专题04二元一次方程组（十五大类型题）期中复习专项训练 2025-2026学年七年级数学下学期人教版

专题4 二元一次方程组 01 题型•导航 题型1二元一次方程（组）定义 题型2二元一次方程的解 题型3 解二元一次方程组 题型4 二元一次方程组的特殊解法 题型5 二元一次方程组的错解复原问题 题型6 构造二元一次方程组求解 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型8 方程组相同解问题 题型9 方案问题 题型10 分配问题 题型11 销售经济问题 题型12 几何问题 题型13 古代问题 题型14 其他问题 题型15 三元一次方程的应用 02 复习•目标 1. 能准确判断二元一次方程、二元一次方程组，能识别二元一次方程组的解，区分二元一次方程与一元一次方程、整式方程与分式方程。 2. 熟练掌握代入消元法和加减消元法，能独立解二元一次方程组，步骤规范，计算准确，能检验方程组的解是否正确。 3. 能根据二元一次方程的特点，求其正整数解、非负整数解，解决简单的解的判定问题。 4. 能结合简单的实际场景（如基础分配、简单销售），找出数量关系，列出二元一次方程组并求解。 03 知识•梳理 （一）二元一次方程（组）的定义 1. 二元一次方程：含有两个未知数（如x、y），并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程组：由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中两个方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 （二）二元一次方程的解 1. 二元一次方程有无数组解：给定一个未知数的值，可求出另一个未知数的对应值（如方程x + y = 4，当x=1时，y=3；x=2时，y=2，以此类推）。 2. 特殊解：根据实际问题，需求正整数解、非负整数解（如分配问题、方案问题中，未知数代表个数，需为正整数）。 （三）解二元一次方程组的方法 1. 基本解法（核心重点） · 代入消元法：将其中一个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解（步骤：变形→代入→求解→回代→检验）。 · 加减消元法：当两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程相加或相减，消去这个未知数，转化为一元一次方程求解（步骤：统一系数→加减消元→求解→回代→检验）。 2. 特殊解法 · 整体代入法：将方程组中某一个整体（如x + y、x - y）看作一个未知数，简化求解 · 换元法：当方程中未知数的形式较复杂（如含分数、括号），设新的未知数代替复杂部分，转化为简单的二元一次方程组。 · 连等式解法：若出现a = b = c的形式，可拆分为两个二元一次方程。 （四）二元一次方程组的相关拓展问题 1. 错解复原问题：看错某个方程的系数（如看错x的系数），但所得解仍满足另一个正确方程，利用此条件列方程，求出原方程组的系数。 2. 构造方程组求解：根据非负数性质、同类项定义（所含字母相同，相同字母的指数也相同）、新定义运算等条件，构造二元一次方程组求解字母的值。 3. 含参数的方程组： · 已知方程组的解的情况（如解互为相反数、解满足某一个等式、解为正整数），求参数的值。 · 方程组相同解问题：两个方程组有公共解，先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，求出参数。 4. 三元一次方程（组）的应用：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程；由三个三元一次方程组成的方程组，叫做三元一次方程组（解法：消元转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程）。 （五）二元一次方程组的实际应用（期中重点考查） 1. 方案问题：根据题目中的不等关系（如“不超过”“至少”）和整数限制，列出方程组，求出所有可行方案，并判断最优方案（如购物、租车、生产调配等）。 2. 分配问题：涉及物品分配、人员调配、任务分工等，根据“总数量不变”“分配前后总量相等”等关系列方程组（如分物品，每人分若干，多多少、少多少）。 3. 销售经济问题：围绕成本、售价、利润、折扣、总价、增长率等关系列方程组（核心公式：利润=售价-成本，总价=单价×数量）。 4. 几何问题：结合几何图形的边长、周长、面积、角度关系（如长方形周长=2(长+宽)，三角形面积=底×高÷2），列方程组求解边长、角度等。 5. 古代问题：翻译古文背景中的数量关系，转化为二元一次方程组求解（如《九章算术》中的鸡兔同笼、盈不足问题）。 6. 其他问题：行程问题（路程=速度×时间，相遇、追及问题）、工程问题（工作总量=工作效率×工作时间）、浓度问题等。 04 题型•训练 题型1 二元一次方程（组）定义 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如果是二元一次方程，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 3．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 题型2 二元一次方程的解 5．在二元一次方程中，若均为非负整数，则该方程的解的组数有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 6．已知方程的其中一个解为，则等于（   ） A． B． C． D． 7．二元一次方程的一个解可以是（   ） A． B． C． D． 题型3 解二元一次方程组 8．解方程组： (1) ​ (2) 9．解方程组 (1)； (2)． 10．解二元一次方程组： (1)； (2)． 题型4 二元一次方程组的特殊解法 11．已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 12．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 13．素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如，求的值．我们不妨将作为一个整体代入，则． 素材二：已知，其中有理数m，n满足，就称点P为“燕南点”．例如要判断点是否为“燕南点”，令，解得，因为，所以不是“燕南点”；再如是否为“燕南点”，令，解得．因为，所以是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； (1)若，求的值； (2)请通过计算去判断点是不是“燕南点”． 题型5 二元一次方程组的错解复原问题 14．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 15．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 16．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 题型6 构造二元一次方程组求解 17．我们给出以下两个新定义： ①对于给定的数对，如果满足，那么我们称数对是“三二一数对”； ②对于给定的数对和，如果满足，则称数对是的“和差数对”． 根据以上信息解决下列问题： (1)判断是否为“三二一数对”，并说明理由； (2)已知数对是“三二一数对”，求出该数对的“和差数对”； (3)若数对是“三二一数对”，且的“和差数对”满足条件：，求和的值． 18．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 19．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数 20．已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 21．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 22．若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 23．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 题型8 方程组相同解问题 24．已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 25．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 26．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 27．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 题型9 方案问题 28．我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 29．【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 30．解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题 素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元． 型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？ (3)任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）． 题型10 分配问题 31．某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 32．完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 33．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 题型11 销售经济问题 34．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 35．某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表： A型（台） B型（台） 总进价（元） 第一次 20 30 90000 第二次 10 20 55000 (1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？ (2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？ (3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 36．某水果店2025年第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度两种水果的销售额均有增长，其中苹果销售额增长了15%，橙子销售额增长了20%． 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 ______ ______ ______ (1)设2025年第一季度苹果销售额为元，橙子销售额为元，请用含，的代数式填表： (2)已知第二季度总销售额比第一季度增加了1400元，求第二季度苹果和橙子的销售额分别是多少元？ 题型12 几何问题 37．如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 38．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 39．根据以下素材，探索完成任务． 探究制作无盖纸盒的方案 素材1 将边长为的大正方形纸板按图1所示的两种方法裁剪：甲方法裁剪出5个小长方形纸板和1个小正方形纸板；乙方法剪4个小长方形和4个小正方形纸板（假设裁剪时损耗忽略不计）． 素材2 将以上裁剪的纸板制作成横式无盖的纸盒，如图2所示，它由3个小长方形纸板和2个小正方形纸板搭成． 问题解决 任务1 纸盒大小 计算该横式无盖纸盒的体积． 任务2 再次拼搭 现有3张大正方形纸板，将它们裁剪、拼搭，则它们最多能搭几个横式无盖纸盒． 任务3 深入探究 现有22张大正方形纸板和张小正方形纸板，将大正方形纸板裁剪，裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，求出的最小值，并写出裁剪方案． 40．问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积； (2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 题型13 古代问题 41．《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？ 42．《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 43．问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 44．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 题型14 其他问题 45．某地政府需将一批150吨的物资运往外地，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/每辆） 5 8 10 汽车运费（元/每辆） 400 500 600 (1)全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车______辆来运送． (2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10600元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (3)该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为17辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？ 46．某校组织消防演练，李老师通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据下表信息，完成下列问题． 课题 测试紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼 方式 模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带． 地点 共有5道门作为安全出口，有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门． 数据收集 ①通过预演，李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人． ②紧急情况导致局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的． 相关情况 教学楼内有教师122名；共有35间教室，每间教室平均有50名学生． 安全要求 紧急情况下，教学楼内所有人员应在5分钟内通过5个门安全撤离． (1)求正常情况下每个侧门和正门每分钟通过的人员数量； (2)教学楼内全体师生在紧急情况下撤离教学楼至少需要多少分钟，是否能安全撤离？ 47．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否能达到万公里． 题型15 三元一次方程的应用 48．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 49．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算3a与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码x，即． 请根据以上信息，解答下列各题： (1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为，计算步骤中的，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和 ； (2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？ 50．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 51．在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 二元一次方程组 01 题型•导航 题型1二元一次方程（组）定义 题型2二元一次方程的解 题型3 解二元一次方程组 题型4 二元一次方程组的特殊解法 题型5 二元一次方程组的错解复原问题 题型6 构造二元一次方程组求解 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型8 方程组相同解问题 题型9 方案问题 题型10 分配问题 题型11 销售经济问题 题型12 几何问题 题型13 古代问题 题型14 其他问题 题型15 三元一次方程的应用 02 复习•目标 1. 能准确判断二元一次方程、二元一次方程组，能识别二元一次方程组的解，区分二元一次方程与一元一次方程、整式方程与分式方程。 2. 熟练掌握代入消元法和加减消元法，能独立解二元一次方程组，步骤规范，计算准确，能检验方程组的解是否正确。 3. 能根据二元一次方程的特点，求其正整数解、非负整数解，解决简单的解的判定问题。 4. 能结合简单的实际场景（如基础分配、简单销售），找出数量关系，列出二元一次方程组并求解。 03 知识•梳理 （一）二元一次方程（组）的定义 1. 二元一次方程：含有两个未知数（如x、y），并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程组：由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中两个方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 （二）二元一次方程的解 1. 二元一次方程有无数组解：给定一个未知数的值，可求出另一个未知数的对应值（如方程x + y = 4，当x=1时，y=3；x=2时，y=2，以此类推）。 2. 特殊解：根据实际问题，需求正整数解、非负整数解（如分配问题、方案问题中，未知数代表个数，需为正整数）。 （三）解二元一次方程组的方法 1. 基本解法（核心重点） · 代入消元法：将其中一个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解（步骤：变形→代入→求解→回代→检验）。 · 加减消元法：当两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程相加或相减，消去这个未知数，转化为一元一次方程求解（步骤：统一系数→加减消元→求解→回代→检验）。 2. 特殊解法 · 整体代入法：将方程组中某一个整体（如x + y、x - y）看作一个未知数，简化求解 · 换元法：当方程中未知数的形式较复杂（如含分数、括号），设新的未知数代替复杂部分，转化为简单的二元一次方程组。 · 连等式解法：若出现a = b = c的形式，可拆分为两个二元一次方程。 （四）二元一次方程组的相关拓展问题 1. 错解复原问题：看错某个方程的系数（如看错x的系数），但所得解仍满足另一个正确方程，利用此条件列方程，求出原方程组的系数。 2. 构造方程组求解：根据非负数性质、同类项定义（所含字母相同，相同字母的指数也相同）、新定义运算等条件，构造二元一次方程组求解字母的值。 3. 含参数的方程组： · 已知方程组的解的情况（如解互为相反数、解满足某一个等式、解为正整数），求参数的值。 · 方程组相同解问题：两个方程组有公共解，先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，求出参数。 4. 三元一次方程（组）的应用：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程；由三个三元一次方程组成的方程组，叫做三元一次方程组（解法：消元转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程）。 （五）二元一次方程组的实际应用（期中重点考查） 1. 方案问题：根据题目中的不等关系（如“不超过”“至少”）和整数限制，列出方程组，求出所有可行方案，并判断最优方案（如购物、租车、生产调配等）。 2. 分配问题：涉及物品分配、人员调配、任务分工等，根据“总数量不变”“分配前后总量相等”等关系列方程组（如分物品，每人分若干，多多少、少多少）。 3. 销售经济问题：围绕成本、售价、利润、折扣、总价、增长率等关系列方程组（核心公式：利润=售价-成本，总价=单价×数量）。 4. 几何问题：结合几何图形的边长、周长、面积、角度关系（如长方形周长=2(长+宽)，三角形面积=底×高÷2），列方程组求解边长、角度等。 5. 古代问题：翻译古文背景中的数量关系，转化为二元一次方程组求解（如《九章算术》中的鸡兔同笼、盈不足问题）。 6. 其他问题：行程问题（路程=速度×时间，相遇、追及问题）、工程问题（工作总量=工作效率×工作时间）、浓度问题等。 04 题型•训练 题型1 二元一次方程（组）定义 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的识别，解题关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，故选项符合题意； B、方程中的次数是2，不满足所有含未知数的项的次数都是1，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C、方程中项的次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； D、方程含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2．如果是二元一次方程，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的次数都为1，据此列出关于m、n的等式，求出m、n的值后代入计算即可．熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴未知数和的次数都为1， 可得， 解，得， 解，得， 将 ，代入，得 ． 故选：B． 3．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 4．若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入原方程得： ， 整理得 ， 移项计算得 ， 解得 ． 题型2 二元一次方程的解 5．在二元一次方程中，若均为非负整数，则该方程的解的组数有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的非负整数解，先将方程变形，再根据均为非负整数的条件，枚举得到所有符合条件的解，统计解的组数即可． 【详解】解：∵， ∴变形得 ， ∵，均为非负整数， ∴，，即 ，且为偶数， 依次枚举的取值： 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； ∴ 符合条件的解共有组． 6．已知方程的其中一个解为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程中，解方程即可得解． 【详解】解：方程的其中一个解为， ，解得． 7．二元一次方程的一个解可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项的未知数的值代入原方程，验证方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是方程的解； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，故是方程的解； C、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是方程的解； D、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是方程的解． 题型3 解二元一次方程组 8．解方程组： (1) ​ (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法计算，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，正确计算即可得到结果； （2）利用代入消元法计算，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，正确计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 由得， 把代入得， 整理得， 解得， 把代入得， 原方程组的解为； （2）解：， 由得， 把代入得， 整理得， 解得 把代入得， 原方程组的解为． 9．解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原方程组化简整理为标准形式，再用代入消元法求解即可； （2）先将原方程组化简整理为标准形式，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：整理原方程组，得 ， 把①代入②，得 ， 解得， 把代入②，得 ， ∴原方程组的解为； （2）解：整理原方程组，得 ， 由①②，得 ， 解得， 把代入②，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 10．解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法即可求解； （2）先将①两边乘以，得到，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 由得， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为：． 题型4 二元一次方程组的特殊解法 11．已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组解的定义，代入求解即可； （2）借助所学的换元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程组得， 解得； （2）解：设，， 则原方程组可整理为， 解得， 即， 解得． 12．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干给定的方法求解即可； （2）根据题干给定的方法求解即可； （3）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可． 【详解】（1）解： 得：，所以③ ③得：④ 得：， 把代入③得：， 解得： 原方程组的解是：； （2）解：， 得：③ ③得：④ 得：，解得： 把代入③得：， 解得：， 原方程组的解是：； （3）解：猜测：， 当时，第一个方程：左边右边， 第二个方程：左边右边， 是原方程组的解． 13．素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如，求的值．我们不妨将作为一个整体代入，则． 素材二：已知，其中有理数m，n满足，就称点P为“燕南点”．例如要判断点是否为“燕南点”，令，解得，因为，所以不是“燕南点”；再如是否为“燕南点”，令，解得．因为，所以是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； (1)若，求的值； (2)请通过计算去判断点是不是“燕南点”． 【答案】(1)2027 (2)点是“燕南点” 【分析】（1）将整体代入该代数式进行计算求解； （2）根据题目定义，先求得对应的m，n的值，再计算的值，再判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得， 解得， ∴， ∴点是“燕南点”． 题型5 二元一次方程组的错解复原问题 14．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1），代入，解方程组可求出和的值，把，代入即可求出的值； （2）根据，，，得出原方程组为，再利用加减消元法求解即可； （3）根据的解为得出，解方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， ∴， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴， 解得：． （2）解：∵，，， ∴原方程组为， ①+②得，， 解得：， 把代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为． （3）解：把，，代入得，， ∵的解为， ∴， 解得：． 15．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 16．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，；0 【分析】小明看错了方程①中的，但他的解对于方程②是成立的，因此可以代入方程②求出的值； 小红看错了方程②中的，但她的解对于方程①是成立的，因此可以代入方程①求出的值； 最后将、的值代入代数式计算结果． 【详解】解：将代入②，得，解得． 将代入①，得，解得． 故． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，解题关键是明确：看错某个方程的系数，意味着该解对于另一个未看错系数的方程是成立的，从而代入求解． 题型6 构造二元一次方程组求解 17．我们给出以下两个新定义： ①对于给定的数对，如果满足，那么我们称数对是“三二一数对”； ②对于给定的数对和，如果满足，则称数对是的“和差数对”． 根据以上信息解决下列问题： (1)判断是否为“三二一数对”，并说明理由； (2)已知数对是“三二一数对”，求出该数对的“和差数对”； (3)若数对是“三二一数对”，且的“和差数对”满足条件：，求和的值． 【答案】(1) 不是 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义列出方程求解即可； （3）根据新定义列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： ∵， ∴不是“三二一数对”； （2）解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∴， ∵， ∴该数对的“和差数对”为：； （3）解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∵的“和差数对”满足条件：， ∴， ∴，整理得：， 联立方程组得：， 解得：． 【点睛】本题考查了新定义的运算、有理数的混合运算、一元一次方程、二元一次方程组的解法等，关键是根据题意列出正确的方程或代数式． 18．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 19．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数 20．已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】用加减消元法将两方程相减，并化简，又与已知条件相结合，得到关系，求解即可． 【详解】解：将方程组上面的方程减下面的方程得：， 化简得， 又因为， 所以， 解得． 21．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用加减消元法消去，接着利用 “无论取何值方程组都有解” 的条件，代入会让的系数变为的特殊值，最后根据“乘任何数都得，要使该方程有解，右边常数项必须为” 的原理，列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：对于方程组， 由得 ， 由于方程组对任意都有解，则当时也应有解， 此时方程为， 即， 为使此方程有解，须有， 解得． 故选：D． 22．若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】本题利用加减消元法，将方程组两个方程相加凑出的含的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解：， 将得， 整理得， 两边同除以得， ， ， ． 23．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用加减消元法消去y，得到x关于m的表达式，再根据x和m均为整数的条件，结合整除的性质求解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， ， 为整数，也为整数， ， 当时，，无对应选项， 当时，，符合条件． 题型8 方程组相同解问题 24．已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【详解】解：根据题意，联立不含参数的方程得 ， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得： ， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 25．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 26．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【详解】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 27．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 题型9 方案问题 28．我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】(1)1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； (2)该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 【分析】（1）设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨，由“租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄”，列出二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； （2）解：由题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 29．【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 【答案】(1)盒装销售了50份，袋装销售了100份 (2)共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份 【分析】（1）设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意列出二元一次方程组并求出x，y的值即可； （2）设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意得到，即，推导出m为3的倍数，且，得到或6，进而求出n的值即可． 【详解】（1）解：设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意，得 ， 解得， 答：盒装销售了50份，袋装销售了100份． （2）解：设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意，得 ， 即， ∵m，n都为正整数， ∴m为3的倍数，且， 解得， ∴或6， 当时，； 当时，； 答：共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份． 30．解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题 素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元． 型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？ (3)任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）． 【答案】(1)甲型挖掘机需租用6台，乙型挖掘机需租用3台. (2)共有3种租用方案：方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台；方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台；方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台. 租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元； (3) 【分析】（1）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租用方案； （3）求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据题意列出关于，的二元一次方程组与w的关系，解之可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 解得：． 答：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台； （2）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 又，均非负整数， 或或， ∴共有3种租用方案： 方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台，所需租金为（元）； 方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台，所需租金为（元）； 方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，所需租金为（元）． ， ∴租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元； （3）解：由（2）得，所需弹簧数量为根， 所需钢球数量为颗． 设弹簧的单价为元，钢球的单价为元， 根据题意得：， ， ， （元）． 故实际保养费用为元． 题型10 分配问题 31．某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 32．完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】【任务一】每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套； 【任务二】每副镜架的出厂价应定为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用和利润率的计算，关键是理解配套关系和利润率的公式． 任务一：根据“每副镜架由1个镜框和2个镜腿配套”，得到镜腿数量是镜框数量的2倍，据此列方程求解； 任务二：根据“利润率=利润÷成本”先算出利润，再由“出厂价成本利润”利用方程计算出厂价． 【详解】任务一： 解：设分配名工人生产镜框，则名工人生产镜腿． ∵每副镜架需要1个镜框和2个镜腿， ∴镜腿的日产量应是镜框日产量的2倍， 可得方程， 解得， 则生产镜腿的工人数量为(名)． 答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套． 任务二： 解：设每副镜架的出厂价应定为元． 由题意，得，解得． 答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元． 33．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 题型11 销售经济问题 34．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元． 依题意，得， 解得， 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元； （2）解：不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， ， 解得， ∵根据题意，，都为正整数， ∴不合题意，舍去， 不能实现利润恰好为1200元的目标． 35．某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表： A型（台） B型（台） 总进价（元） 第一次 20 30 90000 第二次 10 20 55000 (1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？ (2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？ (3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元 (2)共有3种进货方案 (3)购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元 【分析】 （1）设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组，解方程组即可； （2）设商场第三次购进A型电视机m台，则购进B型电视机n台，根据商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，列出方程，求出方程的整数解即可； （3）分别求出三种方案的利润，然后进行比较，得出答案即可． 【详解】（1）解：设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元； （2）解：设商场第三次购进A型电视机m台，购进B型电视机n台，根据题意得： ， 整理得：， ∵m、n为整数， ∴，，， ∴共有3种进货方案； （3）解：当购进A型电视机3台，B型电视机8台时，可获利润： （元）； 当购进A型电视机7台，B型电视机5台时，可获利润： （元）； 当购进A型电视机11台，B型电视机2台时，可获利润： （元）； ∵， ∴购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元． 36．某水果店2025年第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度两种水果的销售额均有增长，其中苹果销售额增长了15%，橙子销售额增长了20%． 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 ______ ______ ______ (1)设2025年第一季度苹果销售额为元，橙子销售额为元，请用含，的代数式填表： (2)已知第二季度总销售额比第一季度增加了1400元，求第二季度苹果和橙子的销售额分别是多少元？ 【答案】(1)，，； (2)第二季度苹果销售额为4600元，橙子销售额为4800元 【分析】（1）根据题意列代数式，再填表即可； （2）根据“第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度总销售额比第一季度增加了1400元”列出关于的二元一次方程组，解方程组得到的值，再乘以各自的增长率即可解答． 【详解】（1）解：第二季度苹果销售额为； 第二季度橙子销售额为； 第二季度总销售额为； 填表如下： 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 （2）解：由题意可得，， 解得， ，， 答：第二季度苹果销售额为4600元，橙子销售额为4800元． 题型12 几何问题 37．如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组，理解题意找到等量关系是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽构造方程，并求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，大长方形的长为，大长方形的宽为， 列方程组，得，， 将，得，， 将代入①，得，， 解得，， ∴方程组的解为， 答：小长方形的长为，宽为． 38．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 39．根据以下素材，探索完成任务． 探究制作无盖纸盒的方案 素材1 将边长为的大正方形纸板按图1所示的两种方法裁剪：甲方法裁剪出5个小长方形纸板和1个小正方形纸板；乙方法剪4个小长方形和4个小正方形纸板（假设裁剪时损耗忽略不计）． 素材2 将以上裁剪的纸板制作成横式无盖的纸盒，如图2所示，它由3个小长方形纸板和2个小正方形纸板搭成． 问题解决 任务1 纸盒大小 计算该横式无盖纸盒的体积． 任务2 再次拼搭 现有3张大正方形纸板，将它们裁剪、拼搭，则它们最多能搭几个横式无盖纸盒． 任务3 深入探究 现有22张大正方形纸板和张小正方形纸板，将大正方形纸板裁剪，裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，求出的最小值，并写出裁剪方案． 【答案】任务；任务2：2张乙方法裁剪，1张甲方法裁剪（或3张都是乙方法裁剪），最多可以得到4个盒子；任务3：的最小值是11，甲方法裁剪11张，则采用乙方法裁剪11张． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：先算出小正方形的边长，再根据长方体体积公式求解； 任务2：设用甲方法裁剪m张纸板，用乙方法裁剪n张纸板， (m、n为整数)，由于一个纸盒需要2个小正方形和3个小长方形，设能搭成a个纸盒，则得到两个约束条件，再分类讨论即可； 任务3：设22张大正方形纸板采用甲方法裁剪张，则采用乙方法裁剪张．则小长方形有：张，小正方形有：张，因为小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，所以，即，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得小正方形纸板的边长是， 所以横式无盖纸盒的体积; 任务2：设用甲方法裁剪m张纸板，用乙方法裁剪n张纸板， (m、n为整数)， ∵一张甲方法裁剪的纸板有1个小正方形和5个小长方形，一张乙方法裁剪的纸板有4个小正方形和4个小长方形，则小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵一个纸盒需要2个小正方形和3个小长方形，设能搭成a个纸盒，则 当时，小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵， ∴最多能搭成4个纸盒； 当时，小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵，， ∴最多能搭成4个纸盒， ∴2张乙方法裁剪，1张甲方法裁剪（或3张都是乙方法裁剪），最多可以得到4个盒 子 任务3：设22张大正方形纸板采用甲方法裁剪张，则采用乙方法裁剪张． 则小长方形有：张， 小正方形有：张， 因为小长方形和小正方形纸板恰好全部用完， 所以，即， 因为是整数，， 所以，的最小值是11， 此时，甲方法裁剪11张，则采用乙方法裁剪11张． 40．问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积； (2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①484；②立方厘米； (2)4厘米，或7厘米，或8厘米 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． （1）①根据题意，首先求得长方体纸盒底的长与宽，再根据长方形面积公式计算即可； ②设，，根据长方体展开图的性质，列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）长方体展开图的性质，分5种情况分析，列一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：①结合题意，得长方体纸盒底的长宽均为（厘米）， ∴长方体纸盒的底面积（平方厘米）； 故答案为：484； ②如图，设，， ∵能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米； （2）解：设小明剪去的小正方形的边长为m厘米， 展开方式1如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， 该方程无解； 展开方式2如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴； 展开方式3如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式4如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式5如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米，或7厘米，或8厘米． 题型13 古代问题 41．《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？ 【答案】好田买了20亩，坏田买了80亩 【详解】解：设好田、坏田分别买了、亩， 由题意可得， 解得， ∴好田买了20亩，坏田买了80亩 42．《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 【答案】人数为7人，物价为53钱 【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱”列二元一次方程组求解． 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱， 根据题意得， 解得， 答：人数为7人，物价为53钱． 43．问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 【答案】（1）5，2，；42；（2） 【分析】本题主要考查了用代数式表示，求代数式的值． （1）根据题意填写各空，再根据一定能被5整除，可得的个位数是2和7，然后讨论得出答案； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面；根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面；则，再对从小到大讨论分析即可． 【详解】解：（1）五五数时剩下两盏，则所求的灯笼的数量除以5，余数是2； 设灯笼的数量为x，（x为正整数），需要满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）；②（m为非负整数）；③（n为正整数）， 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数），可得（m为非负整数）， ∴一定能被5整除， ∴的个位数是2和7， 当时，不符合题意； 当时，能被5整除，此时， 则最少有42盏灯笼； 故答案为：5，2，；42； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面； 根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面； ，即， ， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，且， ，符合题意； 故八（1）班至少准备了面红旗． 44．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 【答案】(1)牛每头值金两，羊每头值金两 (2)①消元；②数据如图 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及消元思想，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设牛每头值金两，羊每头值金两，根据有牛头、羊头，共值金10两；牛头、羊头，共值金两；列出二元一次方程组，解方程即可； （2）①根据题意即可得出结论； ②根据“方程术”推算即可． 【详解】（1）解：设牛每头值金两，羊每头值金两，由题意得， ， 解得：， 答：牛每头值金两，羊每头值金两． （2）解：① “遍乘”是用一个数去乘方程两边，“直除”是通过相减消去一个未知数，这体现了解二元一次方程组的消元思想． 故答案为：消元． ②因为右方羊的数量是，左方羊的数量是，所以用右羊数遍乘左方各数， 左方原来牛、羊、金，遍乘后：牛，羊，金，得到遍乘后的左方数据为牛、羊10、金16，右方数据不变（牛、羊、金10）， 然后进行直除，要消去羊，右方羊是，左方羊是10，，用左方各数减去右方对应数的倍． 牛：；羊：；金： ． 所以最终图填写如下： 题型14 其他问题 45．某地政府需将一批150吨的物资运往外地，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/每辆） 5 8 10 汽车运费（元/每辆） 400 500 600 (1)全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车______辆来运送． (2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10600元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (3)该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为17辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？ 【答案】(1)7 (2)需甲车型14辆，乙车型10辆 (3)甲车型2辆，乙车型5辆，丙车型10辆 【分析】（1）根据用总物资数减去甲型车8辆，乙型车5辆可以运送的物资数，再由丙型车每辆运送10吨物资即可求解； （2）设需甲型车辆，乙型车辆，列出方程组即可求解； （3）设用甲型车辆，乙型车辆，则丙型车辆，根据，，，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：（辆）． （2）解：设需甲型车辆，乙型车辆， 由题意得， 解得， ∴需甲型车14辆，乙型车10辆． （3）解：设用甲型车辆，乙型车辆，则丙型车为辆， 由题意得，， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴，， ∴用甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车10辆． 46．某校组织消防演练，李老师通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据下表信息，完成下列问题． 课题 测试紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼 方式 模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带． 地点 共有5道门作为安全出口，有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门． 数据收集 ①通过预演，李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人． ②紧急情况导致局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的． 相关情况 教学楼内有教师122名；共有35间教室，每间教室平均有50名学生． 安全要求 紧急情况下，教学楼内所有人员应在5分钟内通过5个门安全撤离． (1)求正常情况下每个侧门和正门每分钟通过的人员数量； (2)教学楼内全体师生在紧急情况下撤离教学楼至少需要多少分钟，是否能安全撤离？ 【答案】(1)正常情况下每个正门每分钟通过120人，正常情况下每个侧门每分钟通过80人 (2)至少需要分钟，教学楼内全体师生在紧急情况下能安全撤离 【分析】（1）设正常情况下每个正门每分钟通过人，正常情况下每个侧门每分钟通过人，根据“李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人．”列出方程组，即可求解； （2）教学楼内全体师生在紧急情况下撤离所需的最短时间，即可求解． 【详解】（1）解：设正常情况下每个正门每分钟通过人，正常情况下每个侧门每分钟通过人，根据题意，得： ， 解这个方程组，得 答：正常情况下每个正门每分钟通过120人，正常情况下每个侧门每分钟通过80人． （2）解：师生共有人数为：（人）． 紧急情况下1分钟最多能撤离人数：（人）， 教学楼内全体师生在紧急情况下撤离时间至少为：（分钟）， ， 答：教学楼内全体师生在紧急情况下能安全撤离． 47．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否能达到万公里． 【答案】(1) (2)行驶万公里后交换，可使两对轮胎同时报废，报废时行驶里程能达到万公里． 【分析】（1）根据汽车前轮轮胎报废的里程和总磨损量可得答案； （2）设行驶x万公里后交换前后轮，两对轮胎同时报废时总行驶里程为y万公里，根据两对轮胎同时报废，且报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵每个新轮胎报废时的总磨损量为1，且前轮轮胎在行驶6万公里时报废， ∴安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为； （2）解：设行驶x万公里后交换前后轮，两对轮胎同时报废时总行驶里程为y万公里， 由题意得，， 解得， ， 答：行驶万公里后交换，可使两对轮胎同时报废，报废时行驶里程能达到万公里． 题型15 三元一次方程的应用 48．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【答案】(1)甲班有人，乙班有人 (2)①分开付款时，小明支付了元或元；②他们购买、、各一件共需元 【分析】（1）根据表格数据，用总票价除以单价得到人数列出算式，即可求解； （2）①设分开付款时小明支付了元，则小红支付了元，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，根据题意得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：甲班人数为（人），乙班人数为（人）． 答：甲班有49人，乙班有53人． （2）①当小明购物原价小于100元时，设小明支付了，其付款金额元即为原价，则小红支付了元． ， ． 当小明购物原价为元，小红购物原价为元，则， 解得； 当小明购物原价不小于100元时，其付款金额为原价的九折，则原价为元，小红购物原价为元， 则， 解得． 综上，分开付款时，小明支付了元或元． ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件， 则①，②． 由，得③．由①，得， ． 答：他们购买，，各一件共需6元． 49．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算3a与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码x，即． 请根据以上信息，解答下列各题： (1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为，计算步骤中的，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和 ； (2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？ 【答案】(1)34 (2)3 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先根据该商品条形码的校验码是7，得出，再根据，代入求得c，然后可得出，再代入b，求出a即可； （2）设被污染的两个数字中右边的数字是y，从而可用y表示出左边被污染的数字，再根据校验码是9，是10的倍数，可得出c的个位数字是1，再用y分别表示出前12位数字中奇数位数字之和为，前12位数字中偶数位数字之和为，根据，得出用y表示出c，再根据c的个位数字是1，得出y是3或8，进而得出y的值． 【详解】（1）解：因为已知该商品条形码的校验码是7， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为前12位数字中奇数位数字之和为， 所以， 解得： 所以该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和， 故答案为：34； （2）解：设被污染的两个数字中右边的数字是y， 则左边被污染的数字是， 因为校验码是9， 所以， 所以， 又是10的倍数， 所以是10的倍数， 即c的个位数字是1， 因为前12位数字中奇数位数字之和为， 前12位数字中偶数位数字之和为， ， 所以， 所以， 因为c的个位数字是1， 所以的个位数字是1， 所以的个位数字是6， 所以y是3或8， 若y是8，则，不符合， 所以， 此时，符合， 所以右边被污染的数字是3． 50．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱、洗衣机、微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 51．在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)见详解 【分析】本题考查有理数的加减运算，解三元一次方程组，代数式求值，理解题意正确的列式是关键． （1）根据题中定义和题干解答即可． （2）记，，，则．由外三角形三边和为，可得，，，三式相加得，即．同理，内三角形 三边和为，可得，，，三式相加得，即，三式联立求出，即可解答． （3）若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3，根据（2）中结论求出，，求出，，，据此填图即可． 【详解】（1）解：顶点E对应的数， 顶点D对应的数， 其余两个空分别是，， 如图， （2）解：记，，， 则． 又由外三角形三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 同理，内三角形 三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 联立 解得：， 即，，． （3）解：若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3， 则，， 则，，， 可作如下“一种可行填法”（对应图 4 的各顶点及中点）： 取，，； ，，； ，，． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $