专题11 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题11 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 14 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． （2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 例2（25-26·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 例3（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 例4（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 例5（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：；(2)当的最小值为时，求正方形的边长． 例6（2025·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 模型2.加权费马点模型 例1（2025九年级下·广东·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 例2（2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值；（3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 例3（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 1．（25-26上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为 . 3．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则的最小值为 . 4．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 5.（2025·四川自贡·一模）如图所示，在矩形中，，，为矩形内部的任意一点，则的最小值为 ． 6．（24-25九年级上·福建泉州·专题练习）如图，在边长为的正方形中，点在边上，且．点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．    7．（25-26九年级下·江苏·专题练习）如图，为正方形对角线上一动点，若，的最小值是多少？ 8．（24-25八年级下·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1，点是等边内一点，连接，将绕点，逆时针旋转得到线段，连接． 【独立思考】试猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【实践探究】如图2，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】如图3，设，连接，求的最小值（直接写出答案）．      9．（24-25八年级下·广东深圳·期中）旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，P是等边内一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)则点P与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)在（1）的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作，交延长线于H，请你根据他的思路，计算 （直接写出答案）． (3)【类比探究】如图3，点P是正方形内一点，，求的度数？请写出完整过程； （直接写出答案）． (4)【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接，，记与交于点D，可知，由，可知为等边三角形，有．故，因此，当共线时，如图5，有最小值为．请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形内一点，Q为边上一点，连接、、，则的最小值为 （直接写出答案）． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下半学期的学习中，我们将接触到几何学上的明珠——勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 千百年来，人们对它的证明之若，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统．下面试举三例，一起领略其魅力．    (1)【验证】图是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图，和都是等边三角形，点在内部，连接．若，，，求的长； (3)【提升】如图，将等边沿翻折得到，连结交于点，点在上且，，点是内的一个动点，连结，求的最小值． 11．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图， 四边形是平行四边形，对角线相交于点O， E在线段上．(1)如图1， 连接， 若，求；    (2)如图2， 若， 延长交于点N， 且， 求证： (3)如图3，若，P为内一点，请直接写出的最小值． 12．（25-26·福建九年级月考）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.设点的坐标为. （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点，.且（），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；请直接写出点纵坐标的取值范围是 ；（2）若正方形的边长为2，求的长，以及的最小值. (提示：连接:，) 13．（24-25·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． (1)求证：；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； (3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长． 14．（25-26·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，． 由，，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________． (2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值． (3)如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、，求的最小值． 15．（25-26·重庆·九年级专题练习）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 16．（25-26·绵阳市·九年级专题练习）如图：(1)如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为 　 　． (2)如图2．点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝，PC＝4．求∠APB的度数． (3)如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800点P是长方形内一动点，且S△ABC＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 14 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． 【答案】 5 【详解】①如图,过作，垂足为,过分别作, 则, P为的费马点 5 ②如图：.；； ；；将绕点逆时针旋转60 由旋转可得：； 是等边三角形， P为的费马点；即四点共线时候， =；故答案为：①5，② （2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】cm 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，，，， 是等边三角形，是等边三角形，， 作于，交于．，，，， 当点，，，四点共线且垂直时，有最小值为， ，，的最小值(cm)．故答案为：cm． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，，∴， ∴，∴、、共线时最短， 由于点E也为动点，∴当时最短，而，∴，， ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，，∴， ∴的最小值为 ．故选C． 例2（25-26·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，则是等边三角形，    作于H，交于G．则四边形是矩形， ∴，，，∴， ∴， ∵，∴，∴的最小值．选：D． 例3（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为． 例4（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，，∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴当六点共线时的值最小． 连接，∵，，∴是等边三角形， ∴，∴在的垂直平分线上， 同理可证，∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分， ∴，四边形是矩形，∴，， ∴，同理可求，∴， 即的值最小为．故答案为：． 例5（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：；(2)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析(2)正方形的边长为 【详解】（1）证明，是等边三角形， ，．由旋转的性质可得， ．即，． （2）解：连接，由（1）知，，， ，，是等边三角形．．． 根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．过点作交的延长线于， ．设正方形的边长为，则，． 在中，，． 解得，（舍去负值）．正方形的边长为． 例6（2025·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，作于， 在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形， ，，， ，， ，，，， ，故答案为：； （2）如图，连接，将绕点C逆时针旋转得， ，，，∴是等边三角形，∴， ，当点、、、共线时，最小，最小值为的长， 连接，作于交延长线于E，，边长为， ，，， ，，， ，的最小值为； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，，∴都是等边三角形， ∴，∴， ∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小； 设此时交于G，在矩形中，，∴，∴，∴； ∵，∴四边形是矩形，∴，∴． 模型2.加权费马点模型 例1（2025九年级下·广东·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，，∴， 在中，点是的中点，∴，且， ∴，∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点，∵点是的中点，∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴，∴， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为． 例2（2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值；（3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短（2）5（3） 【详解】（1），，为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值．故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ，， 又，，根据旋转的性质可知：， ，即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图：由旋转性质可知：，，，， 在中，，， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度，，，，， ， ，的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 例3（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见详解(3) 【详解】（1）解：对于直线，当时，，即，当时，，即， ∴，，∴， ∵点是的中点，，∴； （2）证明：过点作交延长线于点，过点作，垂足为， ∵四边形为正方形，∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，同理，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴； （3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，∴，， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在正方形中，，，为的中点， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为． 1．（25-26上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，， ∴和都是等边三角形，∴，，， ∴， ∴当六点共线时的值最小． 连接，∵，，∴是等边三角形， ∴，∴在的垂直平分线上，同理可证，∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分， ∴，四边形是矩形，∴，， ∴，同理可求，∴， 即的值最小为．故答案为：． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为 . 【答案】 【详解】如图，以A为中心，逆时针旋转△APD至△AP´D´，则△PAP´为等边三角形，则PA+PB+PD=PB+PP´+P´D´，∴当点B、P、P´、D´在同一条直线上时，PB+PP´+P´D´值最小，最小值为线段BD´长.作直线D´M⊥AB交BA延长线于M点， ∵AD´=AD=4，∠D´AM=30°，∴D´M=2，∴根据勾股定理得，AM=，∴BM=4+， ∴根据勾股定理得，BD´= == . ∴的最小值为.故答案为： 3．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则的最小值为 . 【答案】 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ∴，,,,，如图，连接， 是等边三角形．．． 当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长， 过点作交的延长线于，， ，，，在中， ，．故答案为：. 4．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 【答案】 解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM＝MM’，∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E＝DG+GE＝4+3， ∴MA+MD+ME的最小值为4+3． 5.（2025·四川自贡·一模）如图所示，在矩形中，，，为矩形内部的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如解图，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可知，∴是等边三角形， ∴，∴， ∴当A､P､F､E四点共线时，的值最小，最小值为AE的长， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴，，∵，∴， ∴在中，．故答案是：． 6．（24-25九年级上·福建泉州·专题练习）如图，在边长为的正方形中，点在边上，且．点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，过点作于．    ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴点在直线的上方到直线的距离为的直线上运动， 将绕点顺时针旋转得到，连接，，，则，都是等边三角形， ∴，，∴，过点作直线于交于点F， 则，，∴ 根据垂线段最短可知，当，，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 7．（25-26九年级下·江苏·专题练习）如图，为正方形对角线上一动点，若，的最小值是多少？ 【答案】 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到， ，，， 是等边三角形，，，， ，， 当，，在一条直线上，有最小值，最小值是的长， ，，，， ，，的最小值是． 8．（24-25八年级下·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1，点是等边内一点，连接，将绕点，逆时针旋转得到线段，连接． 【独立思考】试猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【实践探究】如图2，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】如图3，设，连接，求的最小值（直接写出答案）．      【答案】【独立思考】相等，证明见解析；【实践探究】平行四边形，证明见解析；【拓展延伸】 【详解】（1）相等.                          证明：由旋转可知，，， 即，.                          在与中，，        . （2）平行四边形. 证明：由旋转可知，    为等边三角形，    即. 由（1）可知，. 同理可得，，∴四边形为平行四边形. （3）解：如图，将绕点B逆时针旋转至，连接，交于，    同（1）中原理，可得，，, ，    ,， ，． 9．（24-25八年级下·广东深圳·期中）旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，P是等边内一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)则点P与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)在（1）的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作，交延长线于H，请你根据他的思路，计算 （直接写出答案）． (3)【类比探究】如图3，点P是正方形内一点，，求的度数？请写出完整过程； （直接写出答案）． (4)【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接，，记与交于点D，可知，由，可知为等边三角形，有．故，因此，当共线时，如图5，有最小值为．请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形内一点，Q为边上一点，连接、、，则的最小值为 （直接写出答案）． 【答案】(1)3；(2)(3)见解析，(4) 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∵，∴，∴为等边三角形，∴， ∵，∴为直角三角形，∴，∴，故答案为：3；； （2）解：由（1）知，，，∴，∵，∴， ∵，∴，，∴， ∴，故答案为：； （3）解：将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合，过点A作，交的延长线于点H，如图：由旋转可得：，，，， ， ∴为等腰直角三角形，∴，在中，由勾股定理可得， ∴，，∴，∴为直角三角形，即， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 在中，，即，解得：，∴， 在中，，即，∴， 故答案为：； （4）解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图： ∴，，，∴是等边三角形，是等边三角形， ∴，作于点H交于点G，∴，∴，， ∵，∴当点E，F，G，H四点共线且垂直时，有最小值为， ∵，∴，∴的最小值为，故答案为：； 10．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下半学期的学习中，我们将接触到几何学上的明珠——勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 千百年来，人们对它的证明之若，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统．下面试举三例，一起领略其魅力．    (1)【验证】图是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图，和都是等边三角形，点在内部，连接．若，，，求的长； (3)【提升】如图，将等边沿翻折得到，连结交于点，点在上且，，点是内的一个动点，连结，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3)的最小值为5． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴ （2）∵和都是等边三角形，∴，，， ∴，即，∴，∴ ∵，∴， ∴，∴， （3）如图，将绕着点顺时针旋转得到，连接，    由旋转知，∴，，， ∵，，∴是等边三角形， ∴，∴ ∵当、、G、E四点共线时，的值最小，最小为，即的值最小值为， ∵在等边中，，，由翻折可知：，， ∴，∴，∴， ∴，∴的最小值为5． 11．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图， 四边形是平行四边形，对角线相交于点O， E在线段上．    (1)如图1， 连接， 若，求； (2)如图2， 若， 延长交于点N， 且， 求证： (3)如图3，若，P为内一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)2(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中点， ∴，∴，∴， ∵是的中点，∴； （2）证明：如图，延长至点F，使，连接，    ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，，垂直平分， ∴，∴，∴，∴， ∵，，，∴，∴， 在和中，∵，，，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴； （3）解：如图，取的中点K，则， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， 如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，则，    ∴，，，是等边三角形， ∴，∴， 即当点D，P，G，H四点共线时，的值最小，最小值为的长， 在中，，即的最小值为． 12．（25-26·福建九年级月考）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.设点的坐标为. （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点，.且（），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；请直接写出点纵坐标的取值范围是 ；（2）若正方形的边长为2，求的长，以及的最小值. (提示：连接:，) 【答案】（1），，；（2），. 【详解】解：（1）如图1，以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵四边形是正方形∴∵点，∴， 过作于∴∵将绕点逆时针旋转得到， ∴∴ ∵∴点纵坐标的取值范围是 故答案为：，， （2）如图所示，连接，过作，交的延长线于， 由旋转可得，，，∴是等边三角形，∴ ∵是等边三角形∴∴∴≌（） ∴∴ ∴当，，，在同一直线上时，的最小值是的长， 又∵，∴∴中， ∴∴ ∴中， ∴的最小值为 13．（24-25·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． (1)求证：；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； (3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①BD的中点，②BD与CE的交点处，见解析 (3) 【解析】（1）解：∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°． ∵∠MBN=60°，∴．即∠BMA=∠NBE． 又∵MB=NB，∴（SAS） （2）①∵，∴当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小 ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小 理由如下：连接MN．由（1）知，，∴AM=EN． ∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN． ∴AM＋BM＋CM=EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长 （3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴．设正方形的边长为x，则BF=x，EF=． 在Rt△EFC中，∵，∴， 解得， （舍去负值）．∴正方形的边长为， 14．（25-26·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，． 由，，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________． (2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值． (3)如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、，求的最小值． 【答案】（1）5；（2）；（3）. 【详解】解：（1）如图3中，将绕点逆时针旋转得到， ∴≌，∠CAE=PAF=60°，∴AE=AC=3，AF=AP，∴是等边三角形， ∵∠BAC=30°，∴，在中，， ，，的最小值为5．故答案为5． （2）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，∴AF=AP，∠FAP=90°， ∴是等腰直角三角形，∴FP=，∵∠BAC=45°，∴，， 作交的延长线于．在中，，， ，在中， ，，的最小值为． （3）如图5中，将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形， 作于，交于．， 易知，， ，，的最小值为． 15．（25-26·重庆·九年级专题练习）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=，在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵，∴，即，∴，即BC的最小值为； （3）解：如图3，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小，此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 16．（25-26·绵阳市·九年级专题练习）如图：(1)如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为 　 　． (2)如图2．点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝，PC＝4．求∠APB的度数． (3)如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800点P是长方形内一动点，且S△ABC＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4(2)135°(3)存在，PQ的长度为 【解析】（1）解：如图1，过A作AE⊥BC于E，则S△ABC＝BC•AE＝×3×AE＝6，∴AE＝4， ∵MD⊥BC，∴当A、M、D三点共线时，AM＋MD的值最小＝AE＝4，故答案为：4； （2）∵点P是正方形ABCD内一点，∴把△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBQ，连接PQ，如图2所示：则∠PBQ＝90°，∠APB＝∠CQB，QC＝PA＝2，QB＝PB＝，∴△BPQ是等腰直角三角形， ∴∠BQP＝45°，PQ＝PB＝×＝2，∵QC2＋PQ2＝22＋（2）2＝16，PC2＝42＝16， ∴QC2＋PQ2＝PC2，∴△PCQ是直角三角形，∠PQC＝90°， ∴∠CQB＝∠PQC＋∠BQP＝90°＋45°＝135°，∴∠APB＝135°； （3）存在一点P和一点Q，使得AQ＋DQ＋PQ有最小值，理由如下： 如图3，过点P作EFAD交AB于点E、交CD于点F，将△ADQ绕点A逆时针旋转60°，得△AD′Q′，连接DD′、QQ′、D′Q、D′P，设D′P交AD于点G，则△ADD′、△AQQ′都是等边三角形，D′Q′＝DQ， ∴AQ＝QQ′，∵Q′Q＋D′Q′≥D′Q，即AQ＋DQ≥D′Q，D′Q＋PQ≥D′P，∴AQ＋DQ＋PQ≥D′P， ∴当P、Q、Q′、D′在同一条直线上时，AQ＋DQ＋PQ有最小值，最小值为D′P，在长方形ABCD中，AB＝600，AD＝800，∴BC＝AD＝800，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，∴EF∥BC， ∵S△PAD＝2S△PBC，∴AD•AE＝2×BC•BE，∴AE＝2BE，∴AE＝AB＝400， ∵点P在EF上，∴当D′P⊥EF时，D′P取最小值， ∵ADEF，∴D′P⊥AD，∵△ADD′是等边三角形，∴AD′＝AD＝800，AG＝AD＝400，∠AGD′＝90°，∴D′G＝，∵∠EAG＝∠AEP＝∠EPG＝90°，∴四边形AEPG是矩形，∴GP＝AE＝400，∴D′P＝D′G＋GP＝400＋400，∴AQ＋DQ＋PQ的最小值为400＋400， ∵△AQQ′是等边三角形，AD⊥QQ′，∴∠GAQ＝30°，AQ＝2GQ， 在Rt△AGQ中，AG2＋GQ2＝AQ2，∴4002＋GQ2＝（2GQ）2，解得：GQ＝， ∴PQ＝GP−GQ＝． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $