课时分层检测(8)二项式系数的性质-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（八） 二项式系数的性质 :8.(x十2y)4展开式中二项式系数最大的项的系 0 基础达标练。… 数为 (用数字作答) 1.在(x十y)”的展开式中，第4项与第8项的 1 9. 的展开式中，奇数项的二项式 系数相等，则展开式中系数最大的项是 ( 系数之和为128，且前三项系数成等差数列. A.第6项 B.第5项 (1)求a的值； C.第5、6项 D.第6、7项 (2)若a<3,展开式有多少有理项？写出所 2.(2x一3)10的展开式中，奇数项的二项式系数 有有理项。 和为 ( ) A.210 B.29 C510-1 D.二1510 2 2 1!, 3.（多选)若(1-2x)5=a0十a1x十a2.x2十a3x3+ a4x十a5x5,则下列结论中正确的是 ( A.a0-1 B.a1十a2十a3十a4+a5=2 C.a1-a2十a3-a4+a5=35 D.ao-a1|+a2-a3|+a4-a5=-1 10.在(x一y)1的展开式中，分别求解下面 4.已知关于x的二项式 〔+品 展开式的 问题： 二项式系数之和为32，常数项为80，则a的 (1)二项式系数最大的项： 值为 ( ) (2)项的系数绝对值最大的项； A.1 B.士1 C.2 D.士2 !: (3)项的系数最大的项和系数最小的项； 5.设(3x-2)6=a0十a1(2x-1)+a2(2x-1)2+ (4)二项式系数的和. 十a5(2x-1)°，则，4+a3十a5 a0+a2十a4十a6 A腊 B.-64 65 C.-63 65 n器 6.已知(2x十√2)4=a0十a1x十a2x2+a3x3+ a4x,则(a0十a2十a4)2-(a1十a3)2= 若二项式司 的展开式中只有第4项 的二项式系数最大，则展开式中常数项为 85 班级 姓名 得分 :2.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的 …0 能力提升练 0… 许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中 1.已知Sn是数列{an}的前n项和，若(1- 蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶 2x)2021=b0+b1x+b2x2+…+b2021x2021, 杨辉三角： 数列{a,}的首项a2 +%+…+ 0 22 22021, 第2 1 第3 146 第4 au+1=Sm·S+1,则S2021= 510 1051 第5 112155203515216 .5 第6 列列 1 列 A.一2021 B.2021 18285670562881--=----.第8斜列 193684126126843691-第9斜 第10行1104512021025221012045101-第10斜列 C.2021 D.-2021 第11行1115516533046246233016555111--第11斜列 2.若(1-2zx)2023=a十a1x十…+a2023x2023 (1)求第20行中从左到右的第4个数； （红∈R0.则g十2爱+…+28的值为 (2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6， 10,15,在第3斜列中，第5个数为35.显然， 1+3+6十10十15=35.事实上，一般地有这 A.2 B.0 C.-2 D.-1 样的结论：第m一1斜列中（从右上到左下） 3.(多选)若(2x-1)10=a0十a1x十a2x2十…十 前飞个数之和，一定等于第m斜列中第 a10x10,x∈R,则 个数 A.a2=180 试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示 B.aol+a1|+a2+…+|a1ol=310 上述结论，并给予证明. C.a1+a2+…+a10=1 n+器+2+…+28=-1 210 6在》 的展开式中，系数绝对值最 大的项为 5.已知(2x一1)”二项展开式中，奇次项系数的 和比偶次项系数的和小38，则C,+C?+C 十…十C7 0创新拓展练0 1.在形如(a+b)m=C9a"+Ca"-1b+…十 Ca"-rbr十…+Cbn的展开式中，我们把 C(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数，类似 地在(1+x十x2)”=D%十Dx十D%x2+…十 D-1x2m-1十Dx2m的展开式中，我们把D% (r=0,1,2,…,2)叫做三项式系数，则： D8o15·C8o15-D2o15·C2o15+D3o15· C3015-…+（-1)D吃o15·C吃o15+… D号·C号81的值为 86(1)设T,+1项为常敦项，则3051=0， !创新拓展练 6 !1.A[:(x十m)2m+1展开式中的通项公式为T+1=C5n+1x2m+1 得r=6,即常数项为T7=2C=320320: m',令2n十1一r=n,解得r=n十1，∴展开式中含x”的项为C (2)设工+1项为有里项，期0。r-5-名r为整：， 6 m+x”:同理(mx十1)2"展开式中含x”的项为Cgnm”x”,由题意得 ∴r为6的倍数，又0≤r≤15，r可取0,6,12三个数 C站m=2a,解得m=宁(+）“∈N 即共有3个有理项， a0<2m市≤2x1干1<1+2n市≤1+号，即号< 1 1 (3)5一为非负整数，得r=0或6…有两个整式项。 能力提升练 (+)导牌m(合·号]门 1.C[原式=(7+1)”-C份=8”-1=(9-1)”-1=9”-C4·9”-1+ !2.解法一：利用二项式的展开式解决 C%·9”2-…十C1·9(-1)-1十(-1)”一1，除最后两项外，其 余各项都是9的倍数.因为n为正奇数，所以（一1）”一1=一2= (2 2）广=(22)-c2)× +C(22) () 一9十7，所以余数为7.] 2.D[82o21=(7+1)2o21=C9021X72021+C21×72o20+…+C88× C8(2x2)5 () +C8(2x2)1 (房 7十C,82021除以7余数为1故经过8221天后是星期六.] 3.AD[二项式（子十）的展开式的通项为T+1=C“, C8(2x2)2× 侯) C8(2x2)× ()+c() 则第5项的二项式系数为C=70,第5项的系数为C×2=1120, 由通项可知，当n=4k(k∈N)和n=4k-1(k∈N*)时， 展开式中分别存在常数项和x的一次项.] (2)由(1)中(2z2 的展开式可知倒数第3项为C×(2x2)2X 4.解1x+之-2=-2+之-（e士）： ()=12 (e+是2)=() 法二：利用二项展开式的通项公式 cx+ex(）+cr'()+cr()广+cx 10T店=C×(2x)-4×（元) 1 =CX21Xx器， (）'+✉()'+c(）=-6+15x2-0+ 则第5项的二项式系数是C8=70,第5项的系数是Cg×2=1120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T?=C×(2.x2)8-6 15_6+1 =112x2. (2)法一(1十x)2·(1-x)5=(1-x2)2(1-x)3=(1-2.x2十x1) (1-3.x十3x2-x3), 课时分层检测（八） ∴.x3的系数为1X(-1)十(-2)×(-3)=5. 法二：(1十x)2的通项T,+1=C2x, 基础达标练 (1-x)5的通项Tk+1=(-1)C, :1.A[由题意得，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相 等，∴C=C,由组合数的性质，得n=10,∴展开式中二项式系数 .(1十x)2·(1-x)5的通项为(-1)C5Cx+r 最大的项为第6项，它也是系数最大的项.] 其中r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5}，令k十r=3, 2.B[(2x-3)0的展开式中，奇数项的二项式系数和为C。十C十 因南 C。十…+C8=2".] 故x的系数为-CC号十CC-Cg=5. 13.AD[令x=0可得a6=1,故A正确；令x=1可得a0十a1十ag十. 十a5=-1,又a0=1,故a1十ag十a4十a1十a5=-2,故B不正确；令 5.解aT1=C(合）（- x=-1可得a0一a1十ag-…一a5=35,a1一ag十a3-a1十a5=1 =C(分)'（-1D=012n 35,故C不正确：根据展开式通项可知a1,a4,a5为负，a2a1为正， ao-a1+a2-lal+a1-|al=ao十a1十a2十a3十a1十a;=-1, 则an=C0(-1)”=(-1)”, 故D正确，] a1=C(合-01=(-1 4.C[由条件知2”=32，即n=5.在通项公式T+1=C()5- 8 (侯)-Ca学中：◆15-5=0，释=3.所以c0=80,解 由题意知2an-i=an-2十lan|, 得a-2.] 即2×号=1+u0g卫，甲r-9n+8=0. 15.C[令x=1,得a0十a1十a2十…十a6=1,令x=0,得a6-a1十a2 …十a6=64,两式相减得2(a1十a十a)=-63,两式相加得2(a十 解得n=1(舍去)或n=8. 63 则（合）展开式的中间项是 ata十a)-故a二] 6.16[(2x十V2)1=a十a1.x十a2x2+a3x3十a1x1中，令x=1,得 工=c(合）)(-12 (2十2)1=a十a1十a2十a十a1,令x=-1,得(-2十√2)1=a0 (2)设a,|最大，则有 a1十a2-a3十a1,则(a6十a2十a1)2-(a1十a3)》2=(a十a1十a2十 (传)广≥c()》 ag十a1)(a0-a1十ag-ag十a1)=(2十√2)1(-2+√2)1=(2-4)1 =16. c(合)广≥c(合)· 7.15[第4项的二项式系数C%最大，所以n=6,展开式通项Tk+1= 中释56 、 Cx(左）广=(-1C心6-受，令6号6=0，则=4所 以常数项为(-1)1C=15.] 又r∈N,则r=5或6. 所以141(i=0,1,2,,n)的最大值为141=1a:1=8.24[6+2)展开式中的通项公式为T+1=G·2·…y, 故第r十1项的二项式系数为C,故当r=2时，二项式系数最大， c(2)-1)= 故二项式系数最大的项的系数为C号·2=24.] 181 9.解(1)因为奇数项的二项式系数之和为128，所以2m-1=128,解得：a0=1,令x=1,得a0十a1十a2十…十a10=1,所以a1十a2十…十 46=0,故C错送：合=令得a十号+学+学十…十器=0，所 第-==(（左) =x,系数为1，第二项： 以号+2十2十…+2器=-1，D正确.门 =T1=C（）=：，系数为第三项：= 4.240z[设第r十1项的系数的绝对值最大， =g2()》 =(-1)P·Cg·2-r·x3-, 1=C'()广-：，系数为，由前三项系成等 差教列得：2×8=1+28，解得a=2或a=14. a 7 (2若a<3,由1)得二项式为（+2后)广，道项为：11 {6二2，+2解得冬苓=2，故系鼓绝对值 最大的项为T3=(-1)221C哈x=240x.] w-(6付)-号+共中=01.2…8所以5产4、的[2，十f+a且奇次项的系数 4 令16一3r=4,即r=0,此时T=C%x4=x: 和为A,偶次项的系数和为B. 则A=a1十a十a十…，B-a0十a2十a1十a6十…. 今16r-3,即r=专不特题意 4 由已知可知，B一A=38, 4 令x=-1,得a0-a1十a2-a3十…十an(-1)”=(-3)”, 令15，-2，甲=不特题意： 即(ao十a2十a1十a6十…)-(a1十a4十a5十a?十…)=(-3)"， 令16，之-1中=4时T号-要 则B-A=(-3)”, 4 ∴.(-3)n=38=(-3)8,.n=8. 令15之=0，即，只不特题客： 由二项式系数的性质，得 CW+Cg+C+…+C0=2m-C%=28-1=255.] 令5之=一1中婴不特题意 创新拓展练 令16-2，中8北时T号嘉 :1.0[:(1十x十x2)2015·(x-1)2015=(D3o15十D%015x十D号015x2+ …十D88-1x1030-1+Dg8ex1080)(C8o15·x2o15-Co15·x204+ 接上有3项有理项，分别是：T=,-营，工=品。 1 C号o15·x283-C015x2012+…十C号8·x-C号8能)，其中x215系数 为D3o15·C9o15-Dho15·C3o15十D号o15·C号o15-…十(-1)D5o15 10.解(1)二项式系数最大的项为中间两项： T6=一Ci1xy,T?=Ci1x”y. C吃015十…-D号8·C28,:(1十x十x2)2015·(x-1)2015=(x3- (2)(x一y)1的展开式的通项为 1)2015,而二项式(x2-1)2015的通项公式T,+1=C5015·(x2)215-r· Tk+1=C1x1-k(-y)=C(-1)x1-y, (一1)r,因为2015不是3的倍数，所以(x3一1)215的展开式中没有 。项的系数的绝对值为 x2015项，由代数式恒成立可得Do15·C8o15一Do15·Co15十D吃o15· 1C·(-1)|=C, ; C号o15-…十(-1)D吃o15C吃o15十…-D8·C号8=0.] ,项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中！2.解(1)C。=1140, 间两项， (2)Cm-十Cg1十…十Cm+k-2=Cm+-1 To=-Cizy,T=Chziy. 证明如下： (3)由(2)知中间两项系数绝对值相等， 左边=Cm十Cm-1十…十Cm+-2 又：第6项系数为负，第7项系数为正， 故项的系数最大的项为T?=Cxy, =Cm+1十Cm+}+…十Cm+k-2 项的系数最小的项为T6=一Cxy, =…=Cm+k-2十Cm+}-2=Cm+-1=右边。 (4)二项式系数的和为C十Ch十C品十…十C出=2， 课时分层检测（九） 能力提升练 1.A[合得(-x）-6+会+会 基础达标练 2 22+…+621 十2册-1.B[由条件概率的定义：某一事件已发生的精况下，另一事件发生 的概率，A:甲、乙各投篮一次都投中的概率，不是条件概率：B:甲投 中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率：C:抽2件产品恰 55=5一5将安1所以京 好抽到一件次品，不是条件概率；D:一次上学途中遇到红灯的概率， 不是条件概率，门 1,所以数列{行}是首项为写=一1公益为-1的等差教列， 2.D[南条件混率的计开公式，可得P(AB)需-三子] P(B) 1 =-1十(n-1)·(-1)=-n,所以Sn=- ,所以S0a1= A ·3.C[设事件A表示“第一次取到新球”，事件B表示“第二次取到新 2021] 2.D[(1-2z)2023=a0十a1x十…十a202ax2023,令x=0,得a0=1,令 球”，则P(A)= 10P(AB)= 一百，故第一次取到新球的条件 x=2,得a十2+2受十…+器=0，所以2+2号十…+2%器 =-1.] 下，第二次也取到新球的概率P(BA)=PCAB_互 2 P(A) 3 3.ABD[因为(2x-1)1=a6十a1x十a2x2+…十a10x10,所以(2x 烟 1的第九项为T,-C2·(一1)=180.片以a=180,故4.C[p41B)=兴-0号号P(B1A)=0-8号 P(A) 0.2 A正确：因为(2x十1)10=|a十a1|x十|a2|z2十…十laox“,令 x=1,得|ao1十la1l+la2|十…十|ao=310,故B正确；令x=0,得 182