7.4.1 二项分布-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

D(7)=(1-2)2×0.3+(2-2)×0.4十(3-2)2×0.3=0.6. P=C%×0.25+C×0.8×0.2=0.00672. 由于E()>E(),说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但 所以所求概率为1一P=1一0.00672≈0.99. D()>D(),说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 平都不够全面，各有优劣」 ·对点训练 素养演练·提升技能 解(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1, 1,B[样本数据X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的数学期望 由题意，知射击3次，相当于3重伯务利试验， E(X)=1×p1+2×p2十3×p3十4Xp1都为2.5，方差D(X)=-[1 故P(A1)=1-P(A1)=1 (传)品 E(X)]2×p1+[2-E(X)]×p2+[3-E(X)]×p3+[4-E(X)]21 (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A,“乙射击2次，恰 ×p1,标准差为√D(X).A选项的方差D(X)=0.65:B选项的方差 有1次击中目标”为事件B2, D(X)=1.85:C选项的方差D(X)=1.05:D选项的方差D(X)= 1.45.可知选项B的情形对应样本的标准差最大.故选B.] 期PA)=c×(号)广-子 2,D[随执交量X服从两点分布，且PX=0=号P(X=D PB)=Cx(停)）×（子）-是. =令0=0x号+1X号-号D(x0=(0吉）广×号+ 由于甲、乙射击相互独立， (-号)×号-号E8X+D=3E(X0+1=3x号+1=2， PAB,)=×- 题点二 D(3X+1)=32DX)=9X号=2.故选D.] ·典例解(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A,(i=0,1, 3.C[赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量X的可能值！ 23周PA号·号 为2,3，P(X=2)=p2十(1-p)2=2p2一2p+1,A错误：P(X=3) ②设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B=A2UA3, =(1-p)p2+(1-)b+p(1-)2+(1-)(1-p)=-2p2+ 2p,B错误：E(X)=2(2p2-2p十1)十3(-2p2+2p)=-2p2+ 又P(A2) 得得+器·号女1AAE东 2p+2=-2(p合）+号，因为分<p<1,所以E(X)∈ 所以P》=PA:)+PA,)音+宁-品 (2,号）C正确：记-2p+2p+2=,te（2,号)E(X3)=4× (2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2， (2p2-2p+1)+9X(-22+2)=-10p2+10p+4=5t-6,D(X)= 则P(X=0)= 7 9 （1-i0)=00 BX)E(W=516f=-（号)+子，国为1e(2.号)所 以D(X)<,D错误.] P(X=2)= (品)-鵠 49 4.C[由高散型随机变量的分布列的性质得0.5十m十0.2=1，解得 所以X的分布列为 m=0.3,.E(X)=1×0.5+3×0.3十5×0.2=2.4，.D(X)=(1 2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3十(5-2.4)2×0.2=2.44.] X 0 1 2 5.了号[由a6c成孝差载列得2h=a十c,① P 100 又由分布列得a十b十c=1,② ·对点训 E()=-a+c=3,③ 解 由题意知X~B(3,子） 联立①②③解得a=,b=3,c=立， ∴.P(X=)=C ()×() ,k=0,1,2,3, 期)=(1-)×6+(0)）×号+(1-号)× 即PX=0)=cGx()）广×()'=高 7.4.1二项分布 Px=n=cx子×()广= 必备知识·自主梳理 PX=2)=c×()'× 2 (一) 1.两个2.(2)相互独立 pX=8=c×()）-器 即学即练 .X的分布列为 (1)/(2)/(3)×(4)/ 0 2 (二) 1.Cip (1-p)"B(n.p)2.npnp(1-p) 27 7 即学即练 64 64 64 64 1.A[设A=“树苗成活”，则P(A)=0.9.用X表示事件A发生的次！题点三 数，则X~B(5,0.9).恰好成活4棵等价于X=4,于是P(X=4)=!典例解 记“小球落入A袋中”为事件A,“小球落入B袋中”为事件 C×0.91×0.1≈0.33.] B 2.子[旅题意XB(5,）则0=5x子=子B2x+1D= 1)易知P(A)= (合)+（合）子 2Ex+1=2x+1=子] 二，由题意 3 (2)由(1)知P(A)=,则P(B)=1-P(A)=1- 4 关键能力·合作探究 题点一 知X~B(4,子)P(X=)=C()广() ,k=0,1,2,3,4, 典例解(1)记“预报一次准确”为事件A,则P(A)=0.8 则X的分布列为 5次预报相当于5重伯努利试验， 0 1 2 3 “恰有2次准确”的概率为 P=C%×0.82×0.23=0.0512≈0.05， P 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. ②5次预报中至少有2次准璃”的对立事件为“5次预报全事不准 3 3 确或只有1次准确”，其概率为 E(X)=4X =3,D(X)=4× 41 168 对点训练 7.4.2超几何分布 解(1)方法一 由B(5号）得 必备知识·自主梳理 P(=k)=Cx )×(号) ,k=0,1,2,3,4,5. 2兴 即P=0)=c×()广×（号）】 32 :即学即练 -2431 :1.ABD[依据超几何分布模型定义可知，A,B,D中随机变量X服从 P(=1)=CX ()器 超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变 量X不服从超几何分布，] P(=2)=CX ()×(号) 80 :2.C[随机变量的可能值为12,3，P(G=1)=C=3 C5,P(=2)= P(=3)=C (兮)×（传） P(=4)=C () 10 C 0P(3)= C10· 2431 P(=5)=C× () 1 [有2人会说日语的概率为C -243· 故专的分布列为 关键能力·合作探究 题点一 0 1 3 5 !典例解析选项A,B,C中的产品数都是变量，且满足超几何分布 P 器 ” 器 架 的形式和特点，而选项D中的三等品数是常数，不是变量.故选D. 243 答案D 32 80 器+×+4×端+5X 80 .E()=0X 十1X0+2 10 !对点训练 3 A[由超几何分布的概念可知A正确.] 方法二 ·题点二 (2)n的分布列为P(n=k)=P(前k个是绿灯，第k十1个是红灯)= 典例解(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人， (号)× 代表队中的学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表 ,k=0,1,2,3,4, 队)的概率为SC 1 CC8100 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概亲为1一1000 199 2 1 2 P(7=1)=3X3= 9 (2)根据题意，知X的所有可能取值为1,2,3. P(7=2) (号)× 4 27 P(X=1)= P(=3)= (号)×寸 8 C%51 P(X=2)= P(7=4)= (号)× 2431 (号) =32 P(X=3)= P(7=5) 243 故”的分布列为 所以X的分布列为 0 3 5 3 1 2 16 32 27 81 243 243 5 (3)所求概率为P(≥1)=1-P(=0) 对点训练 =1 2 211 解①设甲班的学生人数为M, 3 243 素养演练·提升技能 MMD-7 C 42 1,B[每次耥到奇数的概率都相等，为号，故恰好有2次抽到奇数的 即MP-M-6=0,解得M=3或M=-2(舍去). ,7名学生中甲班的学生共有3人 概率是c(号)（号）J ②由题意可知，：服从超几何分布 2.1 5 .P(ξ≥1)=P(=1)+P(=2) [由题意，将从顶点到出口3的路线图单独画出来 如图所示，可得从顶点到出口3总共有C号=10种走法，其 C号 中每一岔口每一种走法的概率都是子，问题相当于在5 题点三 典例解(1)由10×(0.010十0.015十a十0.030十0.010)=1，得a= 次独立重复试验中发生2次的概率，所以所求概率P= 0.035,平均数为20×0.1+30×0.15十40×0.35十50×0.3+60× c×(合)×(）音] 0.1=41.5. 3.D[设4道题目中小明能独立解决的题数为X,则X~B(4,号) 设中位数为x,则10×0.010+10×0.015十(x-35)×0.035=0.5, .x42.1. 所以px=2=·(号)·(-子)'-品] (2)由题意知，从第1,2组抽取的人数分别为2,3. 4.D[由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率P=2 设第2组中拾好抽取2人的事件为A,则P(A)=CC=3 C 51 (空)=子，求一卦中格有两个变支的概率实际为求6次独立重 (3)从所有参与调查的人中任意选出1人，此人关注环境治理和保 复试验中发生2次的概率，所以P=C×(子)）×（子） 护问题的概率为子， 器故选D] 易知X的所有可能取值为0,1,2,3， 5.0.0486[P=C号×0.12×(1-0.1)2=0.0486.] Px=0m=c(-号）广'=5 169数学选择性必修第三册 7.4.1 【素养要求】通过学习二项分布的概念及研究其数 必备知识·自主梳理 (一)伯努利试验 1.伯努利试验 我们把只包含 可能结果的试验叫做伯 努利试验 2.n重伯努利试验的特征 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所 组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努 利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果 [即学即练] 判断正误 (1)伯努利试验只包含两个可能结果. ( (2)n重伯努利试验中，各次试验结果之间没有 影响. (3)在n重伯努利试验中，各次试验中事件发生的 概率可以不同， () (4)n重伯努利试验中事件A恰好发生k次与事件 A恰好在第k次发生不一样 ) 关键能力·合作探究 题点一伯努利试验及其概率计算 [典例]某气象站天气预报的准确率为80%，计 算：（结果保留到小数点后第2位） (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率. 听课记录 二项分布 字特征，发展数学抽象及数据分析素养」 预习新知夯实基础 (二)二项分布 1.二项分布的概念 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事 件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件 A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)= ,k=0,1,…,n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称 随机变量X服从二项分布，记作X一 X分布列如下表所示，其中q=1一. 0 n Cop"Cupq" … Chpg Cup"go 2.二项分布的期望与方差 一般地，如果X~B(n,p),那么E(X)= ;D(X)= [即学即练] 1.种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5 棵，则恰好成活4棵的概率是 A.0.33B.0.066 C.0.5 D.0.45 2.某班有的学生数学成绩优秀，如果从该班中随 机抽出5名同学，设其中数学成绩优秀的学生数 为X,那么E(2X+1)等于 讲练设计探究重点 /方法技巧/ 伯努利试验求概率的三个步骤 依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否 判断 为独立重复试验 分拆 判断所求事件是否需要分拆 就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求 计算 解，最后利用互斥事件概率加法公式计算 对点训练 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 号和，假设每次射击是否击中目标，相互之间 没有影响.（结果需用分数作答） 第七章随机变量及其分布 (1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的： /方法技巧/ 概率； 解决二项分布分布列问题的注意事项 (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且： (1)当X服从二项分布时，应弄清X~B(n,p) 乙恰好击中目标1次的概率. 中的试验次数n与成功概率p. (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P(X=k)=C(1-p)”-(k=0, 1,2,…,n),必须在满足“独立重复试验”时才能 应用，否则不能应用该公式 ②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键 有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生 与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立 重复地进行了n次. 对点训练 某一中学生心理咨询中心眼务电话接通率为子， 某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该 题点二 二项分布的分布列及概率问题 服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨 [典例]学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱： 询的人数X的分布列. 子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个 白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次 游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出 的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将 球放回原箱) (1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列. 听课记录 题点三 二项分布的综合应用 [典例]将一个半径适当的小球放入 如图所示的容器最上方的入口处， 小球自由下落，在下落的过程中，小 球将遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B袋中.已知小球每次遇到障 碍物时，向左右两边下落的概率分 别是分 (1)求小球落人A袋中的概率； (2)在容器的入口处依次放入4个小球，记X为 落入B袋中的小球的个数.求X的分布列、期望 和方差。 43 数学选择性必修第三册 听课记录 /方法技巧/ 概率综合大题的解题步骤 (1)要准确地确定事件的性质，把问题化归为古 典概型、互斥事件、独立事件、伯努利试验四类 事件中的某一种； ! (2)要判断事件是A十B还是AB,确定事件至 少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或 相乘事件公式； (3)选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概 率、独立事件”重伯努利试验的概率公式求解. 素养演练·提升技能 1.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中有放回地随 机抽取5次，每次抽取1张.则恰好有2次抽到 奇数的概率是 A() s()( c)) )°() 2.某个游戏中，一个珠子按如图 所示的通道由上至下滑下，从 最下面的六个出口出来，规定 猜中者为胜，如果你在该游戏 123456 中猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为！ 3.《九章算术》原名《九章》，是我国古代数学著作的 代表之作，大约成书于秦汉时期，影响了中国数 学和世界数学两千余年，小明的数学老师为了拓 宽学生视野、增强学生民族自豪感，从《九章算 术》中选出4道题目供学生思考解决，已知小明： -44 对点训练 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中 有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事 件是相互独立的，并且概率都是子 (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数：的 均值； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停 车前经过的路口数？的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的 概率。 达标训练素养提高 能够独立解决每道题目的概率均为 ，则小明恰 好解决2道题目的概率是 () A号 B司 c 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每 一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金 钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双 手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛 撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次， 得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面 向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概 率为号，则一卦中恰有两个变爻的概率为() A Bga c器 D.1215 ·4096 从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两 件次品的概率为 温馨提示 请做课时分层检测（十五）