7.3.1 离散型随机变量的均值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教A版）

第七章随机变量及其分布 课时作业乡 数课时 7.3离散型随机变量的数字特征 学作业 7.3.1离散型随机变量的均值 纠错空间 [基础过关] 5.（多选)已知随机变量X的分布列如 1.随机变量X的分布列为： 下表： X 1 2 X 0 P 0.2 0.5 m 3 则X的均值是 A.2 B.2.1 记“函数f(x)=3sin x十X π(x∈R)是 C.2.3 D.随m的变化而变化 偶函数”为事件A,则 ( 2.设0<<1，随机变量X,Y的分布列分 APW-号 B.E(X)= 2 别为 3 X 2 3 CE)=号-2a .E(X)= 1一力 6.(多选)受轿车在保修期内维修费等因 Y 素的影响，企业生产每辆轿车的利润与 2 3 该轿车首次出现故障的时间有关.某轿 方法总结 P p2-b3 车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保 当X的数学期望取得最大值时，Y的数 修期均为2年，现从该已售出的两种品 学期望为 ( 牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据 A.2 A滑 55 27 n 如表： 品牌 甲 乙 3.设5的分布列为 首次出现故障 0<x 1<t 0<x x>2 x>2 € 1 2 3 4 的时间x(年) ≤1 ≤2 ≤2 1 1 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 P 6 6 3 3 每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9 又设7=2+5，则E()等于 ( 将频率视为概率，则 ) A B名 c号 .号 A.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽 取一辆，其首次出现故障发生在保修 4.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位 客人浏览这三个景点的概率分别是 期内的概率为号 0.4,0.5,0.6,且此人是否浏览哪个景 B.若该厂生产的轿车均能售出，记生产 点互不影响，设ξ表示客人离开该城市 一辆甲品牌轿车的利润为X,则 时浏览的景点数与没有浏览的景点数 E(X1)=2.86(万元) 之差的绝对值，则E()等于 () C.若该厂生产的轿车均能售出，记生产 A.1.48 B.0.76 一辆乙品牌轿车的利润为X2,则 C.0.24 D.1 E(X2)=2.99(万元) ·183· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 D.该厂预计今后这两种品牌轿车的销 (1)根据这次比赛的成绩频率分布直 量相当，由于资金限制，只能生产其 方图推断乙击中8环的概率P(Xz= 间 中一种品牌的轿车.若从经济效益的 8),以及甲击中9环以上（包括9环） 纠错空间 角度考虑，应生产甲品牌的轿车 的概率； 7.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的 (2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁 概率分布列如表： 的水平更高（即平均每次射击的环数 t 3 谁大) P(ξ=t) 请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！” 处完全无法看清，且两个“？”处字迹模 糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同. 据此，小牛给出了正确答案E() = 8.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局 胜者得1分，负者得0分，比赛进行到 方法总结 有一人比对方多2分或打满6局时停 止.设甲在每局中获胜的概率为号，乙 在每局中获胜的概率为3，且各局胜负 相互独立，则比赛停止时已打局数的 期望E()为 9.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大 小和形状相同的小球，从中任取2个， 取出的球的最大编号X的均值 为 10.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛， 射击相同的次数，已知两名运动员击 中的环数X稳定在7,8,9,10环.将他 们的比赛成绩画成频率分布直方图如 图甲和图乙所示， 1击中频率 ↑击中频率 0.3 0.35 0.2 10击中 078910击中 环数 环数 ·184· 第七章随机变量及其分布 课时作业乡 11.某卫视综艺节目中有一个环节叫“超 [能力提升门 级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中 12.某商店试销某种商品20天，获得如下 嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中 数据： 纠错空间 猜对一道题目可得1分，若猜对两道 日销售量（件） 0 3 题目可得3分，要是三道题目完全猜 频数 5 9 5 对可得6分，若三道题目全部猜错，则 扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目 试销结束后（假设该商品的日销售量 的概率分别为号，2，，且三道题目之 的分布规律不变)，设某天开始营业时 有该商品3件，当天营业结束后检查 间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环 存货，若发现存量少于2件，则当天进 节中所得分数的分布列与均值. 货补充至3件，否则不进货，将频率视 为概率. (1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品 的件数，求X的分布列和均值 方法总结 +++1+++++0+++ ·185· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 13.中国体育代表团在2024年巴黎奥运 [素养培优] 会上取得了优异的成绩.为了解学生 14.新高考数学试卷出现多项选择题，即 间 对奥运会的了解情况，某校组织了全 每小题的四个选项中，有多项符合题 纠错空间 目要求，全部选对得6分，部分选对得 校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、 部分分，有选错的得0分.若正确答案 二、三年级各随机抽取100名学生的 为两项，每对一项得3分：若正确答案 成绩（满分：100分，各年级总人数相 为三项，每对一项得2分； 等)，统计如下： (1)学生甲在作答某题时，对四个选项 年级 作出正确判断、判断不了（不选）和错 [0,60) [60,100 误判断的概率如下表： 一年级 40 60 选项作出正确判断判断不了（不选）作出错误判断 二年级 25 75 0.8 0.1 0.1 三年级 0.7 0.1 0.2 10 90 0.6 0.3 0.1 学校将测试成绩分为及格（成绩不低 D 0.5 0.3 0.2 于60分)和不及格（成绩低于60分） 若此题的正确选项为AC.求学生甲答 两类，用频率估计概率，所有学生的测 此题得6分的概率： 试成绩结果互不影响、 (2)某数学小组研究发现，多选题正确 方法总结 (1)从一、二年级各随机抽一名学生， 答案是两个选项的概率为卫，正确答案 记X表示这两名学生中测试成绩及格 是三个选项的概率为1一p(0<p< 1).现有一道多选题，学生乙完全不 的人数，求X的分布列和数学期望； 会，此时他有两种答题方案：I.随机 (2)从这三个年级中随机抽取两个年 选一个选项；Ⅱ.随机选两个选项， 级，并从抽取的两个年级中各随机抽 ①若力-，且学生乙选择方案1，分 取一名学生，求这两名学生测试成绩 别求学生乙本题得0分、得2分的 均及格的概率。 概率. ②以本题得分的数学期望为决策依 据，卫的取值在什么范围内唯独选择 方案I最好？ ·186·巴五维课堂 P(X-3)-CiC+CiCi_16_2 Cio 12015 P(X=4)= CC+CC363 Cio 12010 P(X=5) C8C+CC=64=8 Cio -120-15 可得X的分布列如表所示。 X 2 3 4 5 P 1 2 3 8 30 10 15 14.解：(1)六个函数中是奇函数的有f1(x)=x,f(x)= x3,f(x)=sinx.由这三个奇函数中的任意两个函数 相加均可得一个新的奇函数. 设事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到 的新函数是奇函数.” 由题意知P(A)= (2)E的所有可能取值为1,2,3,4. P(G=1)= C=1 A2’ P(=2)= A10 P(G-3)= AC3 A201 P(=4)= A 故三的分布列为 1 3 4 P 3 3 2 10 2020 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1离散型随机变量的帕值 1.B[因为0.2十0.5十m=1,所以m=0.3,所以E(X)= 1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.] 2.D[因为E(X)=p2+2(1-)十3(p-p2)=-2p2+ b+2=-2(子)+号，所以当p=时，E(X)取得 最大位，此时E0)=一2p+分+2=5] 3.DE=1x号+2x日+3x合+4x号-吕， E)-E(2+5)=2E(8+5=2×号+5-号.] 4.A[随机变量E的取值有1,3两种情况，=3表示三个 景点都游览了或都没有游览，所以P(E=3)=0.4×0.5 ×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(ξ=1)=1-0.24= 0.76, ·29 数学·选择性必修第三册 所以随机变量E的分布列为 1 3 P 0.76 0.24 E()=1×0.76十3×0.24=1.48.] 5.ACD[因为函数f()=3 Bsin(x∈R)是偶函数， 2 所以答=吾十，∈乙， 于是X=2k+1,k∈Z,又因为X=一1,0,1，所以事件A 表示X=士1， 所以PA)=a+6=1-号=号， EX)=(-1)Xa+0X号+1Xb=b-a=号-2a,随机 变量X2的可能取值为0,1， P(X=0)=3,Px0=10=号， 所以EX)=0X号+1X号=号故逸ACD.] 6.BD[设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为 事作A,则PA)=结3=品 依题意得，X1的分布列为 X 1 2 3 3 9 2 BX,)=1×云+2X0+3× 9143 50 =2.86(万元)， X2分布列为 X2 1.8 2.9 P 1 1 E(X,)=1.8×0+2.9x品=2.79（万元）. 因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车.] 7.解析：设“？”处为x,“!”处为y,则由分布列的性质得 2x十y=1,所以期望E()=1×P(E=1)+2×P(=2) +3×P(5=3)=4x十2y=2. 答案：2 8.解析：依题意，知E的所有可能值为2,4,6，设每两局比 素为一伦，剥接轮给永时北率件止的瓶率为（侣）十 (信)广-吾 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各 得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有 影响从两有P(E=2》=号，PE=0=号×号-器， 参考答案 故B)=2X号+4×贸+6×9-9 答案 9.解析：X的取值可能为2,3，且 P(X=2)= g=，P(X=3)-c=2 .1 cg 3 E(X)=2X号+3x号=8 3=3 答案：号 10.解：(1)由图乙可知P(X2=7)=0.2,P(X2=9)= 0.2,P(Xz=10)=0.35, 所以P(X2=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25. 同理P(Xp=7)=0.2,P(X甲=8)=0.15， P(Xp=9)=0.3, 所以P(Xp=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35. P(X甲≥9)=0.3+0.35=0.65. (2)因为E(X甲)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10× 0.35=8.8, E(X)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35= 8.7, 则有E(X甲)>E(X2),所以估计甲的水平更高， 11.解：根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可 能取值为-4,1,3,6. Px=-0-(1-号)×(1-)×(-吉)-g, PX=1)=号××号+3× 1x号+3 P(X=3》=号× 21 2 3 3 3 7 8' ∴X的分布列为 X -4 P 7 1 9 18 18 9 E)=(-0×日+18+3×+6×日-9 12.解：(1)P(当天商店不进货)=P(当天商店销售量为0 件)十P(当天商店销信量为1件)=0+0-品， (2)由题意知X的可能取值为2,3，P(X=2)=P(当天 商品销客量为1件)员-子 P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)十P(当天商品 销售量为2件)十P(当天商品销售量为3件)=0十品+ ·29 课时作业乡 易是故X的分布列为 5=」 X 2 3 4 所以X的均值为E(X)=2×号+3×3= 4 44 13.解析：①一年纸学生及格的频率为部-号不及格的 领车为品-号二年领辛生及格的频率为品-是， 不及格的频率为积=子，三年蚁学生及格的频率为 器=品不及格的频率为品=0X的所有可能取 值为01,2,3，则P(X=0)=号×号-=0PX=1D ×+号×是-易P0X=2)=号×是=所以 5 X的分布列为： 0 0 10 20 20 所以X的期望为E(X)=0×0+1×易+2×易 1 9 27 20 (2)由题意可知，抽到一、二年级，一、三年级，二、三年 级的概率都是了，所以抽到的两名学生测试成绩均及 格约率为P=××+日×号×品+× ×品思 答案：(1)答案见解析(2) 200 14.解析：(1)设事件M表示“学生答此题得6分”，即对于 选项AC作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确 的判断或判断不了，所以P(M)=0.8×(0.7+0.1)× 0.6×(0.5+0.3)=0.3072; (2)①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得 分”，PX=0)=台×忌+号×日号PX=2)=号 1 x9-3 ②对于方案I:记：为“从四个选项中随机选择一个选 项的得分”，则专的所有可能取值为0,2,3， e-0-x总+-x日-1中 (传=2)=(1-p)X p(6=3)=p C2_1 C可2, 5 世五维课堂 所以B()=0×1+2×是1-p)+3X2p=是： 4 对于方案Ⅱ：记专为“从四个选项中选择两个选项的得 分”，则的所有可能取值为：0,4,6， P(E-0)=X(1)x ,C31 =40=1-pxC2S-1-, 所以E=0X(信+）+4X1-p)+6xP =2一p;要使唯独选择方案I最好， 3 则2-C立解得：号<p<1,故p的取值花周为 (0<<1 (合) 答案：(1)0.3072 20g,g@(合 7.3.2离散型随机变量的方差 1.B[由分布列的性质得x十y=0.5, 又E(X0=号，所以2z十3=号，解得x=日=名，所 以D(x)=(-日)×合+(2-)×日+ (8-)×号- 2.D[E(X1)=2E(X)-5=12-5=7,D(X1)=4D(X)= 4×0.5=2.] 3.A[抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得 一1分，则得分X的分布列为 X 1 -1 0.5 0.5 所以E(X)=1×0.5十（一1）×0.5=0， D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.] 4.A[根据已知得东(i=1,2)服从两点分布，由两点分布 的均值和方差知E()=p:,D(后)=(1一p),因为0< A<A<合，所以E)=A<A=E(),D()-D() =1-p员-（p2-p)=(p1-p2)[1-（p1十p2)门，已知 <p2,p十p2<1,所以D(6)-D()<0,即D(6)< D(5).] 5,ABD[由X的分布列可知P(X=0)=子，所以A 正确； 根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可 得，B0=(-1Dx+0x号+1x日=-， 3 ·2 数学·选择性必修第三册 所以D(x)=(-1+号)×合+(+号)×号 (1+号)×日-号，所以B正确，C不正确： 图为P(X=0)=号P(X=1D=号， 所以E(X)=子，所以D(X)=(0-号)X号+ (-号)广×号-号所以DE确故选ABD] 6.BC[依题意可得x十y=1,E(X)=2xy, 又2≤2-安所以B0≤号 2 当且仅当x=)=号时取等号，A错误，B正确： D(X)=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2xy+(1 -2x)2y2x=[(1-2y)2x+(1-2x)2y]yzx=[(2x-1)2x +(1-2x)2y]yx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx, 0<x<1,.-1<2x-1<1,.0<(2x-1)2<1, D(X)<,即D(X0<号E(X,C正确； D(X)=(1-2x)2z<c≤+2=1 4 4 当且仅当x=y=号时取等号.D错误。 故选BC.] 7.解析：依题意可知，X的可能取值为0,2,5,10，则 PX=0)=c(号)'=gPX=2)=c(合）广'= PX=)-c(合)广=号PX=1o)=G(合)广=合 所以E(X)=0X日+2+5+10X号-，又 BX)=02×日+2×g+5×+10×-1,所 以DX0=BX)-(BX0)P-2 答案 8.解析：由题意知 -a+c+日=0，解得b= 6 atet-1, c=4 省案：最 9,解析：“有放回摸取”，每次摸出一球是白球的概率为P= = 所以“有效回模两火，颜色不同”的概率为2X号× (一号)=专“不放回抽取”时，设摸出白球的个数为 6