课时分层检测(7)二项式定理-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（七）二项式定理 …0基础达标练0… 9.已知在 的展开式中，第9项为 1.(x十2)”的展开式共有12项，则n等于 常数项，求： ( (1)n的值； A.9 B.10 C.11 D.8 (2)展开式中x5的系数； 2.设n∈N*,则C9×1"×80+C,×1m-1×81+ (3)含x的整数次幂的项的个数. C%×1"-2×82+C9×1u3X83+.+C”1 X11X8n-1十C”×10×8”除以9的余数为 ( A.0 B.8 C.7 D.2 3.-) 的展开式中的常数项为( ) A.60 B.-60 C.250 D.-250 4.设(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+ x)50=a0十a1x十a2.x2十a3x3+…十a50x50 10项式在 15 的展开式中： 则a3的值是 ( A.C%0 B.2C30 C.C D.C (1)求常数项； (2)有几个有理项； (+园 的展开式中，x的幂指数是整 (3)有几个整式项. 数的项共有 ( A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 8 6.二项式 2.x 的展开式的常数项是 7.已知(2x十my)(x-y)5的展开式中x2y4的 系数为一20，则m的值为 8(u+02x) 展开式中的常数项为 -40,则a= 83 班级 姓名 得分 能力提升练 5.已知二项式(-”=a十ax十a2+…十 awx”,(n≥3且n∈N*).若|au-2l,am-1, 1.当n为正奇数时，7”十C·7m1+C2·7m2+ an|成等差数列 …十C1·7被9除所得的余数是 ( 展开式的中间项； A.0 B.2 C.7 D.8 1)求- 2.今天是星期五，经过7天后还是星期五，那 (2)求a:|(i=0,1,2,…,n)的最大值. 么经过82021天后是 ) A.星期二 B.星期四 C.星期五 D.星期六 3.(多选)对于二项式 +z (n∈N*),下 列判断正确的有 A.存在n∈N*,展开式中有常数项 B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项 0 创新拓展练 0… D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项 1. 若(x十m)2m+1与(m.x+1)2m(n∈N*,m≠0) .1求多项式+一2 的展开式； 的展开式中含x”的系数相等，则实数m的 (2)求(1+x)2·(1-x)5的展开式中x3的 取值范围是 系数 侵引 B[子 C.(-∞，0) D.(0,+∞) 2在2 的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数： (2)倒数第3项. 844.C[从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C号种方！③若不从剩下的2名只会英语翻译的人中选取，测有C=2种选取 法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有C号种方！ 方式.根据分类加法计数原理，可得共有4十12十2=18种选取方 法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C·C=: 式，D正确.门 30(种)，故选C.] !4.264[根据题意，分两种情况讨论，若甲、乙其中一人参加，则有 5.B[左边密码锁的四个数字设成两个相同，另两个也相同，共有！CCA=192(种)情况：若甲、乙两人都参加，则有C号A号A=72 CCC=36种：右边密码镇的四个数字设成互不相同，共有A=5,解()分三类：3红1白，2红2白，1红3白这三类，由分类加法计 (种)情况，故不同的发言顺序种数为192十72=264.门] A号 24种.这样的密码设置的方法共有36×24=864种情况.] 数原理有CC十CC十CC=194种.(2)分三类：4红，3红1白，2 6.1080[根据题意，可分2种情况讨论：①四位致中没有偶数数字 红2白，由分类加法计数原理共有C+CC+CC号=115种， 时，即在1,3,5,7,9中任选4个，组成一共四位数即可，有A=1201(3)由题意知，取4球的总分不低于5分，只要取出的4个球中至少 种情况，即有120个没有一个偶敦数字的四位敦：②四位效中只有· 有一个红球即可， 一个偶数数字，在1,3,5,7,9中选出3个奇数，在2,4,6,8中选出1 因此共有取法CC十CC十CC十C=195种， 个偶数，有CC=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A=24!6.解(1)易知四位数共有CC号A=216(个)， 种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数：则至多 (2)上述四位数中，偶数排在一起的有C号C号AA号=108（个）. 有一个数字是偶数的四位数有：120十960=1080个.] (3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216-108=108（个）， 7.2100[按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性 中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C1C号=2100（种）抽法.] 课时分层检测（七） 8.48[根据题意，注意到1,4,2,8,5,7这6个数中，1十8=2十7=！基础达标练 4十5=9，将它们分成三组：{1,8，{2,7}，4,5}，由题意知满足“999一x1.C[:(a十)”的展开式共有n十1项，而(x十2)”的展开式共有12 是剩下的3个数字构成的一个三位数”的x为每组中取1个数的不：项，，n=11.] 同排列，其个数CCC2A=48.] !2.A[因为C%1”8+C1"-181+C21"=282+C1m-383+…+ 9.解方法一以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准. C”118”1十C%1°8”=(1十8)”=9”，所以除以9的余数为0.] 第一类，共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC=48 (个)不同的三角形： 8A[(G兰)'菜并式的莲项为(（兰）广 第二类，共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC=112 (个)不同的三角形： （-2C,令3是=0得=2(6-子)展开我中 第三类，共线的4个点中没有点为三角形的顶，点，共有C=56(个)：的常数项为(-2)2·C=60,] 不同的三角形， 4.D[依题意，a=C十C十C+…+C=(C十C)十C十…十 由分类加法计数原理知，可构成的不同的三角形共有48十112十56；C=(C十C)十C十…十C=C0十C。=C.] =216(个). 方法间接法)从12个点中任意系3个点.有c生=20种)取5.C[T1=C·学·夸=C·12号，则=0,612。 法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构：18,24时，工的暴指数为整数.] 成三角形的情况有C=4(个) 故这12个点可构成的不同的三角形个数为C-C=216(个).] 6.7[接三项展升我的道项为T=1=C《8号（会）广=C(宁）广 10,解(1)从中任取5人是组合问题，共有C品=792（种）不同的8，令8。-0，解得r=2.所以所求常戴项为C心×（兮）》 3 3 选法 =7.] 2)甲，乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组7.3[(2x十m)(红-y=2x(2)5十m(y),因为(x) 合问题，共有C=36(种)不同的选法， 的展开式中xy的系数为C,xy3系数为-C,所以(2x十my) (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有： C5=126(种)不同的选法. (x-y)5的展开式中x2y的系数为2C-mC=-20,解得m=3.] (4)甲，乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲，乙两中选18.-3[(2x十子)展开式的通预为T1=C(2x)() 人，有C=3(种)选法：再从另外9人中选4人，有C种选法，共有 CC=378(种)不同的选法.] C2x,周为(r+)(2:十士）的展开式中的常数项为 能力提升练 1,A[根据题意，单词anay的字母有2个“a”,2个“y”,1个“n”和 -40,所以arC2x+C2=-40,所以40a+80=-40,解 1个“”：这6个字母的排放有CC号A号=180种，其中只有1种是正 得a=-3.] 确的，则可能出现的错误写法的种数为180一1=179.] !9.解二项展开式的通项为 2.B[:x,y满足组合数方程C=C, .2x=y,0≤x≤8或2x十y=17,0≤x≤8， c(合）（割 xyv=2x2∈[0,128]， -(-(合)” /2.x+y\ _289 4 (1)因为第9项为常数项， 中2128 所以当k=8时，2受=0解得1=10， 综上，当2x=y=16, (2)令2×10- 即x=8,y=16时，xy取最大值128.] 号=5，得=子(20-5)=6， 3.ACD[由题意只需要从剩下5人中选两人即可，则有C号=10种不1 同的选取方法，A正确；由题意需从只会英语的3人中选2人翻译 所以r的系数为(-)（合）'C。=10四 英语，从另外2名既能翻译英语又能翻译日语的人里选取一个，再， 《③)要使20号5为然数，需大为%载， 从剩下的4名能翻译日语的人里选两人即可，则有CC2C=3×! 由于k=0,1,2,3,…,9,10, 2×6=36种选取方法，B错误：由题意需从只会英语的3人中选1{ 故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项。 人翻译英语，从3名只会日语的人中选取2人，则有CC=3×3=9: 种选取方法，C正确；①若选取剩下的2名只会英语翻译的人参加！10.解展开式的通项为：T,+1=(一1)rC:()15-r 翻译工作，则有C号C=4种选取方式：②若从剩下的2名只会英语： 翻译的人中选取1人参加翻译工作，则有CCC=12种选取方式：！ （-1)r2rCix30-5r 6 180 (1)设T,+1项为常敦项，则3051=0， !创新拓展练 6 !1.A[:(x十m)2m+1展开式中的通项公式为T+1=C5n+1x2m+1 得r=6,即常数项为T7=2C=320320: m',令2n十1一r=n,解得r=n十1，∴展开式中含x”的项为C (2)设工+1项为有里项，期0。r-5-名r为整：， 6 m+x”:同理(mx十1)2"展开式中含x”的项为Cgnm”x”,由题意得 ∴r为6的倍数，又0≤r≤15，r可取0,6,12三个数 C站m=2a,解得m=宁(+）“∈N 即共有3个有理项， a0<2m市≤2x1干1<1+2n市≤1+号，即号< 1 1 (3)5一为非负整数，得r=0或6…有两个整式项。 能力提升练 (+)导牌m(合·号]门 1.C[原式=(7+1)”-C份=8”-1=(9-1)”-1=9”-C4·9”-1+ !2.解法一：利用二项式的展开式解决 C%·9”2-…十C1·9(-1)-1十(-1)”一1，除最后两项外，其 余各项都是9的倍数.因为n为正奇数，所以（一1）”一1=一2= (2 2）广=(22)-c2)× +C(22) () 一9十7，所以余数为7.] 2.D[82o21=(7+1)2o21=C9021X72021+C21×72o20+…+C88× C8(2x2)5 () +C8(2x2)1 (房 7十C,82021除以7余数为1故经过8221天后是星期六.] 3.AD[二项式（子十）的展开式的通项为T+1=C“, C8(2x2)2× 侯) C8(2x2)× ()+c() 则第5项的二项式系数为C=70,第5项的系数为C×2=1120, 由通项可知，当n=4k(k∈N)和n=4k-1(k∈N*)时， 展开式中分别存在常数项和x的一次项.] (2)由(1)中(2z2 的展开式可知倒数第3项为C×(2x2)2X 4.解1x+之-2=-2+之-（e士）： ()=12 (e+是2)=() 法二：利用二项展开式的通项公式 cx+ex(）+cr'()+cr()广+cx 10T店=C×(2x)-4×（元) 1 =CX21Xx器， (）'+✉()'+c(）=-6+15x2-0+ 则第5项的二项式系数是C8=70,第5项的系数是Cg×2=1120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T?=C×(2.x2)8-6 15_6+1 =112x2. (2)法一(1十x)2·(1-x)5=(1-x2)2(1-x)3=(1-2.x2十x1) (1-3.x十3x2-x3), 课时分层检测（八） ∴.x3的系数为1X(-1)十(-2)×(-3)=5. 法二：(1十x)2的通项T,+1=C2x, 基础达标练 (1-x)5的通项Tk+1=(-1)C, :1.A[由题意得，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相 等，∴C=C,由组合数的性质，得n=10,∴展开式中二项式系数 .(1十x)2·(1-x)5的通项为(-1)C5Cx+r 最大的项为第6项，它也是系数最大的项.] 其中r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5}，令k十r=3, 2.B[(2x-3)0的展开式中，奇数项的二项式系数和为C。十C十 因南 C。十…+C8=2".] 故x的系数为-CC号十CC-Cg=5. 13.AD[令x=0可得a6=1,故A正确；令x=1可得a0十a1十ag十. 十a5=-1,又a0=1,故a1十ag十a4十a1十a5=-2,故B不正确；令 5.解aT1=C(合）（- x=-1可得a0一a1十ag-…一a5=35,a1一ag十a3-a1十a5=1 =C(分)'（-1D=012n 35,故C不正确：根据展开式通项可知a1,a4,a5为负，a2a1为正， ao-a1+a2-lal+a1-|al=ao十a1十a2十a3十a1十a;=-1, 则an=C0(-1)”=(-1)”, 故D正确，] a1=C(合-01=(-1 4.C[由条件知2”=32，即n=5.在通项公式T+1=C()5- 8 (侯)-Ca学中：◆15-5=0，释=3.所以c0=80,解 由题意知2an-i=an-2十lan|, 得a-2.] 即2×号=1+u0g卫，甲r-9n+8=0. 15.C[令x=1,得a0十a1十a2十…十a6=1,令x=0,得a6-a1十a2 …十a6=64,两式相减得2(a1十a十a)=-63,两式相加得2(a十 解得n=1(舍去)或n=8. 63 则（合）展开式的中间项是 ata十a)-故a二] 6.16[(2x十V2)1=a十a1.x十a2x2+a3x3十a1x1中，令x=1,得 工=c(合）)(-12 (2十2)1=a十a1十a2十a十a1,令x=-1,得(-2十√2)1=a0 (2)设a,|最大，则有 a1十a2-a3十a1,则(a6十a2十a1)2-(a1十a3)》2=(a十a1十a2十 (传)广≥c()》 ag十a1)(a0-a1十ag-ag十a1)=(2十√2)1(-2+√2)1=(2-4)1 =16. c(合)广≥c(合)· 7.15[第4项的二项式系数C%最大，所以n=6,展开式通项Tk+1= 中释56 、 Cx(左）广=(-1C心6-受，令6号6=0，则=4所 以常数项为(-1)1C=15.] 又r∈N,则r=5或6. 所以141(i=0,1,2,,n)的最大值为141=1a:1=8.24[6+2)展开式中的通项公式为T+1=G·2·…y, 故第r十1项的二项式系数为C,故当r=2时，二项式系数最大， c(2)-1)= 故二项式系数最大的项的系数为C号·2=24.] 181