6.3.2 二项式系数的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教A版）

cR 第六章计数原理 数课时 6.3.2 学作业 1.二项式(x一1)”的奇数项二项式系数和是 64,则n等于 ( A.5 B.6 C.7 D.8 的展开式中的常数项是 ( A.第673项 B.第674项 C.第675项 D.第676项 10 3. x-元 的展开式中，系数最大的项是 A.第6项 B.第3项 C.第3项和第6项 D.第5项和第7项 4.若x10=a十a1(x-1)十a2(x-1)2+… 十a10(x-1)10,则ag的值为 ( A.10 B.45 C.-9D.-45 5(多选)已知ax十 (a>0,n∈N*） 的展开式的第5项与第7项的二项式 系数相等，且展开式的各项系数之和为 1024,则下列说法正确的是 A.展开式的奇数项的二项式系数的和 为256 B.展开式的第6项的系数与二项式系数 相等且最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 6.(多选)若(1十2x)2o24=a十a1x十a2x2 十…十a224x24,则下列正确的是 课时作业色 二项式系数的性质 间 纠错空间 A.a=2024 B.a十a1+…十a2o24=32o24 C.a0-a1十a2-ag+…+a224=1 D.a1-2a2+3a3-…-2024a2o24 =-2024 7.(1+√x)”的展开式中的系数的和大于8 而小于32，则系数最大的项是 8.若(3x十1)"(n∈N)的展开式中各项 系数之和是256，则展开式中x2的系 数是 9.若(x-3)3(2x十1)5=a。十a1x十a2x2+ …十agx8,则ao= ,a0十a2十… 十ag= 方法总结 10.已知(a2+1)”展开式中的各项系数之 和等于得+ 的展开式的常数 项，而(a十1)”的展开式的系数最大 的项等于54，求a的值 173· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 11.若(3x-1)7=a2x2十a6x5+…+a1x+ (1)求展开式中二项式系数最大的项； 间 ao,求： (2)求展开式中系数最大的项， (1)a1+a2+…十a7; 纠错空间 (2)a1十a3十a5+a?; (3)ao十a2十a4十a6 [素养培优] (n≠7，且n∈N*)的展 开式中 (1)若所有二项式系数之和为256，求 展开式中二项式系数最大的项； [能力提升] 12.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中 方法总结 的一种几何排列，在中国南宋数学家 杨辉1261年所著的《详解九章算法》 一书中就有出现.如图所示，在“杨辉 三角”中，下列结论正确的是() 杨辉三角 第0行 第1行 第2行 2 第3行 (2)若第3项的系数的14倍是第2项 1 3 3 1 第4行 46 4 1 第5行 151010 51 与第4项的系数的绝对值之和的9 第6行 16 15 201561 第7行 1721353521071 倍，求展开式中各项的系数的绝对值 第8行 18285670 56 2881 第9行 193684126126843691 1104512021025221012045101 之和 第10行 第11行1115516533046246233016555111 A.1+C+C+C=C B.第16行所有数字之和为216 C.第2024行的第1012个数最大 D.第15行中从左到右第4个数与第5 个数之比为1：3 13.已知f(x)=(x+3x2)”的展开式中 各项的系数和比各项的二项式系数和 大992. ·174·世五维课堂 12.B[(-是+1)°=[+(-)门，则共展开式的 通项T1=C(-子)（其中=0,12,34,5）.要求 原式的展开式中的常数项，需求(：一)广的展开式中 的常数项.（一子）广的展开式的通项T1=C （-）广=(-1Cx(共中7=0,1,2,0，根据 题意，令k一2r=0,则k=2r,即k是2的倍数，所以k= 0,2,4,所以原式的展开式中的常数项为C9一C号C2十 CgC=11,故选B.] 令6-3=3，则r=2,得A=C8·a2=1502; 2 令6--0，则=4，得B=C·。-15a。 由B=4A可得a2=4,又a>0,a=2. 14解当>0时，+-2到八-()户： 共通项为T,-C.回一（启） =(-1)'C2n(W)2m-2r 令2n-2r=0,得n=r, 所以展开式的常数项为（一1）"C2;当x<0时， +--r(+六广 同理可得，展开式的常数项为（一1）"C%. 无论哪一种情况，常数项均为（一1）”Cg。, 令(-1)"C2n=-20.把n=1,2,3…,逐个代入， 得n=3. 6.3.2二项式系数的性质 1.C[二项式(a十b)”的展开式中，奇数项的二项式系数 和等于偶数项的二项式系数和， 2-1=64,.n=7.故选C.] 2D[由=大（匠-》”的展开大为，=G (同)(-)=(-2yGa◆2025 -3r=0,解得r=675,此时T676=(-2)5·C725,所以 2025 二项式（匠-）的晨开式的常数项为第676项.] 3.D[展开式第6项系数为一C。,第5项和第7项系数分 别为C1o,Ci。,且C1。=Cio] 4.B[x20=[1+(x-1)]1°=a+a1(x-1)+a2(x-1)2 +…十ao(x-1)10, .ag=Ci。=C20=45.] ·21 数学·选择性必修第三册 的展开式的第5项与第7项的 二项式系数相等可知n=10. 又展开式的各项系数之和为1024，即当x=1时， (a十1)10=1024，所以a=1, 所以ax2+是）” 十左=(x+x)”,其展开式的各二项 式系数的和为210=1024，则奇数项的二项式系数的和 为2×1024=512，故A错误；由n=10可知展开式共 有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式 系数最大，因为x2与x言的系数均为1，所以展开式的 各项的二项式系数与系数相同，即第6项的各项的二项 式系数相等且最大，故B正确；若展开式中存在常数项， 则展开式中存在x的指数为0的项，由通项T+1=C。 20-m·x=C20,可得当20-号r=0,即r=8 时，符合要求，故C正确；由通项T+1=C1。x20-可得， 当20-号=15时=2，所以展开式中含25项的系数 为C。=45,故D正确.故选BCD.] 6.BC[对于A:令x=0,则a。=1,故A错误； 对于B:令x=1,则a0十a1十…十a224=322,故B 正确； 对于C:令x=-1,则a0-a1十a2一ag+…+a224=1, 故C正确；对于D:由(1十2x)2024=a。十a1x十a2x2+ 十a2o24x2024,两边同时求导得2024X2X(1+2x)2028- a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2o24x2023,令x=-1,则 a1-2a2+3a3十…-2024a202=-4048,故D错误.] 7.解析：(1十元)"=a十a1√元+a2(W)2+…十an· ()",令x=l,得各项系数的和S=ao+a1十…十an =2, .8<2m<32.又n∈N,.n=4. 由二项式系数的性质得系数最大的项为 T3=C(√E)2=6x. 答案：6x 8.解析：令x=1,得各项系数之和为4”， .4”=256,解得n=4,.x2的系数为C·32=54. 答案：54 9.解析：令x=0,得（一3）3×15=a,所以a=一27. 令x=1,得(-2)3X35=a十a1+a2+…十ag, 令x=-1,得(-4)3(-1)5=a-a1十a2-…十ag,两式 相加得2(a,十a2十…十ag)=-1880,所以a,十a2十… 十ag=-940. 答案：-27；-940 参考答案 1o解：由(9+)将 =c(得)广(a) -(唱)”心·学， 令T,+1为常数项，则20-5r=0,.r=4, 常数项T,=C×9=16. 又(a2十1)”的展开式的各项系数之和等于2， 由题意得2"=16，∴.n=4. 由二项式系数的性质知，(a2十1)”的展开式中系数最 大的项是中间项T3, .Ca=54, a=±√3. 11.解：(1)令x=0,则a=-1; 令x=1,得a,+a6+…+a1+a=22=128,① 所以a1十a2十…十a2=129. (2)令x=-1,得-a,十a6-a5十a4-a3十a2-a1十a0 =(一4)7，② 由①-②得2(a1+a+a十a,)=128-(-4)7, .a1+a3十a5+a,=8256. (3)由①+②得2(a十a2十a4十a6)=128+(-4)”, .a0+a2十a4+a6=-8128. 12.ABD[对于A,1+C+Cg+C=C4+C+C+C= C⑧，故A正确；对于B,由杨辉三角的每行系数和性质 可知，第0行所有数字之和为1=2°，第1行所有数字 之和为1十1=2，第2行所有数字之和为1十2十1= 22,第3行所有数字之和为1十3十3十1=23，第4行所 有数字之和为1十4十6十4十1=2，以此类推，第16行 所有数字之和为26，故B正确；对于C,由杨辉三角图 可知，第n行有个n十1美字，如果n是寺数，则第” 和第”+1个数宇最大，且这两个数字一样大如果 n是偶数，则第？十1个数字最大，故第2024行的第 2024+1=1013个数最大，故C错误；对于D,由题意， 2 第15行，第4个数为C,=15X14X13=455,第5个数 3×2×1 为C1。=15×14X3X12=1365,即C:C4=455:1 4×3×2×1 365=1:3,故D正确.] 13.解：令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)=(1十3)” =4”,又展开式中各项的二项式系数之和为2”. 由题意知，4”一2”=992. .(2)2-2-992=0, ∴.(2"+31)(2"-32)=0， .2"=-31(舍去)或2m=32,.n=5. ·21 课时作业乡 (1)由于n=5为奇数，.展开式中二项式系数最大的项 为中间的两项，它们分别为T=C(x号)3·(3x2)2= 90x,T4=Cg(x号)2·(3z2)3=270x号」 (2)展开式的通项公式为T,+1=Cg·3”·x号5+ 假设T+1项系数最大， 则有 C%3≥Cg1·31, Cg3≥Cg+13+1, 3×5！ 5! 5=1产(6-(，-1D 5！ 5！ (5-r)1刀产4-)(+1DX3, 1 即 ,产，<<号， 1>3， r∈N,r=4, 展开式中系数最大的项为T=Cx号(3x2)4 =405z3. 14.解：(1)由已知得C0+C十…十C%=256, .2=256,n=8,.二项式系数最大的项为 T=C() 1=0 3 81 3√ 的展开式的通项为 T+-(3)广cCx登"=0,1…m0, :第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝 对值之和的9倍 ∴号c×14=(行C+27C）×9,解得n=10或m=7 (舍去) 的展开式中各项的系数的绝对值之 和与(+后) 的展开式中各项的系数之和相等， ,令x=1,得(1+号) 的展开式中各项的系数的绝 对之为（告） 第七章随机变量及其分布 7.1条件概率与全概率公式 7.1.1条件概率 1.B[设事件A表示“射击一次击中10环”，B表示“随后 一次击中10环”，则P(A)=号， P(AB)=7,根据条件概率的计算公式得， P(BIA)= P(AB) 2 P(A) 4 8,故选B] 9