精品解析：云南西南名校联盟2025-2026学年高三下学期5月联考数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】存在量词命题“，”的否定是全称量词命题“，”， 所以命题的否定为，． 2. 设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设有，即. 3. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的共线与否，即可结合选项逐一求解. 【详解】选项A，是零向量，零向量与任意向量共线，不能作为基底； B，，两向量共线，不能作为基底； C，，两向量共线，不能作为基底； D、，两向量不共线，可以作为基底. 4. 函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数是上的减函数，需要保证在各个区间段是减函数，并且满足在分段点处，断点左边在断点处的函数值要不小于右支函数在断点处的极限值． 【详解】因为是上的严格减函数，故 当时，必须严格单调递减，故，解得； 当时，，因为，故单调递减； 分段点为，，当时，， 故，解得； 综上，实数的取值范围是． 5. 若数据的标准差为，则数据的标准差为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知数据的标准差为， 由标准差的性质可知，的标准差为． 6. 太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，， 所以. 7. 若直线与双曲线有且只有一个公共点，那么双曲线的离心率为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得，故， 当，则，方程只有一个实数解，满足题设要求， 此时双曲线方程为，，； 当时，，此时， 此时双曲线方程为，，. 8. 已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数的中心对称性可得原函数的轴对称性，再结合指对数运算，进行估值可得，最后利用单调性即可作出判断. 【详解】由指数式化对数得：， ， ， 所以可得大小关系：， 已知：在上单调递增，且是奇函数， 由奇函数性质可得：， 即关于中心对称，则， 又因为单调递增：所以当时，，则在区间单调递减； 当时，，在区间单调递增； 即在处取得最小值， 再由导函数关于中心对称，可得原函数关于直线对称， 所以自变量距离越远，越大， 因为，， 所以，即 因此函数值大小为：. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 的最小值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，可判定A正确；根据与的关系式，求得，结合等差数列的定义，可判定B正确；由得到，当时，，求得的最小值为，可判定C错误；由选项C的分析，结合等差数列的求和公式，可判定D正确. 【详解】对于A，因为数列的前项和， 当时，可得，所以A正确； 对于B，当时，， 其中，适合上式，所以数列的通项公式为， 又因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以B正确； 对于C，由，令，即，解得， 所以数列满足：，，当且时，， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，由选项C的分析知：，，当且时，， 可得，所以D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为2 C. 函数关于对称 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简得函数，即可得周期和最值，将代入函数判断C；由于，根据余弦函数的单调性判断D. 【详解】函数 ， 所以函数的最小正周期为，最大值为，A、B正确； 当时，， 不是最值，C错误； 当时，， 因为余弦函数在上单调递增，D正确. 11. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 当时，的最小值为 C. 当时，在区间上单调递增 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用奇函数的定义判断即可；对于B，求导，分析函数的单调性，进而求解判断即可；对于C，求导，利用导数的正负即可判断；对于D，分、结合导数分析判断即可. 【详解】对于A，函数，， 则，故不是奇函数，故A错误； 对于B，当时，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故B正确； 对于C，当时，，则， 当时，， 则在区间上单调递增，故C正确； 对于D，由，， 当时，由，得，，则； 当时，由， 设，，则， 由，得，， 所以，则函数在上单调递增， 所以，则函数在上单调递增， 所以. 综上所述，当时，，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 椭圆的长轴长为________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据椭圆方程可得长轴长. 【详解】由椭圆，得，即，所以长轴长. 故答案为：. 13. 若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用任意角三角函数的定义得出角的正切值和余弦值，再结合二倍角的余弦公式即可求解． 【详解】由三角函数的定义得， 则， 所以. 14. 盒子中有2个红球，5个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并放入3个同色球，则前三次取出球的颜色不完全相同的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】由"前三次取出球的颜色不完全相同"的对立事件是"三次取出的球全为红球或全为黑球"，因此（不完全相同）（三次全红）（三次全黑）； 每次取球后增加3个同色球，总球数逐次加3个， 所以（三次全红） ， （三次全黑）， 则所求概率为：. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 15. 已知在中，角所对的边分别为为的角平分线，，，且． （1）求角A； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理边化角，再求解； （2）根据角平分线性质定理和余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为AD为的角平分线，所以， 所以， 又，所以， 所以 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，． （1）求证：平面； （2）若，求直线BD与直线MC所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，得到，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，由，求得，再由，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：在中，因为， 可得，所以， 因为，且，平面， 所以平面. 【小问2详解】 解：在中，因为， 可得，所以， 由（1）知：平面，平面，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设，可得， 因为，可得， 可得，解得，即，所以， 又由，可得 设异面直线与所成的角为， 可得. 17. 已知函数． （1）若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数 求导，再将 代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解 的值； （2）先求出函数 的定义域和导函数 ，然后根据判别式 的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，从而确定函数 的单调性. 【小问1详解】 已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ， 即 ，解得 . 【小问2详解】 由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 18. 已知点在抛物线上． （1）求抛物线C的方程； （2）设直线与抛物线C相交于M，N两点， （ⅰ）若，求实数k的值； （ⅱ）O为坐标原点，求外接圆圆心的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求解； （2）（ⅰ）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式列方程求解即可； （ⅱ）结合（ⅰ）可得，进而得到外接圆圆心为的中点，设的中点为，进而结合中点坐标公式求解即可. 【小问1详解】 将点代入，得，即， 则抛物线C的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设， 联立，得， 则， 且， 则， 则，解得. （ⅱ）由（1）知，，， 则 ， 所以，即为直角三角形，则外接圆圆心为的中点， 设的中点为， 则， 消去，得，则外接圆圆心的轨迹方程为． 19. 设，． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项式展开式，根据二项定理求解； （2）利用组合数性质进行变形，再求解； （3）利用组合数性质，进行变形求解. 【小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 由题可知，所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 当时，， 当时，， 其中， ， 所以 经验证满足上式， 综上 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若数据的标准差为，则数据的标准差为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与双曲线有且只有一个公共点，那么双曲线的离心率为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 8. 已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 的最小值为 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为2 C. 函数关于对称 D. 函数在区间上单调递增 11. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 当时，的最小值为 C. 当时，在区间上单调递增 D. 当时， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 椭圆的长轴长为________. 13. 若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则________． 14. 盒子中有2个红球，5个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并放入3个同色球，则前三次取出球的颜色不完全相同的概率为________． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 15. 已知在中，角所对的边分别为为的角平分线，，，且． （1）求角A； （2）求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，． （1）求证：平面； （2）若，求直线BD与直线MC所成角的余弦值． 17. 已知函数． （1）若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； （2）讨论的单调性． 18. 已知点在抛物线上． （1）求抛物线C的方程； （2）设直线与抛物线C相交于M，N两点， （ⅰ）若，求实数k的值； （ⅱ）O为坐标原点，求外接圆圆心的轨迹方程． 19. 设，． （1）求； （2）求； （3）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $