课时分层检测(6)组合与组合数的应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（六） 组合与组合数的应用 基础达标练0… 8.考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组 神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特 1.凸十边形的对角线的条数为 ( 征：142857×2=285714,142857×3= A.10 B.35 C.45 D.90 428571,…,142857×6=857142.且142+ 2.某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1 857=285+714=428+571=…=857+142 名女工和2名男工去支援另一施工队，不同： =999.这类数因其“循环”的特征，常称为走 的选法有 ( ) 马灯数.若从1,4,2,8,5,7这6个数字中任 A.C种 B.A0种 意取出3个数构成一个三位数x,则满足999 C.A号A3种 D.CC号种 一x是剩下的3个数字构成的一个三位数的 3.某地招募了20名志愿者，他们编号分别为 x的个数为 1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意9.平面内有12个点，其中有4个点共线，除此 选取4人再按编号大小分成两组去做一些； 再无任何3点共线.以这些点为顶点，可构 预备服务工作，其中两个编号较小的人在 成多少个不同的三角形？ 组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5： 号与14号入选并被分配到同一组的选取种 数是 ( A.16 B.21 C.24 D.90 4.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日 参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同 的选派方法共有 ) A.60种B.48种C.30种D.10种 5.一个密码箱上有两个密码锁，只有两个密码： 锁的密码都对才能打开.两个密码锁都设有！ 四个数位，每个数位的数字都可以是1,2,3， 4中的任一个.现将左边密码锁的四个数字 设成两个相同，另两个也相同；右边密码锁 的四个数字设成互不相同.这样的密码设置： 的方法种数为 () A.288B.864 C.1436D.1728 6.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数 字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样 的四位数一共有 个（用数字作答）. 7.某单位有15名成员，其中男性10人，女性5 人，现需要从中选出6名成员组成考察团外： 出参观学习，如果按性别分层，并在各层按 比例随机抽样，则此考察团的组成方法的种： 数是 81 班级 姓名 得分 10.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了4.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选择 初试，学校要从中选出5人参加市级培训. 4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参 在下列条件下，有多少种不同的选法？ 加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序 (1)任意选5人； 不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； :5.袋中装有大小相同的4个红球和6个白球， (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加. 从中取出4个球， (1)若取出的球必须是两种颜色，则有多少 种不同的取法？ (2)若取出的红球个数不少于白球个数，则 有多少种不同的取法？ (3)取出一个红球记2分，取出一个白球记1 分，若取4球的总分不低于5分，则有多少种 不同的取法？ …0 能力提升练0… 1.若把单词“anyway”的字母顺序写错了，则可 能出现的错误写法的种数为 A.179 B.181 C.193 D.205 6.从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个 2.已知x,y满足组合数方程C=C7,则xy 奇数组成没有重复数字的四位数.试问： 的最大值是 (1)能组成多少个不同的四位数？ A.64 B.128 C.256 n (2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？ (3)2个偶数不相邻的四位数有几个？（所得 3.(多选)某翻译处有8名翻译，其中有小张等 结果均用数值表示). 3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2 名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5 名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻 译日语，则 ( A.若从只会英语的3人中选3人翻译英语，！ 共有10种不同的选取方法 B.若从只会英语的3人中选2人翻译英语， 共有18种不同的选取方法 C.若从只会英语的3人中选1人翻译英语， 共有9种不同的选取方法 D.若小张与小李都选中，共有18种不同的 选取方法 82(3)若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则：能力提升练 有心=9X8×7=504种不同的排法. A 1.ABD[对于A,C%= m!(n一m刀Cgm 5,(1)12(2)7[(1)因为各位数字之和能被3整除时，该数就能被3· 农 n! 整除，所以这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成，所以共有 -(nm)！(n-n+m)!m！(n-m)! 所以Cm一C”一m,故A正确： 2×A=12(个) 对于B,2018！·C号8=A号8·C号828=A号82=2023A号8，原式 (2)显然工≠0，因为1,2,4，工在各个数位上出现的次数都相同，且各 成立，故B正确： 自出现A·A号次，所以这样的数字之和是(1十2十4十x)·A· A号，即(1十2十4十x)·A·A=252,所以7十x=14,所以x=7.]1 对于C,左边C”=m！(n-m1 n! 课时分层检测（五） 右边4” n！ 2n!=(n-m)！n!(n-m)1 基础达标练 左边≠右边，故C错误； 1.C[①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题， 对子D,左边A十mA毅1=mm十(n一m十可 mXn! 故选C.] (n-m十1)×n!1m×n! (n+1)×n! 2.B[方法一组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即 (n-m十1)1 (n-m+1)！(n-m十1)1 可，故有5种方法， (n+1)1 方法二由题意可知，推选方法种数为C=5.] (n-m+1)1 3.D[根据组合数性质可得C01十C=C,.C鼎1=C,.2x一1=x (n十1) 右边A+1=(Gmm十1厅 或2x-1十x=11,.x=1或4.] 左边=右边，故D正确.] A 4,C[由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C%= 2.C[第一类：从OA边上（不包括O)任取一点与从OB边上（不包括 A号 O)任取两点，可构造一个三角形，有CC2个：第二类：从OA边上 8-28(条)公8.] (不包括O)任取两点与从OB边上（不包括O)任取一点，可构造一 个三角形，有CC个：第三类：从OA边上（不包括O)任取一点与 5.ABD[对于A,正、副班长有1人参加的方法数有CC8种，正、副 从(OB边上（不包括O)任取一点，与）点可构造一个三角形，有 班长有2人参加的方法敦有C号C8种，故总的方法数有CC十！ CC个.由分类加法计数原理知，可作出的三角形的个数为CC C号C种，故A正确：对于B,50人抽取5人，总的方法数为C,其中： +CC十CC.故选C.] 没有正、副班长的方法数为C,所以方法数为C一C种，故B正！3.D[此题可化归为圈上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的 确：对于C和D,正、副班长中任抽取一个，然后在剩余49人中抽取！对角线交点个数即为所求，所以交点为C=126(个). 4个，方法数有CC种，减去重复的包括正、制班长的情况C种.：4.解(1)从余下的34种商品中选取2种，有C1=561种取法， 所以方法数有C2C。一C种，故D正确，C不正确.综上所述，本小 所以某一种假货必须在内的不同取法有561种. 题正确算法有3种.] (2)从34种可选商品中，选取3种， 有C1种或者C得5-C号1=C=5984种取法 6.7[设餐厅至少还需准备x种不同的素菜.由题意，得C号·C2≥！ 所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种. 200,从而有C≥20.即x(x-1)≥40.又x≥2，所以x的最小值1 (3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，有CoC= 为7.] 2100种取法， 7.3[2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)=120m(n-12 所以哈有2种假货在内的不同的取法有2100种. (4)选取2种假货有C2Cs种，选取3种假货有Ci种，共有选取方 化简得，n2一2n-3=0, 式C20C:十C15=2100十455=2555种. 解得=3或n=一1（舍去），所以n=3.] 所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种， 8.(1)210(2)210[(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街1 (5)法一选取3种商品的总数为C,因此共有选取方式C35一C5 道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形CC=! =6545-455=6090种. 210个： 所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种， (2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段， 法二共有选取方式C20十CC:十C2C:=6090种.所以至多有 从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段： 2种假货在内的不同的取法有6090种. 方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，5.解(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C 这6段是走东西方向的（剩下4段即是走南北方向的），共有C。C=210: 70(种)选法， 种走法，] (2)至少有1女且至多有3男时，应分三类： 9.解由已知得2C=C】十C, 第1类是3男2女，有C×C种选法： 第2类是2男3女，有C×C种选法； n！ 所以2·51m-574(m-4十61(n-6' 第3类是1男4女，有C×C种选法 整理得n2-21n十98=0， 由分类加法计数原理知，共有CXC号十CXC十CXC=186(种) 解得n=7或n=14, 选法， 要求C2的值，故n≥12 课时分层检测（六） 所以n=14, 基础达标练 所以c=g-91. 1.B[因为10边形有10个顶点，而1个顶点可以和7个项点连成对 10.解(1)从4个白球，5个黑球中任取3个球有C=84个不同· 角线，所以10个顶点是10X7=70条对角线，由于每条对角线都计 算了两次，所以有35条对角线，应选答案B.] 结果， :2.D[每个被选的人员无角色差异，是组合问题.分两步完成：第一 (2)设“取出的3个球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的 步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C号种选法.故有CC 集合为A,A所包含的种数为C号C. 种不同选法，] 所以共有C号C=30种不同的结果 :3.B[分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号 (3)设“取出的3个球中至少有2个白球”的所有结果组成的集合：较小的有C号=6种选取方法，第2类，5号与14号为编号较小的一 为B,B所包含的结果数为C十CC. 组，则编号较大的一组有C?=15种选取方法，由分类加法计数原理 所以共有C+CC=34种不同的结果. 得，共有C十C%=6十15=21种选取方法.] 179 4.C[从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C号种方！③若不从剩下的2名只会英语翻译的人中选取，测有C=2种选取 法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有C号种方！ 方式.根据分类加法计数原理，可得共有4十12十2=18种选取方 法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C·C=: 式，D正确.门 30(种)，故选C.] !4.264[根据题意，分两种情况讨论，若甲、乙其中一人参加，则有 5.B[左边密码锁的四个数字设成两个相同，另两个也相同，共有！CCA=192(种)情况：若甲、乙两人都参加，则有C号A号A=72 CCC=36种：右边密码镇的四个数字设成互不相同，共有A=5,解()分三类：3红1白，2红2白，1红3白这三类，由分类加法计 (种)情况，故不同的发言顺序种数为192十72=264.门] A号 24种.这样的密码设置的方法共有36×24=864种情况.] 数原理有CC十CC十CC=194种.(2)分三类：4红，3红1白，2 6.1080[根据题意，可分2种情况讨论：①四位致中没有偶数数字 红2白，由分类加法计数原理共有C+CC+CC号=115种， 时，即在1,3,5,7,9中任选4个，组成一共四位数即可，有A=1201(3)由题意知，取4球的总分不低于5分，只要取出的4个球中至少 种情况，即有120个没有一个偶敦数字的四位敦：②四位效中只有· 有一个红球即可， 一个偶数数字，在1,3,5,7,9中选出3个奇数，在2,4,6,8中选出1 因此共有取法CC十CC十CC十C=195种， 个偶数，有CC=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A=24!6.解(1)易知四位数共有CC号A=216(个)， 种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数：则至多 (2)上述四位数中，偶数排在一起的有C号C号AA号=108（个）. 有一个数字是偶数的四位数有：120十960=1080个.] (3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216-108=108（个）， 7.2100[按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性 中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C1C号=2100（种）抽法.] 课时分层检测（七） 8.48[根据题意，注意到1,4,2,8,5,7这6个数中，1十8=2十7=！基础达标练 4十5=9，将它们分成三组：{1,8，{2,7}，4,5}，由题意知满足“999一x1.C[:(a十)”的展开式共有n十1项，而(x十2)”的展开式共有12 是剩下的3个数字构成的一个三位数”的x为每组中取1个数的不：项，，n=11.] 同排列，其个数CCC2A=48.] !2.A[因为C%1”8+C1"-181+C21"=282+C1m-383+…+ 9.解方法一以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准. C”118”1十C%1°8”=(1十8)”=9”，所以除以9的余数为0.] 第一类，共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC=48 (个)不同的三角形： 8A[(G兰)'菜并式的莲项为(（兰）广 第二类，共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC=112 (个)不同的三角形： （-2C,令3是=0得=2(6-子)展开我中 第三类，共线的4个点中没有点为三角形的顶，点，共有C=56(个)：的常数项为(-2)2·C=60,] 不同的三角形， 4.D[依题意，a=C十C十C+…+C=(C十C)十C十…十 由分类加法计数原理知，可构成的不同的三角形共有48十112十56；C=(C十C)十C十…十C=C0十C。=C.] =216(个). 方法间接法)从12个点中任意系3个点.有c生=20种)取5.C[T1=C·学·夸=C·12号，则=0,612。 法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构：18,24时，工的暴指数为整数.] 成三角形的情况有C=4(个) 故这12个点可构成的不同的三角形个数为C-C=216(个).] 6.7[接三项展升我的道项为T=1=C《8号（会）广=C(宁）广 10,解(1)从中任取5人是组合问题，共有C品=792（种）不同的8，令8。-0，解得r=2.所以所求常戴项为C心×（兮）》 3 3 选法 =7.] 2)甲，乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组7.3[(2x十m)(红-y=2x(2)5十m(y),因为(x) 合问题，共有C=36(种)不同的选法， 的展开式中xy的系数为C,xy3系数为-C,所以(2x十my) (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有： C5=126(种)不同的选法. (x-y)5的展开式中x2y的系数为2C-mC=-20,解得m=3.] (4)甲，乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲，乙两中选18.-3[(2x十子)展开式的通预为T1=C(2x)() 人，有C=3(种)选法：再从另外9人中选4人，有C种选法，共有 CC=378(种)不同的选法.] C2x,周为(r+)(2:十士）的展开式中的常数项为 能力提升练 1,A[根据题意，单词anay的字母有2个“a”,2个“y”,1个“n”和 -40,所以arC2x+C2=-40,所以40a+80=-40,解 1个“”：这6个字母的排放有CC号A号=180种，其中只有1种是正 得a=-3.] 确的，则可能出现的错误写法的种数为180一1=179.] !9.解二项展开式的通项为 2.B[:x,y满足组合数方程C=C, .2x=y,0≤x≤8或2x十y=17,0≤x≤8， c(合）（割 xyv=2x2∈[0,128]， -(-(合)” /2.x+y\ _289 4 (1)因为第9项为常数项， 中2128 所以当k=8时，2受=0解得1=10， 综上，当2x=y=16, (2)令2×10- 即x=8,y=16时，xy取最大值128.] 号=5，得=子(20-5)=6， 3.ACD[由题意只需要从剩下5人中选两人即可，则有C号=10种不1 同的选取方法，A正确；由题意需从只会英语的3人中选2人翻译 所以r的系数为(-)（合）'C。=10四 英语，从另外2名既能翻译英语又能翻译日语的人里选取一个，再， 《③)要使20号5为然数，需大为%载， 从剩下的4名能翻译日语的人里选两人即可，则有CC2C=3×! 由于k=0,1,2,3,…,9,10, 2×6=36种选取方法，B错误：由题意需从只会英语的3人中选1{ 故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项。 人翻译英语，从3名只会日语的人中选取2人，则有CC=3×3=9: 种选取方法，C正确；①若选取剩下的2名只会英语翻译的人参加！10.解展开式的通项为：T,+1=(一1)rC:()15-r 翻译工作，则有C号C=4种选取方式：②若从剩下的2名只会英语： 翻译的人中选取1人参加翻译工作，则有CCC=12种选取方式：！ （-1)r2rCix30-5r 6 180