第6章 计数原理章末综合提升-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

2.解T+1=C)…（子) 3.BC[设内切球的丰径为r,则圈柱的高为2rm=m,22=3 4r3 2 =(-2)rC5x1-r (1)二项式系数最大的项为中间项，即第5项， n2w2=期丹-1f)=(e)）广对子Af 故T=C.24,x1-号=1120x6. (2)设第r十1项系数的绝对值最大。 展开成的道项为T1=CG:(士）厂=（心，令24 翔g·2≥C*.2-, 4=0,解得r=6,.f(x)展开式的常数项为（一1）C=28,A错误： 1Cs·2≥Cg1·2-1, 对于B,f(1)=0,即f(x)展开式的各项系数之和为0，B正确：对于 12 C,f(x)展开式中二项式系数最大值为C=70,C正确：对于D, 即8产， 2>六 f0=(（十)）广=(-i计i)=0,D错.] !4.129[令x=0,得a6十a1十a2十…十a7=27=128,又(2-x)7= 梦理得所以=5成一6 [3-(x十1)]，则a(1+x)7=C·3·[-(x十1)]，解得a -1.故a0十a1+a2+…十a6=128-a7=128+1=129.] 故系数的绝对值最大的项是第6项和第？项 !5.解若选填条件①，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之 (3)由(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项 的系数为负，第7项的系数为正. 和的比为64，则=2”=64，即n=6, 故系数最大的项为T7=Cg·26·x1=1792x1Ⅱ 若选填条件②，即展开式中前三项的二项式系数之和为22，则C十 系数最小的项为T=（-1)5C·25x号=-1792x号. C,十C=22,即n=6. 题点三 (1)当n=6时，展开式共7项，二项式系数最大的项为T1=C· 典例解析根据题意，令工=1可得，其展开式中各项的系数和为 (3x)3=540x3 (房十)厂=“，由二项式定理可得，共展开或中各项的二项式系数 (2)(1十3.x)"(1-x)5=(1十3x)6(1-x)5中，含x2项的系数为 C%+C%×32+C×3×C×(-1)=55. 和为2”，依题意有4”一2”=240， 章末综合提升 可解得2”=16或2”=-15（舍去），即n=4. 二、把握重点·常考题型集训 答案4 :1.B[由题意得，以C路口为分类标准：C路口执勃分得人数情况有2 对点训练 种，两个人或一个人·若C路口执勤分得人数为2个，则丙、丁在 1.A[(7a十b)0的展开式的二项式系数之和为20，令x=1y=1,得 C路口，那么甲、乙只能在A、B路口执勤：若C路口执勤分得人数为 (x十3)”展开式的各项系数之和为4”，则由题意知，4"=210，解得 1个，丙或丁在C路口，具体情况如下：丙在C路口：A(丁)B(甲、乙) n=5.] C(丙)：A(甲、丁)B(乙)C(丙)：A(乙、丁)B(甲)C(丙).丁在C路口： 2.BC[令=1，得各项的系数之和(-是）=（一2）”=-512.解 A(甲、乙)B(丙)C(丁)：A(丙)B(甲、乙)C(丁)：A(甲、丙)B(乙) C(丁)：A(乙)B(甲、丙)C(丁)：A(乙、丙)B(甲)C(丁)：A(甲)B(乙 得m=9脚（一子）广=（二），所以滨展开式中二项式系 丙)C(丁).所以一共有2十3十6=1]种安排方法.] ·2.D[A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C, 最大为C和C,故二项式系数最大的项是第5项和第6项.] E均有4种颜色可选，故共有涂色方法5×4×3×4×4=960（种）.] 素养演练·提升技能 !3.20[以m的值为标准分类，分五类：第1类，当m=1时，使n>m, 1.BD[,(1十x)i=[-2+(1-x)]i=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+ n有6种选择；第2类，当m=2时，使n>m,n有5种选择：第3类， …十a(1一x)°，令x=1,可得a6=64,故A错误：a=C增=1，故B: 当m=3时，使n>m,n有4种选择；第4类，当m=4时，使n>m, 正确：令x=0,可得a0十a1十…十a6=1①，故C错误；令x=2,可！ n有3种选择；第5类，当m=5时，使n>m,n有2种选择，所以一共 得a0一a1十…十a6=3“②，用①-@，并除以2，可得a1十a十a 可以表示6十5十4+3十2=20（个）焦点在y轴上的椭圈.] 1-3 !4D[根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安 2 =-364,故D正确.] 保小组分成三组，有两种分组方法：按照1,1,3分组或1,2,2分组， 2.号[(ar是+号)(e-是)中. 若按照11,3来分组时，共有CCC×A=60(种)安排方法：当按 A号 令x=1得展开式中各项系数的和为（口子+号）·(1-3） 照12,2来分组时共有CC×A=90(种)安排方法，根据分类 A 16,解得a=， 加法计数原理知共有60十90=150（种）安排方法.] ·5.BD[对于A,若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级， ·原成=（分是+号）(-)八 每个班级至少1个，根据插空法，有C。种分配方法，故A错误：对于 B,若1班有徐劳动模范之外的学生参加，则20个名颜分配到6个 又(-2）的展开式道项公式为T+1=C·x·() 班级，每个班级至少1个，根据插空法，有C。种分配方法，故B正 (-3)r·Cg·xi-2r 确：对于C、D,若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用，还 令6-2r=2,解得r=2, 有4个名额需要分到6个班级，分5类：①4个名额到一个班，有6 “(2）广的晨开式中含的系数为(-3》，C号=135：令6 种：②一个班3个名颜，一个班1个名颜，有A=30种：③两个班都 是2个名额，有C=15种：④两个班各1个名额，一个班2个名额， 2=4,解得=1(-三）的展开式中含x的系数为一3· 有CC=60种：⑤四个班都是1个名颜，有C=15种，则共有126 种，故C错误，D正确. C=-18: 令6-2r=3,解得1=号，不合题意，舍去. (a>0)的展开式中常数项为第x十1项，又T,+1 1 Cia'r6- 立令6-2r=0,解得，=4， 3 “(宁是+号)()展开式中士的项为寸· -3Cx-w+(是(-3Cr4 (+) (a>0)的展开式中常数项为15a,15a=240,又 其系数为号×135-子×(-18)] a>0,a=2,.(x十2)(x-4)2的展开式中x2项为x(-8x)十 2 2x2,.(x十a)(x-2a)2的展开式中x2项的系数为-6.] 161 .3[a+1+x=a1十)+x1十，又1十的及开2.是 3 [设事件A:第1次抽到代数题，事件B:第2次抽到几何题， 的通项为T+1=Cx,故原式展开式中x的奇数次幂项的系数之！ 和为a(C十C)十(C十C号十C1)=32,解得a=3.] 则P(A)=2 33 5,P(AB)=5×4=10 8.A[令x十2=1，右边为a。十a1十a2十…十a11,左边把x=-1代 3 入，得(x2十1)·(2x十1)=-2，a0十a1十a2十…十a11=-2.故 选A.] 所以P(B1A)=PCAB) 10 P(A) 2 9.D[根据(51+后) 的展开式中只有第1项的二项式系数最题点二 典例解设事件A,表示第i次摸到的是黑球(i=1,2,3),则事件 大，得n=20,. (+) 的展开式的通项为T+1=C0·! A1A2表示前两次摸到的均为黑球， (W5x)20-r· =(5)20-r·Co·x20=r(r∈{0,1,2，…， )由题意知P(A)=是PA,1A)=号 20}).x的指数是整数，∴r是3的倍数，∴r=0,3,6,9,12,15, 根据秦法公式，有P(AA,)=P(APA,1A)=品×号= 18,x的指数是整数的项共有7个，] 10.12535[(1十x)(1-2x)7=a十a1x+a2x2+…+a8x8,令 故所求概牵为言 x=0,则a=1,令x=1,则a十a1十a2十…十a=-2,as=C(-2)7 (2)设事件A表示第三次才摸到黑球，则A=A1A2A3: =-128,∴a1十a2十…十a,=一2-1+128=125：在上述展开式右边 的九项中，随机任取不同的三项，可以利用插空法，从六项所形成的七 由题言知PA)=品PA:1A1)=号， 个空中选取三个空，则有C=35种.] P(A.) 第七章随机变量及其分布 根据乘法公式，有P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2) 7.1.1条件概率 =品×号×品 必备知识·自主梳理 故所求概率为 (一) 1.8 AB2.(1)[0,1]1(2)P(BA)+P(CA) ,对点训练 11.解记事件A,B分别表示甲、乙抽到难签，则 (3)1-P(BA) arA)=音-号 2 即学即练 3 1.A[由题意可知P(A) （2PAB)=PAP(BIAD=号×是-号 P(BA) 2 C3PAB)=PUAP(BIA=号×号-六 2.B[事件A,B相互独立，则P(BA)=P(B)=2.] 8 2.2 [设“从1号箱取到红球”为事件A,“从2号箱取到红球”为事 (二) P(A)P(BA) 件B由随客PN=合号，PBA合所以PAB) 即学即练 1.D[因为B,C是互斥事件，所以P(BUC|A)=P(BA)+P(C|A): )·P(BA)=号X专=》：所以两次部取到红球的桃来 为 2.A[记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)=!题点 ，P(BA)=寸，所以PAB)=PA)P(BA=品] 9 !典例解设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答 对了其中5道题，另1道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4 关键能力·合作探究 道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件 题点一 E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则事件A,B,C两两互斥，且 典例解析(1)设事件A表示“选上的学生是男生”，事件B表示“选 D=AUBUC,E=AUB.由古典概型的概率公式及加法公式可知 上的学生是·三好学生”，则所求概率为P(BA).由题意可得，男 P(D)-P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-Ci+CiCi+ 生有60一20=40人，“三好学生”有10人，所以“三好学生”中男生 有5人，所以P(A)品=号，PAB)=高-立故P(BA 5 CC_12180,PAD)=P(A)=20,P(BD=P(B)=2520, C%o C90 P(ED)=P(AUB|D)=P(A|D)十P(B|D),所以P(E|D)= P(AB)121 210 2520 P(A) 28 P(A)P(B) C20 C50 13 P(D)P(D) 1218012180 58 故所求的概丰为是 (2)同时爱好两项的概率为0.5十0.6一0.7=0.4，记“该同学爱好滑 C50 C50 雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件B,测P(A)=0,5,对点训练 PAB=0,4片以P(BA)--80,8旋选A 1号 [相当于周一到周六，值班一天，则周六晚上或周五晚上值班 答案(1)C(2)A 对点训练 1,B[设“第一次摸到红球”的事件为A,设“第二次摸到白球”的事件！2.解方法一设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸出第二个球 为B,则P(A=号=合，PA)号合所以在第一次接到为黄球“为事件B,接出第二个球为黑球“为事作C,则P) 的是红球的条件下，第二次模到白球的概率为P(B1A)=PA=: P(A) pAB=号六PA0)动 ∴P(BlA)=PAR=E= P(A) 1 9 10 162数学选择性必修第三册 章未综 一、系统认知· (一)贯通知识体系和联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 计 排列问题 A:的意义及计算 数 原 列与组 C的意义及计算 组合问题 组合数的性质 二项式定理的应用 二项式定理 二项式系数的性质 (二)把握数学思想和方法 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列 组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤 其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通 之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法 可以有效地将之分解，达到求解的目的.正确地 二、把握重点· 题型一两个计数原理的应用 1.甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到 A,B,C三个路口协助交警值勤，他们申请值勤 路口的意向如下表： 交通路口 A B C 志愿者 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合 他们的意向，若要求A,B,C三个路口都要有志 愿者值勤，则不同的安排方法数有 ( ) A.14种B.11种 C.8种 D.5种 2.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜 色给如图所示的5块区域A, B,C,D,E涂色，要求同一区域 D 用同一种颜色，相邻区域使用 不同颜色，则共有涂色方法 A.120种 B.720种 C.840种 D.960种 合提升 形成数学思维 分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件 事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用 计数原理的关键，并且分类科学、标准统一、不重 复、不遗漏，体现出分类与整合的思想。 2.在排列组合的有关问题中，首先要分清是否 有序，即是排列问题还是组合问题，在排列组 合的综合问题中，若直接解决比较困难时，可 进行反面考虑，通过排除，即可使诸多较为复 杂的问题简单化，体现了正难则反的思想 方法. 3.化归与转化的思想是指在解决问题的过程中，通 过某种转化，把待解决或难解决的问题归结为一 类已解决或易解决的问题.在解决排列、组合问 题，特别是“至多”“至少”问题时，可以转化为从 其反面考虑，用间接法求解.在与二项式定理有 关的问题中，主要是多项式转化为二项式求解. 常考题型集训 3.方程十上=1表示焦点在y轴上的椭圆，其中 m n m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这 样的椭圆的个数是 …/题型技法/… 使用两个原理解决问题时应注意的问题 对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原 理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可 以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加 直观、清晰. 题型二排列、组合问题 4.2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日 在北京和张家口举办，为保护出席北京2022年 冬奥会开幕式的32位国际政要的安全，将5个 安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这 三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样 的安排方法共有 () A.96种B.100种C.124种D.150种 第六章计数原理 5.(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践： /题型技法/ 能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个： 应用二项式定理解题要注意的问题 班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳 (1)二项式通项表示的是第“十1”项，而不是第 动一共20个名额，劳动模范必须参加并且不占 “k”项 名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确 (2)展开式中第k十1项的二项式系数与第k十1 的是 项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求 ) A.若1班不再分配名额，则共有C0种分配方法 各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数 的运算要细心，以防出差错. B.若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有： (3)二项式通项表示二项展开式中的任意项，只 C种分配方法 要与确定，该项也随之确定.对于一个具体 C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配： 的二项式，它的展开式中的项T+1依赖于. 方法 题型四 二项式系数的性质 D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配 8.设(.x2+1)·(2x+1)9=a0·(x十2)0+a1·(x+ 方法 2)1+a2·(x十2)2+…十a11·(x+2)1,则a0十 /题型技法/ a1十a2十…十a11 ( 在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、！ A.-2 B.-1 C.1 D.2 组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审 题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清 9. 的展开式中只有第11项的二项式 是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分 系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个 类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：： 数为 一是按对象的性质进行分类；二是按事情发生 A.3 B.5 C.6 D.7 的过程进行分步.解决排列组合应用题的常用：10.若(1十x)(1一2x)7=a0十a1x十a2x2十…十 方法： a8x8,则a1十a2十…十a7的值是 ;在 (1)合理分类，准确分步；(2)特殊优先，一般 上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三 在后； 项，假设这三项均不相邻，则有 种不同 (3)先取后排，间接排除；(4)相邻捆绑，间隔 的取法。 插空； /题型技法/ 赋值法的应用 (5)抽象问题，构造模型；(6)均分除序，定序除 与二项式系数有关的问题，包括求二项展开式 序 中二项式系数最大的项、各二项式系数或各项 题型三 二项式定理及其应用 的系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数 6.已(+后 (a>0)的展开式中常数项为240， 或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要 解决方法是赋值法，通过观察二项展开式右边 则(x十a)(.x-2a)2的展开式中x2的系数为 的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所 赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多 A.10 B.-8 C.-6 D.4 项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求 7.若(a十x)(1十x)4的展开式中x的奇数次幂项： 奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和 的系数之和为32，则a= 时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果 温馨提示 古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。 请做章末检测卷（一） 25