6.3.1 二项式定理-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

第六章计数原理 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学：4.2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件 站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和 中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和 丁相邻，则不同的排列方式共有 ( ) 吸收量可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放” A.12种B.24种C.36种D.48种 二氧化碳分子是由一个碳原子和两个氧原子构 2.(2020·新高考全国卷I)6名同学到甲、乙、丙三： 成的，其结构式为0=C=O.已知氧有160、 个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场： 170、180三种天然同位素，碳有12C、13C、14C三 馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，： 种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二 氧化碳分子共有 () 则不同的安排方法共有 ( A.9种B.12种C.18种D.27种 A.120种B.90种C.60种D.30种 5.现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑 3.某学生寝室6个人在“五一国际劳动节”前一天 雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参 各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物 加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在 全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼； 这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大 物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的 跳台的种数为 () 概率为 ( A.12 B.14 C.16 D.18 A.18 B司 温馨提示 请做课时分层检测（六） 6.3.1 二项式定理 【素养要求】 通过学习二项式定理的有关内容，发展逻辑推理素养及数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 二项式定理 在二项式定理中，若设a=1,b=x, 公式 备注 则得到公式：(1+x)”= 概念 ∈N叫做二项式定理 [即学即练] C9a"+Cha”-1b+…+Ca"-b十 1.1+3.x+3.x2+x3= (a十b)”的二项展开式 …+Cb" A.(.x+1)3 B.(x-1)3 C.(x+1)4 D.x4 展开式中各项的系数C(k=0,1,2, 的展开式中的常数项为 ( 二项式系数 …,) A号 B吉 展开式的第k十1项：T+1= 通项 c号 D动 Ca”-b 3.化简：(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2 +5(x-1)+1= 17 数学 选择性必修第三册 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一二项式定理的正用、逆用 2.化简下列各式： [典例](1)化简：(2x+1)5-5(2.x+1)4+10(2x十1)3： (1)(1+x)6-(1-x)6; -10(2x+1)2+5(2x+1)-1= (2)(1+√x)5+(1-√x)5; (2)已知0<p<1. (3)C9(x+1)m-CW(x+1)n-1+C(.x+1)n-2 ①写出[p+(1-)]”的展开式： …十(-1)C(x+1)nk+…+(-1)”C% ②化简：C9p3+Cgb2(1-p)+C号p(1-p)2+ C(1-p)3. 听课记录 /方法技巧/ 二项展开式的注意问题 题点二 二项展开式的系数与特定项 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的 、 典例] (1)若 的展开式中x3的系数 通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再 展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及 是一3，则它的展开式中的常数项为 该项的系数与二项式系数的区别.逆用二项式 (2)已知 + 的展开式中，第4项的系数 定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要 熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及 与第5项的系数之比为气· 2 各项的系数 ①求n值： : 对点训练 ②求展开式中的常数项， 听课记录 3 5 1.求2x- 2.x2 的展开式 18 第六章计数原理 g…/方法技巧/… /方法技巧/ (1)求二项展开式的特定项的常见题型 多项式展开问题的求解方法 ①求第k项，T6=C1a”+1b-1;②求含x (1)若多项式恰好能转化为两项的完全平方的 的项（或xPy9的项）；③求常数项；④求有理项. 形式，则多项式展开问题即可转化为二项式的 (2)求二项展开式的特定项的常用方法 展开问题，利用相关方法求解即可. ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即 (2)若不能直接用完全平方公式转化为二项式 0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公 的展开问题，则通常有以下两种方法： 式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项，解 ①利用项与项的结合转化为二项式展开问题， 这类问题必须合并通项公式中同一字母的指 这时往往要利用两次展开式的二项式通项进行 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的 求解，其中项与项结合时要注意合理性与简 整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，： 捷性。 其通项公式中同一字母的指数应是非负整数， ②借鉴推导二项式定理中各项的系数的生成 求解方式与求有理项一致 法，求二项展开式的特定项。 对点训练 对点训练 在二项式一 的展开式中的常数项是 的展开式中，求： (++ (1)第4项； 2.(x2+x十y)5的展开式中，x5y2的系数为 (2)常数项； (3)有理项. 题点四 二项式定理的应用 [典例门 (1)试求199510除以8的余数. (2)求证：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除. 听课记录 题点三 多项式的展开问题 [典例] 的展开式中常数项是 (2)(x+2)(2x一1)6展开式中含x3项的系数为 ( ) A.-260B.-100C.220 D.380 听课记录 -/方法技巧/ 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问 题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且 这种转化形式与除数有密切的关系， 19 数学选择性必修 第三册 :2.定义：两个正整数a,b,若它们除以正整数m所 对点训练 得的余数相等，则称a,b对于模m同余，记作a= 1.今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是 b(modm),比如：26=16(mod10).已知n= 星期 ( C90十C10·8十C0·82十…+C8·810,满足n= A.一 B.二 p(mod7),则p可以是 C.三 D.四 A.23 B.31 C.32 D.19 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(2022·新高考I 卷)1-)x+y的展开式 5.艾萨克·牛顿(1642一1727)被称为有史以来最 有影响力的思想家之一，在数学方面，牛顿“明显 中x2y5的系数为 (用数字作答) 地推进了当时数学的每一个分支”，牛顿在给莱 2.(2020·全国卷Ⅲ) 的展开式中常数项； 布尼茨的信中描述了他的一个发现—广义二 项式展开，即(x十y)=(8)x十()x-1y十(g) 是 (用数字作答). x2y2十…十(g)xay十…，其中广义二项式 3.已知C9+2C+22C+23C+…+2mCm=729, 则C》十C%+C%+…十C”= 系数(8)=1，(g)=(a-1)(a-2)…(a-k+1) k! A.63 B.64 C.31 D.32 ∈R,∈N.根据以上信息若对任意x<司 4.小明在一个物理问题计算过程中遇到了对数据 1.0022的处理，经过思考，小明决定采用精确到： 都有 (1-x)8 （1+2x)2 =a0+a1x+a2x2+…十amx”十 0.001的近似值，则这个近似值是 ! …,则a3= A.1.000 B.1.024 温馨提示 请做课时分层检测（七） C.1.025 D.1.023 6.3.2 二项式系数的性质 【素养要求】 通过对二项式系数性质的探究及应用的学习，发展直观想象及逻辑推理素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 二项式系数的性质 [即学即练] 性质 内容 1.在(1十x)”(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5 对称性 CW=C”m,即二项展开式中，与首末两端“ 的系数最大，则n等于 ”的两个 相等 A.8 B.9 如果二项式的幂指数 ,那么展开式中间 C.10 D.11 项 的二项式系数最大 增减性与 2.(多选)下列关于(a一b)10的说法正确的是( 如果1为 ,那么其展开式中间两项 最大值 与 的二项式系数相等且 A.展开式中的二项式系数之和为1024 同时取得最大值 B.展开式中第6项的二项式系数最大 二项展开式中各二项式系数的和等于 C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 即 D.展开式中第6项的系数最小 各二项式 3.(2022·浙江高考)已知多项式(x十2)(x一1)4 系数的和 奇数项的二项式系数之和等于 项的二 项式系数之和，都等于2”1，即C+C+C+… a0十a1x十a2x2十agx3+a4x4十a5x5,则a2= ,a1十a2十a3十a4十a5= 20首钢滑雪大跳台，则从丙、丁中选，有C=2种，然后剩下的一个人！ 和甲、乙被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有C号A=6种，则 (2)解①T,+1=C(√G)” 2 =2Cx”,所以T1 共有2X6=12种，综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台： 2c,T=2c4, 的种数为12十2=14.] 6.3.1二项式定理 片以瓷-号锦得=10 必备知识·自主梳理 (a+b)”=Ca"+Ca"-16+…+Ca”-b+…+Cb”Cg+Cx+ @由①知，展开式的通项为工，+1=2·C·“学， Cgx2十…十Cx5+…十C0x” 令10,5r=0,解得=2. 2 即学即练 所以展开式中的常数项为22C号。=180. 1.A[由题以及二项式定理可知1十3x十3x2+x3=C·13·x°十对点训练 Cg.12·2+C·11·x2+C·1°·x3=(1+x)3=(x+1)3.] 12 解 2.D[T+1=C()'(-)=(-1(号）) Cx=,令 （-1)C2x12- 4k-4=0,得=1，∴.展开式中的常数项为T2=( v()'c= (1)令k=3,则T1=(-1)C12x22-}×3=-220.x8. (2)令12-专=0，解得=9， 3.x5[原式=[(x-1)十1]5=x5.] 所以常数项为(-1)C2=一220. 关键能力·合作探究 (3)当=0,3,6,9,12时，T6+1是有理项，分别为T1=x2,T1= 题点一 -C12x8=-220x8,T7=C2x2=924x1, 典例(1)解析原式=C(2x十1)5-C(2x十1)1十C(2x十1)3- C3(2x+1)2+C(2x+1)-C(2.x+1)°=[(2x+1)-1]5=(2x)5 T--Ch:=-220.Tia-C =32.x5. !题点三 答案32x5 典例解析（)由二项式(：十1）的展开式的计算方法和性 (2)解①由0<p<1,得0<1-p<1,所以[p十(1一)]”=Cp”十 Cp"-1(1-)+Cgb"2(1-p)2+…十C”(1-p)-1+C(1-p)”. 质，可得展开式中的常数项是C11+Cr2C(子)·C·1 ②二项式定理逆向使用，将展开式进行合并， =13. 原式=[b十(1一p)]3=(十1-p)3=13=1. (2)因为(x十2)(2x-1)=2(2.x-1)十x(2x-1), 对点训练 所以展开式中x3的系数分为两类： 1.解方法一 2(2x-1)中x3的系数为2×C23(-1)3=-320, x(2x-1)中x3的系数为C42(一1)1=60， c2(2是）广+2(22）'+c2(2是)）+ 所以x3的系数为-320十60=一260. 答案(1)13(2)A c(是) 对点训练 =32x5-120.x2+180_135+405 243 1.63卫[方法- 32x0 2 原式[（位+）+]： x8x2 方法二 3 _(4x3-3)5 :展开式的道项为T1=(受十)）(2)1(=01， 32.x10 2,…,5). =32[c4r2)+C(4x)'(-3)+c(4r)(-3)+ 当1=5时，T6=(√2)5=4√2， C号(4x3)2(-3)3+Cg(4x2)(-3)1+C(-3)5] =32x5-120z2+180_135+405243 当0心1<5时，（受十）的展开式的通项为 xx8z732.x6 2.解(1)(1十x)6-(1-x) =C+Ciz+Cz+Cx+Cx+Cix+C-(CR-Ciz+Cix2 =1(合）56-0.25- -Cix+Ciz-Cizi+Chx)=2(Chx+Cx+Cix)=12x+ 令5-k1-2k2=0,即k1十2k2=5. 40x3+12.x5: :0≤k1<5且k1∈Z, (2)(1十丘)5+(1-E)5 =1或=3 =Cg+C+C(W)+C()3+C(W)1+C(W5+Cg-Cg√G+ 1k2=2 k2=1. C(E)2-C()3+C(E)1-C()5=2[C+C(F)2+ 帝载预为4E+CG×(侵)广×E+CC××W=4E+ C(√F)1)]=2+20x+10x2: (3)原式=C(x+1)"+C(x+1)n-1(-1)+C(x+1)n-2(-1)2+ 15,E+202-68, 2 2 …+C(x十1)m-k(-1)+…十C(-1)”=[(x十1)十(-1)]” 方法二原式 /x2+2V2x+2 =x”, 2x 327[x+2)]= 32· 题点二 (x十√2)1o 典例（口)解析已如二项式(：立)广，则它的展齐式中的通项公 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x十√)“的展开式中含x 项的系数，即C(W2) 或=G()）=(-a"Cc-,◆6=解得 ∴所米的常复项为6品] ,=1,因北(-1)a1C=一3，解得a=2,令6-3r=0,解得r=2,2.30[方法-(x2+2十5=[x2+x)+5, 32 常教项为(-1)×2×C=只 含y2的项为T3=C号(x2十x)3y, 答案 其中(x2+x)3中含x5的项为C{xx=Cx5, 所以x5y2的系数为CC=30. 159 方法二(x2十x十y)5为5个x2十x十y之积，其中有两个取y,两关键能力·合作探究 个取x2,一个取x即可得含xy2的项，所以xy2的系数为CCC题点一 =30.] :典例解(1)令x=0,则a0=-1. 题点四 令x=1,则a0十a1十…十a=27=128,① 典例解(1)199518=(8×249十3)10 ∴.a1十a2+…十a7=129. ,其展开式中除末项为3外，其余的各项均含有8这个因数 (2)令x=-1,得a0一a1十…十a8一a?=(-4)7,@ .19951除以8的余数与310除以8的余数相同. 又310=95=(8十1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含 由①-②得，2(a1十a3十a5十a7)=128-(-4)', 有8这个因数， .a1十ag十a5十a7=8256. ,31除以8的余数为1，即19951“徐以8的余数也为1. (3):T+1=C(3)7-(-1)5, (2)证明32m+2-81-9 ao|+la1+…+al=-ao+a1-a2十a4-…-as十a,=4 =(8+1)n+1-8n-9 16384. =C9+18+1十C以+18+…十C-8n-9 ·对点训练 =C+18+1+C以+18+…十C%F}82+(n+1)X8+1-8m-9 解若选择①第三项的二项式系数与第六项的二项式系数相等， =C%+18m+1+C%+8m+…十C+}82①. (1),第三项的二项式系数与第六项的二项式系数相等，∴，C?=C n=5十2=7. ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整徐 对点训练 (2)由(1)得(2x-1)7=a0十a1x十a2x2+…十ax, 1.A[求第81天是星期几，实质是求81°徐以7的余数.因为810=！ .令x=0得a0=-1, (7+1)10=710+C。×7"+…十C0×7+1=7M+1(M∈N*),所以： 第8“天相当于第1天，故为星期一.] 2.A[因为n=C1。十C0·8+Co·82+…+C8·81°=(1+8)0= 受+++-1 (7+2)1°，也即n=C1。×70+C0×7°·2+…十C0×7×2°+C8· (3)由(1)得(2.x-1)7=a十a1x十a2z2+…十ax2, 210,故n除以7的余数为C8·210=1024除以7的余数2，又23除 两边求导数得14(2x-1)=a1十2a2.x十3ax2十…十7a?.x 以7的余数也为2，满足题意，其他选项都不满足题意，所以力可以 令x-1得a1+2a2十3a3十…十7a7=14. 是23.] 若选择②展开式中二项式系数的和与所有项的系数和差为127， 素养演练·提升技能 1.一28[(x十)展开式的通项T,+1=Cx8y,r=0,1,…,7,8. ,展开式中二项式系数的和为2”，所有项的系数和为(2一1)”=1， .2m-1=127,.n=7. 令r=6,得T+1=Cxy,令r=5,得T5+1=Cx3y,所以 以下同选①. (（1-兰)x+)的展开式中ry的系数为C-C=一28.] 若选择③前三项的系数绝对值和为99， ,前三项的系数绝对值和为99， 2240[(2+是）的二预式通项14=C(x·()= .1+C,·2+C9·22=99, C52x2-3r,令12-3r=0,解得r=4,所以常数项是C421=240.] .1+2m+nm1卫×4=99， 2 3.A[,C0十C·21十C9·22十…十C”·2m=(1+2)”=3”,∴.3”= 729,.n=6,.Cg+C+…十Cg=(1+1)-Cg=2i-1=63.] .n2=49,n>0,.n=7. 以下同选①. 4.B[1.0022=(1+0.002)2=C2+C2×0.002+C2×0.0022+ !题点二 …+C1号×0.00212≈1十12×0.002=1.024.] 5.一81[法-1十2)2=G)12十(1-2z+(G)1-(2x+典例解析()周为（十）的展开式中第3项与第8项的系数 (G9)1-5(2+…=1+2.2z+-2-824x2+-2(-3D(- 相等，所以C=C,解得n=9,则展开式中二项式系数最大的项为 1 2 3! 第5项和第6项 8+…==1-3z+3x2,0=1-3x+3022 答案CD 4z(1-3x+3x2)+12x2(1-3x)-32x3+a1.x+…=1-7x+27x2- (2)解①由题意得2+1-21=48，解得n=5. 81x3+a4x+.a4=-81. :(兰)”的展开我中第6项的二项式系数最大，即T 法二(1一x)3=(1十2x)2(a十a1x十a2x2+…十anmx+…),显然 a0=1, c-（2）广=(-2C=-8064 比较两边x的系数→C·(-1)=a1十4ao→a1=一7；比较两边x2! ②设第k十1项的系数的绝对值最大， 的系数→C号=a2十4a1十4ao→a2=27:比较两边x3的系数→C· (-1)=a4十4ag+4a1→a3=-81.] 期c(是）广-(-rcx, 6.3.2二项式系数的性质 剥。2≥C2中+1≥202 {C。·2≥Co·2-1, 2(11-k)≥k, 必备知识·自主梳理 等距离二项式系数n是偶数T+1奇数T中T中+1 解得号<<号，所以=7 2”C十C十C%十…十Ca=2m偶数C十C%十C十…=2-1 所以系数的绝对值最大的是第8项：Tg=(一1)7·C1。·2· 即学即练 x10-2×1=-15360x1 1.C[由题意知(1十x)"的二项展开式中，x5的系数就是第6项的系！对点训练 数，因为只有x5的系数最大，所以n=10.] 2.ABD[由二项式系数的性质，二项式系数之和为20=1024，A正1，D[二项式（丘+子）的展开式的通项为T+1=C(:)· 确；当n=10时，展开式共11项，中间第6项二项式系数最大，B正 确，C错误；展开式中第6项的系数为一C。,取到最小值.] (1)y=C·￥，因为第8项是常教项，所以分1是×7=0， 3.8-2[由多项式展开式可知，a2=2C(-1)2十C(-1)3=12-· 即n=21,当"=10或11时，二项式系数C=C引最大，故二项式系 4=8.令x=0可得aw=2,令x=1可得a十a1十ag十ag十a1十a5=! 数最大的项的系数是第11项和第12项，由通项可知展开式中项的 0,所以a1十a2十ag十a1十as=-2.] 系数即为项的二项式系数，」 160