专题02 实数、平面直角坐标系期中复习压轴题（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题02 实数、平面直角坐标系期中复习压轴题 目录 典例详解 类型一、平方根与立方根的综合问题 类型二、与算术平方根、立方根有关的规律问题 类型三、与实数有关的规律探究题 类型四、与实数有关的新定义型问题 类型五、利用平面直角坐标系的性质求参数问题 类型六、点在平面直角坐标系中的规律探究问题 类型七、平面直角坐标系中的新定义型问题 类型八、平面直角坐标系中与面积有关的存在性问题 压轴专练 类型一、平方根与立方根的综合问题 方法总结 1. 明确定义：严格区分平方根（±，a≥0）与立方根（³，a为任意实数）的定义与性质。 2. 分类讨论：根据所求对象（如平方根或立方根本身，或其整数部分等），选择对应公式与解法。 解题技巧 1. 符号优先：首先确定题目所求结果的符号，特别是立方根需保留原数符号。 2. 估算定界：对于求整数部分或比较大小的问题，先估算被开方数介于哪两个完全平方数或立方数之间。 例1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合的算术平方根是，得，解得，因为的立方根是，得，解得，即可作答． （2）直接把，代入计算，得出平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 【变式】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据平方根，算术平方根，立方根的知识即可求解； （2）先求出，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身， ，，， ，，． （2）解：∵，，， ∴， ∵64的平方根为 的平方根为． 类型二、与算术平方根、立方根有关的规律问题 方法总结 1. 观察特例：计算前几项具体数值，观察被开方数与结果的变化规律（如整数部分、小数部分或周期性）。 2. 抽象归纳：将观察到的规律用含 n 的代数式（如通项公式、递推关系）表示，并验证后续项。 解题技巧 1. 拆分结构：将被开方数拆分为“完全平方/立方数 + 余项”的形式，便于分析结果。 2. 对比验证：用归纳出的规律计算后续 1-2 项，验证正确性，再用于求值或证明。 例2．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）； （2）右；1 （3）； 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1），． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②从到小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位．即． 【变式】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 类型三、与实数有关的规律探究题 方法总结 1. 从特到普：准确计算前几项具体结果，观察数字、符号及运算结果的变化特征。 2. 归纳公式：将观察到的规律（如周期性、递推关系）抽象为用序号 n 表示的代数式（通项或求和公式）。 解题技巧 1. 拆分结构：将复杂运算拆解为符号、整数部分、小数部分或循环节等独立模块，分别找规律。 2. 周期验证：若发现周期规律，需用后续 1-2 个周期验证，确保归纳正确后再应用。 例3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键． （1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可； （2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可； （3）根据（2）中规律化简即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③ 根据以上规律可得第④个等式是：． （2）解：根据以上规律可得第n个等式是：． （3）解： ． 【变式】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 类型四、与实数有关的新定义型问题 方法总结 1. 理解新规：仔细阅读题目，准确理解新定义的运算规则或新概念的形式与含义。 2. 模仿套用：严格按照新定义的运算步骤或判定条件，将给定的实数代入进行运算或推理。 解题技巧 1. 举例验证：用简单的数值或根式先按新规则操作一遍，确保理解无误。 2. 化归转化：将新定义运算后的表达式，通过常规的实数运算法则（如结合律、分配律）进行化简求值。 例4．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 【答案】(1)0 (2)5 (3)是关于7的对称数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，实数的运算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得，根据x、y都是有理数，得到，据此求出x、y的值，进而计算与的值，再根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵与8是关于4的对称数， ∴， 解得； （2）解：∵与是关于的对称数， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是有理数， ∴都是有理数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与是关于7的对称数． 【变式】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，，，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 类型五、利用平面直角坐标系的性质求参数问题 方法总结 1. 坐标特征：利用点所在象限（符号）、坐标轴上（含0）、对称性（关于轴或原点）等条件建立参数方程。 2. 距离关系：根据点到坐标轴的距离（绝对值）、两点间距离公式，列关于参数的等式或不等式求解。 解题技巧 1. 分类讨论：当参数影响坐标符号或位置时，分情况讨论避免漏解。 2. 数轴辅助：涉及范围时，画数轴直观确定参数区间。 例5．（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知点，根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的横坐标比纵坐标小4： (3)点在第二、四象限的角平分线上； (4)点到轴的距离为3． 【答案】(1)点的坐标是 (2)点的坐标是 (3)点的坐标是 (4)点或． 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据x轴上的点的纵坐标为0得到，求出，进而求解即可； （2）根据题意得到，求出，进而求解即可； （3）根据题意得到，求出，进而求解即可； （4）根据题意得到，求出或，进而求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ， ， 点的坐标是； （2）解：点的横坐标比纵坐标小4， ， ， ，， 点的坐标是； （3）解：点在第二、四象限的角平分线上， ， 解得， ，， 点的坐标是； （4）解：点到轴的距离为3 ∴ 或． 当时，点， 当时，点． 【变式】（25-26八年级上·广东深圳·周测）在平面直角坐标系中： (1)若点到两坐标轴的距离相等，求M的坐标为________； (2)若点，点，且轴，求M的坐标为________； (3)若点在坐标轴上，求M的坐标为________； (4)若点，点，且轴，，求M的坐标为________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的特征，掌握平面直角坐标系中点的特征和分类讨论是解题的关键． （1）根据点到两坐标轴的距离相等，列出关于的方程，求出的值即可解答； （2）根据轴，所以点的横坐标和点的横坐标相同，列出方程求出的值，即可解答； （3）根据点在坐标轴上，分两种情况讨论，列出关于的方程，求出的值即可解答； （4）根据轴，所以点的纵坐标和点的纵坐标相同，得，根据得到，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得或， 当时，，； 当时，，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （2）解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， 则， ∴M的坐标为； 故答案为：； （3）解：∵点在坐标轴上， ∴或， 解得或； 当时，； 当时，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵点，点，且轴，， ∴，， 解得或， ∴M的坐标为或； 故答案为：或． 类型六、点在平面直角坐标系中的规律探究问题 方法总结 1. 观察周期：分析点的坐标随序号变化的规律（如每次移动的方向和距离），找出周期长度。 2. 归纳通项：将点的横纵坐标分别用序号 \(n\) 的代数式表示（分段或取余）。 解题技巧 1. 列表追踪：列出前几次移动后的坐标，观察变化趋势。 2. 模运算：利用 \(n\) 除以周期余数确定坐标模式。 例6．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．一只蚂蚁从点出发，以每秒钟一个单位长度的速度沿的方向在四边形的边上匀速爬行，则在2026秒时蚂蚁所在位置的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究．根据题意可得蚂蚁从点出发沿所走路程是：，然后计算，可得第2026秒时蚂蚁在与轴的交点处，进而可得答案． 【详解】解：由点，，，，可知是长方形， ∴，， ∴蚂蚁从点出发沿所走路程是：． ∵， ∴第2026秒时蚂蚁在与轴的交点处， ∴蚂蚁所在点的坐标为． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中的点的特征，坐标系中点的规律，由，…，得下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商，由，所以的坐标在第二象限的角平分线上，横坐标为，纵坐标为506，然后通过第二象限特点即可求解． 【详解】解：∵，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商， ∵， ∴的坐标在第二象限的角平分线上，横坐标为，纵坐标为507， ∴的坐标为， 故答案为：． 类型七、平面直角坐标系中的新定义型问题 方法总结 1. 理解定义：准确理解新定义（如“和谐点”“距离和”），将其转化为坐标的代数关系。 2. 代数转化：用坐标表示新定义条件，建立方程、不等式或函数关系求解。 解题技巧 1. 举例验证：用简单点代入新定义试算，理解本质后再一般化。 2. 分类讨论：新定义常含绝对值或距离，需按坐标符号分类讨论。 例7．（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)的“长距”为____________；的“长距”为____________． (2)若是“完美点”，求的值； (3)若的长距为5，且在第三象限内，的坐标为，试说明：点是“完美点”． 【答案】(1)4；3 (2)2或3 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义可得，求出答案； （3）先根据的“长距”是5，求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵点A到x轴的距离数4，到y轴的距离是2， ∴点的“长距”为4； ∵点B到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴的“长距”为3 故答案为：4；3 （2）解：∵是“完美点”， ∴， 解得：或2； （3）解：∵的长距为5，且在第三象限内， ∴， 解得：， ∵的坐标为， ∴点D坐标为， ∴点D到x轴和y轴距离均为8，即点D到x轴和y轴距离相等， 故点D是“完美点”． 【变式】（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”例如，点的“级关联点”为，即． (1)已知点的“级关联点”是点，求点的坐标． (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的坐标，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）根据关联点的定义和点的“级关联点”位于轴上，即可求出的坐标． 【详解】（1）解：点的“级关联点”是点， ． （2）点的“级关联点”为， ， 位于轴上， ，解得 ， ． 类型八、平面直角坐标系中与面积有关的存在性问题 方法总结 1. 面积公式法：利用坐标求三角形或多边形面积（如铅垂高法、割补法），根据已知面积建立方程。 2. 分类讨论：根据动点位置不同（如在线段上、延长线上），分情况设坐标代入面积方程求解。 解题技巧 1. 设参数：设动点坐标为(x,y)或含参数形式，用面积条件列方程。 2. 检验取舍：求出点坐标后，需验证是否满足几何特征（如在线段上），舍去不符的解。 例8．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a，b满足，． (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若，求D点坐标； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，坐标与图形，熟练掌握利用坐标求图形的面积是解题的关键． （1）利用算术平方根的非负性、绝对值的非负性、非负数的性质求出a、b值，即可得出结果； （2）根据梯形的面积公式求出的长，即可得出结果； （3）设点D的坐标为，分四 种情况：①当点D在上时，即，②当点D在x轴负半轴上时，即，③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵ ∵，， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：∵轴于点， ∴设点C的坐标为， ∵ ∴ ∴点C的坐标为． （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴点关于点对称的对称点恰好在轴上，即直线与轴交于点， 分三种情况：①当点D在上时，即，如图， ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； ②当点D在x轴负半轴上时，即，如图， ∵ ∴ 解得：不符合题意，舍去； ③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，如图， ∵ ∴ 解得：，不符合题意，舍去； ④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，如图 ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； 综上，若，点D的坐标为或． 【变式】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，三角形面积． （1）由得到平移方式，即可解答； （2）连接，由（1）知，则轴，得到，进而求出，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据题意得到向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到，求出，进而得到，；根据的面积比的面积大4，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把沿射线向右下平移得到，即点的对应点为点， ∵， ∴先向右平移3个单位长度，再先向下平移2个单位长度后得到， ∵， ∴，即； （2）解：连接， 由（1）知， 则轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：能，， ∵把沿射线向右下平移得到， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质得， ∴， ∴，； 当的面积比的面积大4时， 则，即， 解得：， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知，则a的值是（   ） A．130 B．1300 C．169 D．1690 【答案】B 【分析】本题考查了当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，熟练掌握此知识点是解题的关键．根据当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为． 故选B． 2．（25-26八年级上·河南开封·期中）现对实数，定义一种运算：．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解：， 故选：A． 3．（24-25七年级下·江西赣州·期中）如图，平面直角坐标系内，动点P第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……按这样的规律，第2025次运动到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据图象可得出：横坐标为运动次数减3，纵坐标依次为4，2，1，，2，4，每5次一轮，进而即可求出答案． 【详解】解：根据动点在平面直角坐标系中的运动，，，，，，， ……， 横坐标为运动次数减3， 经过第2025次运动后，点的横坐标是2022， 纵坐标依次为4，2，1，，2，每5次一轮， ∴， 经过第2025次运动后，点的坐标是， 故选：D． 二、填空题 4．（25-26八年级下·河北保定·开学考试）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则a的值为______． 【答案】1 【分析】根据平面直角坐标系中轴上点的纵坐标为的特征，列方程求解． 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标满足， 解得． 5．（25-26八年级上·福建莆田·期中）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：，如．那么______． 【答案】 【分析】根据定义新运算公式和算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：根据题意可得 故答案为：． 【点睛】此题考查的是定义新运算和算术平方根的含义，掌握定义新运算公式和算术平方根的含义是解决此题的关键． 6．（24-25八年级上·江西萍乡·期末）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、，若点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据各点坐标得出每4次变换为一个循环是解题的关键． 利用点的终结点的定义分别写出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，从而得出每4次变换为一个循环，然后利用即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 点的坐标为，则： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 每4次变换为一个循环， 而， 点的坐标与点的坐标相同，为， 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 8．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续． （1）点表示的数是______． （2）______． 【答案】 / 【分析】本题考查实数与数轴、估算无理数大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解决本题关键． （1）利用，右侧最近的整数点为求解即可； （2）根据实数与数轴的关系，逐一计算各点对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：（1）根据题意得：表示在数轴上点处， ∵右侧最近的整数点为， ∴点表示的数为2； 故答案为：； （2）∵点表示的数为，点表示的数为2 ∴ ∴ ∴ ∴点表示的数为 ∵ ∴ ∴ ∴点表示的数为3， 同理可得，，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，； ． 故答案为：． 9．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）已知点，解答下列问题： (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点A的纵坐标比横坐标大5，求点A的坐标； (3)若点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半，求a的值． 【答案】(1)A（0，5.5） (2) (3) 【分析】（1）根据点A在y轴上得出点A的横坐标为0求出a的值，再求出点A的纵坐标即可． （2）根据点A的纵坐标比横坐标大5，列出关于a的一元一次方程，求出a的值，即可求出点A的坐标． （3）根据点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半列出关于a的绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解∶∵点A的纵坐标比横坐标大5， 则， 解得：， ∴，， ∴． （3）解：∵点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半， ∴， ∴， 当或， 解得：无解或， 综上，或． 10．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______（用含的代数式表示）； (2)2025米长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【答案】(1)； (2)小正方形675个，大正方形675个． 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2025米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形（个），大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 11．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)的“长距”为____________；的“长距”为____________． (2)若是“完美点”，求的值； (3)若的长距为5，且在第三象限内，的坐标为，试说明：点是“完美点”． 【答案】(1)4；3 (2)2或3 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义可得，求出答案； （3）先根据的“长距”是5，求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵点A到x轴的距离数4，到y轴的距离是2， ∴点的“长距”为4； ∵点B到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴的“长距”为3 故答案为：4；3 （2）解：∵是“完美点”， ∴， 解得：或2； （3）解：∵的长距为5，且在第三象限内， ∴， 解得：， ∵的坐标为， ∴点D坐标为， ∴点D到x轴和y轴距离均为8，即点D到x轴和y轴距离相等， 故点D是“完美点”． 13．（25-26八年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，解决问题： 材料一：若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”为，的“最近整数区”为． 材料二：有趣的；，年是本世纪仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)的“最近整数区”是 ；的“最近整数区”是 ； (2)若无理数为正整数）的“最近整数区”为，的“最近整数区”为，求的值； (3)实数，，满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据材料一的定义求出最近整数区； （2）利用最近整数区求出，的取值范围，得出的具体值，求出结论； （3）先根据，得出，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“最近整数区”的定义即可求解． 【详解】（1）解：， 的“最近整数区”是， ， 的“最近整数区”是， 故答案为：，； （2）解：最近整数区为 ， 最近整数区”为， ， ， ， 为正整数， ， ； （3）解：，，得出， ， ① ② ②①，得， ， ， 的算术平方根是， ， 的算术平方根的“最近整数区”是． 14．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上． (1)点C坐标 ，点D坐标 ； (2)如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； (3)如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求得点A，B的坐标，再根据平移的性质即可得出点C，D的坐标； （2）连接，利用求得的面积，设点，则，利用与面积相等建立方程求解即可； （3）当点H在延长线上时，由角平分线的性质得，，由平移的性质得， 从而得，由外角的性质得，则，根据三角形内角和得，利用等角代换可证；同理可证当点H在线段上时，，再利用平角的性质和等角代换得； 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，， ∵平移线段得到线段，且C、D两点分别落在y轴和x轴上， 则线段先向左平移1个单位长度后，再向下平移3个单位长度， ∴，． 故答案为：，． （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∵将点向下移动1个单位得到点P， ∴点， ∴ ， 设点，则， ∵与面积相等， ∴， 即， 解得或， ∴或． （3）如图，当点H在延长线上时，延长交于G，令交于K， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点H在线段上时，令交于K，交于G． ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 综上，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02实数、平面直角坐标系期中复习压轴题 目录 典例详解 类型一、平方根与立方根的综合问题 类型二、与算术平方根、立方根有关的规律问题 类型三、与实数有关的规律探究题 类型四、与实数有关的新定义型问题 类型五、利用平面直角坐标系的性质求参数问题 类型六、点在平面直角坐标系中的规律探究问题 类型七、平面直角坐标系中的新定义型问题 类型八、平面直角坐标系中与面积有关的存在性问题 压轴专练 典例详解 类型一、平方根与立方根的综合问题 方法总结 1.明确定义：严格区分平方根（士a,a≥0）与立方根(3a,a为任意实数)的定义与性质。 2.分类讨论：根据所求对象（如平方根或立方根本身，或其整数部分等），选择对应公式与解法。 解题技巧 1.符号优先：首先确定题目所求结果的符号，特别是立方根需保留原数符号。 2. 估算定界：对于求整数部分或比较大小的问题，先估算被开方数介于哪两个完全平方数或立方数之 间。 例1.(25-26八年级上陕西威阳期末)已知20-5的算术平方根是V7,a-56+1 的立方根是2」 (1)求a与b的值： (2)求a+b的平方根. 【变式】(25-26八年级上·江西景德镇期末)已知2a-1的算术平方根是3，a-b-9的立方根是-2，c的 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平方根是它本身. (1)求a,b,c的值： (2)求10a+4b+c-2的平方根. 类型二、与算术平方根、立方根有关的规律问题 方法总结 1.观察特例：计算前几项具体数值，观察被开方数与结果的变化规律（如整数部分、小数部分或周期 性)。 2.抽象归纳：将观察到的规律用含n的代数式（如通项公式、递推关系）表示，并验证后续项。 解题技巧 1.拆分结构：将被开方数拆分为“完全平方/立方数+余项”的形式，便于分析结果。 2.对比验证：用归纳出的规律计算后续1-2项，验证正确性，再用于求值或证明。 例2.(25-26七年级上·浙江湖州·期末)(1)观察发现： a(a>0) 0.0001 0.01 1 100 10000 va 0.01 100 表格中x=_, y= (2)归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向移动_位. (3)规律运用： ①已知V5≈2.24 则500≈ ②已知Vm≈7.07 V5000≈70.7 则m= 【变式】(25-26八年级上河南平顶山期末)【观察】 0近+5=1+←1=0 ②8+8=2+(-2=0 ③000+000=10+-10)=0. 2/13 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： a,b (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数， 若近+6=0 则a+b= 反之也成立： 【应用】根据(2)中的结论，解答间题：3)考2-5+玉=0，求2x+1的算术平方根。 类型三、与实数有关的规律探究题 方法总结 1.从特到普：准确计算前几项具体结果，观察数字、符号及运算结果的变化特征。 2.归纳公式：将观察到的规律（如周期性、递推关系）抽象为用序号表示的代数式（通项或求和公 式)。 解题技巧 1.拆分结构：将复杂运算拆解为符号、整数部分、小数部分或循环节等独立模块，分别找规律。 2.周期验证：若发现周期规律，需用后续1-2个周期验证，确保归纳正确后再应用。 例3.(24-25七年级下·安徽合肥·期中)先观察下列等式，再回答问题： 11 ①+ 222=1+ 11 2:②V1+ 34“ (I)请写出第④个等式： (2)猜想第n个等式： ；(用含n的式子表示) 11 1.1 ,11 1+ 1 (3)根据上述规律计算： V++2++2京++++家++++m+ 【变式】(24-25八年级上河南平顶山期中)观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式+ 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。1 1 8+ -=9 第3个等式： V8 第4个等式：V°10V10 根据以上规律，解决下列问题： (I)直接写出第5个等式： (2)按照上面每个等式反映的规律，第n个等式为 1 4×V20+ 2+ 1141 -X (3)利用上述规律化简： 2、713. 类型四、与实数有关的新定义型问题 方法总结 1.理解新规：仔细阅读题目，准确理解新定义的运算规则或新概念的形式与含义。 2.模仿套用：严格按照新定义的运算步骤或判定条件，将给定的实数代入进行运算或推理。 解题技巧 1,举例验证：用简单的数值或根式先按新规则操作一遍，确保理解无误。 2.化归转化：将新定义运算后的表达式，通过常规的实数运算法则（如结合律、分配律）进行化简求 值。 例4。(25：26七年级上浙江台州期末)我们规定，若实数4,6满足4-m=m-b a,b ,则称“与是关于m的 对称数 (1)若a与8是关于4的对称数，则a的值是 2若25-1与1-2 是关于m的对称数，求m的值， 6若有理数xy满足2×x+-+x5,判断+反与3y-巨是否是关于7的对称数。 【变式】(24-25八年级上·甘肃兰州期中)阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如2=2，[3=3，[V]=1 材料二：定义新运算6=回-闪，如2522-2冈=2-2=0，对有序实数对ab,若满足a*6=1,则 称该有序数对为“望一”数对：若满足α*b=0,则称该有序数对为“望音”数对. 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √4*√5= (1)计算： (2)下列数对是“望一”数对的有_，是“望音”数对的有_.（填序号） 1 00,2:②5，j:⑧-15-2.5)：④(x,2.9列：⑤5,2· 6计算*5+54+5*6++20丽*2024的值. 类型五、利用平面直角坐标系的性质求参数问题 方法总结 1.坐标特征：利用点所在象限（符号）、坐标轴上（含0）、对称性（关于轴或原点）等条件建立参数 方程。 2.距离关系：根据点到坐标轴的距离（绝对值）、两点间距离公式，列关于参数的等式或不等式求 解。 解题技巧 1.分类讨论：当参数影响坐标符号或位置时，分情况讨论避免漏解。 2.数轴辅助：涉及范围时，画数轴直观确定参数区间。 例5.(25-26七年级上山东泰安·期末)已知 P叫3m+2,5-m）,根据下列条件求点P的坐标. (I)点P在x轴上： (2)点P的横坐标比纵坐标小4： (3)点P在第二、四象限的角平分线上； (4)点P到x轴的距离为3. 【变式】(25-26八年级上广东深圳周测)在平面直角坐标系中： Mm-6,2m+3) (1)若点 到两坐标轴的距离相等，求M的坐标为 2考点M(m-62m+3),点5,2，且∥y轴，求M的坐标为 (③)若点M(m-6,2m+3) 在坐标轴上，求M的坐标为 ④若点M(a,b,点N5,2,且MN/x轴，MN=3,求M的坐标为 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型六、点在平面直角坐标系中的规律探究问题 方法总结 1.观察周期：分析点的坐标随序号变化的规律（如每次移动的方向和距离），找出周期长度。 2.归纳通项：将点的横纵坐标分别用序号()的代数式表示（分段或取余）。 解题技巧 1.列表追踪：列出前几次移动后的坐标，观察变化趋势。 2.模运算：利用()除以周期余数确定坐标模式。 例6。(25-26七年级上山东烟台期末)如图，在平面直角坐标系中， A1,1B(-1,1C-1,-2) D(1,-2) .一只蚂蚁从A点出发，以每秒钟一个单位长度的速度沿 A→B→C→D→A→B→C→D·的方向在四边形ABCD的边上匀速爬行，则在2026秒时蚂蚁所在 位置的坐标是 y D ,, 【变式】(25-26八年级上广东佛山期末)如图，在平面直角坐标系中，点 ,…均在边长均为1 P(0,0),P(0,1),P(1,1),P(1,-1),P(-1,-1) 个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列， PB-12…,根据这个规律，点“的坐标为 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 类型七、平面直角坐标系中的新定义型问题 方法总结 1.理解定义：准确理解新定义（如“和谐点“距离和”），将其转化为坐标的代数关系。 2.代数转化：用坐标表示新定义条件，建立方程、不等式或函数关系求解。 解题技巧 1.举例验证：用简单点代入新定义试算，理解本质后再一般化。 2.分类讨论：新定义常含绝对值或距离，需按坐标符号分类讨论。 例7.(25-26八年级上江西九江·期中)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、'轴的距离 的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”. 0)12,4利的“长距”为 B(-3,2) 的“长距”为 2若M5-2a,-是“完美点”，求“的值： (3)若C(-436-2 的长距为5，且C在第三象限内，D的坐标 为6-2h,8,试说明：点D是“完美点”· 【变式】(2526八年级上全国期中)在平面直角坐标系0中，对于点Px川，若点P的坐标为 ax+y,x+ay ,其中“为常数，则称点9是点P的“级关联点”例如，点P14的3级关联点”为 (3x1+41+3×4,即27,13) (①已知点A-2,6)的“2级关联点”是点A,求点4的坐标. 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Mm-1,2m (2)已知点 的“-3级关联点”M'位于'轴上，求点M'的坐标。 类型八、平面直角坐标系中与面积有关的存在性问题 方法总结 1.面积公式法：利用坐标求三角形或多边形面积（如铅垂高法、割补法），根据已知面积建立方程。 2.分类讨论：根据动点位置不同（如在线段上、延长线上），分情况设坐标代入面积方程求解。 解题技巧 1.设参数：设动点坐标为(x,y)或含参数形式，用面积条件列方程。 2.检验取舍：求出点坐标后，需验证是否满足几何特征（如在线段上），舍去不符的解。 例8.(25-26八年级上广东佛山期中)在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作CA1x轴于 点a,0),点B0,6)是y轴正半轴上的一点，且a,b满足a-3+b-4=0,S0c=9 备用图1 备用图2 (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标： (3)点D为x轴上一点，若 S.BCD=5 求D点坐标： 【变式】(24：25七年级下-辽宁大连期末)如图，在平面直角坐标系中，40,4，B6,0),把△40B沿射 线AB向右下平移得到△CDE,，CD交线段OB于点M. y M B 备用图 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （3,-2) (I)如果点D的坐标为 ,则C、E两点的坐标分别为 (2)连接OD,在(1)的条件下，△BCM的面积等于3，求△ODM的面积： (3)在△AOB沿射线AB向右下平移的过程中，△ODM的面积能否比△BCM的面积大4？若能，请求出此时 点M的坐标，若不能，请说明理由. 压轴专练 一、单选题 1.(2425七年级下湖南长沙期中)已知B=366,V石3606，则a的值是() A.130 B.1300 C.169 D.1690 2.(25-26八年级上·河南开封期中)现对实数”，6定义一种运算：※b=b-a+b.则※⑧ 的值 为() A.-11 B.-10 C.-9 D.-7 3.(2425七年级下江西赣州期中)如图，平面直角坐标系0内，动点P第1次从点B-3,4运动到 点-22)，第2次运动到点B-,第3次运动到点B10,-),…按这样的规律，第2025次运动到 m5的坐标是（） 点 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆P4 (2022,-1) A. B.(2022,1) C.(2022,2 (2022,4) D 二、填空题 4.(2526八年级下-河北保定开学考试)在平面直角坐标系中，若点1-3a-在轴上，则a的值为 5.(25-26八年级上·福建莆田·期中)对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下： axb=Va'+b 4w3军+3. a-b, 4-3 .那么5※6=— 6.(24-25八年级上·江西萍乡·期末)在平面直角坐标系中，点P(x,y)经过某种变换后得到点 P(←y+1x+2), 我们把点P(y+lr+2)叫做点P(x》的终结点.已知点尸的终结点为户，点B的终结 P 点为月，点的终结点为，这样依次得到、月、月、尸、、尸，若点的坐标为20， ，则点 的坐标为 三、解答题 7.(25-26八年级上·吉林长春期中)已知正数x的两个平方根分别是2a-1和a+7,负数y的立方根与它 本身相同. (I)求a,x,y的值： (2)求x-11y的算术平方根. 10/13