7.1.1 条件概率-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

第七章 a幼 P=2+2W 随机变量及其分布 ax 7.1.1 条件概率 【素养要求】通过学习及应用条件概率，发展数学抽象及逻辑推理素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)条件概率 :2.把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出 1.条件概率的概念 现反面”，事件B=“第二次出现正面”，则P(B 一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0, A)为 () 我们称P(B|A)= 为在事件 1 发生的条件下，事件 发生的条件概率， A.4 B司 C.3 n 简称条件概率. (二)概率的乘法公式 2.条件概率的性质 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B,若 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同 P(A)>0,则P(AB)= 样具有概率的性质.设P(A)>0,则 [即学即练] (1)P(BA)∈ ,P(21A)= 1.若B,C是互斥事件且P(B1A)=3P(CA)= (2)如果B与C互斥，则P(BUCA)= 壬则P(BUCA)等于 (3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)= A司 c是 n [即学即练] 2.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好 1.已知P(BN=号PAB=8则P(=( 去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是 ( C.4 2 A.10 B.10 c. 9 0.0 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一 条件概率 70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学 [典例](1)高二某班共有60名学生，其中女生有 生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则 20名，“三好学生”人数是全班人数的6，且“三好 该同学也爱好滑冰的概率为 ( A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人 听课记录 参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，： 选上的学生是“三好学生”的概率为 A成 B司 C.g n号 (2)(2023·全国甲卷（理）T6)某地的中学生中有： 60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，： 26 第七章随机变量及其分布 :…/方法技巧/… /方法技巧/ 1.求条件概率P(B|A)的方法 乘法公式求概率的步骤 (1)定义法：先求得P(A)和P(AB),再利用 (1)先求事件B(A)发生的概率； 公式P(B1A)=PAB进行求解： (2)再求事件B(A)发生的条件下事件A(B)发 P(A) 生的概率P(A|B)(P(B|A); (2)基本事件法：借助古典概型的概率计算公 (3)利用公式求值：P(AB)=P(A)P(B|A)= 式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再 P(B)P(AB). 求事件AB包含的基本事件数n(AB),最后 利用P(BA)=连行求解： 对点训练 (3)缩样法：即缩小样本空间的方法，就是去 1.10个考签中有4个难签，2人参加抽签（不放 掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，利 回)，甲先，乙后，求： 用古典概型的概率计算公式求解. (1)甲抽到难签的概率； 2.用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (2)甲、乙都抽到难签的概率； (1)分析题意，弄清概率模型. (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率. (2)计算P(A),P(AB): (3)代入公式求P(BA)=P(AB) P(A)1 对点训练 1.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2 个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一 次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为 ( A.3 c.2 D司 2.在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次： 从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1： 次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概： 率为 题点二概率的乘法公式 [典例]已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10： 个球除颜色外完全相同： (1)先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次： 摸到的均为黑球的概率； :2.已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中 (2)从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次 有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出 才摸到黑球的概率. 一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一 听课记录 球，则两次都取到红球的概率是 题点三复杂的条件概率的应用 [典例]在某次考试中，要从20道题中随机抽出6 道题，若考生至少能答对其中4道题则可通过； 若至少能答对其中5道题则获得优秀.已知某考 生能答对其中10道题，且知道他在这次考试中 已经通过，求他获得优秀的概率。 27 数学选择性必修第三册 听课记录 对点训练 1.某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定 值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的 概率为 :2.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个 黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求 在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或 黑球的概率. …/方法技巧/ 求一些复杂的条件概率时，往往可以先把事件 分解成若干个互斥的较简单事件之和，利用公 式P(BUCA)=P(B|A)+P(CA)使求解更 为简捷.如果直接分解比较麻烦，可以考虑对立 事件，利用P(AB)十P(AB)=P(A)及P(B|A) +P(B|A)=1求解. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)下列说法正确的是 个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并 A.P(B|A)≥P(AB)》 在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为 B.P(BIA)= CB是可能的 2022年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成 P(A) 员将模型随机抛出，两人都希望能抛出虎的图案 C.0<P(B|A)<1 朝上，寓意虎虎生威.两人各抛一次，则在第一人 D.P(AA)=0 2.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个 抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概 小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正 率为 ( 确的是 1 A.2 B号 c将n器 A.事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和 :4.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3 事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是 互斥事件 名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等）， B.事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家： 则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至 庭3个孩子都是女孩”是对立事件 少有一个被选中的概率是 ( C.该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为日 A. B号 c n D.在已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3：5.一个盒子内装有大小相同的3个红球，5个白球， 个小孩中至少有2个男孩的概率为号 从盒子中任取2个球，已知一个球是白球，另一 个球也是白球的概率为 3.为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服 温馨提示 请做课时分层检测（九） 务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有 28.3[a+1+x=a1十)+x1十，又1十的及开2.是 3 [设事件A:第1次抽到代数题，事件B:第2次抽到几何题， 的通项为T+1=Cx,故原式展开式中x的奇数次幂项的系数之！ 和为a(C十C)十(C十C号十C1)=32,解得a=3.] 则P(A)=2 33 5,P(AB)=5×4=10 8.A[令x十2=1，右边为a。十a1十a2十…十a11,左边把x=-1代 3 入，得(x2十1)·(2x十1)=-2，a0十a1十a2十…十a11=-2.故 选A.] 所以P(B1A)=PCAB) 10 P(A) 2 9.D[根据(51+后) 的展开式中只有第1项的二项式系数最题点二 典例解设事件A,表示第i次摸到的是黑球(i=1,2,3),则事件 大，得n=20,. (+) 的展开式的通项为T+1=C0·! A1A2表示前两次摸到的均为黑球， (W5x)20-r· =(5)20-r·Co·x20=r(r∈{0,1,2，…， )由题意知P(A)=是PA,1A)=号 20}).x的指数是整数，∴r是3的倍数，∴r=0,3,6,9,12,15, 根据秦法公式，有P(AA,)=P(APA,1A)=品×号= 18,x的指数是整数的项共有7个，] 10.12535[(1十x)(1-2x)7=a十a1x+a2x2+…+a8x8,令 故所求概牵为言 x=0,则a=1,令x=1,则a十a1十a2十…十a=-2,as=C(-2)7 (2)设事件A表示第三次才摸到黑球，则A=A1A2A3: =-128,∴a1十a2十…十a,=一2-1+128=125：在上述展开式右边 的九项中，随机任取不同的三项，可以利用插空法，从六项所形成的七 由题言知PA)=品PA:1A1)=号， 个空中选取三个空，则有C=35种.] P(A.) 第七章随机变量及其分布 根据乘法公式，有P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2) 7.1.1条件概率 =品×号×品 必备知识·自主梳理 故所求概率为 (一) 1.8 AB2.(1)[0,1]1(2)P(BA)+P(CA) ,对点训练 11.解记事件A,B分别表示甲、乙抽到难签，则 (3)1-P(BA) arA)=音-号 2 即学即练 3 1.A[由题意可知P(A) （2PAB)=PAP(BIAD=号×是-号 P(BA) 2 C3PAB)=PUAP(BIA=号×号-六 2.B[事件A,B相互独立，则P(BA)=P(B)=2.] 8 2.2 [设“从1号箱取到红球”为事件A,“从2号箱取到红球”为事 (二) P(A)P(BA) 件B由随客PN=合号，PBA合所以PAB) 即学即练 1.D[因为B,C是互斥事件，所以P(BUC|A)=P(BA)+P(C|A): )·P(BA)=号X专=》：所以两次部取到红球的桃来 为 2.A[记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)=!题点 ，P(BA)=寸，所以PAB)=PA)P(BA=品] 9 !典例解设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答 对了其中5道题，另1道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4 关键能力·合作探究 道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件 题点一 E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则事件A,B,C两两互斥，且 典例解析(1)设事件A表示“选上的学生是男生”，事件B表示“选 D=AUBUC,E=AUB.由古典概型的概率公式及加法公式可知 上的学生是·三好学生”，则所求概率为P(BA).由题意可得，男 P(D)-P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-Ci+CiCi+ 生有60一20=40人，“三好学生”有10人，所以“三好学生”中男生 有5人，所以P(A)品=号，PAB)=高-立故P(BA 5 CC_12180,PAD)=P(A)=20,P(BD=P(B)=2520, C%o C90 P(ED)=P(AUB|D)=P(A|D)十P(B|D),所以P(E|D)= P(AB)121 210 2520 P(A) 28 P(A)P(B) C20 C50 13 P(D)P(D) 1218012180 58 故所求的概丰为是 (2)同时爱好两项的概率为0.5十0.6一0.7=0.4，记“该同学爱好滑 C50 C50 雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件B,测P(A)=0,5,对点训练 PAB=0,4片以P(BA)--80,8旋选A 1号 [相当于周一到周六，值班一天，则周六晚上或周五晚上值班 答案(1)C(2)A 对点训练 1,B[设“第一次摸到红球”的事件为A,设“第二次摸到白球”的事件！2.解方法一设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸出第二个球 为B,则P(A=号=合，PA)号合所以在第一次接到为黄球“为事件B,接出第二个球为黑球“为事作C,则P) 的是红球的条件下，第二次模到白球的概率为P(B1A)=PA=: P(A) pAB=号六PA0)动 ∴P(BlA)=PAR=E= P(A) 1 9 10 162 1(二) P(CIA)=P(AC) 30 P(A) 3 !即学即练 B[设A表示“考生答对”，B表示“考生知道正确答案”，由全概率 10 ..P(BUCA)=P(BA)+P(CA)= 2 5 公式得PA)=P(B)P(A1B)+P(B)P(A|B)=子X1+号× “所末概率为子 子-子又由员叶新公式得P(B1A)=P(R)PAID_言X P(A) 方法二，n(A)=1×C=9, 2 (BUCIA)=C+C=5, ∴P(BUCIA)=n(BUCA)_5 n(A) 9 :关键能力·合作探究 5 所求概率为号 题点一 典例解设A,表示事件“第i个人摸到奖券”，i=1,2,,,则A2 素养演练·提升技能 表示事件“第二个人摸到奖券”： 1,AB[由条件概率公式P(BA) P(AB及0<P(A)≤1知P(BlA)≥ A1是否发生直接关系到A2发生的概率，即 P(A) P(A21A)=0,P(A21A)= 1 P(AB),故A正确：当事件A包含事件B时有P(AB)=P(B),此时 n-11 PBA)=界，故B正确：由于0区PBlA)≤1，PAA)=1,故CD 而PA)=,P国=” 错误.] 由全概率公式，得 2.D[假设事件A:该家庭3个小孩中至少有1个女孩，则包含（女， P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A) 女，男)的可能，事件B:该家庭3个小孩中至少有一个男孩，则包含· =·0+”1.1=1 n∴n-1n (女，女，男)的可能，所以A门B≠心，故A错误：事件“该家庭3个孩对点训练 子都是男孩”与事件“该家庭3个孩子都是女孩”不可能同时发生，：1，A[用A表示事件“考生答对了”，用B表示事件“考生知道正确答 是互斥但不对立事件，故B错误：3个小孩可能发生的事件如下：男 案”，用B表示“考生不知道正确答案”，则P(B)=0.5,P(B)=0.5, 男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男，共8！ P(A|B)=100%,P(A|B)=0.25,则P(A)=P(AB)十P(AB)= 种，其中只有一个男孩的概率为P=令，故C错误：设M=(至少有 P(AB)P(B)+P(AB)P(B)=1×0.5+0.25×0.5=0.625.] 2,解记事件A,B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则 1个男孩}，N={至少有2个男孩}，由选项C可知，n(MN)=4, 2=AUB,且A,B互斥， n=7,所以P(NM=”=专，故DE境，] ! ①由题意，得PA)-品=号PB=积-号 505 3.A[设第一人抛出虎的图案为A事件，第二人抛出虎的图案为B事： P(CA)=0.06,P(CB)=0.05, 2x122,PAB)=X1=1 件，期P(A=是=1」 2X12=14所以P(B1A)= 由全概率公式， P(C)=P(A)P(CIA)+P(B)P(CIB)-125 7 P(AB)144 30×100 P(A) 1 2,即在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达！ (2)P(A)= 30×100+20×120=9, 12 20×120 4 成的概率为立] P(B)=30×100+20×120-9, P(CA)=0.06,P(CB)=0.05, 4.D[男生甲被选中记作事件A,男生乙和女生丙至少有一个被选中 由全概率公式，得P(C)=P(A)P(CA)十 记作事件B,剥P(A=C=2,P(AB)=CS+C十19 C 35,由条件 p(Bp(CB=号×&+÷×高O- 概丰公式可得PCBA--号】 题点二 典例解(D设“甲中奖”为事件A,则PA)= 2 5. [取出2个球，记事件A=“一个球是白球”，则P(A)= (2)设“乙中奖”为事件B, C十CC=票，取出2个球，记事件B=“号一个球是白球”，则 则P(B)=P(A)P(B|A)十P(A)P(B|A). C -281 又P(A)= 品PBA=号，PB①=令 P(AB) C28=,由条件概率公式得P(BA)=PCAB= C105 P(A) 所以P(B) 5 14 (3)因为P(A) 品PBA)=子 25 ，所以已知一个球是白球，另一个球也是白球的概率 5 2 所以P(A|B)= P(AB)P(A)P(BA) 为号小 P(B) P(B) 7 7.1.2全概率公式 30=7 3 9· 必备知识·自主梳理 (一) :对点训练 即学即练 解用A1,A2,A分别表示事件买到的智能手机为甲品牌、乙品 牌、其他品牌，B表示买到的是优质品的事件，则2=A1UA2UA3, [设A=“第二人取得红球”，B=“第一人取得红球”，则P(B)= 5 且A1,A2,A3两两互斥，依题意，可得P(A1)=50%,P(A2) 品P国=品，PAB)=,PAE)=号，所以PA=PB 2 30%,P(A3)=20%,且P(B|A1)=95%,P(B|A2)=90%,P(B A3)=70%,由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)十P(A2) PAB+P·PA=品×寸十品×号-÷] 2 1 8 P(B引A2)+P(A)·P(B1A3)=50%×95%+30%×90%+20% ×70%=88.5%. 163