专题09 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题09 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=30°，∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°， 如图所示，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE， ∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°，∴PF=，∴DP+， 当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度， 在Rt∆DHA中，∠DAH=45°，故答案为：． （2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：连接，            ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴； （2）解：过点N作于点F，连接， ∵，∴，∵，∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：即， ∴在中，，∴的最小值为． 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ，，，在中，， ，，， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时， 在中，，，， 即的最小值为，故答案为：． 例2（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点．（1） ；（2）的最小值为 ． 【答案】 30 【详解】解：（1）∵菱形，∴，， 又，∴是等边三角形，∴， ∴，故答案为：30； （2）过P作于Q，过M作于H， ∵，∴，∴， ∴当M、P、Q三点共线，即Q和H重合时，最小，最小值为， ∵是等边三角形，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，故答案为：． 例3．（2025·辽宁营口·模拟预测）在矩形中，，，是边上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作直线，使与的夹角为30°，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ∵，∴，∴， ∵，∴当和在同一直线上时，最小，最小值为， ∵，且，∴， ∵∴，， ∴，∴，∴， ∴的最小值为．故答案是：． 例4（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ ． 即的最小值为6．故选B． 例5（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作于点，交于点，作于点，则， ∵四边形是矩形，，，∴，， ∴，∴，∴，， 由折叠得，，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴当点于点重合时，取得最小值，最小值为，∴，故选：． 例6（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 例7（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图1：连接，四边形是菱形，． ，，. 是的垂直平分线，，； （2）解：如图1：过点作于点， ，，即．，． ∵四边形是菱形，，． ，， ，，过点A作于点， 在中，，∴ 根据勾股定理，得，； （3）解：如图：连接，， ，，当点A、、三点共线时（如图）， 即时，取得最小值，在中，由（2）得：，的最小值为． 1．（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长，过点B作交于点P， ∵四边形为平行四边形，∴，∴， ∵，∴，则，则， 同理可得：，∴， ∴当点E、P、B在同一条直线上时，的值最小， ∵，∴．故选：A．    2．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 3．（25-26上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴，∴， 当、、三点共线时，的值最小， 此时，∴，∴，， ∴，∴的最小值为：， ∴的最小值为．故答案为：． 4．（24-25九年级下·湖北·期中）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线（不含点B）上任意一点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图，过点作于，过点作于．    四边形是菱形，，∴，， ，，，， ，，， ，，，的最小值为，故答案为：． 5．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】3+2 【详解】解：过点C作直线CE，使CE与BC的夹角为30°，过点P作PE⊥CE，垂足为点E， ∵∠PCE=30°，PE⊥CE，∴PE=PC，∴的最小值即为PA+PE的最小值， 当PA和PE在同一直线上时，PA+PE最小，此时，PA+PE=AE， ∵∠APB=∠CPE，且∠PCE+∠CPE=∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠PCE=30°，∴AP=2BP， ∴，解得：BP=（负值舍去），∴AP=，∴PE=， ∴AE=PA+PE=+=3+2，∴的最小值为3+2．故答案是：3+2． 6．（2025·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①③④⑤ 【详解】解：如图，连接，      垂直平分，，根据折叠的性质，可得：， ，为等边三角形，，即结论①正确； ，，， ，即结论②不正确． ∵折叠，∴，∴ ∵∴∴ ∴，即结论③正确．设，则， ∵，，∴，在中由， ∴，解得：，即，即结论④正确． 过点H作，是等边三角形，，∴， 在同一条直线上且时的值最小， 此时，的最小值是， 即结论⑤正确．故答案为：①③④⑤． 7．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点为边上一点，则的最小值等于 ． 【答案】 【详解】解：过点C作直线，使与的夹角为，过点P作，垂足为点E，如图所示： 在矩形中，，，, ∵，，∴，∴的最小值即为的最小值，当和在同一直线上时，最小，此时，， ∵，且，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴，∴的最小值为．故答案是：． 8．（2025·黑龙江佳木斯·校考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图所示：过点作交于点，过点作交于点， 四边形是菱形，，∴∠ABP=30°，，， 由垂线段最短可知，的最小值为的长，， 即的最小值是：，故答案是：． 9．（2025·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 10．（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 11．（25-26上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，在下方作，过点P作于E， ∴，∴， ∴当三点共线，且时最小，即此时最小， ∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴是等边三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 12．（2025·河南南阳·一模）如图，矩形的对角线交于点O，，点P是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点B作射线，使得，过点P作，垂足为点E，则， 在中，，，， 过点O作 ，垂足为点F，则， ，垂线段最短，， 的最小值为线段的长， 在矩形中，， ，， ，， ∵在中，，．解得：．故答案为： 13.（25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】模型认知：垂线段最短；模型探究：（1）见解析；（2）；模型应用：6 【详解】解：模型认知：由题意得，“▲”处应填写的推理依据为垂线段最短； 模型探究：（1）如图所示，即为所求； （2）过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∵， ∴当最小时，有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴此时是等腰直角三角形，∴，，∴的最小值为； 模型应用：如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴，， ∴，∴；∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，，∴的最小值为6． 14．（25-26·达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）在中，令，则，点的坐标为， ，，， 把代入中得：，解得：； （2）由（1）得一次函数为，，， ，，， ， 的面积与四边形的面积之比为， 的面积与四边形的面积之比为， ，设点的横坐标为，则， 解得：，把代入中得：，； （3）如图所示，过点作轴交于点， ，，， 作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点， ，， 当、、在同一直线时最小， 即的最小值为， ，，，， 在中，，， 在中．，的最小值为． 15．（2025·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于． ∵，∴．在中，． ∵，∴．∴点到的距离为． （2）如图，连接，过点作于，过点作于． ∵，∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合， ∴的最小值等于的长，∵，∴． 在中，． ∵，∴． 即的最小值为；故答案为： （3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，，∴， ∴，∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合， ∴的最小值等于， ∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，即的最小值等于． 16．（2025·广东广州·九年级校考自主招生）如图，已知菱形的边、上的中点分别为点E、F，且，．(1)若的延长线交于点，，求的面积．(2)在（1）的条件下，点是直线上一点，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过点F作于点N，作交的延长线于点H，过点C作于点M，在中，，，，    在中，，，，同理可得， ，，， ； （2）解：如图，过点P作于点K，连接，， 由（2）知中，，，， ，， ，， 是直角三角形，，， 又F是边上的中点，垂直平分，． 在中，， ，， 由（2）知，的最小值是． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． （2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 例2（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点．（1） ；（2）的最小值为 ． 例3．（2025·辽宁营口·模拟预测）在矩形中，，，是边上任意一点，则的最小值是 ． 例4（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 例5（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 例6（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例7（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值． 1．（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 3．（25-26上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    4．（24-25九年级下·湖北·期中）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线（不含点B）上任意一点，则的最小值为 ．   5．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为 ． 6．（2025·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    7．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点为边上一点，则的最小值等于 ． 8．（2025·黑龙江佳木斯·校考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 9．（2025·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 10．（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 11．（25-26上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为 ． 12．（2025·河南南阳·一模）如图，矩形的对角线交于点O，，点P是上的动点，则的最小值是 ． 13.（25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 14．（25-26·达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值． 15．（2025·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 16．（2025·广东广州·九年级校考自主招生）如图，已知菱形的边、上的中点分别为点E、F，且，．(1)若的延长线交于点，，求的面积．(2)在（1）的条件下，点是直线上一点，求的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $