课时分层检测(17)正态分布-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

5.小GD[由超几何分布的定义可知B为超几何分布，其余不是想几4.15[用X表示中奖票数，P(X≥1)=CC十CC0.5→ 何分布.] C20 C5o 61[由题加的所有取值为01.2P(=0)是-日，Pg=)= 481 48！ 2·mD1（49-+n-20150-md ，所以2n(50-n) >1 50！ 50！ 50×49 图-子=2智-宁所以随款发与期婴为B日 1 n！(50-n刀 n！(50-n)1 C 5 n(n-1)、1 0x÷+1x号+2x=1.] 50X49>2,又n∈N,解得n≥15.] 5.解(1)甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率 7.2或3[由题意可知，X藏从是几何分有，且C_C,所以 Ci2 为P C5C545×1545 C。 30×59118 CCx CCCC ,所以X=2或3.] (2)1的分布列为 8解()甲，乙，丙，T日个公国幸运之星的人鼓分别为锡X10=3, 51 5 10 15 20 P 3 1 0×10=4,0×10=2点×10=1 (2)根据题意，乙公国中每位幸运之星获得纪念品的概率为 E=5×号 5 +10× +15× 12 1+20× c()=÷ 每的分布列为 8 12 16 所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为C号 4 ()-器 15 3 15 (3)由题意，知X的所有可能取值为2,3,4，服从超几何分布，P(X=2)! E()=4X 15 义4+12×+16×15=4X76-164 +8× 4 3 cc2 15 1515 C6=15 ,E()<E(2), ,公司应选培训方式一」 P(X=3)= CC 8 Cio 5,P(X=4)= CC9 3 6.解(1)X的所有可能取值为0,1,2， 所以X的分布列为 P(X=0)= 度=名，Px=1)==号P(X=2)= C=2 C9 2 4 ∴X的分布列如下： 2 8 1 0 2 15 15 3 2 9 9,解(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X, X的可能取值为0,1,2,3，且服从超几何分布， E(X)=0X9 5+2× +1× 2 9 =1 则P(X=) CC -,k=0,1,2,3, (2)新药无效的情况有：10人中1人痊愈、10人中0人痊愈， Cio P(X=0) CRC 1 p=c(3)·(2)+(合)·(2)=02≈.1 C1030 <5%.可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效， P(X=1) ClC ∴，该试验方案合理 Cio -10 P(X=2) Cicl 课时分层检测（十七） C10 =2 基础达标练 P(X=3) !1.B[由正态密度西数的定义和解析式可知，总体的均值=10，方 C。 差o2=4,即。=2.] 所以X的分布列为 !2.C[因为P(<1)=P(≥7)=0.2，所以=4，即正态曲线的对称 0 1 轴为u=4,所以P(<4)=0.5,又P(1)=0.2,所以P(1<4) =0.5-0.2=0.3.] 30 1 2 6 :3.ACD[根据正态曲线关于直线x=:对称，且以越大，图象越靠近 右边，所以<=4，故B错误，C正确；又。较小时，峰值高，曲 (2)他能及格的概率为P(X≥2)=P(X=2)十P(X=3)= 1 线“瘦高”，所以1=62<，A,D正确.] 61 14.B[P(X165)= ×(-专)，则样本中不高于165m 能力提升练 的同学复用约为160×六-160.] 1.A[当摇出的3个小球中有1个标有数字2,2个标有数字5时，5，AB[因为学生的成绩服从正态分布N(110,100),所以期望为 X=12RPX=10-答-市 110,标准差为10，故A正确，C错误：因为P(110一20<110十 2.C[:P(X=20)<P(X=30),∴.C8p20(1-p)0<C8p0(1- 20)=P(90<×130)=0.9545,所以P(≥130)=1-0.9545 p)”,化简得1p<p,即p>分，又D(X)=8=50p(1-p),解得 0.02275,所以P(≥90)=0.02275+0.9545=0.97725，故B正 确；P(90)=P(130)=0.02275,因为P(110-10<<110十 p=0.2或p=0.8,∴.p=0.8.] 10)=P(100<<120)=0.6827,所以P(≥120)=1-0.6821 2 [根据题意，得行C之，解得a=2戎a 0.15865>0.02275,所以D错误.] 190 6.6[由题意，随机变量服从正态分布N(4,3),可得：=4，a=3,1 用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得以=7，σ=0.8. 又由P(a-5)=P(>a十1)，可得x=a-5和x=a十1关于直1 (2)由(1)知XN(7,0.8),因为√0.8≈0.9，所以≈0.9， 线x=4对称，所以a-5十a十1-8，解得a=6.] 因为P(4一o≤X≤4十6)≈0.6827，P(4一2a≤X≤4十2a) 7.10417[由正态分布曲线的对称性，可得P(X<19.95)=P(X>· 0.9545, 20.05)= 0所以P(10.95≤X≤20.05)=1品-器设应生产 所以P(7.9≤X≤8.8)=2×[P(5.2≤X≤8.8)-P(6.1≤X≤ 的钢管根教为，期号=1000，解得≥1041.] 7.9]≈号×(0.9545-0.6827)=0.1359 8.0.8[因为正态分布的均值为1，所以P(1<<2)=P(0<<1)= 即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50m步枪射击个人平 0.4,所以P(0<2)=P(0<<1)十P(1<<2)=0.8.] 均成绩在区间[7.9,8.8]的概率约为0.1359. 9.解(1)由XN(2,a), 6.解(1)x=0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+ x=2 对称轴x=2,画出示意图， 0.004×50×355十0.001×50×405=300（千米）. 因为P(0<X<2)=P(2<X<4), (2)因为X服从正态分布N(300,50),所以P(250<X≤400)≈ 所以P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2 0.95450,9545,0.6821=0.8186. =0.4. 2 (3)第一次掷硬币出现正面，车模从第0格移到第一格，其概率为 (2)PX>40=[1-P0<X<4]=1-0.4)=0.3. 立，即P=立移动到第二格有两类情况，P,=豆义2十立 10.解设该公司职工年均收入X~N(4,g), 由题图可知=80000，o=5000. 子.车模移到第(3≤≤19)格的特见是下列两种，而且也只有 (1)该公司职工年均收入的正态密度函敦解析式为 两种 f(x)=1 x-2 (x-80000)2 5000√2元 2×50002· ①车模先到第一2格，又掷出反面，其概率为号P. G√2元 (2)因为P(75000X85000) @车模先到第一1格，又掷出正面，其概率为子P, =P(80000-5000X80000+5000) ≈0.6827， iP.-P-i+P-P.-P-1--(P.--P-2). 所以P(80000≤X≤85000)=号P(75000≤X≤8500)≈ 当3≤1≤19时，数列(D。-P-1是公比为-令的等比数列. 0.3414. 即该公司职工年均收入在80000~85000元之间的人数所占的百： :n=P:-B=(-2）P-乃=(2)，经验证m=2 分比约为34.14% 也满足.(D。-卫-1是公比为-之的等北教列。 能力提升练 1.D[因随机变量-N(4,1),且P(<-1)=0.5,则有=一1，而 B=P-B=()n-P=()…-P o=1,于是有P(-2<0)≈0.6827，P(-31)≈0.9545，所 以P(0<≤1)= 2[p(-3<c-1)-p(-2<K0)]= =(合)广，以上各式相加，得卫。=+（合）+(）十 号(0.9545-0.6827)=0.135.] +(-)月 2.BC[由题图可知4<0<0<a1<,P(Y≥)<P(Y≥41)， 即p,-1=(-)+(-)+()+…+(-2)° 故A错：P(X2)>P(X©1)，故B正确：当1为任意正数时，由题1 图可知P(X≤t)>P(Y≤t),而P(X≤t)=1一P(X≥t),P(Y≤t)= 3[-(合)] 1-P(Y≥t),∴.P(X≥t)<P(Y≥t),故C正确，D错.] P=号[1-()]n=2,19,经检验m=1时也符 3.AC[因为随机变量服从标准正态分 布N(0,1),所以正态曲线关于=0对 令P.号[-（）]=1219 称，如图所示.又@(x)=P(x),x>0, 所以（一x)=P(-x)=P(≥x)=1 ·获得优惠券的概率P=号[-（合)] 一g(x),故选项A正确：因为p(2x)=P (2.x),20(x)=2P(x）,所以(2x） 获得车接的概率P=专P=专[+（侵）]设参与游成的6人 ≠2(x),故选项B不正确；因为P(|<x)=P(一x<<x)=1一 2(-x)=1一2[1一o(x)]=2o(x)-1,故选项C正确：P(||>x)1 获得优惠券的有X人，由题可知X~B(6,号[-（之)]） =1-P(l<x)=1-[2(x)-1]=2-2p(x),故选项D不正确.] ax的期望x0=6×号[1-（令）]4-()] 4.10.1359[由正态分布的概率密度函数知=1,6=1，所以总体分 设优惠券总金额为Y万元，Y=6X, 布密度曲线关于直线工=1对称，且在x=1处取得最大值.根据正态分！ 布密度曲线的特点可知1为f(x)的极大值点.由XN(1,1),知P(2< 六优惠春总会颜的期望EY)=E(6X)=4[-（合)]X6= X≤3)=号[P(-1≤X≤3)-P0≤X≤2]=z[P1-2X1≤X≤ 24[1-(-)]24(万元). 1+2×1)-P1-1≤X≤1+1]≈号×(0.09545-0.6827)= 课时分层检测（十八） 0.1359.] 基础达标练 5.解(1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布：1.D[当两个变量之间具有确定的关系时，两个变量之间是函数关 列为（用频率估计概率）： 系，而不是相关关系，故A错误；球的体积与该球的半径之间是函数 关系，故B错误：农作物的产量与施化肥量之间的关系是相关关系， X 4 5 6 8 9 是一种非确定性关系，故C错误；学生的数学成绩与物理成绩之间 P0.010.020.26 0.400.290.02 的关系是相关关系，是一种非确定性关系，故D正确.故选D.] !2.D[由散点图可得，从左到右第一个和第三个图中的点大致分布在 E(X)=4×0.01十5×0.02+6×0.26十7×0.40+8×0.29十9×1 一条直线附近，两个变量x和y具有相关性：而第二个图中的点较 0.02=7, 分散，两个变量x和y不具有相关性：又第一个图中的点由左下方 方差D(X)=(4-7)2×0.01+(5-7)2×0.02+(6-7)×0.26+1 到右上方，两个变量工和y正相关：第三个图中的点由左上方到右 (7-7)2×0.40+(8-7)2×0.29+(9-7)2×0.02=0.8. 下方，两个变量x和y负相关.] 191班级 姓名 得分 课时分层检测（十七） 正态分布 …0 基础达标练0… A.期望为110 B.及格率超过95% 1.设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x): C.标准差为100 的图象，且f(x)= -e 「，则这个正态 D.不及格的人数和优秀的人数大致相等 √8 :6.设随机变量服从正态分布N(4,3),若 总体的均值与标准差分别是 ( ) P(<a-5)=P(>a+1),则实数a= A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 7.某钢管销售商欲从钢管厂预定10000根内 2.已知随机变量服从正态分布N(4,o2),若： 径为20mm的钢管，要求内径误差不得高于 P(<1)=P(≥7)=0.2，则P(1<<4)= 0.05.已知钢管内径（单位：mm)服从正态分 ) 布N(20,o2)(σ>0)，技术人员通过对以往该 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 类产品的数据分析，估计即将生产的钢管内 3.（多选)已知三个正态密度函数f:(x)= 径低于19.95mm的钢管占钢管总数的0： 1 ·e2(x∈R,i=1,2,3)的图象如 0;√2元 应生产的钢管根数至少应为 图所示，则下列结论正确的是 )8.在某项测量中，测量结果专服从正态分布 N(1,o2)(σ>0).若在(0,1)内取值的概率为 fx) f(x)f(x) 0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为 9.在一次测试中，测试结果X服从正态分布 (x) X~N(2,o2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的 概率为0.2，求： A.01=02 B.h1>3 (1)X在(0,4)内取值的概率； C.2= D.o2<09 (2)P(X>4). 4.某中学抽取了1600名同学进行身高调查， 已知样本的身高（单位：cm)服从正态分布N (170,62).若身高在165cm到175cm的人 数占样本总数的号，则样本中不高于165cm 的同学数目约为 A.80 B.160 C.240 D.320 5.(多选)已知在某次数学测验中，某校学生的 成绩服从正态分布N(110,100),其中90分 为及格线，120分为优秀线，则该校学生成绩 ( 参考数据：若一N(,o2),则P(u一o<<u 十o)≈0.6827，P(r-2G<<u十2G)≈ 0.9545,P(u-3o<<u+3o)≈0.9973. 104 班级 姓名 得分 10.已知公司职工年均收入X服从正态分布，： A.P(Y≥2)≥P(Y≥1) 其正态密度曲线如图所示， B.P(X≤o2)>P(X≤o1) C.对任意正数t,P(X≤)>P(Y≤t) 50002元 D.对任意正数t,P(X≥t)>P(Y≥t) 3.(多选)若随机变量N(0,1),9(x)=P(≤ x),其中x>0,则下列等式成立的是() 80000 A.p(-x)=1-p(x) (1)写出该公司职工年均收入的正态密度： B.o(2x)=2p(x) 函数的解析式； C.P(|E|<x)=2p(x)-1 (2)求该公司职工年均收入在80000~ D.P(|E|>x)=2-9(x) 85000元之间的人数所占的百分比. 4.已知某正态分布的概率密度函数为f(x)= 1·e ,x∈(-∞，十∞)，则函数 V f(x)的极值点为 ,X落在区间(2， 3]内的概率为 5.已知某军区新兵50m步枪射击个人平均成 绩X(单位：环)服从正态分布N(,o2),从中 随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到 如下的频数分布表： X 5 6 9 频数 2 26 40 29 2 (1)求4和σ2的值（用样本的均值和方差代 替总体的均值和方差)； (2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新 兵的50m步枪射击个人平均成绩在区间 …0能力提升练0… [7.9,8.8]的概率. 1.若随机变量XN(u,o2),则P(u一o<X≤ 参考数据：√J0.8≈0.9. +o)≈0.6827，P(-2o<X≤+2o)≈ 0.9545.已知随机变量~N(u,1),且P(< -1)=0.5,则P(0<1)= A.0.4772 B.0.3413 C.0.2718 D.0.1359 2.(多选)设X~N(h1,),Y~N(2,o3),这 两个正态密度曲线如图所示.下列结论中正 确的是 ( X的正态 密度曲线 Y的正态 密度曲线 105 班级 姓名 得分 6.为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系 (1≤n≤19)格的概率为Pm,试证明{Pm 列优惠促销方案.要保证品质兼优，特斯拉 Pm-1(n≥2)是等比数列；若有6人玩游戏， 上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Model:3 每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额 型汽车作为样本进行了单次最大续航里程： 的期望值（结果精确到1万元）. 的测试.现对测试数据进行分析，得到如图： 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(, 所示的频率分布直方图： g2),则P(4-o<≤十o)≈0.6827，P(u 频率 2o<u+2o)≈0.9545，P(u-3o<5≤4十 组距 0.009- 3o)≈0.9973. 0.004 0.002 0.001 0 180230280330380430单次最大续 航里程/千米 (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程： 的平均值（同一组中的数据用该组区间的中 点值代替). (2)根据大量的测试数据，可以认为Model3: 这款汽车的单次最大续航里程X近似地服 从正态分布N(,σ2)，经计算第(1)问中样 本标准差、的近似值为50.用样本平均数x: 作为4的近似值，用样本标准差s作为σ的 估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它 的单次最大续航里程恰在250千米到400千 米之间的概率。 (3)为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉 销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢 大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的 结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最 终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠 券6万元；若最终停在“赠送车模”方格时， 则可获得车模一个.已知硬币出现正、反面 的概率都是0.5，方格图上标有第0格、第1 格、第2格、…、第20格.车模开始在第0 格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次。！ 若掷出正面，车模向前移动一格（从到十 1),若掷出反面，车模向前移动两格（从到： k十2)，直到移到第19格（幸运之神）或第20： 格（赠送车模）时游戏结束.设车模移到第n: 106