三种选择， 选x或或．设选a个， b个，则选的有个，其中， 相乘后x的次数为，由，解得或，即在4个相乘时，选2个x、2个，或选3个x、1个，故含的项为． 学案7——6.3.1 二项式定理第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $