专题08 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题08 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 24 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 33 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 42 9 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，故答案为： （2024·西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】米 【详解】解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 1）将军饮马模型 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧 图（5） 图（6） 图（7） 图（8） 模型（5）（两点都在直线外侧型） 如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（6）（直线内外侧各一点型） 如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（7）（两点都在直线内侧型） 如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军遛马与过桥模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 图3 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值，由轴对称的性质可得：，， ，，，， 在中，根据勾股定理可得：，即：， ，，， 四边形是平行四边形，，，， 在中，根据勾股定理可得：， 的最小值为，故答案为：． 例2（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在矩形中，，点M，N，P分别在，，上运动，且四边形的面积始终等于54，则的最小值是 ． 【答案】15 【详解】解：作M关于的对称点，连接，延长，使， ∴，，∴， 在矩形中，，， ∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是矩形，∴，， ∵四边形的面积等于54，由题意可知：四边形是直角梯形， ∴，∴， ∴，∴， ∴，即的最小值为15，故答案为：15． 例3（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，M是的中点，点P是上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】连接，延长到点Q，使得，连接， ∵菱形中，，，M是的中点，∴，， ∴是等边三角形，∴，∴， ∴，∴，∴，∴点A，Q关于直线对称， ∴当P与点C重合时，取得最小值，且为，故答案为：6． 例4（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，正方形的边长为4，在上，且，是上一动点．则周长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．6 【答案】D 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形，∴点B与点D关于直线对称，∴， ∴，∴周长的最小值为， ∵正方形的边长为4，∴， ∵，∴，周长的最小值为．故选：D 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 【答案】 【详解】解：∵在菱形中，，∴， ∵，于点，∴在中，， ∴，则 作线段关于所在直线的对称线段，此时点N的对应点为，连接，并延长交于一点，即为，如图： 当三点共线，则有最大值，且为 ∴∴是等边三角形， 过作 则在中， 则 ∴则的最大值为 故答案为： 例2（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵点O是的中点，∴，又∵，∴，∴，， ∵，∴，过点P作于点P，∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴，∴； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， ∵，点O是的中点，∴， ∴，，∴，， ∴，∴的最小值为：，故答案为：；． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 例1（2025·四川成都·校考一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长取最小值是 【答案】2+ 【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，∵，，∴，，AE=2． 在中，=;即四边形AEPQ的周长最小为2+： 例2（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，E，F，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长， ∵矩形中，，，∴，， 过点作的垂线，交的延长线于点H，则四边形为矩形，∴， ∵M为的中点，，∴， ∴，∴， ∴的最小值是．故答案为：． 例3（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）如图：过点作的垂线，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴， ，，∴ ，，∴点到直线的距离是3；故答案为：3； （2）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， 则长为周长的最小值；由（1）知，在中，，， ，， 由对称性可知，，，是等腰三角形， 又，，， ∴周长的最小值；故答案为：. 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 例1（2025·四川宜宾·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示，把向右平移个单位长度，使点与点重合，得到，延长交于M，则四边形是矩形，∴，； 四边形是正方形，，， 则，由平移的性质可知，， 作点关于的对称点，连接，则，，， 当点、、三点共线时最短， ∵，，，，， 在中，，的最小值是．故答案为： ． 例2（2025·广东深圳·二模）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N; ∵正方形的边长为3，∴ ∵∴∴ ∵四边形是正方形∴， ∴四边形是矩形∴∴， ∵∴∴ 又∵∴∴ ∵，∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵∴∴．故答案为：． 例3（2025·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：在边长为1的菱形中，，，， 将沿射线的方向平移得到，，， 四边形是菱形，，，， ，，四边形是平行四边形， ，的最小值的最小值，点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 在中，，， ，，，， ，，作， 过点D作垂足为G 在中， ．故选：． 例4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，平移至，则，连接, ∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴ ∵在正方形中，，是对角线上两点，∴∴ 在中，，∴故答案为：． 例5（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，四边形 为菱形， 为上的两个动点，且，点是的中点，连接 ，则 的最小值为 ．（逆等线） 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，取的中点，连接， ∵点是中点，∴， ∵，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，∴的最小值为的值， ∵四边形是菱形，，点为的中点， ∴，∴是等边三角形，∴，， ∴，∴的最小值为，故答案为： ． 1．（2025·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作使，则：四边形为平行四边形，    ∴，∴，∴当三点共线时，有最小值即为的长， ∵四边形为正方形，∴，，， ∴，，∴，即：的最小值为3．故选B． 2．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，菱形的的边长为3，，对角线上有两个动点、（点在点的左侧），若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：如图，连接交于点，作，使得，连接，， 则四边形是平行四边形，， ，的最小值为的长， 四边形是菱形，，， ，，是等边三角形，， ，，在中，． 的最小值为．故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，   ， ∵正方形，，∴，，，，， ∴点O关于的对称点F，∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， 又∴，∴，∴，∴最小值为．故选：C． 3．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，点为延长线上一动点，连接，以为一组邻边作平行四边形，连接交于点，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，四边形是平行四边形，， ，，， ，，直线l与直线之间的距离为1， ，，， ，， 即的最小值为，即周长的最小值为．故答案为：． 4．（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）如图正方形的边长为，是中点，将沿直线平移得到在此过程中的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，以点A为原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， ∵正方形的边长为，是中点， ∴，∴， 由平移的性质可得，设，， ∴，∴， ，∴， ∴的值相当于x轴上的一点到点和到点的距离之和， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为点和点的距离，即最小值为，故答案为：． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：连接BD交AC于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC=8∴ 又 在Rt△AOB中， ∴ ∴DO=5 当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，∵MN=1∴ 在Rt△DON中， ∴ 在Rt△DON和Rt△BOM中， ∴ ∴DN=BM∴ ∴的最小值为故答案为 6．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】连接，∵点G为的中点， F为的中点，∴，， ∴，作 A关于直线的对称点H，连接，交于点M， ∵，， ∴当P与M重合时，取得最小值， ∵矩形中，，，点E在上且．∴， ∴，∴．故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，E，F，G，H四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，    由轴对称的性质可知，，， 四边形是矩形，，，， ，，，， 在和中，，， ，同理可证，，， ，，四边形是矩形，，， ，，，，   ，， 四边形周长为， 即四边形周长的最小值为26，故答案为：26． 8．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ． 【答案】5 【详解】解：如图，过点作于．，，， 过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，过点作于． ，四边形是矩形，，， ，，， 的最大值为．故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，动点P满足，则周长的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：设中边上的高是h．    ∵，∴，∴， ∴动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作A关于直线l的对称点，连接，则就是周长的最小值， 在中，，，∴， 即， 即周长的最小值为．故答案为：． 10．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是 ． 【答案】1 【详解】如图，作点关于的对称点，连接交于， 此时有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点，∴是的中点， 又∵是边上的中点，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∴，即的最小值为1．故答案为：1． 11．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】10 【详解】解：连接，交于，连接，如图， 四边形是正方形，，，点B与点D关于对称， ∴，当点在处时，最小，最小值的长， ，，， 的最小值为10，故答案为：10． 12．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，正方形的边长为1，的平分线交于点E．若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作关于的对称点，再过作于， ，，，，， 是关于的对称点，，即为的最小值， 四边形是正方形，，， 在△中，，，， ，即的最小值为．故答案为：． 13．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：连接，∵在边长为2的菱形中，，∴， ∵将沿射线的方向平移，得到，∴， ∵四边形是菱形，∴，∴， ∴四边形是平行四边形，∴，∴的最小值的最小值， ∵点在过点A且平行于的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 在中，， ∴，∴，∴， ∵∴， ∴故答案为：． 14．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【答案】13 【详解】解：连接，∵平行四边形，∴，， 由平移性质得：，，四边形为平行四边形， ，， 作关于直线的对称点，连接，，交延长线于， 由对称性得：，，， ， ，，，，， ∵，，， 的最小值为，故答案为： 15．（25-26·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．    【答案】 【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：    ，， 为等边三角形，， ，，四边形为平行四边形， 同理得四边形与四边形为平行四边形， ，，， ， 中，， 中， ，的最小值是． 16．（2025·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 【答案】/ 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，． ，．，， ∴四边形为平行四边形，． ，，三点共线，此时的周长最小． ，，即，， 周长的最小值为：．故答案为：． 17．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：四边形是矩形，与相等且互相平分， 关于的对称图形为，， 四边形是菱形； （2）作于Q，交于P， 沿所在直线折叠，得到，，， ，，，， ，，， ，即的最小值为． 18.（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【详解】，①，；解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示，过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵关于直线对称点，∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 24 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 33 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 42 9 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． （2024·西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 1）将军饮马模型 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧 图（5） 图（6） 图（7） 图（8） 模型（5）（两点都在直线外侧型） 如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（6）（直线内外侧各一点型） 如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（7）（两点都在直线内侧型） 如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军遛马与过桥模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 图3 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 例2（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在矩形中，，点M，N，P分别在，，上运动，且四边形的面积始终等于54，则的最小值是 ． 例3（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，M是的中点，点P是上一动点，连接，，则的最小值为 ． 例4（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，正方形的边长为4，在上，且，是上一动点．则周长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 例2（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 例1（2025·四川成都·校考一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长取最小值是 例2（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 例3（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 例1（2025·四川宜宾·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为 ． 例2（2025·广东深圳·二模）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ． 例3（2025·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 例4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 例5（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，四边形 为菱形， 为上的两个动点，且，点是的中点，连接 ，则 的最小值为 ．（逆等线） 1．（2025·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 2．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，菱形的的边长为3，，对角线上有两个动点、（点在点的左侧），若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，点为延长线上一动点，连接，以为一组邻边作平行四边形，连接交于点，则周长的最小值为 ． 4．（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）如图正方形的边长为，是中点，将沿直线平移得到在此过程中的最小值为 ． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________． 6．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，E，F，G，H四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 8．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，动点P满足，则周长的最小值为 ．    10．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是 ． 11．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 12．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，正方形的边长为1，的平分线交于点E．若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 13．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为______． 14．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 15．（25-26·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．    16．（2025·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 17．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 18.（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $