课时分层检测(19)一元线性回归模型一元线性回归模型参数的最小二乘估计-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 课时分层检测（十九） 元线性回归模型参 …0基础达标练0… 1.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，： 它们的相关系数是，y关于x的回归直线 的斜率是b,在y轴上的截距是a,那么必有 () A.b与r的符号相同B.a与r的符号相同 C.b与r的符号相反D.a与r的符号相反 2.在线性回归模型y=bx十a十e中，下列说法 正确的是 A.y=bx十a十e是一次函数 B.因变量y是由自变量x唯一确定的 C.因变量y除了受自变量x的影响外，可能 还受到其它因素的影响，这些因素会导致 随机误差e的产生 D.随机误差e是由于计算不准确造成的，可 通过精确计算避免随机误差e的产生 3.为了庆祝建党100周年，某网站从7月1日 开始推出党史类书籍免费下载活动，己知活 动推出时间x(单位：天)与累计下载量y(单 位：万次)的统计数据如表所示： 6 7 6 9 10 12 根据上表，利用最小二乘法得到经验回归方 程y=1.4.x十a,据此模型预测，活动推出11 天的累计下载量约为 ( A.13.8万次 B.14.6万次 C.16万次 D.18万次 4.(多选)由国际排联(FIVB)举办的第13届世 界杯赛事，共有12支参赛队伍.最终，中国女 排以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕 本届世界杯冠军.中国女排的影响力早已超： 越体育本身的意义，不仅是时代的集体记： 110 得分 元线性回归模型 数的最小二乘估计 忆，更是激励国人持续奋斗、自强不息的精 神符号.以下是本届世界杯比赛最终结果的 相关数据，记前6名球队中，每个队的胜场数 为变量x,积分为变量y(只列出了前6名). 排名 1 2 3 4 5 6 胜场数x 11 10 6 6 6 积分y 32 28 23 211918 若y与x之间具有线性相关关系，根据表中 数据可求得y关于x的经验回归方程为y= 2.59x十a,则下列说法正确的有 () A.a的值为2.78 B.a的值为2.14 C.若整队在此次比赛中获胜的场数是4，根 据经验回归方程其得分约为13分 D.由经验回归方程可知，当某个队伍胜场增 加1场时，其积分约增加2.59分 .(多选)对于表中x,y之间的一组数据： 6 7 8 3 甲、乙两位同学给出的拟合直线方程分别为 ①0=号x十1和②=2x+2,若通过分析 得出②的拟合效果好，则下列分析理由正确 的是 A.①的残差和大于②的残差和，所以②拟合 效果更好 B.①的残差平方和大于②的残差平方和，所 以②拟合效果更好 C.①的R2小于②的R2,所以②拟合效果 更好 D.残差图中直线②的残差点分布的水平带 状区域比①的残差点分布的水平带状区 域更窄，所以直线②拟合效果更好 班级 姓名 6.已知具有线性相关关系的变量x,y满足一 组数据如下表所示.若y关于x的经验回归 方程为=3x一1.5，则m的值等于 0 23 y 1m8 7.某同学计算两个线性相关变量x与y的经 1 验回归方程是y=一3.2x十40，则相对应于 点(11,5)的残差e(e:=y:-y;)为 8.已知高三某班学生每周用于物理学习的时 间x(单位：小时)与物理成绩y(单位：分)之 间有如下关系： x 24152319161120 161713 y 92799789644783687159 若根据上表可得经验回归直线的斜率为 3.53,则经验回归直线在y轴上的截距为 .（结果精确到0.1) 9.耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在 滩涂和盐碱地的水稻.海水稻的灌溉是将海 水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海 水浓度x(%)对亩产量y(吨)的影响，通过 在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的 亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图 发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海 水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计 算得y与x之间的经验回归方程为=x十 0.88. 海水浓度x:(%) 3 5 6 7 亩产量y(吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差e: (1)求6，并估计当浇灌海水浓度为8%时该 品种的亩产量； (2)①完成上述残差表： ②统计学中常用决定系数R2来刻画回归效 果，R2越大，模型拟合效果越好，如假设R =0.8,就说明预报变量y的差异有80%是 由解释变量x引起的.请计算决定系数R (精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程 度上是由海水浓度引起的？ 11 得分 附：残差公式e:=y一y, 决定系数R2=1一 2” 2(y:-y)2 10.关于x与y有以下数据： 2 4 5 68 y304060 5070 已知x与y线性相关，由最小二乘法得 =6.5, (1)求y与x的经验回归方程； (2)现有第二个线性模型：y=7x十17，且 R2=0.82. 若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型 拟合效果比较好，请说明理由. 班级 姓名 …0f 能力提升练 0 1.(多选)某公司及时调整产研策略，加大研发 力度，不断推出新的产品，使2021年的经济 由亏转盈，并健康持续发展.下表为2021年 1月份至6月份此公司的经济指标y(万元) 与时间x(月份)的关系： 1 2 3 4 5 6 1m1 0.3 2.2 m2 4.5 1m3 其中m1十m2十m3=6.5,其对应的经验回归 方程为y=0.7x十a,则下列说法正确的有 A.y与x负相关 B.a=-0.2 C.经验回归直线可能不经过点(3.5,2.25) D.2021年10月份的经济指标y大约为6.8 2.(多选)某电子商务平台每年都会举行“年货 节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从 2015年到2023年共9年“年货节”期间的销 售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y 看成以年份序号x(2015年作为第1年)的 函数.运用excel软件，分别选择经验回归直 线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如 图，则下列说法正确的是 ) ↑y(亿元) 2500=0.168r+28.14129027+889 2000F R=0.999 ·y(亿元) 1500 y2=267x-544.22 线性y 1000 R3=0.9362------ (亿元) 5001 非线性y2 10x (亿元) 2 46 8 A.销售额y与年份序号x呈正相关关系 B.三次函数回归模型的残差平方和大于线 性回归模型的残差平方和 C.三次函数回归曲线的拟合效果好于经验 回归直线的拟合效果 D.根据三次函数回归曲线可以预测2024年 i, “年货节”期间的销售额约为1698.719亿元 3.已知经验回归方程y=2x十1，而试验得到一 组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.2)，则残 差平方和是 11 得分 4.如图是某小区2020年1月至2021年1月当 月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的 散点图.（图中月份代码1~13分别对应 2020年1月~2021年1月).根据散点图选 择y=a十b√x和y=c十dlnx两个模型进行 拟合，经过数据处理得到两个经验回归方程 分别为y=0.9369+0.0285√x和y= 0.9554+0.03061nx,并得到以下一些统 计量的值： 当月在售二手房均价y 1.04 1.02 1.00 0.98 0.96 0.94 12345678910111213月份代码x y=0.9369+ y=0.9554+ 0.0285√/x 0.03061nx 残差平方和2(”一)” 0.000591 0.000164 总偏差平方和2(”一y) 0.006050 (1)请利用决定系数R2判断哪个模型的拟 合效果更好； (2)估计该小区2021年6月份的二手房均 价.（精确到0.001万元/平方米) 参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈ 2.83,ln19≈2.94，√2≈1.41,5≈1.73， √17≈4.12√19≈4.36. 参考公式：决定系数R1少O一 2(,-y)2 =(x,-)(y一) 1.22(,-)2 外卖甲的日接单量的方差品 3.B[r= i=1 i= 5-7)2+(2-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(11-7)2=10. √22(y,-) 5 21 外卖乙的日接单量的方差 2-7)2+(3-7)2+(10-7)2+(5-7)2十(15-7)=23.6，因为 5 4.ABD[散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总 的趋势是在逐步提高，A正确：该同学在这连续9次测试中的最高 x二)，<昆，即外卖甲平均日接单量与外卖乙平均日接单量相 分大于130分，最低分小于90分，极差超过40分，B正确：该同学的 同，但外卖甲日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况 数学成绩与测试次号之间具有比较明显的线性相关性，且为正相 更好 关，C不正确，D正确，] 5,B[由散点图知，各点都分布在一条直线附近，则数学成绩与物理 (x,-)(y一) =1 (2)因为r 成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次 函数关系，故①正确，②错误：若甲同学数学成绩为80分，乙同学数 学成绩为60分，此时样本数据未必与班级所有学生成绩一致，则甲 又2(z,-0(y-)=66, 同学的物理成绩未必比乙同学的物理成绩高，③错误.综上所述，正 7=1 确的结论个数为1.] 6.一、三「因为r>0,所以大多数的点都落在第一、三象限，门 (x,-x) N1 2(y-)2≈77， 7.D 所以代入计算可得，相关系数~莞≈0.857>0.715， 8.-1[由题得x=1,5=1,之x=2,公y=56,xy=-20, =1 =1 =1 所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系， 则样本相关系数r -20-4×1.5×1 =-1.] :5.解(1)以施化肥量为横坐标，其对应的水稻产量为纵坐标，在平面 √/22-4×1.52×√/56-4×19 直角坐标系中描点，得散点图 9.解由题意得工 日×(8+11+14+20+23+26)=17. ↑水稻产量kg 500 (x,-x)2=(8-17)2+(11-17)2十(14-17)2+(20-17)2+： 450 =1 400 (23-17)2+(26-17)2=252. 350 ∑(x:一x)(y:-V) 300 =1 85 85 01020304050施化肥量/kg /252×5.5 6√7×5.5 (x-) (2)观察散点图，知散点图中的点分布在一条直线附近，则水稻产量 与施化肥量之间具有线性相关关系. 0.97, 由此可得酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关关系， 课时分层检测（十九） 0,解()由巴知得样本平均数一204=60 基础达标练 从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000， 度直60时两变堂正相夫·光时0：当60时两支童负相 (2)样本（无：，y,)(i=1,2,…,20)的相关系数 关，此时0.故选A.] !2.C[选项A,在线性回归模型y=bx十a十e中，方程表示的不是西 2=1 800 √80×9000 22≈0.94. 数关系，因此不是一次函数，故A错误：选项B,因变量y不是由自 3 W之(y-)2 变量x唯一确定的，故B错误：选项D,随机误差是不能避免的，只 能将误差缩小，但是不能没有误差，故D错误，只有选项C成立，] (3)分层随机抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200 个地块进行分层随机抽样」 3.C[由表格数据知，z=4+5+6+7+8=6,=6+8+9+10+12 理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物藏盖面积有 很强的正相关，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块 =9,由经验回归方程的性质，得1.4×6十a=9,所以a=0.6,故y 间这种野生动物数量差异也很大，采用分层随机抽样的方法较好 1.4x十0.6，所以当x=11时，=1.4×11十0.6=16（万次）.] 地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从4.ACD[由题意知正=8，=号，代入经验回归方程y=2.59x十a, 而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计， 能力提升练 解得a=2.78,故A正确，B不正确：将工=4代入经验回归方程V= 1.ACD[由样本相关系数的性质知B正确，其余均错误.] 2.59x十2.78，得y=13.14≈13，故C正确：经验回归方程中x的系 2.ABC[每月最低气温与最高气温的样本相关系数≈0.83，可知每 数是2.59，故D正确.] 月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相！5.BCD[不可以根据残差和的大小来分析模型的拟合效果的好坏， 关，由所给的折线图可以看出月温差（月最高气温一月最低气温）的 最大值出现在10月.9~12月的月温差相对于5~8月，波动性更 故A错误：用y= 宁x十1作为拟合直线时，所得y的实际值与y的 大.每月的最高气温与最低气温的平均值在所统计的前5个月里逐 月增加，在第6个月开始减少，所以A、B、C正确，D错误.] 估计值的差的平方和即残差平方和为S1=（1一号)十(2-2)+ 3.A[x=15,v=108.6, 8-3+(安)）+(5-号)广=子，用5=子x+号作为赵合 xiy-5zy =1 直线时，所得残差年方和为S=(1-1)2+(2-2)2+(3-子)十 √x-5x√听-5 8285-5×15×108.6 1-0+(5号）=合S<5@的叔合效果更好，故B ≈0.9826，故相关程度 √1375-5×15×√59051-5×108.6 正确：①的R=1高器®的R=1名碧①的R小 219 很强.] 4,解(1)由表格中的数据，可得元=5+2+9十8+卫 5 =7,y 于②的R,.②拟合效果更好，故C正确：残差图中直线②的残差 2+3+10+5+15=7, 点分布的水平带状区战比①的残差点分布的水平带状区域更窄， 5 ∴直线②拟合效果更好，故D正确.] 192 6.4[由于经验回归直线一定过点（工，期点（受，8计四）-定在3.0.06[因为=2x十1，故当=2时，小=5，=-0.1，x=3 7,e2=0.1,x=4,=9,e8=0.2,则e+e+e号=0.01十0.01十0.04 经验回归直线上，所以代入方程可得m=4.] =0.06.] 7.0.2[因为y=-3.2.x十40.当x=11时，y=-3.2×11十40= !4.解(1)设模型y=0.9369十0.0285√匠和v=0.9554+0.03061hx的 4.8,故e=5-4.8=0.2.] 决定系数分别为和， 8.13.5[由已知可得元=0×(24+15+23+19十16+11+20+ 时府-1002=100 0.000164 16+17+13)=17.4,y=10 ×(92+79+97+89+64+47+83+: 因为0.000591>0.000164，所以R<R. 68十71十59)=74.9.设经验回归方程为y=3.53x十a,把(x,y)代 所以模型y=0.9554十0.0306lnx的拟合效果更好. 入，得74.9=3.53×17.4十a,解得a≈13.5，则经验回归直线在y (2)由(1)知，模型=0.9554十0.03061nx的拟合效果更好，利用 轴上的裁距为13.5.] 该模型预测可得，这个小区2021年6月份的在售二手房均价为 9.解(1)经计算，r=5,v=0.48, y=0.9554+0.0306ln18=0.9554+0.0306(1n2+21n3)≈ 由0.48=56十0.88可得，b=-0.08, 1.044(万元/平方米) 当x=8时，y=-0.08×8十0.88=0.24， 课时分层检测（二十） 所以当浇灌海水浓度为8%时，该品种的亩产量约为0.24吨. (2)①由(1)知=-0.08x十0.88，从而有 基础达标练 :1.C[“是否吸烟”是分类变量，它的两个不同取值：吸烟和不吸烟， 海水浓度x,(%) 6 7 “是否患病”是分类变量，它的两个不同取值：患病和不患病.可知 亩产量y(吨) 0.62 0.580.49 0.4 0.31 A,B都是一个分类变量所取的两个不同值.] 残差e -0.020.020.01 0 2.A[因为3.841<X2=5.003<6.635=x0.01·又P(X≥3.841)= -0.01 0.05,所以依据小概率值a=0.05的独立性检验，认为“X和Y有关 ②R2=1 0.0004+0.0004十0.0001十0+0.0001 系”] 0.142+0.12+0.012+(-0.08)2+(-0.17)2 3.C[对于A,由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对：对 0.00164 =1-0.06s65≈0.98， 于B,由左图可知，样本中的男生效量多于女生数量，B对：对于C, 由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错：对于D,由右图可 所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的. 知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对，故 10.解(1)依题意设y与x的经验回归方程为y=6.5x十a, 选C.] x-2+4+5+6+8=5, 5 :4.AC[由题意设参加调查的男、女生人数均为m,则得到如下2×2 y=30+40+60+50+70=50. 列联表： 5 喜欢攀岩 不喜欢攀岩 合计 ,y=6.5.x十a经过(x,). .50=6.5X5+a,.a=17.5, 男生 0.8m 0.2m m ∴y与x的经验回归方程为y=6.5x十17.5. 女生 0.3m 0.7m m (2)由(1)的线性模型得y一少：与y:下的关系如下表： 合计 1.1m 0.9m 2m V:一V 0.5 -3.5 10 -6.5 0.5 所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人 yi-y 20 10 10 0 20 数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少， 故A正确，B错误： 所以2(，-y,)2=(-0.5)2十(-3.5)2+102+(-6.5)2+ =1 由列联表中的数据，计算得到x2-2m(0.56m-0.06m)250m 0.52=155 1.1m·0.9m·m·m99 当m=100时， 2(y,-)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1000. = X-500_50X90≈50.505>10.828=0m1, 99 99 (y-,)2 所以R=1 =1 =1 (y,-) 1000=0.845. 155 所以当参与调查的男、女生人数均为100时，依据小概率值a 0.001的独立性检验，认为喜欢攀岩和性别有关联，故C正确，D错 =1 误，故选AC.] 由于R=0.845,R2=0.82知R>R2, :5.D[零假设为H:经常使用手机与数学学习成绩无关，由题中数据 所以(1)的一元线性回归模型拟合效果比较好 能力提升练 可得，x-5020X55X20Y-25≈8.333>7.879=s,根据 25×25X30×20 -3 1.BD[由经验回归方程中x的系数0.7为正数知，y与x正相关，故 小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断H。不成立，即在犯错 A选项错误：由题意可知7=石(1十2十3十4十5十6)=3.5，y 误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成 绩有关”，] 合(m+0,3十2.2十m,十.5十m)=2.25,所以a=2.25-0.7×6.0,05[设从所有人中任意轴取-个，取到春欢西班牙队的人”为 3.5=一0.2，所以y=0.7x一0.2，故B选项正确：经验回归直线过1 事件A,由已知得PA)=结5-=号，所以g=25p=25,a=40, 点(x,v),即过点(3.5,2.25)，故C选项错误；令x-10,得y=0.7× 10-0.2=6.8,故D选项正确.] b=60.X-10X25X3525X15》-25≈4.167>3.841=os 40×60×50×50 6 2.AC[由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正相关1 认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关，这种推断犯错误的概率不 关系，故选项A正确：由散点图以及线性回归模型和三次函数回归！ 超过0.05.] 模型的位置关系可知，三次西数回归糢型的残差平方和小于线性回：7.解(1)根据等高堆积条形图，采用化学疗法的治愈率为30%， 归模型的残差平方和，故选项B错误：因为0.999>0.936，所以三次： 由列联表得化学疗法治愈的人敦为18， 函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果，故选项C: 故采用化学疗法的共有18÷30%=60（人）， 正确：因为三次函数为M=0.168x3+28.141x2-29.027x+ 采用外科疗法的有40人，其中治愈的有40×50%=20（人）. 6.889,则当x=10时，y1=2698.719(亿元)，故选项D错误.] 所以列联表如下表： 193