专题12 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题12 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 5 11 该模型并非源自某一特定历史文献或数学典籍，而是‌在中考数学命题实践中逐步总结形成的解题模型‌。并被一线教师和教研群体归纳为“逆等线”这一通俗名称。逆等线模型源于初中几何中的双动点最值问题‌，是解决“两条不相连线段相等且含动点”这类题型的典型方法，其核心思想是通过构造全等三角形实现线段转化，将复杂的双动点问题转化为可求解的折线段最短问题。 其理论基础可追溯到几何变换思想，如平移、翻折与旋转，通过构造SAS全等三角形，把原本分散的动线段“拼接”成共端点的路径，最终利用“两点之间线段最短”求解最值。这种思想也与“将军饮马”“胡不归”等经典模型一脉相承，体现了初中数学中“转化与构造”的核心思想。 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 （2026·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 【答案】 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵点与点关于对称，∴，，∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵，∴四边形为矩形， ∴，，∴，∴， ∴此时，即的最小值为． 逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 1）条件：已知在边长为a的正方形ABCD中，点E、F是边BC、CD上的动点，且满足CE=DF， 求BF+DE的最小值。 证明：①DE在△DEC中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点D作∠FDG=∠DCE=90°，且DG=DC=a；构造出△DEC≌△GFD ( SAS)；证出DE=FG； ③BF+DE=BF+FG，根据两点之间，线段最短，连接BG，则BG即为所求，此时，B、F、G三点共线； ④求BG。在三角形ABG中利用勾股定理求出BG即可。 2）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b；构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ③AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。在三角形AHG中利用勾股定理求出AG即可。 3）条件：已知在菱形ABCD中，AB=m，，点E、F是边AD、BD上的动点，且满足BF=DE， 求AF+CE的最小值。 证明：①CE在△CDE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EDC，且BG=CD=m；构造出△CDE≌△GBF ( SAS)；证出CE=FG； ③AF+CE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。再根源题中已知条件（角度和长度）运用勾股定理求出AG即可。 4）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边AB、BC上的动点，且满足AE=BF， 求DF+DE的最小值。 证明：①DE在△ADE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EAD=90°，且BG=AD=a；构造出△EAD≌△FBG ( SAS)；证出DE=FG； ③DF+DE=DF+FG，根据两点之间，线段最短，连接DG，则DG即为所求，此时，D、F、G三点共线； ④求DG。在三角形ADG中利用勾股定理求出BG即可。 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 例1（2025·福建南平·一模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，， ∴，，， ∵菱形， ∴，，， ∵，，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴，∴， 当三点共线时，此时取等于号，最小， ∵菱形，，∴，，∴为等边三角形，∴， ∵，∴，∵，，∴， ∴，，∵，∴， ∴三点共线，∴当三点共线时，重合， ∵，∴，即最小值为4．故答案为4 例2（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别为上的点，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在的延长线上截取点，使，连接，， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴的最小值为，故答案为：． 例3（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形，∴， °， 又∵，∴，∴，∴最小值等于最小值， 作点关于的对称点点，如图，连接，则、、三点共线，连接， 则与的交点即为所求的点，根据对称性可知，∴， 在中，，∴最小值为，故答案为：． 例4（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，． 四边形是菱形，，，， ，，，，， ，， ，， ，，的最小值为，故答案为． 例5（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，∴，∵矩形中，，， ∴，，， ∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点，∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，，∴， ∴，∴， 在中，，∴的最小值是，故答案为：． 例6（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为2，∴．， ∴．∴．∴． 在和中，，∴． ∴．∴．即．∴的最小值为．故答案为：． 例7（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，动点从点出发，沿方向匀速运动，运动到点时停止，同时另一个动点从点出发，以与点相同的速度沿方向匀速运动．点停止运动时点也停止运动，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，且，连接， 由题意，得：，∵正方形，∴，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在中，，∴的最小值为； 例8（24-25九年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，根据正方形的性质及，可得△DCE≌△ADF，则有， ，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′， 则AE=A ′E，即，当D、E、A′在同一直线时，最小，AA′=2AB=4， 此时，在Rt△ADA′中，DA′=，故的最小值为，故答案为：D． 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：连接，作点A关于的对称点H，连接，交于N，连接，如图所示： ∵四边形为菱形，∴，，∴， ∵，∴∴，∴是等边三角形， ∵点A，点H关于对称，∴，，∴， 又∵是等边三角形，∴，， ∴， ∵，，∴，又∵∴， ∴，∴， ∴当点F，点D，点H三点共线时，的最小值为的长， ∵，∴，∵，∴， ∴，即的最小值为4．故选：A． 2．（2025·山东淄博·二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接DE，根据正方形的性质及BE=CF，∴DF=CE，AD=CD， ∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE=AF，∴AE+AF=AE+DE， 作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE=A′E，即AE+AF=AE+DE=A'E+DE， 当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′=2AB=4， 此时，在Rt△ADA′中，DA′=，故AE+AF的最小值为．故选：C． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为5，∴．∵，∴． ∴．∴．∴． 在和中，，∴．∴． ∴．即．∴的最小值为．故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交的延长线于，连接， ∵正方形，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 当三点共线时最短，∵正方形边长为3， ∴，而，∴的最小值为：；故答案为： 5．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示： ∵四边形为正方形，∴，，，∴， ∵O为的中点，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴垂直平分，∴，∴， ∴当、E、G三点共线时，最小，即最小， ∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∴，∴最小值为．故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为8的菱形中，点为边上的动点，且，连接，若菱形面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，，， 则，，，∵，∴， ∵，，∴，解得：， ∴，， 在和中，∴（），∴， ∴，∴当点E在线段上时，取得最小值．故答案为：． 7．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，是矩形的顶点，点在边上、点在边上，且，当最小时，点坐标为_______． 【答案】 【详解】解：连接，取点关于对称点，连接，，与交于， ∵矩形中，∴，， 又∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∵点是点关于对称点，∴，，点，∴， ∴当、、三点在同一直线上时，最小，即与重合， ∵，，∴直线解析式为，当时，， 即当最小时，点坐标为．故答案为． 8．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，矩形中，，，点F是矩形内部一个动点，E在上，且，当时，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在上截取，连接，， 在和中，，∴， ∴，∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号， ∵，，∴，∵，∴， ∵四边形是矩形，，∴，， 在中，，∴的最小值为，故答案为：． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，点、分别是、上的动点，，连接、，则的最小值为 ． 【答案】17 【详解】解：在的延长线上取一点，是，连接，，如图所示： 四边形是矩形，且，， ，，，， 在和中，，， ，，当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：，的最小值为线段的长， 当点，，共线时，的值为最小，最小值为线段的长， 在中，，， 由勾股定理得：，的最小值是17．故答案为：17． 10．（2025·贵州毕节·二模）在边长为的正方形中，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴当三点共线时，最小，即有最小值为长，如图， ∴，∴最小值为，故答案为：． 11．（2025·陕西西安·二模）菱形中、，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在的下方作，使，连接，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∵， ∵，∴，∴， ∵，即，∴的最小值为,故答案为：． 12．（24-25九年级下·河南新乡·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形，∴，，，．． ，，．，， 当点、、共线时，最小，最小值为的长．最小值为． ，．在中，，， ．最小值为．故答案为：． 13．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，已知正方形的边长为6，O为对角线的交点，，分别是边，上的动点，且，连接，． （1）若射线，则 ；（2）的最小值为 ． 【答案】 / 【详解】解：（1）延长交于点，作于点， ∵正方形，∴，， ∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵正方形，∴，，∴，， ∴，∴，∴，∴； （2）解：延长交于点，延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示：由（1）得，∴，， ∵，∴，∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，∵O为的中点，∴， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∵，，∴垂直平分，∴，∴， ∴当、F、G三点共线时，最小，即最小， ∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∴，∴最小值为．故答案为：． 14．（24-25八年级下湖北武汉期中）菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，． (1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 【答案】(1)=，116(2)(3)75； 【详解】（1）解：∵菱形，∴和关于对称， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∴，即． ∴．故答案为：=；116． （2）解：在中，， 如图：连接，由对称性可知：，设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：，∴， 由（1）可知，．∴． （3）解：如图：过点D作，截取，连接． ∵菱形，∴，∵，∴为等边三角形，即， ∵菱形，∴垂直平分，∴， ∵，∴． 在和中，，∴．∴． 由于B、G两点为定点，E为动点，当点E在线段上时，最小，即最小． ∵，∴， 又∵，∴为等腰直角三角形，∴， 当最小时，．故答案为：75；． 15．（25-26八年级下·上海·月考）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1)的长为；(2)的最小值为； (3)灌溉水渠总长度的最小值为米． 【详解】（1）解：如图，∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴的长为； （2）解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点，∴是中位线，∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形，∴，，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，即最小值为，∴的最小值为； （3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，，∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴，米， ∴，，∴，即， ∵，∴，∴（米）， ∵，，， ∴，∴，∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图，∴， ∵，∴，∴，由勾股定理得：， ∴，∴， ∵为的中点，米，∴米，∴米，∴米， ∴（米），∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 16．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究（2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决（3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵，∴点P到的距离相等，∴点P在线段的垂直平分线上， ∴∴，当点共线时取得最小值， 此时，即的最小值为；故答案为： （2）∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴是等边三角形，， ∴，，∴，又∵，∴，∴； （3）∵，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴，连接，    ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，延长到点G，使得，连接，， ∵，∴点D和点G关于成轴对称，∴，∴， ∵，当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长， 在中，，∴， 即的最小值为，∴的最小值为． 18．（2025·吉林长春·三模）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：；（2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；[方法运用] ；[拓展迁移] 【详解】（1）证明：∵过点作，使，连接．∴． ∵，∴． （2）解：连接，过点F作，交延长线于点G．则． ∵，，∴． ∴．∴．∴． ∵，，∴． ∴．∴． ∵，∴．∴． ∴的最小值为．故答案为：． [方法运用]连接，设交于点O． ∵菱形中，，， ∴与都是等边三角形．∴．， ∵，∴．∴． ∴．∴的最小值是的长． ∵，∴．∴． ∴．∴的最小值是．故答案为：． [拓展迁移]过点A作，使，连接．则． ∵，∴．∴．∴． ∴的最小值是线段的长．∵，∴．∴． ∵等边中，，∴．∴． ∴的最小值是．故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 5 11 该模型并非源自某一特定历史文献或数学典籍，而是‌在中考数学命题实践中逐步总结形成的解题模型‌。并被一线教师和教研群体归纳为“逆等线”这一通俗名称。逆等线模型源于初中几何中的双动点最值问题‌，是解决“两条不相连线段相等且含动点”这类题型的典型方法，其核心思想是通过构造全等三角形实现线段转化，将复杂的双动点问题转化为可求解的折线段最短问题。 其理论基础可追溯到几何变换思想，如平移、翻折与旋转，通过构造SAS全等三角形，把原本分散的动线段“拼接”成共端点的路径，最终利用“两点之间线段最短”求解最值。这种思想也与“将军饮马”“胡不归”等经典模型一脉相承，体现了初中数学中“转化与构造”的核心思想。 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 （2026·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 1）条件：已知在边长为a的正方形ABCD中，点E、F是边BC、CD上的动点，且满足CE=DF， 求BF+DE的最小值。 证明：①DE在△DEC中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点D作∠FDG=∠DCE=90°，且DG=DC=a；构造出△DEC≌△GFD ( SAS)；证出DE=FG； ③BF+DE=BF+FG，根据两点之间，线段最短，连接BG，则BG即为所求，此时，B、F、G三点共线； ④求BG。在三角形ABG中利用勾股定理求出BG即可。 2）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b；构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ③AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。在三角形AHG中利用勾股定理求出AG即可。 3）条件：已知在菱形ABCD中，AB=m，，点E、F是边AD、BD上的动点，且满足BF=DE， 求AF+CE的最小值。 证明：①CE在△CDE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EDC，且BG=CD=m；构造出△CDE≌△GBF ( SAS)；证出CE=FG； ③AF+CE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。再根源题中已知条件（角度和长度）运用勾股定理求出AG即可。 4）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边AB、BC上的动点，且满足AE=BF， 求DF+DE的最小值。 证明：①DE在△ADE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EAD=90°，且BG=AD=a；构造出△EAD≌△FBG ( SAS)；证出DE=FG； ③DF+DE=DF+FG，根据两点之间，线段最短，连接DG，则DG即为所求，此时，D、F、G三点共线； ④求DG。在三角形ADG中利用勾股定理求出BG即可。 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 例1（2025·福建南平·一模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，上，且，连接，，则的最小值为 ． 例2（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别为上的点，，则的最小值为 ． 例3（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且，连接，，则的最小值为______． 例4（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ． 例5（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 例6（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 例7（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，动点从点出发，沿方向匀速运动，运动到点时停止，同时另一个动点从点出发，以与点相同的速度沿方向匀速运动．点停止运动时点也停止运动，连接、，则的最小值为 ． 例8（24-25九年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（  ） A． B． C． D． 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．6 2．（2025·山东淄博·二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是 ． 5．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为8的菱形中，点为边上的动点，且，连接，若菱形面积为，则的最小值为 ． 7．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，是矩形的顶点，点在边上、点在边上，且，当最小时，点坐标为_______． 8．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，矩形中，，，点F是矩形内部一个动点，E在上，且，当时，则的最小值为 ． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，点、分别是、上的动点，，连接、，则的最小值为 ． 10．（2025·贵州毕节·二模）在边长为的正方形中，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 11．（2025·陕西西安·二模）菱形中、，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 12．（24-25九年级下·河南新乡·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 13．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，已知正方形的边长为6，O为对角线的交点，，分别是边，上的动点，且，连接，． （1）若射线，则 ；（2）的最小值为 ． 14．（24-25八年级下湖北武汉期中）菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，．(1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度．(2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求．(3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 15．（25-26八年级下·上海·月考）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 16．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究（2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决（3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 18．（2025·吉林长春·三模）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：；（2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $