8.1 成对数据的统计相关性-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

第八章 a P=2+2W 成对数据的统计分析 ax 8.1 成对数据的统计相关性 【素养要求】 通过对两个变量相关关系及样本相关系数的学习，发展直观想象及数据分析素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)变量的相关关系 A.x与y正相关，u与v正相关 1.相关关系 B.x与y正相关，u与v负相关 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一 C.x与y负相关，u与v正相关 个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相 D.x与y负相关，u与v负相关 关关系。 (二)样本相关系数 2.散点图 1.样本相关系数 将成对样本数据用 表示出来， 2(x,-x)(y:一 由这些点组成的统计图就叫做散点图 3.正相关与负相关 2(y:-y)2 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变 量的相应值也呈现 的趋势，就称这两个 Sxiyi-nzy r为变量x和变量y 变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变 x-√② -ny2 量的相应值呈现 的趋势，就称这两个变 的样本相关系数 量负相关 2.样本相关系数r的特征 4.线性相关 (1)r∈ 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相 (2)当>0时，称成对样本数据 相关； 关，而且散点落在 附近，则称这两个变 当r<0时，称成对样本数据 相关 量线性相关， (3)当|r越接近1时，成对样本数据的线性相关 [即学即练] 程度 ；当r越接近0时，成对样本数据 1.(多选)下列变量之间的关系是相关关系的是 的线性相关程度 [即学即练] ( A.正方形的表面积与体积 ）1.下面对相关系数，描述正确的是 A.r>0表明两个变量负相关 B.光照时间与果树的产量 B.r>1表明两个变量正相关 C.粮食产量与施肥量 C.r只能大于零 D.某运动会中某代表团的足球队的比赛成绩与： D.x越接近于0，两个变量相关关系越弱 乒乓球队的比赛成绩 :2.已知r1表示变量X与Y之间的样本相关系数， 2.对变量x,y有观测数据(xy:)(i=1,2,3,…, r2表示变量U与V之间的样本相关系数，且 10),得散点图1；对变量u,v有观测数据(u;,:) r1=0.837,r2=-0.957,则 () (i=1,2,3,…,10),得散点图2，由这两个散点图 A.变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之 可以断定 间的相关性强于U与V之间的相关性 B.变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之 30 60 间的相关性强于U与V之间的相关性 40 C.变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之 0.. 2 间的相关性弱于U与V之间的相关性 D.变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之 1234567x 01234567u 图1 图2 间的相关性弱于U与V之间的相关性 54 第八章成对数据的统计分析 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一对相关性的理解 判断x与y之间是否有相关关系.如果有，是正 [典例]对两个变量的相关性描述正确的是 相关还是负相关？如果没有，请说明理由. ( 听课记录 A.若两个变量有相关性，则一定线性相关 B.若两个具有线性相关关系的变量x,y满足： Lxv<0,则这两个变量正相关 C.两个变量负相关，则一个变量增大时，另外 个变量也增大 D.两个具有线性相关关系的变量，若样本相关系 数r的值越接近1，则相关性越强 听课记录 …/方法技巧/ 在研究两个变量之间是否存在某种关系时， 般从散点图入手，而对于散点图可以作出如下 判断： (1)如果所有的样本点都落在某一曲线上，就用 该曲线对应的函数来描述变量之间的关系，即 变量之间具有函数关系. (2)如果所有的样本点都落在某一曲线附近，那 :-/方法技巧/ 么变量之间具有相关关系： 对于两个变量之间的相关关系的判断，有以下 (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那 两种方法： 么变量之间具有线性相关关系 (1)可以根据生活、学习经验进行相应的判断， (4)如果没有明显的变化趋势，就认为变量之间 因为“经验之中有规律”； 没有明确的相关关系 (2)根据两个变量相应值的对应关系进行判断· 对点训练 对点训练 某种树木体积与树木的树龄之间有如下的对应 (多选)下列两个变量存在相关关系的为( 关系： A.扇形的半径与面积之间的关系 树龄 3 4 5 6 7 8 B.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 体积30 34 40 60 55 62 70 C.人的身高与体重之间的关系 D.家庭的支出与收人之间的关系 (1)请作出这些数据的散点图； 反思感悟函数关系是一种确定的关系，而相关 (2)你能由散点图发现树木体积与树木的树龄近 关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系： 似呈什么关系吗？ 是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关 系，也可能是伴随关系 题点二散点图及应用 [典例]某超市为了解气温对某产品销售量的影 响，随机记录了该超市12月份中5天的日销售 量y(单位：kg)与该地当日最低气温x(单位：℃)： 的数据，如下表所示 10 55 数学选择性必修第三册 题点三样本相关系数 …/方法技巧/ [典例]在随机调查某校高三男生的身高和臂展 相关系数是判断两个变量相关关系强弱的重要 时，得到下面的数据： 标志，解决此类问题时，要对数据进行整理，要 身高x/cm17617116517816917217616817317118o191179 正确使用相关关系公式，注意计算的准确性， 臂展v/cm1691621641707270811611741641828882 (1)绘制身高与臂展的散点图，初步判断二者之 对点训练 间的关系； (2023·天津卷，7)调查某种群花萼长度和花瓣 (2)计算x与y之间的相关系数，并根据计算结 长度，所得数据如图所示，其中相关系数r= 果说出你的判断， 0.8245,下列说法正确的是 () 听课记录 ◆花瓣长度 0 花萼长度 A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数 一定是0.8245 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.变量X与Y相对应的一组样本数据为(10,1)，：3.（多选）下面的各图中，散点图与样本相关系数r (11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U 符合的是 ( 与V相对应的一组样本数据为(10,5)，(11.3， .-1<r<0r=0 4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).m1为变量X与 Y之间的样本相关系数，r2为变量U与V之间： D 的样本相关系数，则 4.以下是收集到的某物品的销售价格y和物品的 A.r2<r1<0 B.r2<0<r1 大小x的数据： C.0<r2<r1 D.r2=r1 物品大小/m 11.5 110 80 135 105 2.最新《交通安全法》实施后，某市管理部门以周为 单位，记录的每周查处的酒驾人数与该周内出现 销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22 的交通事故数量如下： 则根据数据可以判断x,y 相关关系 (填“有”或“无”) 酒驾人数x 80 147 121 100 96 103 87 5.在成对样本数据中，已知2(x,-x)2是( 交通事故数y 19 31 30 23 25 24 20 y)2的2倍，(x:-)(0-y)是2(y-)2的 通过表中数据可知，酒驾人数x与交通事故数y 1.2倍，则这组数据的样本相关系数r约为 之间是 ( (精确到0.001) A.正相关 B.负相关 温馨提示 请做课时分层检测（十八）》 C.不相关 D.函数关系 56P(X=5000) 号 C =20,P(X)=7000) cc 8,P(X= ↓题点二 典例解根据题意绘制出散点图如图所示 CIC 8800) ,P(X=10000)=1 1 1691 ↑y/kg 8 4 1201 208 故X的分布列为， X 5000 7000 8800 10000 68101214x/℃ 从图中可以看出这些点分布在一条直线附近，因此两个变量之间具 P 1 1 23 20 8 40 有相关关系，而且当变量工变大时，y的值由大变小，所以工与y负 相关. 所以E(X)=5000X 23 ·对点训练 20 +7000× 8 +8800× 年+10000× 40 解(1)以工轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的 9075(元). 散点图如图所示」 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y,付款金颜为Z,则Z= ↑体积 10000-1500Y, 80 由已知可得YB(3,号）故EY)=3X合=号 所以E(Z)=E(10000-1500Y)=10000-1500E(Y)=9100(元) 8 因为E(X)<E(Z),所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 10 12.AC[依题意E()=c-a>0,E()=a一c<0,∴.E()>E(7),故 123456789树龄 A正确，B错误：D()=a(-1-c十a)2十b(c-a)2十c(1-c十a)2 (2)由散点图发现树木体积随着树龄的增加呈现增加的趋势，且散 =a十c+2ac-a2-c2, 点大致落在一条直线附近，所以树木的体积与树龄近似呈线性相关 同理D(7)=c(-1十c-a)2+b(-c十a)2十a(1十c-a)2=a十c十 关系 2ac-a2-c2,.D(7)=D().故C正确，D错误.综上选择AC.]题点三 13.16[根据正态曲线的对称性知：要使误差n在（一0.5,0.5）内的！典例解(1)身高与臂展的散点图如下， 概率不小于0.683， 190叶臂展/cm 则(-6，十o)C(-0.5,0.5)且4=0，o= 4 185 ,所以0.5≥ 180 175 ，可得n≥16.故答案为：16.] 170 n 165 第八章成对数据的统计分析 16060165i70175180185190身商7m 8.1成对数据的统计相关性 初步判断身高与臂展呈线性相关关系，臂展随着身高的增加而 增加， 必备知识·自主梳理 (一) (2)身高的平均数x=(176+171+165+178+169+172+176+ 2.直角坐标系中的点3.增加减少4，一条直线 168+173+171+180+191+179)≈174.5， 即学即练 1,BC[选项A中是确定的函数关系，D项中足球队的比赛成绩与乒 臂展的平均数=方3169+162+164+170+172+170+181+161+ 乓球队的比赛成绩没有关系.] 174+164+182+188+182)≈172.2， 2.C[由题图1可知，点散布在从左上角到右下角的区城，各点整体 呈递减趋势，故x与y负相关；由题图2可知，点散布在从左下角到 (5，-)(-0578.4， =1 右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故“与口正相关.] (二) (G-)≈535.25,5(y-≈906.32. =1 =1 2.(1)[-1,1](2)正负(3)越强越弱 即学即练 =1 1.D[因r>0表明两个变量正相关，故A错误；又因r∈[一1,1]，故 所以身高与臂展的相关系数r B,C错误：两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两 ) 个变量的线性相关性越强，x的绝对值越接近于0，表示两个变量之 t. 间的线性相关性越弱，故D正确.] 0.83,说明工与y具有很强的线性相关关系. 2.C[因为样本相关系数1=0.837,2=一0.957，所以变量X与y对点训练 之间呈正相关关系，变量U与V之间呈负相关关系，X与Y之间的 C[根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A 相关性弱于U与V之间的相关性，] 选项错误：散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度 呈现正相关性，B选项错误，C选项正确：由于r=0.8245是全部数 关键能力·合作探究 据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即 题点一 取出的数据的相关系效不一定是0.8245，D选项错误，故选C.] 典例解析变量间的相关关系有线性相关和非线性相关，故A错素养演练·提升技能 误：若L<0,则这两个变量负相关，故B错误：两个变量负相关，则1，B[由变量X与Y相对应的一组样本最据为(10,1)，(1山，3,2) 一个变量增大时，另外一个变量通常会减小，故C错误：样本相关系· (11.8,3),(12.5,4),(13,5),可得变量X与Y之间成正相关关系， 数r的值越接近1，这两个变量的相关性就越强，故D正确.故！ 因此1>0：由变量U与V相对应的一组样本数据为(10,5)， 选D. (11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),可得变量U与V之间成负 答案D 相关关系，因此r2<0.故r2<0<r1.] 对点训练 !2,A[由表格中的数据，在直角坐标系中描出数据的散点图，如图所 BCD[扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关：示，直观判断散点从左向右成带状分布，在一条直线附近，所以具有 关系.] 线性相关关系，且是正相关.故选A.] 172 +交通事故数 !2.解(1)由表格中数据可得，工=9，少=14. 2 (x:一)（一） ∴.b==1 63≈0.95. 2 66 24H 22 20· a=y征=14-8器×9≈5,41. 8090100110120130140150酒驾人数 ∴，就诊人数y关于昼夜温差x的经验回归方程为v=0.95.x十5.41. 3.ACD[因为样本相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越 (2)由(1)知，当x=15时，y=0.95×15+5.41=19.66, 强，且r>0时正相关，r<0时负相关，故观察各选项，易知B不符 合，A,C,D均符合.] 当x=5时，=0.95×5+5.41=10.16. 4.有[物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变 |19.66-19|=0.662,10.16-9|=1.162. 量有相关关系.] ∴，所求的经验回归方程是理想的 a,-)(y, 题点二 =1 5.0.849[r 二，设2(-)2=a,剥典例解计算可得x=5×14+16+18+20+2)=18, =1 =号×12+10+7+5+3)=7.4 1.2a (a,(y)=1.2a,2C)=2a,故 /2a·a 2x2=142+162+182+202+222=1660, = 1.2≈0.849.] √2 24,y=14×12+16×10+18×7+20×5+22×3=620, 8.2.1&8.2.2一元线性回归模型 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 6名切04 必备知识·自主梳理 1660-5×182 (一) Y=bx十a十eE(e)=0,D(e)=a2响应变量解释变量斜率参数： a=v-6x=7.4+1.15×18=28.1, 即学即练 所以所求经验回归方程是y=一1.15x十28.1. ABD[在回归模型中，x是解释变量，y是响应变量，当解释变量取 列出残差表： 值一定时，响应变量的取值带有一定的随机性.] 12 10 5 (二) 1.y=bx+a 2.y-b 12 9.7 7.4 5.1 2.8 即学即练 y-y 0 0.3 -0.4 -0.1 0.2 1.A[易求r=2.5,v=3.5,且6=1，所以a=3.5-1×2.5=1,因此 经验回归方程为y=x十1.] 所以2(y-)2=0.3,又∑(y-)2=53.2, =1 2.12.1[=0.8x十0.1，∴y=0.8×15十0.1=12.1（亿元）.] (三) 2(,一) 即学即练 所以R2=1- ≈0.994. 1.B[样本中心点坐标为(26,19)，代入经验回归方程得到b=12.5, (y,-)2 =1 所以y=0.25.x十12.5，将x=32代入，求解得到对应的预测值为1 故回归模型的拟合效果很好 20.5,因而其残差为21.25-20.5=0.75.] ·对点训练 2.0.96[当x=175cm时，y=0.85×175-85.71=63.04(kg),.相： 解(1)作散点图，直观看之与t具有线性相关关系」 应残差e=64一63.04=0.96(kg).] 关键能力·合作探究 题点一 3 2 具解题客520+15+13+3+2牛(+0千 (-18]=号， 0123451 =g[6.5+3.5+3.5+1.5+0.5+(-0.5)+(-2.5)+ 根据：关于1的表格数据，得 (-35】=号 1=1+2+3+4+5)=3 含x,-8324-8X子×是 9 1 b= 9 (0+1+2+3+5)=2,2, 2x-82 1256-8× 5 ，所以a=5一 8 且24=45,19=5 ×号=，故经险回归方程为=宁十 (2)由题意，设该同学的物理成绩为山，则物理偏差为一91.5. 6e 45-5×3×2.2=1.2, 55-5×9 石载学偏送为128-120=8w91.5=子×8+号解得a=94. 34-5i2 所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分 a=x-bt=2.2-1.2×3=-1.4. 对点训练 所以：关于t的经验回归方程为：=1.21-1.4. 1,D[因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y=bx十a十！ (2)2=1.21-1.4,代入1=x-2017,2=y-5, e,其中b=0.7,a=3,所以y=0.7x十3+e.当x=10时，得y= 得y-5=1.2(x-2017)-1.4, 0.7×10十3十e=10十e,又|e0.5,即-0.5≤e≤0.5，所以9.5≤{ 即y=1.2x-2416.8. v≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元.] 故y关于x的回归方程为y=1.2x一2416.8. 173