云南昭通市第一中学等学校2026届高三下学期4月联考数学试卷

■口口■口口■口口■口口 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求) 题号 1 2 4 5 6 8 答案 马 C A C A D A D 【解析】 1.:在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2，-√)，z=√-√5i,故选B. 2.小明选择骑行的概率为1 故选c 2_3 3.sin(π+)=-sina= 3 ,故选A 4.抛物线y=3x2的标准方程为：x2= ，故抛物线y=3x的焦点坐标为02) 故选C. 5.由a2>3,可得a>5或a<-√3，“a>5或a<-√5”不能推出“a>√5”，而“a>√5” 能推出“a>√5或a<-5”,.“a>√5”是“a2>3”的充分不必要条件，故选A. 6,y2a引om个+1，振是1，制相是，选D. 7.由题意得，函数f(x)=√x-a,定义域为x∈[0，+of)=V-ax1=1-a, f'(= 2a,则f0=分a,切线方程为y-1-a)(日a小cx-),因切线过点6，)。 代入得5-1-0)-（日Q3-0,解得a=-山，故选A 8.取AC的中点O,连接BO,DO,.DO⊥AC,BO⊥AC,DO∩BO=O,∴.DOB为二 面角D-AC-B的平面角，∠DOB=牙，取BC,BD的中点MN连接OMON,QX 则OM∥AB,MN∥DC,所以∠OMN或其补角是异面直线AB与CD的夹角.设AB=a, 数学参考答案·第1页（共8页） ■口口■口口■口口■口口 则oM=N=分0D-0B- ,∠DOB= 2 可得ON 2π a,由余弦定理可得， 4 3 cos∠OMN=4,故选D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABD ACD BC 【解析】 9.平面向量a=4,2),b=(-2,3),所以a+b=1-2,2+3)=(-1,5),|a非√P+2=5, 4a-5b=41,2)-5(-2,3)=14,-7),(4ā-5b)·a=14-2×7=0,所以(4a-5b)⊥a, -7≠28，所以C不对，故选ABD. 10.因为sinB=Sin2A,所以sinB=2 2sinAcsA,由正弦定理可得b=2 eacosA,又b=5。 2a, 所以csA=5,nA=看-c0sA=匹，如B=2 2sinAco A-5 4 4 4 .因为b<a,所以 B<A<受放easB=V厂simB-子，cC=oa-A-B)=-coA+B=sinAsin B cos AcosB= =cOsA,所以A=C,故选ACD. 4 I1.设双曲线的右焦点为P,因为2到FB7引FM,所以FB叶PB.又FB-FB卧2a, 解得1FB片。，1F卧a,因为Nm于，所以∠FBFr-背由余弦定程得 …50225 4,则双 曲线的渐近线方程为y=士x=±，！< ”x,25 ,所以y=与双曲线C有两个交点.假 a 5 lyal yal 设△ABF的内心在x轴上，则有∠AF0=∠BM0,☆FB,直线AB过坐标原点O, 所以|yAHya|,即需要|FA日FB|,矛盾，故选BC. 数学参考答案·第2页（共8页） ■口口■口口■口口■口口 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 x2k-≤≤2km- 【解析】 由已知可得A=+2x+经ke2, 12. B={x|2km-π≤x≤2kL,k∈Z,所以 13.由题意可得，a=1,设公比为9，则q2+9=1,S,+S2=1+q+92+q3+9+1+9 =3+q2+q=4. 14.由题意，f)=61n+2a,f)=30nx+2ax有2个极值等价于f)有2个变号零点 令g)=6n+2a,g(=61-n9,当0<x<e时，g(>0,g)单调递增；当x>e x2 时，8'(x)<0,8(x)单调递减，当x→0时，f'(x)→-0，当x→+∞时，f'(x)→2a, r2a<0 f@名2a,g+20解得-子a<0放a的以值范周是（月 e e 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) (1)解：由数列{an}的前n项和Sn=kn2+n,a=19, a=S-S4=(25k+5)-16k+4)=9k+1=19, 解得k=2. ……（3分) 当n=1时，4=S=3;…(4分) 当n≥2时，an=Sn-Sn1=2n2+n-2(n-1)2-(n-)=4n-1,…(6分) 经验证，4=3满足上式，故an=4n-1.… …(7分) 数学参考答案·第3页（共8页） ■口口■口口■口口■口口 …………(10分) …(13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)由题意可得：x= =5, ……(2分) c--n i=1 -=27-25=2,同理可得2=2. n n …(5分) (2)(i)由(1)可得x-y=1, 当k=1.5,n=100时，k =0.3,…(8分） n 1>0.3,可认为甲算法显著优于乙.…(10分) (ii)由(i)可得 S+=0.2,k< =5 0.2 ……… (13分) 故k的最大整数值为4. (15分) 17.(本小题满分15分) 解：(1)A(-√3m,0,B(N3m,0),设P(x,), 21- 则kk2= 3m 2 x2-3mx2-3m 3m-3 (4分) 解得m=2.… …(6分) 数学参考答案·第4页（共8页） ■口口■口口■口口■口口 （a)设直线A:=布-6=，P,剥Q645 「x2,y2 联立 631 ,得：(2+3)y2-2√6y=0,… …(8分) x=0-V6 解得y= 26 2+3 5=y62-36 t2+3 因为BP,B0=4,即12C3)+48-12=4,解得1=5 2+3 …(11分) =SAON-SAmAn=6 4V626t 12+6 =65. t2+3 t(t+3) …(15分) 18.(本小题满分17分) (1)证明：如图，连接CD,E是BC的中点， 4 C 所以AD,∥EC,且AD,=EC,所以AD,CE为平行四 边形， 所以AE∥CD.… …(2分) AEa平面CDDC,CD,C平面CDD,C, 所以AE∥平面CDD,C.… …(4分) (2)解：因为底面ABCD是正方形，且AA⊥平面ABCD,所以AB,AD，,AA两两垂 直. 以A为原点，AB,AD,AA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， …(5分) 则E(4,2,0),A(0,0,3),D,(0,2,3), ∴.AA=(0,0,3),AE=(4,2,0),AD=(0,2,3). 设平面AAE的一个法向量为m=(x,yz), 数学参考答案·第5页（共8页） ■口口■口口■口口■口口 m·AA=0[3z=0 则 ,即取x=1,得m=1,-2,0). m·AE=04x+2y=0 …… ……（7分) 设平面DAE的一个法向量为n=(化，y,z), 则nAD=0.∫2y+32=0 即取=1，得n=（-2到) ……(9分) n·AE=04x+2y=0 设平面AAE与平面D,AE的夹角为B, 则cos日=lm·n 5 3√305 6 5× 61 sine=4V61 61 故平面平面AAE与平面D,AE夹角的正弦值为4y6 …(11分) 61 1 1 (3)解：设球0的半径为r,三校锥D-AAE的体积为V,4E=V:A4a=了x4×2×2Xx3=4, 2 1 5an-2X2x3-=3,5Me-2x25x3=3W5,5aEa=2x2x5=5, AD=√13，ED=5,AE=2N5,由余弦定理可得cOS∠DAE= 2 V65 防以auAE语m25x =√6i. √65 …(15分) 由等体积法可得， 1_S△AMD+S△ME+SAA0+S△M巴-8+3V5+V6而 3VD-AAE 12 …(17分) 19.(本小题满分17分) (1)(i)解：由题得，f(x)=e*sinx-x, ()-e(sinx-+co1'sin1. …(1分) …(3分) 所以f)在 上单调递增. …(4分) 数学参考答案·第6页（共8页） ■口口■口口■口口■口口 (i)解：存在x∈ 0 2 ase'sinx ,…(5分) 令Fe=e'sinx F'(x)= e*(sinx+cosx)x-e*sinx e*(xsinx+xcosx-sinx) x …(（7分） 由(i)可得sinx+cosx=V2sinx+ 4 ≥l,所以xsinx+xcOS.x-sinx≥x-sinx, 令G(x)=x-sinx,G'(x)=1-cosx≥0， 所以G(x)在 0 上单调递增，… (9分) G>G0=0,所以F()>0,所以F)在0,2 上单调递增， 存在x∈0， 使得fx)≥0成立，即a≤F()= 线上：52 ……(11分) (2)证明：当a=0时，令g(x)=f(x-x+ -=e*sinx-x+ 6 g'(x)=e*(sinx+cosx)-1+ 2 (12分) 令0=c6inx+cos)-1+号，hM闭=2ecos+x, t(x)=2e*cosx+x,t'(x)=2e*(cosx-sinx)+1. 令g(x)=2e*(cosx-inx)+1,p(x)=-4e*sinx≤0，…(14分) ∴.gx)在x∈[0，上单调递减，0)=3>0，pπ)=-2e”+1<0,， 所以3x∈(0，)，使得p(x)=0. 当x∈[0，x)时，m(x)>0,t'(x)>0,t(x)单调递增： 当x∈(x,时，x)<0,t'(x)<0,t(x)单调递减， 数学参考答案·第7页（共8页） ■口口■口口■口口■口口 t(0)=2>0,t(x)>t(0)>0,t(m)=-2e"+π<0， 所以x2∈(0，)，使得t(x2)=0. 当x∈[0，x)时，t(x)>0,h'(x)>0,h(x)单调递增， 当x∈(x2,时，t(x)<0,h(x)<0,h(x)单调递减， 0)=0,hx,)>h0)=0,h()=-e-1+ <-23-1+4 <-9+8<0, 2 所以x3∈(0，)，使得h(x)=0. 当x∈[0，x)时，h(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增： 当x∈(x,时，h()<0,g'(x)<0,g(x)单调递减， g(0)=0,g()= …………(16分) ∴·g(x)≥0，即对任意的x∈[0，，f(x)≥x- x ……(17分) 6 数学参考答案·第8页（共8页） 数学·双向细目表 题号 题型 分值 试题内容 难易程度 备注 1 选择 5 复数 0.99 2 选择 5 概率 0.99 3 选择 5 诱导公式 0.99 4 选择 5 解析几何 0.9 5 选择 5 不等式与逻辑用语 0.9 6 选择 5 三角函数的图象和性质 0.8 7 选择 5 导数的几何意义 0.8 8 选择 5 立体几何 0.6 9 选择 6 平面向量 0.9 10 选择 6 解三角形 0.7 11 选择 6 解析几何 0.6 12 填空 5 集合的运算 0.9 13 填空 5 数列 0.8 14 填空 5 导数 0.3 15 解答 13 数列 0.85 16 解答 15 统计与恒成立 0.7 17 解答 15 解析几何 0.7 18 解答 17 立体几何 0.6 19 解答 17 含三角的导数 0.4 命题思想 达成目标 优秀率 及格率 平均分 8% 75% 105±5 按新高考2卷题型，结构命题，注重考查学生数学核心素养及综合应用数学知识的能力，意在引导学生回归基础，各模块占比贴近于24，25年全国卷。 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C A D A D 【解析】 1．∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是，，故选B． 2．小明选择骑行的概率为，故选C． 3．，故选A． 4．抛物线的标准方程为：，故抛物线的焦点坐标为，故选C． 5．由可得或，“或”不能推出“”，而“”能推出“或”，∴“”是“”的充分不必要条件，故选A． 6．∵函数，∴振幅是1，初相是，故选D． 7．由题意得，函数，定义域为，，则，切线方程为，因切线过点，代入得，解得，故选A． 8．取AC的中点O，连接BO，DO，，，，为二面角的平面角，，取BC，BD的中点M、N，连接OM，ON，MN，则，，所以或其补角是异面直线AB与CD的夹角. 设，则，，，可得，由余弦定理可得，，故选D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ABD ACD BC 【解析】 9．平面向量，，所以，，，，所以，，所以C不对，故选ABD． 10．因为，所以，由正弦定理可得，又，所以，，．因为，所以，故， ，所以，故选ACD． 11．设双曲线的右焦点为，因为，所以．又，解得，，因为，所以．由余弦定理得，所以，解得，则双曲线的渐近线方程为，，所以与双曲线有两个交点. 假设的内心在轴上，则有，，直线过坐标原点O，所以，即需要 ，矛盾，故选BC． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 【解析】 12．由已知可得，，所以． 13．由题意可得，，设公比为，则，. 14．由题意，，有2个极值等价于有2个变号零点. 令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，，当时，，，，解得故a的取值范围是． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） （1）解：由数列的前n项和，， 解得． ……………………………………………………………………………（3分） 当时，；…………………………………………………………………（4分） 当时，， ……………………（6分） 经验证，满足上式，故． ………………………………………………（7分） （2）证明：，  ……………………………（10分） ……………………………………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）由题意可得：，，  ……………………………………………………………………………（2分） ，同理可得． ……………………………………………………………………………（5分） （2）（i）由（1）可得， 当，时，，………………………………………………（8分） ，可认为甲算法显著优于乙．……………………………………………………（10分） （ii）由（i）可得 ，， ……………………………………………………………………………（13分） 故的最大整数值为4．  ……………………………………………………………（15分） 17．（本小题满分15分） 解：（1），，设， 则， …………………………………………………………………………………（4分） 解得．………………………………………………………………………………（6分） （2）设直线：，，则， 联立，得：，…………………………………………（8分） 解得，． 因为，即，解得 ………………………………………………………………………………………（11分） ． ………………………………………………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分） （1）证明：如图，连接，E是BC的中点， 所以，且，所以为平行四边形， 所以． ………………………………（2分） ，， 所以．…………………………………………………………………（4分） （2）解：因为底面ABCD是正方形，且平面ABCD，所以，，两两垂直． 以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ……………………………………………………………………………………（5分） 则，，， ，，． 设平面的一个法向量为， 则，，即取，得． ……………………………………………………………………………………（7分） 设平面的一个法向量为， 则，，即取，得．……………………（9分） 设平面与平面的夹角为， 则，， 故平面平面与平面夹角的正弦值为．………………………………（11分） （3）解：设球的半径为，三棱锥的体积为， ，，， ，，，由余弦定理可得， 所以，． …………………………………………………………………………………（15分） 由等体积法可得，． …………………………………………………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分） （1）（i）解：由题得，， 则， …………………………………（1分） ，，，所以，    ……………………………………………………………………………（3分） 所以在上单调递增． ……………………………………………………（4分） （ii）解：存在，，…………………………………………………（5分） 令，，     ………………………………………………………………………………（7分） 由（i）可得，所以， 令，， 所以在上单调递增，………………………………………………………（9分） ，所以，所以在上单调递增， 存在，使得成立，即， 综上： …………………………………………………………………………（11分） （2）证明：当时，令， ………………………………………………………（12分） 令，， 令，. 令，，………………………………（14分） 在上单调递减，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，………………………………………………………（16分） ，即对任意的，……………………………………（17分） 数学参考答案·第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚。 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效， 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟， 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求) 1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2，-√3)，则z= A.2+3i B.2-√3i C.√3+√2i D.5-2i 2.小明每周末都会在骑行和跑步中选择一个项目进行锻炼且只选择一项.如果选择跑步 的概率为，则小明选择骑行的概率为 B.2 c.5 D.1 3.已 3,，则sin(m+a)的值为 3 A. B. 3 C.- 6 √6 3 D.3 数学·第1页（共6页）》 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 4.抛物线y=3x2的焦点坐标是 Ao,到 B.4,0 co,司 D.(位 5.设a为实数，则“a>√3”是“a2>3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6丽数y=2a分+) 的振幅，初相分别是 A2,月 B1,哥 c2.号 D.1,3 7.已知函数f(x)=√-ax,若函数f(x)在点(1，f1)处的切线过点(3,5)，则a= A.-1 B.1 8.将正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，当二 面角D-AC-B为时，则异面直线AB与cD的夹角余弦值为 B号 n 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知平面向量a=(1,2),=(-2,3),则 A.a+b=(-1,5) B.Ial=√5 C.(4a-5b)∥a D.(4a-56)1a 数学·第2页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP ■口口■口口■口口口口□ 10.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2 a,sinB=sin2A,则 A.cos4=2 3 4 B.cosB=± 3 C.cosB= 4 D.A=C 2y2 1.已知双曲线C:。。=1(a,>0)的左焦点为R,过坐标原点0作直线与双曲线的 左、右两支分别交于A,B两点，且21历1=711，∠AFB=,则 A.1FB=50 4 B.双曲线C的离心率为 5 Cy=5与双曲线C有两个交点 D.△ABF的内心在x轴上 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设集合A={x|cosx≤0}，B={x|sinx≤0}，则AnB= 13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1=1,S,=2,则S2+S,= 14.已知函数f八x)=3(lnx)2+2ax有2个极值，则a的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}的前n项和Sn=km2+n,a5=19. (1)求an; (2)若数列}的前n项和为T,求证T,<位 la an+l 数学·第3页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 16.(本小题满分15分) 2026年3月，小马智行与如祺出行共建Robotaxi车队，无人驾驶技术逐步商业化落 地.甲、乙两种自动驾驶算法各进行n次紧急制动测试，反应时间（单位：秒）分别 为：1，，，，与，2，，已知含x=5n,含=4m,公=27n,含 =18n (1)求甲、乙两组数据的方差s、s; (2)若规定：当x->k 时，认为甲算法显著优于乙（其中k为判定系数）.若n n =100, (i)现取k=1.5,判断甲是否显著优于乙； (ⅱ)若要使“甲算法显著优于乙”成立，求k的最大整数值， 数学·第4页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(本小题满分15分) 已知椭圆C: 2y2 3m2=1(m>)的左、右顶点分州为A、B,P是C上异于A、B的一动 点，分别为直线PA、PB的斜案，且与=一了 (1)求m的值； (2)若直线AP与直线x=3V6交于点Q,且B丽·B0=-4,求△PQB的面积 18.(本小题满分17分) 如图，已知四棱台ABCD-A,B,C,D1,底面ABCD是边长为4的正方形，AA,⊥平面 ABCD,AA1=3,A,B1=2,E是BC的中点 (1)证明：A,E∥平面CDD,C1; (2)求平面A,AE与平面D,AE夹角的正弦值； (3)若球0与三楼锥D,-A,4E的所有面都相切，球0的半径为，求二 数学·第5页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP ■口口口口口■口口■口口 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=c'simr-ax,其中aeR. )xeo,引 (i)当a=1时，讨论f(x)的单调性； ()若存在x∈0，引，使得x)≥0成立，求a的取值范围； (2)当a=0时，证明：对任意的x∈[0，π]，fx)≥x- x 数学·第6页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP