7.5 正态分布导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修第三册 7.5《 正态分布 》 导学案（学生版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月16日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 1、 连续性随机变量 现实中,除了前面已经研究过的离散型随机变量外,还有大量问题中的随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个 甚至整个 ,但取一点的概率为 ,我们称这类随机变量为连续型随机变量. 2、 问题探究 1.问题 自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在-一定的误差(实际质量减去标准质量).用表示这种误差,则是一个连续型随机变量量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差(单位:g)的观测值如下: (1)如何描述这100个样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概率模型刻画误差的分布? 2.探究： 根据已学的统计知识,可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如图7.5-1所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1. 观察图形可知:误差观测值有正有负,并大致对称地分布在 的两侧,而且小误差比大误差出现得更 . 随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如图7.5-2所示 根据频率与概率的关系,可用图7.5-3中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布,例如,任意抽取一袋食盐,误差落在[-2,一1]内的概率,可用图中黄色阴影部分的面积表示. 三、正态分布 （一）正态密度函数与正态曲线的定义 由函数知识可知,图7.5-3中的钟形曲线是一个函数,这个函数的解析式为 (其中为参数.) 显然,对任意的,它的图象在轴的上方.可以证明轴和曲线之间的区域的面积为 .我们称为 函数,称它的图象为 曲线,简称 曲线,如图7.5-4所示. （二）正态分布的定义 若随机变量的概率分布密度函数为 (其中为参数.) 则称随机变量服从 分布,记为 . 特别地,当时,称随机变量服从 正态分布. 例如：而 （1） 正态曲线的性质 由的密度函数 (其中为参数)及图象可以发现,正态曲线还有以下特点: （1）轴和曲线之间的区域的面积为 ； （2）曲线是单峰的,它关于直线 对称; （3）曲线在处达到峰值 ； （4）当无限增大时,曲线无限接近 轴. （2） 正态分布的性质 1. 参数的作用 我们知道,函数的图象可由的图象平移行得到. 因此,在参数取固定值时,正态曲线的位置由确定,且随着的变化而沿轴 ,如图7.5-5所示. 2. 参数的作用 当取定值时,因为曲线的峰值与成反比,而且对任意的,曲线与轴围成的面积总为1.因此 （1）当较小时,峰值 ,曲线"瘦高",表示随机变量的分布比较 ; （2）当较大时,峰值 ,曲线"矮胖",表示随变量的分布比较 .如图7.5-6所示. （3） 正态分布的均值与方差 观察图7.5-5和图7.5-6可以发现,参数反映了正态分布的集中 ,反映了随机变量的分布相对于均值的 程度.实际上,我们有 若,则 四、实例运用 例1．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果： 坐公交车：平均用时30min，方差为36 骑自行车：平均用时34min，方差为4 (1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由. (2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图（a）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由. （提示：（2）中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（b）中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.） 例2．某工厂制造的机械零件尺寸服从正态分布，问：在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间这个尺寸范围的零件大约有多少个？ 例3．为了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X（kg）服从正态分布，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg、小于或等于62.5kg属于正常情况，求这1000名男生中属于正常情况的人数. 例4．标准正态分布的密度函数为，. (1)证明：是偶函数； (2)求的最大值； (3)利用指数函数的性质说明的增减性. 五、达标检测 练习1．某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 练习2．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 练习3．某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 练习4．某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则， ，］ 练习5．某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第三册 7.5《 正态分布 》 导学案（教用版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月16日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 1、 连续性随机变量 现实中,除了前面已经研究过的离散型随机变量外,还有大量问题中的随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量. 2、 问题探究 1.问题 自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在-一定的误差(实际质量减去标准质量).用表示这种误差,则是一个连续型随机变量量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差(单位:g)的观测值如下: (1)如何描述这100个样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概率模型刻画误差的分布? 2.探究： 根据已学的统计知识,可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如图7.5-1所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1. 观察图形可知:误差观测值有正有负,并大致对称地分布在的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁. 随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如图7.5-2所示 根据频率与概率的关系,可用图7.5-3中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布,例如,任意抽取一袋食盐,误差落在[-2,一1]内的概率,可用图中黄色阴影部分的面积表示. 三、正态分布 （一）正态密度函数与正态曲线的定义 由函数知识可知,图7.5-3中的钟形曲线是一个函数,这个函数的解析式为 (其中为参数.) 显然,对任意的,它的图象在轴的上方.可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如图7.5-4所示. （二）正态分布的定义 若随机变量的概率分布密度函数为 (其中为参数.) 则称随机变量服从正态分布,记为. 特别地,当时,称随机变量服从标准正态分布. 例如：而 （1） 正态曲线的性质 由的密度函数 (其中为参数)及图象可以发现,正态曲线还有以下特点: （1）轴和曲线之间的区域的面积为1； （2）曲线是单峰的,它关于直线对称; （3）曲线在处达到峰值； （4）当无限增大时,曲线无限接近轴. （2） 正态分布的性质 1. 参数的作用 我们知道,函数的图象可由的图象平移行得到.因此,在参数取固定值时,正态曲线的位置由确定,且随着的变化而沿轴平移,如图7.5-5所示. 2. 参数的作用 当取定值时,因为曲线的峰值与成反比,而且对任意的,曲线与轴围成的面积总为1.因此 （1）当较小时,峰值高,曲线"瘦高",表示随机变量的分布比较集中; （2）当较大时,峰值低,曲线"矮胖",表示随变量的分布比较分散.如图7.5-6所示. （3） 正态分布的均值与方差 观察图7.5-5和图7.5-6可以发现,参数反映了正态分布的集中位置,反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度.实际上,我们有 若,则 四、实例运用 例1．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果： 坐公交车：平均用时30min，方差为36 骑自行车：平均用时34min，方差为4 (1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由. (2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图（a）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由. （提示：（2）中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（b）中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.） 【答案】(1)李明平时选择骑自行车更稳妥，理由见详解； (2)如果某天有38min可用，李明应选骑自行车；如果某天有34min可用，应选坐公交车； 理由见详解. 【难度】0.94 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、正态曲线的性质 【分析】利用正态分布曲线的意义以及性质、方差意义即可解决. 【详解】（1）李明平时选择骑自行车更稳妥， 由已知得坐公交车平均用时30min，骑自行车平均用时34min，差距不大；但是坐公交车的方差为36，骑自行车的方差为4，由于方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小，则坐公交车所花费的时间不稳定，即李明平时选择骑自行车更稳妥. （2）由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知 ， 由此可知，如果某天有38min可用，那么李明坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概率，应选骑自行车； 由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知 ， 由此可知，如果某天有34min可用，那么李明坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概率，应选坐公交车. 例2．某工厂制造的机械零件尺寸服从正态分布，问：在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间这个尺寸范围的零件大约有多少个？ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】依题意可得，，根据正态分布的性质得到，从而求出不属于区间的概率，即可得解； 【详解】解：因为机械零件尺寸服从正态分布，则，，因为，所以取1000个零件时，不属于区间，由原则知不属于的事件为小概率事件，其概率为，，所以1000个零件中大约有3个不在范围内； 例3．为了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X（kg）服从正态分布，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg、小于或等于62.5kg属于正常情况，求这1000名男生中属于正常情况的人数. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正态分布的实际应用 【分析】由条件可得，然后，然后可得答案. 【详解】由图可得，，因为 所以 所以体重大于58.5kg且小于或等于62.5kg的概率为 所以这1000名男生中属于正常情况的人数为 例4．标准正态分布的密度函数为，. (1)证明：是偶函数； (2)求的最大值； (3)利用指数函数的性质说明的增减性. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)在单调递增，在，上单调递减． 【难度】0.85 【知识点】正态曲线的性质、判断指数型复合函数的单调性、求指数型复合函数的值域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】 (1)利用定义法求得证明函数为偶函数． (2)利用复合函数的单调性求得函数的最大值． (3)利用复合函数同增异减的原则求得函数的单调区间． 【详解】（1） ∵关于原点对称，又， 为偶函数； （2） ∵，． （3） ∵， ∴t在x∈上单调递增，在x∈，上单调递减，且t∈； y在t∈单调递增； ∴根据复合函数的单调性判断方法可知， 在上函数单调递增，在，上单调递减． 五、达标检测 练习1．某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【答案】(1)的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. (2)655（人） (3)115 【难度】0.82 【知识点】3δ原则、概率分布曲线的认识、指定区间的概率 【分析】（1）根据正态分布的概念即可求解； （2）根据正态分布的对称性求出成绩在区间内的学生的概率，然后再求人数即可； （3）由题意可得，即满足题意. 【详解】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 练习2．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【答案】(1) (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【难度】0.65 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. （2）（i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 练习3．某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由见解析. 【难度】0.72 【知识点】3δ原则、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）考察正态分布的对称性及其性质，重点在于理解正态分布密度曲线的对称性，利用给定区间概率计算概率. （2）理解小概率事件在统计决策中的含义. 【详解】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 练习4．某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则， ，］ 【答案】(1)，76分 (2)分布列见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、写出简单离散型随机变量分布列、指定区间的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积为1计算可得，再由百分位数的定义计算可求出最低分数线； （2）由分层抽样比可求出各区间抽取的人数，再计算出相应概率可求出分布列； （3）由频率分布直方图计算出初赛成绩的平均值，再由正态分布计算可得所求概率. 【详解】（1）由频率分布直方图易知，， 解得， 由图知的频率为0.04，的频率为， 的频率为0.54， ∴获奖学生最低分数线落在内，不妨设为x， 则，解得， ∴估计获奖学生的最低分数线为76分. （2）由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取4人，在内抽取1人. 则X的可能取值为0，1，2， 易知，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P （3）易知平均值为， 即可得， ∴. 练习5．某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 【答案】(1)25241人 (2) 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 【难度】0.7 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用二项分布求分布列、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据正态分布的性质可知，从而可求出； （2）首先求出，再根据服从二项分布可得分布列及数学期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以 ， 则， 所以估计该公司测试成绩80分以上（含80分）的员工人数为25241人. （2）因为，且， 所以， 依题意， 所以，， ，， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 所以随机变量的期望. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $