专题01 平行线的判定和性质期中复习压轴题（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题01 平行线的判定和性质期中复习压轴题 目录 典例详解 类型一、平行线的判定和性质多结论问题 类型二、利用平行线的性质求多解题 类型三、利用平行线的判定与性质证明与计算 类型四、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 类型五、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 类型六、利用平行线的判定与性质解决拐点问题 压轴专练 类型一、平行线的判定和性质多结论问题 方法总结 1. 逐项验证：对每个结论，结合已知条件，利用平行线的判定（同位角、内错角、同旁内角）或性质进行独立推导。 2. 反例排除：对于不一定成立的结论，尝试构造特殊图形或改变角度位置，验证其是否必然成立。 解题技巧 1. 标注图形：在图上清晰标出已知角及由平行产生的相等角或互补角，直观发现关系。 2. 逻辑链推理：从已知条件出发，逐步推导相关角的关系，形成完整推理链。 例1．（24-25七年级下·河南焦作·期中）如图所示，下列推理①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则．正确的选项是（    ） A．①②⑥ B．②③⑥ C．①③④ D．①③⑥ 【答案】D 【分析】根据平行线的判定和性质逐一判断即可． 【详解】解：①若，则，原推理正确； ②若，无法判断，原推理错误； ③若，则，原推理正确； ④若，无法判断，原推理错误； ⑤若，无法判断，原推理错误； ⑥若，则，原推理正确； 综上所述，正确的选项是①③⑥． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，，平分，，，．则下列结论：①，②平分，③，④．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由于，则，利用平角等于得到，再根据角平分线定义得到；利用，可计算出，则，即平分；利用，可计算出，则；根据，而，可知④不正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴；所以①错误， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分，所以②正确； ∵， ∴， ∴， ∴；所以③正确； ∴， 而， ∴，所以④错误． 【变式1-2】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，点、点分别是的边、上的点，连接并延长到，使得，若，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的判定和性质，可判断，设，，，由角平分线的定义可得， ， 可判断． 【详解】解：∵， ∴，故正确； ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∴， 又∵， ∴， ∴平分，故正确； 在延长线上取点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 设，，， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵ 平分， ∴， ∴， 即， 将代入，得， 解得， ∴，故不正确． 类型二、利用平行线的性质求多解题 方法总结 1. 分类讨论：根据两直线的位置关系（平行或相交）以及所给角是同位角、内错角还是同旁内角，分情况建立方程。 2. 方程求解：利用平行线性质列出角的等量或互补关系，解方程得到多组解，检验是否符合图形合理性。 解题技巧 1. 画图辅助：画出两种可能的图形（如内错角相等或同旁内角互补），直观列式。 2. 检验取舍：求出角度后，代入原图形验证是否满足几何特征（如角度大于0°且小于180°），舍去不合题意的解。 例2．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，固定三角板不动，绕着点C转动三角板一周，已知M是边与所在直线的交点，当的度数为________时，． 【答案】或 【分析】分在上方、在下方两种情况进行求解即可． 【详解】解：如图，当在上方时， ∵， ∴； 如图，当在下方时， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或时，． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】10或15或25 【分析】易得，，分别判断出，，时的度数，根据的度数，列出方程求得t的值即可．画出相关图形，得到三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行时的情形是解决本题的易错点． 【详解】解：， ，， 设旋转t秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行， ①，如图2： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ②，如图3： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ③，如图4， 作， ， ， ， ， ， ， 解得：； ④若继续旋转，，如图5，此时超过，这种情况不存在． 综上：t的值为10或15或 故答案为：10或15或 【变式2-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 类型三、利用平行线的判定与性质证明与计算 方法总结 1. 判定与性质结合：先用判定定理（如同位角相等）证明两直线平行，再用性质定理（如两直线平行内错角相等）进行角度或线段计算。 2. 转化思想：将未知角通过已知平行关系转化为与已知角相等的角，或利用同旁内角互补建立方程。 解题技巧 1. 标等角：在图上标出由平行线产生的相等角或互补角，建立等量关系。 2. 方程法：设未知角为x，利用平行线性质列方程求解。 例3．（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据，得到，进而得到，即可证明； （2）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质得到，即可解题． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ， ， ． 【变式3-1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，．点P是射线上一动点（与点A不重合）．，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)的度数是_____________，的度数是_____________； (2)请说明； (3)当点P运动到使时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，，可得，由角平分线的定义得出，即； （2）由，可得，，进而可得； （3）由，，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴，即. （2）证明： ∵， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴，即， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 类型四、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 方法总结 1. 等量代换：利用平行线性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）将所求角转化为已知角或与已知角的关系式。 2. 动态分析：当图形中的点或线运动时，分析平行关系的变化，找出角度间的不变量或变化规律。 解题技巧 1. 设参数：设一个角为x，用x表示其他相关角，建立方程或函数关系。 2. 构造辅助线：过拐点作已知直线的平行线，将分散的角集中到同一条平行线上。 例4．（25-26七年级下·全国·期中）已知三角形和在同一平面内的点． (1)如图①，点在边上，过点作交于点，交于点． ①根据题意，在图①中补全图形； ②判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，点在的延长线上，，．判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②．理由见解析； (2)．理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的综合证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）①根据题干描述，补全图形；②根据平行的性质得到两角相等； （2）根据“两直线平行，同位角相等”得出角相等，再通过角相等和“内错角相等，两直线平行”得出平行． 【详解】（1）解：①补全的图形如图①所示． ②．理由如下： ∵，， ，， ； （2）解：．理由如下： 如图②，延长交直线于点． ， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【变式4-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知：四边形中，，，D为射线上一动点，连接，交直线于点M，作的角平分线与的角平分线所在直线交于点N． (1)如图1，当D在线段上时，小芳将和的部分对应角度记录如下表：           ①请将上表补全； ②猜想和的数量关系，并说明理由． (2)当D点在延长线上运动时，在图2和图3中补全图形；分别写出和的数量关系． 【答案】(1)①见表格；② (2)如图2：；如图3： 【分析】（1）①根据表中数据变化规律可得结论； ②利用平行线的性质和角平分线的定义求解即可； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①根据表格数据，每增加，减少， ∴当时，， 当时，， 补全表格如下表：           ②猜想：． 理由：如图1，过N作，则， ∴，， ∴， 同理，， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：如图2，过N作，则， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 如图3：过N作，则， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． 【变式4-2】（25-26七年级下·江苏·期中）如图1．，点，点分别在射线，上，且． (1)求证：； (2)连接，作，交于点，作的平分线交于点F（如图2），将沿方向水平向右平移． ①在的移动过程中，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的数量关系，并证明；若变化，试说明理由； ②当运动到时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①不变，∠AEB=2∠ACB，证明见解析 ②见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得，又，可得，再根据同旁内角互补，两直线平行，即得答案； （2）①根据两直线平行，内错角相等，可得，又，所以，再根据三角形的外角性质，即得，故与之间的数量关系不变；②先证明，所以，结合，所以，然后利用得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）①解：与之间的数量关系不变，．理由如下： ， ， ， ， ． ②证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 类型五、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 方法总结 1. 识角定位：先确定三角尺各角的度数（30°、60°、90°或45°、45°、90°），再分析其边与已知直线的平行关系。 2. 性质转化：利用平行线性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补），将三角尺的角度与已知角建立等量或互补关系。 解题技巧 1. 画图辅助：在图上标出三角尺的已知角度，并画出平行线，直观寻找角的关系。 2. 方程求解：设未知角为x，根据平行线性质列方程，结合三角尺特殊角求解。 例5．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值是20或； (3)或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的应用等知识，也体现了数形结合的思想，读懂题，熟悉条件，理解题意是解题的关键． （1）根据角的和与差即可解答； （2）分两种情况：在的左边和右边，根据列方程即可解答； （3）分情况画出图形，根据两直线平行内错角相等列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图①，，， 如图②，当时，；    故答案为：，； （2）解：分两种情况： ①如图1，当在的左边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的右边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是20或； （3）解：如图，由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图：由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或． 【变式5-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）2025年1月29日（大年初一）晚上8时广州市白鹅潭上空举行了一场盛大的无人机灯光秀，此次活动以白鹅潭大湾区艺术中心为烟火背景，融入了2025架无人机表演、灯光秀、视频投影等内容，结合珠水鹅潭一江两岸城市景观，展示广州活力繁华的城市景象，成为今年春节期间广州最令人瞩目的焦点盛事．在一次无人机表演中，两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道和上的、两点． 无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从方向开始绕点顺时针匀速旋转，当转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，然后速度不变再次绕点顺时针匀速旋转到，光束甲每次转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，依次进行直到表演结束． 无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从方向开始绕点顺时针匀速转向方向．两光束旋转的初始速度之和为/秒． (1)如图1，若甲、乙两光束旋转的初始速度为，光束乙先转动后，光束甲才开始转动，请问两光束同时旋转多少秒后首次平行？ (2)如图2，若，两光束以（1）中的速度同时旋转秒（光束甲尚未第一次到达前），两光束交于点，过作于点．探究与之间的数量关系． (3)若甲、乙两光束开始时以的初始速度同时旋转秒（光束乙尚未第一次到达前），是否存在实数使得两光束所在直线互相垂直，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2) (3)或或或或 【分析】（1）由题意可得甲、乙两光束速度为/秒和/秒，然后根据平行线的性质列方程求解； （2）可证明交点在右侧，过点E作，由题意得，，由平角的定义可得，则；由垂线的定义可得，由平行线的性质可得，则可得，据此可得结论； （3）分解析中的六种情况，根据平行线的性质与判定和垂线的定义，结合方程思想推理计算即可． 【详解】（1）解：∵甲、乙两光束旋转的初始速度为，两光束旋转的初始速度之和为/秒， ∴甲、乙两光束速度为/秒和/秒， 乙先转动所需的时间为：（秒）， 延长交于点 设两光束同时旋转时间为秒， 由题意可得， ∵， ∴ ∴，解得：， ∴两光束同时旋转秒后首次平行； （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∵甲、乙两光束的速度分别为/秒、/秒， ∴相同时间内甲光束转过的角度比乙光束转过的角度大， ∴交点在右侧， 如图2所示，过点E作， 由题意得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：∵甲、乙两光束旋转的初始速度为，两光束旋转的初始速度之和为/秒， ∴甲、乙两光束速度为/秒和/秒， ∴乙光束第一次到达时的时间为秒，则， 由题意，甲第一次到达处的时间为秒，此时乙光束转动， 甲第一次从返回时的速度为/秒，甲第一次返回到的时间为秒，此时乙光束转动， 甲第二次到达处的时间为秒，此时乙光束转动， 甲第二次从返回时的速度为，第二次返回到的时间为秒， 当两束光线所在的直线有交点时，设该交点为点E， 分以下情况： ①如图3-1所示，光束甲尚未第一次到达时， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得； ②如图3-2所示，当光束甲从第一次返回的过程中， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴， 解得； ③如图3-3所示，当光束甲从第一次返回的过程中， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴， 解得； ④如图3-4所示，当光束甲第二次从转到的过程中， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴， 解得； ⑤如图3-5所示，当光束甲第二次从返回的过程中， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴， 解得； ⑥如图3-6所示，当光束甲第二次从转到的过程中， 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得（舍去）； 综上所述，t的值为或或或或． 【变式5-2】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯射出的光束从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，灯射出的光束从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒，，满足．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：______，_______，______； (2)若灯射出的光束先转动15秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前（即灯转动角度小于），灯转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时开始转动，在灯射出的光束到达之前（即灯转动角度小于），若两灯射出的光束交于点，过作，交于点，在转动过程中，的度数保持不变，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)不变， 【分析】本题考查了角的和差，非负数的和为零，平行线的性质，一元一次方程的应用等； （1）由二非负数的和为零得，，求出、，再由补角的定义，即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当时，由平行线的性质可得 ，得出一元一次方程，即可求解；②当时，同理可求； （3）由角的和差得，，，即可求解； 能熟练利用角的和差表示出所求的角及一元一次方程求解，同时能由边的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ， ， ， ， ， ， 解得：； ②当时，如图2， ， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或时，两灯的光束互相平行． （3）解：和关系不会变化． 理由如下：设灯A射线转动时间为t秒， ，， ， 又，， ， ， 又， ， 即， 和关系不会变化． 类型六、利用平行线的判定与性质解决拐点问题 方法总结 1. 过拐点作平行线：在拐点处作已知直线的平行线，将分散的角集中到新平行线上。 2. 角度转化：利用平行线性质（内错角相等、同旁内角互补），将拐角拆分为几个已知角的关系，建立方程求解。 解题技巧 1. 设元列式：设未知角为x，通过平行线性质表示其他角，列方程求解。 2. 双线模型：若有两个拐点，分别作平行线，利用角的传递性建立关系。 例6．（25-26七年级下·新疆·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)当在延长线时，；当在延长线时， 【分析】（1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）解：， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）解：当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 【变式6-1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ______，______， 又____________， ______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知交于点，求的度数． （3）如图3，若，点在外部，请直接写出之间的关系． 【答案】（1）；；；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）过点A作，，从而利用平行线的性质可得，，根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【详解】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵∵平分， ∴ 又，， ∴ ， 故④正确． 综上所述，正确的选项①②④共3个， 故选：C． 二、填空题 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有______（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时停止运动，则当运动时间_____秒时，两块三角尺有一组边平行． 【答案】或或 【分析】本题考查平行线的性质，角度的和差，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分别对线段，线段，线段套路，可知总共有三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】解：在起始位置时，，，， 整个运动时间为， 对于线段： ①当时，如图，三角尺旋转到三角尺处， 则， ∴， ∵， ∴， ∴∠， ∴； ②当时，如图，三角尺旋转到三角尺处， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与在同一直线上， ∴， ∴， ∴； 对于线段，只有一种情况： 当时，如图，三角尺旋转到三角尺处， 则， ∴， ∴； 对于线段，不存在； 综上，当运动时间秒或秒或秒时，两块三角尺有一组边平行． 故答案为：或或． 三、解答题 5．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，，，，， (1)问直线与有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质定理，关键在于熟练运用平行线的判定定理和性质定理． （1）由题意推出，结合，推出，得到，根据“内错角相等，两直线平行”即可推出； （2）根据（1）推出的结论，推出，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到，根据角的和差关系从而求得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， 又， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 度数为． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，的平分线交于点F，． (1)如图1，判断与是否相等，并说明理由； (2)如图2，平分，，求的度数； (3)如图3，过点D作，交于点．线段上有一点P，点M在射线上，，且满足，求的值． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理； 根据得，再根据平分得，由此即可得出答案； 根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到； 依题意有以下两种情况：①当点M在线段上时，②当点M在的延长线上时，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1），理由如下： ， ， 的平分线交于点F， ， ； （2）， ， 的平分线交于点F， ， ， ，， ， 平分， ， ， ； （3）依题意有以下两种情况： ①当点M在线段上时，如图3①所示： 设，则， ， 设，则， ， ， ， ， 由的结论得：， 在中，， ， ， ， ， ； ②当点M在的延长线上时，如图3②所示： 设，则， ， 设，则， 同理可得：， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的值为或 7．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)①，；②的大小不变，是 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，则有C，B，D共线，然后根据角平分线的定义可得，，进而问题可求解； （2）①过点C作，则有，由题意易得，然后可得，，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；②设，同理①可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴C，B，D共线， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：①如图，过点C作， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ②不改变，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的大小不变，是． 8．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． AI (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当当转到之前时，构建方程即可解决问题．当落在射线上时返回，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， 当转到之前时 ， ， ， ， ， ， 当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 在旋转过程中，若边，t的值为或； ②当转到之前时 绕点B旋转，平分的角平分线， ， ； 绕点E旋转，平分 ， 当时 ∵ ∴ 即 解得：；      当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 如图 ，， 当时 ， ∵ ∴， ∵ 即 解得：； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平行线的判定和性质期中复习压轴题 目录 典例详解 类型一、平行线的判定和性质多结论问题 类型二、利用平行线的性质求多解题 类型三、利用平行线的判定与性质证明与计算 类型四、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 类型五、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 类型六、利用平行线的判定与性质解决拐点问题 压轴专练 典例详解 类型一、平行线的判定和性质多结论问题 方法总结 1. 逐项验证：对每个结论，结合已知条件，利用平行线的判定（同位角、内错角、同旁内角）或性质进 行独立推导。 2.反例排除：对于不一定成立的结论，尝试构造特殊图形或改变角度位置，验证其是否必然成立。 解题技巧 1.标注图形：在图上清晰标出已知角及由平行产生的相等角或互补角，直观发现关系。 2.逻辑链推理：从已知条件出发，逐步推导相关角的关系，形成完整推理链。 例1.（24-25七年级下·河南焦作期中)如图所示，下列推理①若∠1=∠2，则AB∥CD;②若AD∥BC, 则LC=∠5；③若AB∥CD,则LA+∠4+∠1=180°；④若∠C+LA=180°，则AD∥BC;⑤若AB∥CD, 则∠1=∠3；⑥若∠3=∠4，则AD∥BC.正确的选项是() D 5 A.①②⑥ B.②③⑥ C.①③④ D.①③⑥ 【变式1-1】(24-25七年级下·浙江绍兴期中)如图，AB∥CD,OE平分∠B0C,0F⊥0E,OP⊥CD, 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AB0=30°.则下列结论：①∠B0E=70°，②0F平分∠BOD,③LP0E=∠B0F,④LP0B=2LD0F.其 中正确的个数为() P A.4 B.3 C.2 D.1 【变式1-2】(24-25七年级下·辽宁鞍山期中)如图，点D、点E分别是ABC的边AB、AC上的点，连 接DE并延长到F,使得∠ACF=∠A,若∠B=∠F,∠AED比∠ACB的余角小20°，G为线段BC上一动 点，H为BG上一点，且满足∠GEH=∠GHE,EI为LAEG的平分线.下列结论：①AB∥CF;②DF∥BC ;③EH平分∠DEG;④∠A+∠F=145°；⑤∠IEH=17°.其中结论正确的序号是() A.①②③④⑤ B.①②③④ C.②③④ D.①⑤ 类型二、利用平行线的性质求多解题 方法总结 1.分类讨论：根据两直线的位置关系（平行或相交）以及所给角是同位角、内错角还是同旁内角，分情 况建立方程。 2.方程求解：利用平行线性质列出角的等量或互补关系，解方程得到多组解，检验是否符合图形合理性 解题技巧 1.画图辅助：画出两种可能的图形（如内错角相等或同旁内角互补），直观列式。 2.检验取舍：求出角度后，代入原图形验证是否满足几何特征（如角度大于0°且小于180°），舍去不 合题意的解。 例2.(24-25七年级下·河南驻马店期中)一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，固定三角板ABC不动， 绕着点C转动三角板CDE一周，已知M是边AB与DE所在直线的交点，当∠BMD的度数为 时， DE∥BC. 2/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M ◇ BE C 【变式2-1】(24-25七年级下·安徽宿州期中)如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与A'C'边 重合，∠BAC=45°，∠DAC=30°.接着如图2，三角板ABC绕着点C(点C不动)按逆时针（如图标示方向） 旋转，旋转速度为α°/秒；三角板ACD绕着点C(点C不动)按顺时针（如图标示方向）旋转，旋转速度为 b°/秒，且a、b满足(a-1)2+b-2=0,在旋转的过程中，∠ACA'逐渐增大，当∠ACA'第一次等于90°时， 停止旋转，在此旋转过程中，旋转秒时，三角板ACD有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行. 图1 图2 【变式2-2】(25-26八年级上陕西西安期末)将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，AC边重合， ∠BAC=45°，∠DAC=30°.保持三角尺ABC不动（如图2），将三角尺ACD绕着点C顺时针转动90°后停止. 在转动的过程中，当三角尺ACD有一条边与三角尺ABC的一条边恰好平行时，∠ACA'的度数为 图1 图2 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、利用平行线的判定与性质证明与计算 方法总结 1.判定与性质结合：先用判定定理（如同位角相等）证明两直线平行，再用性质定理（如两直线平行内 错角相等)进行角度或线段计算。 2.转化思想：将未知角通过已知平行关系转化为与已知角相等的角，或利用同旁内角互补建立方程。 解题技巧 1.标等角：在图上标出由平行线产生的相等角或互补角，建立等量关系。 2.方程法：设未知角为x,利用平行线性质列方程求解。 例3.(2425七年级下·河北沧州期中)如图，在ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D、G在AB 上，DF∥AC,且∠CDF+∠CEG=180°. G (I)猜想EG与CD的位置关系并证明； (2)若EG⊥AB,DF平分LBDC,求∠A的度数 【变式3-1】(24-25七年级下·辽宁丹东期中)如图，AM∥BN,∠A=64°.点P是射线AM上一动点（与 点A不重合).BC,BD分别平分∠ABP和LPBN,分别交射线AM于点C,D. AC P DM B (I)LABN的度数是 ∠CBD的度数是 (2)请说明∠APB=2∠ADB; (3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，直接写出∠ABC的度数. 【变式3-2】(24-25七年级下·河南洛阳期中)如图1，M为射线BA上一点，∠ABC=a,∠AMN=B(a>B】 根据以上条件解答下列问题： M M 图1 图2 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若a=120°，B=45°，∠CBD=75°，求证：BD∥MN. (②)如图2，点E在BC上，过点E作PQ∥MN.求∠BEQ的度数.（用含a和B的代数式表示） (3)在(2)的条件下，过点E作射线EF1BC,若a=105°，B=45°，直接写出∠FEP的度数， 类型四、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 方法总结 1.等量代换：利用平行线性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）将所求角转化为己知角或与已知 角的关系式。 2.动态分析：当图形中的点或线运动时，分析平行关系的变化，找出角度间的不变量或变化规律。 解题技巧 1.设参数：设一个角为x,用x表示其他相关角，建立方程或函数关系。 2.构造辅助线：过拐点作己知直线的平行线，将分散的角集中到同一条平行线上。 例4.（25-26七年级下.全国期中)已知三角形ABC和在同一平面内的点D. B 图① 图② (I)如图①，点D在边BC上，过点D作DE∥BA交AC于点E,DF∥CA交AB于点F. ①根据题意，在图①中补全图形： ②判断∠EDF与∠A之间的数量关系，并说明理由； (②)如图②，点D在BC的延长线上，DF∥CA,∠EDF=∠A,判断DE与BA之间的位置关系，并说明理由. 【变式4-1】(24-25七年级下·浙江温州期中)己知：四边形A0BC中，BC∥0A,0B⊥0A,D为射线 OB上一动点，连接AD,DM∥AC交直线BC于点M,作∠OAD的角平分线AN与∠BMD的角平分线 MN所在直线交于点N. D 图 图2 图3 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，当D在线段OB上时，小芳将LCAD和LANM的部分对应角度记录如下表： ∠CAD 80° 90° 100° 110° ∠ANM 50° 45° 40° ①请将上表补全： ②猜想∠CAD和∠ANM的数量关系，并说明理由 (2)当D点在OB延长线上运动时，在图2和图3中补全图形；分别写出LCAD和∠AWM的数量关系. ∠CAD 80° 90° 100° 110° ∠ANM 50° 45° 40° 350 【变式4-2】(25-26七年级下江苏期中)如图1.AM∥BN,点D,点C分别在射线AM,BN上，且 LBAD=∠BCD. D M D M B C N B F N 图1 图2 (1)求证：AB∥DC: (②)连接AC,作∠EAC=∠DAC,AE交BN于点E,作∠BAE的平分线AF交BN于点F(如图2)，将CD 沿AM方向水平向右平移. ①在CD的移动过程中，∠AEB与∠ACB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的数 量关系，并证明；若变化，试说明理由； ②当CD运动到LACD=LAFB时，求证：∠FAE=LACB. 类型五、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 方法总结 1.识角定位：先确定三角尺各角的度数(30°、60°、90°或45°、45°、90°)，再分析其边与已知 直线的平行关系。 2.性质转化：利用平行线性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补），将三角尺的角度与己知角建立 等量或互补关系。 解题技巧 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1. 画图辅助：在图上标出三角尺的己知角度，并画出平行线，直观寻找角的关系。 2.方程求解：设未知角为x,根据平行线性质列方程，结合三角尺特殊角求解。 例5.(24-25七年级上江苏盐城期末)将一副三角板按如图①放置.在ABC中，∠C=90°， ∠BAC=30°，在ADE中，∠E=90°，∠DAE=45°，点C、A、E在同一条直线上.现ADE保持不动， 将ABC绕点A以每秒钟6°作顺时针旋转，旋转时间为t秒. B A 图① 图② (I)如图①，∠BAE=-,如图②，当1=5时，∠CAD=- (②)在旋转过程中，若0<1≤25，当∠BAE=2∠CAD时，求t的值； (3)在ABC绕点A旋转过程中，若ADE同时以每秒2°的速度绕点A顺时针旋转，且0<1≤60，当 BC∥AD时，请直接写出t的值. 【变式5-1】(24-25七年级下·广东广州期中)2025年1月29日（大年初一）晚上8时广州市白鹅潭上空 举行了一场盛大的无人机灯光秀，此次活动以白鹅潭大湾区艺术中心为烟火背景，融入了2025架无人机表 演、灯光秀、视频投影等内容，结合珠水鹅潭一江两岸城市景观，展示广州活力繁华的城市景象，成为今 年春节期间广州最令人瞩目的焦点盛事.在一次无人机表演中，两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道AB 和CD上的M、N两点(ABCD). 无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从MC方向开始绕M点顺时针匀速旋转，当转到MD方 向后立即以当前速废的倍匀速逆时针转回到VC,然后速度不变再次绕M点颗时针匀速旋转到MD,光 甲每次转到MD方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到MC,依次进行直到表演结球 无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从B方向开始绕N点顺时针匀速转向NA方向，两光 束旋转的初始速度之和为8°/秒， A N B A NF B A N B B M D C M D D 图1 图2 备用图 (1)如图1，若甲、乙两光束旋转的初始速度为5：3，光束乙先转动30°后，光束甲才开始转动，请问两光束 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同时旋转多少秒后首次平行？ (②)如图2，若∠NMD=60°，两光束以(1)中的速度同时旋转t秒（光束甲尚未第一次到达MD前），两光 束交于点E,过E作EF⊥AB于点F.探究∠NME与∠NEF之间的数量关系 (3)若甲、乙两光束开始时以3：1的初始速度同时旋转t秒（光束乙尚未第一次到达NA前），是否存在实数t使 得两光束所在直线互相垂直，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由。 【变式5-2】(24-25七年级下·湖北十堰期中)“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起 见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射 出的光束AA'从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转，灯B射出的光束BB'从BP开始顺时针旋转至 BQ便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是☑度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，Q, b满足a-2+(b-12=0.假定主道路是平行的，即PQ∥MN,且LBAM:∠BAN=2:1. B B D M 图1 图2 (1)填空：a= ,b= ,∠BAN= (2)若灯B射出的光束BB'先转动15秒，灯A射出的光束AA'才开始转动，在灯B射出的光束BB'到达BQ之 前（即灯B转动角度小于180°），A灯转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时开始转动，在灯A射出的光束AA'到达AN之前（即灯A转动角度小于180°），若两灯 射出的光束交于点C,过C作∠ACD=120°，交PQ于点D,在转动过程中，∠ACD的度数保持不变，请探 究∠BAC与LBCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由， 类型六、利用平行线的判定与性质解决拐点问题 方法总结 1. 过拐点作平行线：在拐点处作已知直线的平行线，将分散的角集中到新平行线上。 2.角度转化：利用平行线性质（内错角相等、同旁内角互补），将拐角拆分为几个已知角的关系，建立 方程求解。 解题技巧 1.设元列式：设未知角为x,通过平行线性质表示其他角，列方程求解。 8/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.双线模型：若有两个拐点，分别作平行线，利用角的传递性建立关系。 例6.(25-26七年级下，新疆期中)问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求 ∠APC度数.小明的思路是：过P作PE∥AB,如图2，通过平行线性质来求∠APC. B M 图1 图2 图3 各用图 (1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为； 问题迁移： (2)如图3，AD∥BC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠C, ∠BCP=LB,则∠CPD、∠a、∠B之间有何数量关系？请说明理由； (3)在(2)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你判断 ∠CPD、La、∠B间的数量关系并证明. 【变式6-1】(25-26七年级上山西临汾期末)【课题学习】平行线的“等角转化”. 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB,AC,求LBAC+∠B+∠C的度数， 图1 图2 图3 解：过点A作ED∥BC, ∠B=,LC=, 又： +∠BAC+=180°， :∠B+LBAC+LC= 【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，,∠B,∠C“凑”在一 起，得出角之间的关系，使问题得以解决。 【方法运用】 (2)如图2，已知AB∥CD,BE,CE交于点E,∠BEC=80°，∠C=20°，求∠B的度数. (3)如图3，若AB∥CD,点P在AB,CD外部，请直接写出LB,LD,∠BPD之间的关系. 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式6-2】(25-26七年级上江苏南京·期末)解决问题 ① 2 (I)如图①，AB‖CD,∠ABD与LCDB的角平分线相交于点P,求∠P的大小： (2)如图②，ABII CD,∠F-∠E=6°，∠ABE与LCDF的平分线相交于点P,求∠P的大小： (3)如图，AB‖CD,∠E=a,∠F=B,∠G=Y,∠ABE与LCDG的角平分线相交于点P,则∠P=-:(用 a,B,Y的代数式表示) (④)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论， 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级下·甘肃武威期中)探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处 发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线0B、OC经反射后沿着与PO平行的方向射 出，已知LAB0=42°，∠DC0=68°，则∠B0C等于() A.138° B.1209 C.112 D.110° 2.(25-26八年级上·安徽安庆期中)如图，AB‖CD,PG平分∠EPF,∠A+∠AHP=180°，下列结论：① CD‖PH;②LBEP+LDFP=2LEPG;③LFPH=LGPH;④若∠BEP>∠DFP,则 ∠BEP-∠DFP=2LGPH,其中正确结论的个数是() 10/13