课时分层检测(20)分类变量与列联表独立性检验-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 课时分层检测（二十）分类 基础达标练 0 1.在吸烟与患肺病是否有关的研究中，下列属 于两个分类变量的是 ) A.吸烟，不吸烟 B.患病，不患病 C.是否吸烟，是否患病 D.以上都不对 2.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系， 应用独立性检验法算的X为5.003，又已知 P(x≥3.841)=0.05，P(x2≥6.635)= 0.01,则下列说法正确的是 ( A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认 为“X和Y有关系” B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认 为“X和Y没有关系” C.依据小概率值α=0.01的独立性检验，认 为“X和Y有关系” D.依据小概率值a=0.01的独立性检验，认 为“X和Y没有关系” 3.为了解某高校学生使用手机支付和现金支 付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计 其喜欢的支付方式，并制作出如下等高堆积 条形图： 0.9 0.9 0.8 0.7 0.6 0.6 0.5 05 0 0.3 0.2 0.1 现金支付手机支付 男生女生 口男生口女生 ☐现金支付☐手机支付 根据图中的信息，下列结论中不正确的是 A.样本中多数男生喜欢手机支付 B.样本中的女生数量少于男生数量 C.样本中多数女生喜欢现金支付 D.样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手 机支付的数量 得分 变量与列联表 独立性检验 4.(多选)某校计划在课外活动中新增攀岩项 目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关 联，面向学生开展了一次随机调查，其中参 加调查的男、女生人数相同，男生喜欢攀岩 的占80%，女生不喜欢攀岩的占70%，则 n(ad-bc)2 参考公式：X=(a+b)(c十d)(a+c)b+d A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数 比喜欢攀岩的女生人数多 B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不 喜欢攀岩的人数多 C.若参与调查的男、女生人数均为100，则依 据独立性检验的思想认为喜欢攀岩和性 别有关联 D.无论参与调查的男、女生人数为多少，都 可以依据独立性检验的思想认为喜欢攀 岩和性别有关联 5.为了研究经常使用手机是否对数学学习成 绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进 行了调查，随机抽取高二年级50名学生的 一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2 列联表： 成绩 使用手机情况 合计 及格 不及格 很少 20 5 25 经常 10 15 25 合计 30 20 50 n(ad-bc)2 参考公式：X=a十b2+ac0+D其 中n=a+b+c+d. 附表： a 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 班级 姓名 参照附表，得到的正确结论是 ( A.依据小概率值α=0.001的独立性检验，认： 为“经常使用手机与数学学习成绩无关” B.依据小概率值α=0.001的独立性检验，认 为“经常使用手机与数学学习成绩有关” C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认 为“经常使用手机与数学学习成绩无关” D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认 为“经常使用手机与数学学习成绩有关” 6.世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁 和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行 调查，对高于40岁的调查了50人，不高于 40岁的调查了50人，所得数据制成如下列 联表： 西班牙队 年龄 合计 不喜欢 喜欢 高于40岁 p 50 不高于40岁 15 35 50 合计 a b 100 若工作人员从所有统计结果中任取一个，取 到客欢西班牙队的人的概率为号·则认为年 : 龄与西班牙队的被喜欢程度有关.这种推断 犯错误的概率不超过 n(ad-bc)2 附：X2=a+b)(c+d(a+c)(6+d0 临界 值表： a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 7.为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100 名患者中的一部分患者采用了外科疗法，另 一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治 疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图， 如下： 治愈率等高堆积条形图 100% 80% 60% 口治愈 口未治愈 309 20 10 % 外科疗法 化学疗法 11 得分 (1)根据图表完善以下关于治疗方法和治愈 情况的2×2列联表： 疗效 疗法 合计 未治愈 治愈 外科疗法 化学疗法 18 合计 100 (2)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分 析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)c+)(a十c)(b+d（如需 计算x,结果精确到0.001). X独立性检验中常用小概率值和相应的临 界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 班级 姓名 8.手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过 手机实现衣食住行消费已经成为一种主要 的消费方式.在某市随机调查了200名顾客 购物时使用手机支付的情况，得到如下的 2×2列联表.已知从使用手机支付的人群中 随机抽取1人，抽到青年的概率为 (1)根据已知条件完成2×2列联表，并根据 小概率值α=0.005的独立性检验，判断市场 购物用手机支付与年龄是否有关？ 2×2列联表： 青年 中老年 总计 使用手机支付 120 不使用手机支付 48 总计 200 (2)现采用分层抽样的方法从这200名顾客 中按照“使用手机支付”和“不使用手机支 付”抽取得到一个容量为5的样本，设事件A 为“从这个样本中任选2人，这2人中至少有 1人是不使用手机支付的”，求事件A发生的 概率. 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d④，其中 n=a十b+c+d, 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 得分 0 能力提升练 0 1.(多选)为了解阅读量多少与幸福感强弱之 间的关系，一个调查机构根据所得到的数 据，绘制了如下的2×2列联表（个别数据暂 用字母表示)： 幸福感强 幸福感弱 合计 阅读量多 m 18 72 阅读量少 36 n 78 合计 90 60 150 计算得：X2≈12.981，参照下表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 对于下面的选项，正确的为 ( A.根据小概率值α=0.010的独立性检验，可 以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关” B.m=54 C.根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认 为“阅读量多少与幸福感强弱有关” D.n=52 2.某卫生机构对366人进行健康体检，其中某 项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有 16人，不发病的有93人：阴性家族史者糖尿 病发病的有17人，不发病的有240人，故根 据小概率值α= 的独立性检验，认 为糖尿病患者与遗传有关系 A.0.001 B.0.05 C.0.01 D.0.025 3.（多选)在一次恶劣气候的飞行航程中，调查 男女乘客在机上晕机的情况，如下表所示： 晕机 不晕机 合计 男 11 15 n13 女 6 1122 1123 合计 7131 28 46 附：参考公式： n(ad-bc)2 (=(a+c)(b+d0(a+b)(c+d)1 其中n=a+b+c+d. 班级 姓名 得分 独立性检验临界值表 :5.甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它 0.10 0.05 0.025 0.010 们加工后的零件尺寸x(单位：cm)及个数y, 2.706 3.841 5.024 6.635 如下表： 则下列说法中正确的是 零件尺寸x 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 A.”1>6 零件 甲 3 7 8 9 n131n23 个数y 乙 7 4 B.x2<2.706 由表中数据得y关于x的经验回归方程为 C.在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认 y=-91+100x(1.01≤x≤1.05)，其中合格 为在恶劣气候飞行中，晕机与否跟性别： 零件尺寸为1.03士0.01cm.完成下面列联 有关 表，并依据小概率值α=0.01的独立性检验， D.没有理由认为在恶劣气候飞行中，晕机与： 分析加工零件的质量与甲、乙是否有关， 否跟性别有关 零件的质量 4.在某测试中，卷面满分为100分，60分为及： 机床加工 合计 合格零件数 不合格零件数 格，为了调查午休对本次测试前两个月复习 甲 效果的影响，特对复习中进行午休和不进行 午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如 乙 下表所示 合计 分数段29-40 415051~6061-7071~8081-90 91-100 午休考生 23 30 21 14 31 14 人数 不午休考 17 51 67 15 30 17 生人数 (1)根据上述表格完成列联表. 及格人数 不及格人数 总计 午休 不午休 总计 (2)判断能否根据小概率值α=0.05的独立 性检验，判断午休对测试成绩的影响？ 1166.4[由于经验回归直线一定过点（工，期点（受，8计四）-定在3.0.06[因为=2x十1，故当=2时，小=5，=-0.1，x=3 7,e2=0.1,x=4,=9,e8=0.2,则e+e+e号=0.01十0.01十0.04 经验回归直线上，所以代入方程可得m=4.] =0.06.] 7.0.2[因为y=-3.2.x十40.当x=11时，y=-3.2×11十40= !4.解(1)设模型y=0.9369十0.0285√匠和v=0.9554+0.03061hx的 4.8,故e=5-4.8=0.2.] 决定系数分别为和， 8.13.5[由已知可得元=0×(24+15+23+19十16+11+20+ 时府-1002=100 0.000164 16+17+13)=17.4,y=10 ×(92+79+97+89+64+47+83+: 因为0.000591>0.000164，所以R<R. 68十71十59)=74.9.设经验回归方程为y=3.53x十a,把(x,y)代 所以模型y=0.9554十0.0306lnx的拟合效果更好. 入，得74.9=3.53×17.4十a,解得a≈13.5，则经验回归直线在y (2)由(1)知，模型=0.9554十0.03061nx的拟合效果更好，利用 轴上的裁距为13.5.] 该模型预测可得，这个小区2021年6月份的在售二手房均价为 9.解(1)经计算，r=5,v=0.48, y=0.9554+0.0306ln18=0.9554+0.0306(1n2+21n3)≈ 由0.48=56十0.88可得，b=-0.08, 1.044(万元/平方米) 当x=8时，y=-0.08×8十0.88=0.24， 课时分层检测（二十） 所以当浇灌海水浓度为8%时，该品种的亩产量约为0.24吨. (2)①由(1)知=-0.08x十0.88，从而有 基础达标练 :1.C[“是否吸烟”是分类变量，它的两个不同取值：吸烟和不吸烟， 海水浓度x,(%) 6 7 “是否患病”是分类变量，它的两个不同取值：患病和不患病.可知 亩产量y(吨) 0.62 0.580.49 0.4 0.31 A,B都是一个分类变量所取的两个不同值.] 残差e -0.020.020.01 0 2.A[因为3.841<X2=5.003<6.635=x0.01·又P(X≥3.841)= -0.01 0.05,所以依据小概率值a=0.05的独立性检验，认为“X和Y有关 ②R2=1 0.0004+0.0004十0.0001十0+0.0001 系”] 0.142+0.12+0.012+(-0.08)2+(-0.17)2 3.C[对于A,由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对：对 0.00164 =1-0.06s65≈0.98， 于B,由左图可知，样本中的男生效量多于女生数量，B对：对于C, 由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错：对于D,由右图可 所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的. 知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对，故 10.解(1)依题意设y与x的经验回归方程为y=6.5x十a, 选C.] x-2+4+5+6+8=5, 5 :4.AC[由题意设参加调查的男、女生人数均为m,则得到如下2×2 y=30+40+60+50+70=50. 列联表： 5 喜欢攀岩 不喜欢攀岩 合计 ,y=6.5.x十a经过(x,). .50=6.5X5+a,.a=17.5, 男生 0.8m 0.2m m ∴y与x的经验回归方程为y=6.5x十17.5. 女生 0.3m 0.7m m (2)由(1)的线性模型得y一少：与y:下的关系如下表： 合计 1.1m 0.9m 2m V:一V 0.5 -3.5 10 -6.5 0.5 所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人 yi-y 20 10 10 0 20 数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少， 故A正确，B错误： 所以2(，-y,)2=(-0.5)2十(-3.5)2+102+(-6.5)2+ =1 由列联表中的数据，计算得到x2-2m(0.56m-0.06m)250m 0.52=155 1.1m·0.9m·m·m99 当m=100时， 2(y,-)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1000. = X-500_50X90≈50.505>10.828=0m1, 99 99 (y-,)2 所以R=1 =1 =1 (y,-) 1000=0.845. 155 所以当参与调查的男、女生人数均为100时，依据小概率值a 0.001的独立性检验，认为喜欢攀岩和性别有关联，故C正确，D错 =1 误，故选AC.] 由于R=0.845,R2=0.82知R>R2, :5.D[零假设为H:经常使用手机与数学学习成绩无关，由题中数据 所以(1)的一元线性回归模型拟合效果比较好 能力提升练 可得，x-5020X55X20Y-25≈8.333>7.879=s,根据 25×25X30×20 -3 1.BD[由经验回归方程中x的系数0.7为正数知，y与x正相关，故 小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断H。不成立，即在犯错 A选项错误：由题意可知7=石(1十2十3十4十5十6)=3.5，y 误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成 绩有关”，] 合(m+0,3十2.2十m,十.5十m)=2.25,所以a=2.25-0.7×6.0,05[设从所有人中任意轴取-个，取到春欢西班牙队的人”为 3.5=一0.2，所以y=0.7x一0.2，故B选项正确：经验回归直线过1 事件A,由已知得PA)=结5-=号，所以g=25p=25,a=40, 点(x,v),即过点(3.5,2.25)，故C选项错误；令x-10,得y=0.7× 10-0.2=6.8,故D选项正确.] b=60.X-10X25X3525X15》-25≈4.167>3.841=os 40×60×50×50 6 2.AC[由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正相关1 认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关，这种推断犯错误的概率不 关系，故选项A正确：由散点图以及线性回归模型和三次函数回归！ 超过0.05.] 模型的位置关系可知，三次西数回归糢型的残差平方和小于线性回：7.解(1)根据等高堆积条形图，采用化学疗法的治愈率为30%， 归模型的残差平方和，故选项B错误：因为0.999>0.936，所以三次： 由列联表得化学疗法治愈的人敦为18， 函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果，故选项C: 故采用化学疗法的共有18÷30%=60（人）， 正确：因为三次函数为M=0.168x3+28.141x2-29.027x+ 采用外科疗法的有40人，其中治愈的有40×50%=20（人）. 6.889,则当x=10时，y1=2698.719(亿元)，故选项D错误.] 所以列联表如下表： 193 疗效 13.ABD[由列联表数据，得n22=28-15=13, 疗法 合计 n28=6+13=19,n1a=46-19-27, 未治愈 治愈 n1=27-15=12,m31=12+6=18 外科疗法 20 % 填表如下： 晕机 不晕机 化学疗法 42 18 60 合计 合计 62 38 100 15 2 (2)零假设为H。:此种疾病治愈率与治疗方法无关， 女 13 19 则根据列联表中的数据计算= 100×(20×18-42×20)224001 合计 18 28 46 62×38×60×40 589 4.075>3.841=x0.s, 所以 1266 12 n13 27'n2319-381 所以依据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立，即 认为此种疾病治愈率与治疗方法有关，此推断犯错误的概率不大于· 1>6,所以A正确： 13n23 0.05. 8.解(1)：从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概 计算×2=46X02X13715X6)≈0.75<2.706，即B正确： 18×28×27×19 来为0 且没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟性别有关联，即D 正确；故选ABD.] ·使用手机支付的人群中的青年的人教为0×120=84。 4.解(1)由题意，2×2列联表如下： 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为120一84=36， 及格人数 不及格人数 总计 所以2×2列联表为： 午休 80 100 180 青年 中老年 总计 不午休 65 135 200 使用手机支付 84 36 120 总计 145 235 380 不使用手机支付 32 48 80 (2)零假设H。:午休与测试成绩之间无关. 总计 116 84 200 计算x=380X(80X135-65X1002 X_2084X4836X32 145×235×180×200 ≈5.728>3.841. 3600≈17.734 因此，根据小概率值α=0.05的独立性检验，假设不成立，即午体与 116×84×80×120 203 测试成绩之间是有关的，此推断犯错误的概率不超过0.05. 17.734>7.879,P(x2≥7.879)=0.005， 根据小概率值α=0.005的独立性检验，认为市场购物用手机支付 !5.解=1.03，y=a+49 5 与年龄有关，此推断犯错误的概率不超过0.005. 由0=-91+100.x,知a+49 -91+100×1.03, (2)这200名顾客中采用分层抽样，从“使用手机支付”和“不使用手 机支付”中抽到一个容量为5的样本中， 所以a=11. 使用手机支分的人有5×器-3人，记编子为123. 由于合格零件尺寸为1.03士0.01cm, 故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为 不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b. 零件的质量 则从这个样本中任选2人有(1,2)，(1,3)，(1，a),(1,b),(2,3), 机床加工 合计 (2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b)共10种. 合格零件数 不合格零件数 共中至少有1人泥不使用手机支什的有1,2,1,6.2,0 甲 24 6 30 (2,b),(3,a),(3,b),(a,b)共7种. 乙 12 18 30 故所求事件A的概率P(A)= 合计 36 24 60 能力提升练 1.BC[,X2≈12.981，P(x。≥6.635)=0.01，P(x。≥7.879)= 零假设为H。:加工零件的质量与甲、乙无关， 0.005,又12.981>6.635,12.981>7.879，.根据小概率值a= n(ad-bc)2 则x2= 0.010的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 60×(24×18-6×12)9 “阅读量多少与幸福感强弱有关”，根据小概率值a=0.005的独立 30×30×36×24 性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多 =10>6.635=x6.01 少与幸福感强弱有关”，.A错，C对，，m十36=90,18十n=60, 根据小概率值Q=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为 ∴.m=54,n=42,.B对，D错，故选BC.] 加工零件的质量与甲、乙有关.此推断犯错误的概率不大于0.01， 2.B[可以先作出糖尿病患者与遗传列联表（单位：人）： 章末检测卷（一） 糖尿病 A卷—一基本知能盘查 家族史 糖尿病发 糖尿病不发 合计 1.B[由题意可得李芳不同的选择方式有4X3十2=14种.] 病(Y=0) 病(Y=1) 广有c无排4个a有1种排法，再从5个空格中选2个位置放6， 有C号=10（种）排法.] 阳性家族史(X=0) 16 93 109 3.D 阴性家族史(X=1) 17 240 257 [(2-是)晨开式的逼项公式为T1=C心·(2)… 合计 33 333 366 【-二)）广=C(-2)·x0,令10-37=1.解得r=3,所以展 根据列联表中的数据，经计算得到 开式中x的系数是C·(一2)3=一80.故选D.] X-36X6X2407X8)'≈6.067>3.841=s 4.A[分为两类：①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有 109×257×33×333 C吲=4（种）放球方法；②1号盒于放入2个球，2号盒子放入2个球， 故根据小概率值《=0.05的独立性检验，认为糖尿病患者与遗传有： 有C号=6（种）放球方法， 关系，] 所以共有C十C号=10（种）不同的放球方法.] 194