8.1 成对数据的统计相关性-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教A版）

世五维课堂 数学·选择性必修第三册 数 课时 第八章 成对数据的统计分析 学 作业 8.1 成对数据的统计相吴性 纠错空间 基础过关] A.变量x与y正相关，变量u与v负相 1.下面变量之间是相关关系的是( 关，变量x与y的线性相关性较强 A.出租车费与行驶的里程 B.变量x与y负相关，变量u与v正相 B.房屋面积与房屋价格 关，变量x与y的线性相关性较强 C.人的身高与体重 C.变量x与y正相关，变量u与o负相 D.铁的体积与质量 关，变量u与v的线性相关性较强 2.某校学生科研兴趣小组为了解1~12 D.变量x与y负相关，变量u与v正相 岁儿童的体质健康情况，随机调查了20 名儿童的相关数据，分别制作了肺活 关，变量u与v的线性相关性较强 量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高 5.(多选)以下各对变量成正相关的是 之间的散点图，则与身高之间具有正相 ( 关关系的是 A.学生的学籍号与学生的数学成绩 B.坚持每天吃早餐的人数与患胃病的 人数 方法总结 % C.气温与冷饮销售量 0 身高 0 身高 D.电瓶车的质量和行驶每千米的耗 BMI 体柔 电量 度 6.（多选)下列关于相关系数x的说法正 身高 身高 确的是 () A.肺活量 B.视力 A.相关系数r越大两个变量间相关性 C.肢体柔韧度 D.BMI指数 越强 3.两个变量负相关时，散点图的特征是 B.相关系数r的取值范围为[-1,1] ( ) C.相关系数r>0时两个变量正相关， A.点散布在从左下角到右上角的区 r<0时两个变量负相关 域内 D.相关系数r=1时，样本点在同一直 B.点散布在某带形区域内 线上 C.点散布在某圆形区域内 7.下列两个变量之间具有相关关系的是 D.点散布在从左上角到右下角的区 (填序号) 域内 4.对两个变量x,y进行线性相关检验，得 ①正方形的边长a和面积S; 到线性相关系数r1=0.7859,对两个变 ②一个人的身高h和右手一柞长x; 量u,v进行线性相关检验，得线性相关系 ③真空中的自由落体运动其下落的距 数r2=一0.9568，则下列判断正确的是 离h和下落的时间t; ④一个的身高h和他的体重x. ·200· 第八章成对数据的统计分析 课时作业乡 8.已知求得甲、乙、丙3组不同数据的线 11.某厂的生产原料耗费x(单位：百万元) 性相关系数分别为0.81，一0.98,0.63， 与销售额y(单位：百万元)之间有如下 其中 (填甲、乙、丙中的一个) 的对应关系： 纠错空间 组数据的线性相关性最强， 2 2 4 6 8 9.在一次试验中，测得(x,y)的四组值分 y 30 40 50 70 别为(1,2)，(2,0)，(4，-4)，(-1,6)， 则y与x的相关系数为 x与y之间是否具有线性相关关系？ 10.近年来，“共享汽车”在我国各城市迅 若有，判断相关性的强弱， 猛发展，为人们的出行提供了便利，但 也给城市交通管理带来了一些困难. 为了解“共享汽车”在M省的发展情 况，M省某调查机构从该省随机抽取 了5个城市，分别收集和分析了“共享 汽车”的A,B,C三项指标数据x:,y:, 之(i=1,2,3,4,5),数据如表所示： 城市编号i 1 2 3 5 A指标x 4 6 P 8 5 方法总结 B指标y 4 3 4 C指标之 3 6 2 5 4 利用向量夹角来分析y与x之间及之 与x之间的相关关系. [能力提升] 12.广阳岛，作为长江上游最大的江心岛， 其面积在枯水期约为10平方公里.自 2017年起，重庆市开始对广阳岛进行 系统的生态修复，摒弃了曾经的商业 开发计划，转而建设“长江风景眼，重 庆生态岛”.经过数年的努力，广阳岛 的生态得到了显著的改善，不仅植被 丰富，生物多样性也得到了极大的提 升据监测，岛上的鸟类从生态修复前 的124种增加到213种，其中包括中 华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类. 为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分 成面积相近的50个地块，从这些地块 ·201 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 中用简单随机抽样的方法抽取5个作 13.现随机抽取了某校10名学生在入学 为样区，调查得到样本数据(x:,y:)(i 考试中的数学成绩(x)与入学后的第 间 =1,2,…,5),其中x和y:分别表示 次考试数学成绩(y),数据如表： 纠错空间 第i个样区的植被覆盖面积（单位：平 学生号12345678910 方公里)和这种鸟的数量 x 12010811710410311010410599108 y 84648468696869465771 2 2 3 5 请问：这10名学生的两次数学考试成 xi 0.1710.152 0.192 0.189 0.196 绩是否具有显著的线性相关关系？ y 12 10 16 14 18 (1)求广阳岛这种鸟数量的估计值（这 种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数 量的平均数乘以地块数)； (2)求样本(x,y:)(i=1,2,…,5)的相 关系数（精确到0.01）； (3)根据统计资料，各地块间植物覆盖 面积差异较大.为提高样本的代表性 以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估 方法总结 计，请给出一种你认为更合理的抽样 方法，并说明理由. 附：相关系数，r= 2(x,-d(y-3) ,x=0.18, 含(x-a)2含-0≈0.232 ·202· 第八章成对数据的统计分析 课时作业乡 [素养培优] (2)一天内抽检医疗物资中，如果出现 14.为了监控某种医疗物资的一条生产线 了尺寸在(x一3s,x+3s)之外的医疗 间 的生产过程，检验员每隔30min从该 物资，就认为这条生产线在这一天的 纠错空间 生产线上随机抽取一个医疗物资，并 生产过程中可能出现了异常情况，需 测量其尺寸（单位：cm).下面是检验员 对当天的生产过程进行检查.从这一 在一天内依次抽取的16个医疗物资 天抽检的结果看，是否需对当天的生 的尺寸： 产过程进行检查？ 抽取 附：样本(x:,y:)(i=1,2,…,n)的相关 次数 医疗物 (x,-00y一D =1 9.95 10.129.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 系数r 资尺寸 抽取 2x,-含y- 9 10 12 15 16 次数 医疗物 10.269.9110.1310.029.22 10.0410.059.95 资尺寸 经计算得。兰-9.97 方法总结 ≈0.212,2-8.5P≈18.489， 2x≈1591.137,2(z,-x(i-8.5) =一2.78，其中x:为抽取的第i个医 疗物资的尺寸，i=1,2,3,…,16, (1)求(x:,i)(i=1,2,…,16)的相关系 数r,并回答是否可以认为这一天生产 的医疗物资尺寸不随生产过程的进行 而系统地变大或变小（若r|<0.25, 则可以认为医疗物资尺寸不随生产过 程的进行而系统地变大或变小)」 ·203·巴五维课堂 (2)这100人日组装个数的平均值为0×(160×6+ 170×12+180×34+190×30+200×10+210×8)= 185,所以=185. 因为。2=169，所以。=13. ①易知μ十。=198，所以P(X>198)=P(X>4十σ)= 2[1-Pg-≤X≤r+o]≈1-0,6827-0.15865， 2 所以日组装个数超过198的人数为0.15865×20000 =3173. ②因为4=185，所以日组装个数在185以上的概率为 0.5. 设这3人中日组装个数超过185的人数为，这3人增加的 日工资总额为，则7=505，且一B(3,0.5),所以E()= 3×0.5=1.5,所以E()=50E()=75元. 4,解：)根据题意知，样本的平均数工三0言x: (100.03+100.4+99.92+100.52+99.98+100.35+ 99.92+100.44+100.66+100.78)=100.3, 方差子=品x-)=品（鸡￡-107） 0×(10601.8-10×10.3)=0.09,所以u 100.3,o=0.3.因为样本尺寸x∈[99.4,101.2]，所以 该切割设备的质量合格. (2)若采用方案2，则可设生产的零件售价为随机变量 ξ，则ξ可以取60,100： 由(1)知，该设备生产的零件尺寸X一N(100.3,0.32), 所以P(=100)=P(99.7≤X≤100.3)=P(-2G≤ X≤）≈2×0.9545=0.47725， P(=60)=1-P(=100)≈1-0.47725=0.52275. 所以随机变量的分布列如下. 60 100 P 0.52275 0.47725 所以的数学期望为E()≈60×0.52275十100× 0.47725=79.09. 因为79.09>70，即采用方案2时每个零件的平均售价 高于采用方案1时的定价，所以方案2的利润更大. 第八章成对数据的统计分折 8.1成对数据的统计相吴性 1.C[C是相关关系，A,B,D是函数关系.] 2.A[对于A,儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与 身高具有正相关关系，A正确； 对于B,儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力 与身高不具有正相关关系，B错误； ·28 数学·选择性必修第三册 对于C,肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身 高不具有正相关关系，C错误； 对于D,BMI指数与身高的相关性很弱，不具有正相关 关系，D错误.] 3.D[有负相关关系的各点整体呈递减趋势，因此点应该 散布在从左上角到右下角的区域内.] 4.C[由线性相关系数r1=0.7859>0知x与y正相关， 由线性相关系数r2=-0.9568<0知u,v负相关，又|n <|r2|,所以变量u与v的线性相关性比x与y的线性 相关性强.门 5.CD[对于A,学生的学籍号与学生的数学成绩没有相 关关系：对于B,一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与 患胃病的人数成负相关关系；对于C,一般情况下，气温 与冷饮销售量成正相关关系；对于D,一般情况下，电瓶 车的质量和行驶每千米的耗电量成正相关关系.] 6.BCD[根据相关系数的意义对每个结论进行分析、判断 可得错误的结论. 对于相关系数r,有以下结论：①当>0时，表明两个变 量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关.②r的绝对 值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝 对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相 关关系. 对于A,当r<0时此结论不成立，所以A不正确 对于B,由相关系数的性质可得一1≤r≤1，所以B正确. 对于C,由相关系数的性质可得正确. 对于D,由相关系数的性质可得正确，故选BCD.门] 7.解析：对于①，正方形的边长a和面积S是函数关系，不 是相关关系；对于②，一般情况下，一个人的身高h和右 手一柞长x是正相关关系；对于③，真空中的自由落体 运动其下落的距离h和下落的时间t是函数关系，不是 相关关系；对于④，一般情况下，一个人的身高h和他的 体重x是正相关关系. 答案：②④ 8.解析：两个变量y与x的相关系数的绝对值越接近于1， 它的线性相关性越强.在甲、乙、丙中，所给的数值中 |一0.98|是最大的值，即乙的线性相关性最强， 答案：乙 9.解：法-x=1.5y=1,2=22,立=56，xy.=-20, =1 =1 1=1 相关系数r= -20-4×1.5×1 =一1. W(22-4×1.5)(56-4×1) 法二：观察四个，点，发现其在一条单调递减的直线上，故 y与x的相关系数为一1. 10.解析：由已知得元=4+6+2+8+5=5，y= 5 4+4十3+5+4=4,2=3+6+2+5+4=4，将题表中 5 5 2 参考答案 x,y,x的相关数据分别减去x,y,z,记a=（x1一x,x2 -I,x3-E,x-,x;-x),b=(y-y,y2-y,y3-y, y4一y,y5一y),C=（z1一2,22-2,23-，24-2，- z).则a=(-1,1,-3,3,0),b=(0,0,-1,1,0),c= (-1,2,-2,1,0).于是c0sa,b) -1×0+1×0+(-3)×(-1)+3×1+0×0 √(-1)2+12+(-3)2+32+02×√02+02+(-1)2+12+02 25X2V0.9≈0.95， 6 -1×(-1)+1×2+(-3)×(-2)+3×1+0×0 o0s(a,c〉= √(-1)2+12+(-3》2+32+0×√/(-102+2+(-22+12+02 12 25×√105 =3y2≈0.85，所以y与x,z与x正相 关，又cos(a,b)>cos(a,c),则y与x之间的相关性比 x与x之间的相关性强 11.解：画出散点图如图所示，由图可知x,y有线性相关 关系 70 60 50 40 30· 0 2468x =5,y=47.5,2x=120,2=9900, i=1 2x:=1080, 四 √宫-)2-4) 1080-4×5×47.5 ≈0.9827. √(120-4×5)(9900-4×47.5) 故x与y之间具有很强的正相关关系. 12.解析：(1)由已知得样本平均数y=12+10+16+14+18 5 14,从而广阳岛这种鸟数量的估计值为14×50=700. (2)x=0.18,y=14,∑(x:-x)(y:-y)=0.009×2+ ▣1 0.028×4+0.012×2+0.016×4=0.218, 故样本的相关系数，0218≈0.94 0.232 (3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层， 再对50个地块进行分层抽样， 理由如下：由(2)知各样区的这种鸟数量与植物覆盖面 积有很强的正相关，由于各地块间植物覆盖面积差异 很大，从而各地块间这种鸟数量差异也很大，采用分层 抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致 性，提高了样本的代表性，从而可以获得广阳岛这种鸟 数量更准确的估计. 答案：(1)700 (2)0.94 ·23 课时作业乡 (3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层， 再对50个地块进行分层抽样，理由见解析 13.解：2=0(120+108+…十99+108)=107.8， y=0(84+64+…+57+71)=68, 2d=120+108g+…+99+1o8=16584 2=84+64+…叶57+71=47384， 2x,=120×84+108X64+…+108X71=73796 所以，相关系数为 73796-10×107.8×68 r= W√(116584-10×107.82)(47384-10×682) ≈0.7506， 故两次数学考试成绩有显著的线性相关关系， 14.解：(1)由样本数据得(x,i)(i=1,2,3,…,16)的相关系 数为 (x,-D)(i-8.5) =1 ②x-√/-8. -2.78 ≈-0.18； 0.212×√16×18.439 由于|r<0.25,因此可以认为这一天生产的医疗物资 尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 (2)由于x=9.97,s≈0.212， 由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在 (元-35，x十3s)以外，因此需对当天的生产过程进行 检查 8.2一元线性回扭模型及其应用 1.D[:2=0+1+2+3=1.5, 4 y=1+3+5+7=4, 4 回归直线必过点(1.5,4).故选D.] 2.A[决定系数R越大，表示回归模型的拟合效果 越好.] 3.C[花样本中心点的坐标（仔，43）代入回归方程得 a=5.9,所以广告费用为10万元时，估计销售额约为 10.6×10+5.9=111.9(万元).] 4.D[2=1.125×8=9,增加两个样本点后x的 平均数为9-2+1=0.8 10 y=2×1.125+0.75=3…含%=3×8=24，增加两 个样本点后y的平均数为24+5+3=3.2， 10 3