6.2 第4课时纽合与组合数的应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

4.C[不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共101 (6)这是部分均匀分配问题，在(5)的基础上再分配给甲、乙、丙三 个，随机选取两个不同的数，共有C。=45种情况，而和为30的有7 人，共有C·C,C·A=90种不同的分法 十23,11+19,13+17这3种情况，所求概率为云-5故选C.] A号 (7)这是直接分配问题，从6本不同的书中选1本分配给甲，有C 5.15[由题意，分2种情况讨论：当f(1)=f2)<f(3)<f(4)时，从： 种方法，再从剩下的5本不同的书中选2本分配给乙，有C种方 集合{85,87,88,90,93}中任选三个数从小到大作为f(2),f(3), 法，最后剩下的3本不同的书全给丙，有C种方法。 f(4)的值，有C-10种可能的情况：当f(1)<f(2)<f(3)<f(4) 时，从集合{85,87,88,90,93}中任选四个数从小到大作为f(1),1 根据分步乘法计数原理，共有C·C·C=60种不同的分法，（注 f(2),f(3),f(4)的值，有C=5种可能的情况，所以一共有10十5 意与(4)的区别) =15种可能的情况.] (8)由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C种选法，再把剩下的3 第四课时组合与组合数的应用 本书分成本数分别为1,2的两份，有C·C号种分组方法，把分好组 关键能力·合作探究 的两份书分给乙、丙两个人，有A种分法 题点一 根据分步乘法计数原理，可得共有C·C·C号·A号=120种不同 典例(1)解析(1)(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案· 的分法， 共有CC=16种： :对点训练 (2)当从8门课中选修3门， ·1.D[用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个 ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC=24种： 隔板，有C=15(种)分配方法.] ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C号C=24种： :2.A[首先从14人中选出12人共C种， 综上所述：不同的选课方策共有16十24十24=64种， 然后将12人平均分成3组共©出C·C种， 故答案为：64， A (2)法一直接法.4位作介绍的家长可分两类. 第一类，4位作介绍的家长中任何两个人都不是夫妻，即4位作介绍 然后这两步相乘，得C出·C。·C A 的家长来自4个家庭，每个家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有· 将三组分配下去共C出·C·Cg种.] 两种情况，所以其选择方法有2=16种：第二类，4位作介绍的家长3.286[先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个小球， 中仅有一对夫妻，即4位作介绍的家长中有2位为一个家庭的父亲： 再把剩下的14个相同小球之间的13个空档插入3块隔板，共有 和母亲，其选法有C种，另2位家长从另三个家庭中的两个家庭中！ C1=286种放法，] 选，其选法有C号种，并且被选中的家庭是父亲作介绍还是母亲作介题点四 绍都有两种情况，其选法有2种.根据分步乘法计数原理知，作介！典例解(1)从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女 绍的家长的选法有C·CX22=48种.根据分类加法计数原理知，： 同学，有CC号种选法，分别担任语文、数学、英语，物理、化学课代 满足题意的选法有16十48=64种， 表，则有CC号A=7200种选派方法 法二间接法，从8位家长中选出4位家长有C种选法，其中这四 (2)先满足女生甲担任语文课代表，然后再选3男1女，担任其他学 位家长仅来自2个家庭不符合条件，其选法有C种，所以满足题意： 科课代表，有CCA=720种选派方法. 的选法有C一C一64种， (3)男生乙不能担任英语课代表，要分两类研究：一是选出男生乙， 答案(1)64(2)64 满足条件应该有CCCA=3456种选派方法，二是没选出男生 对点训练 乙，有CC号A=2880种选派方法，所以共有3456+2880=6336 解第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有{ 种选派方法。 CC种选法： !对点训练 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有CC种 :1.C[根据题意，甲收集1种、2种、3种，则分3种情况讨论：①甲收 选法： 集1种，乙丙各2种或一人3种，另一人1种，则有C(C+CA) 第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC号种： =42,②甲收集2种，乙丙一人2种，另一人1种，则有C号CA号= 选法， 根据分类加法计数原理，一共有CC十CC十CC号=42（种）不同！ 18,③甲收集3种，乙丙各1种，则有A号=2，则共有42十18十2= 的选法， 62种分配方案.门 题点二 :2.672[当甲、乙都不选时，有CA=A=336(种)： 典例解(1)法一可作出三角形C+C·C十C·C=116(个). 当甲、乙两个专业选1个时，有CCA=336(种). 法二可作三角形C。一C子=116（个）. 根据分类加法计数原理，共有336十336=672（种）不同的填报专业 其中以C1为顶点的三角形有C号十C·C十C=36(个). 志愿的方法.」 (2)可作出四边形C十C·C十C·C=360(个). !素养演练·提升技能 对点训练 :1.B[先将丙和丁捆在一起有A号种排列方式，然后将其与乙、戊排 1,12「从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C种方法，其中4个点 列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式， 共面的有3种情况，故可以组成C一3=12个四面体.] 所以不同的排列方式共有A号AC=24种，故选B.] 2.70[由题意知，圆上每4个点的连线中有1个交点在圆内，所以交2.C[先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余 点个数为Cg=70.] 的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C号种选法，最后将剩下的3 题点三 名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有 典例解(1)这是平均分配问题，分3步， C·C·C=60种不同的安排方法.故选C.] 第一步：从6本书中选2本给甲，有C种选法： :3.A[由题意得，6份礼物分给6个人，共有A=720种不同的分法， 第二步：从其余的4本书中选2本给乙，有C号种选法： 要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，其他3人没有拿到 第三步：把余下的2本书全部给丙，有C号种选法 自己准备的礼物，共有CX2=40种情况，所以恰好有3个人拿到 根据分步乘法计数原理得， 401 共有C·C·C=90种不同的分法， 自己准备的那份礼物的概率P-7208故选A] (2)这是平均分组问题，共有C·C·C =15种不同的分法， ,4.C[分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子 A 共有3X3=9种：若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有C× (3)这是不平均分组问题，共有C·C·C=60种不同的分法 3一9种.由分类加法计数原理知，由上述同位素可构成的不同二氧 (4)这是不平均分配问题，在(3)的基础上再进行全排列， 化碳分子共有9十9=18种.] 所以共有C·C号·C·A=360种不同的分法， !5.B[因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，安排种数可分为两类：第一 (5)这是事分均匀分组问题，共有C·C,C=15种分法. 类，若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去 A。 国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有A号=2种：第二类，若有一个人去 158 首钢滑雪大跳台，则从丙、丁中选，有C=2种，然后剩下的一个人！ 和甲、乙被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有C号A=6种，则 (2)解①T,+1=C(√G)” 2 =2Cx”,所以T1 共有2X6=12种，综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台： 2c,T=2c4, 的种数为12十2=14.] 6.3.1二项式定理 片以瓷-号锦得=10 必备知识·自主梳理 (a+b)”=Ca"+Ca"-16+…+Ca”-b+…+Cb”Cg+Cx+ @由①知，展开式的通项为工，+1=2·C·“学， Cgx2十…十Cx5+…十C0x” 令10,5r=0,解得=2. 2 即学即练 所以展开式中的常数项为22C号。=180. 1.A[由题以及二项式定理可知1十3x十3x2+x3=C·13·x°十对点训练 Cg.12·2+C·11·x2+C·1°·x3=(1+x)3=(x+1)3.] 12 解 2.D[T+1=C()'(-)=(-1(号）) Cx=,令 （-1)C2x12- 4k-4=0,得=1，∴.展开式中的常数项为T2=( v()'c= (1)令k=3,则T1=(-1)C12x22-}×3=-220.x8. (2)令12-专=0，解得=9， 3.x5[原式=[(x-1)十1]5=x5.] 所以常数项为(-1)C2=一220. 关键能力·合作探究 (3)当=0,3,6,9,12时，T6+1是有理项，分别为T1=x2,T1= 题点一 -C12x8=-220x8,T7=C2x2=924x1, 典例(1)解析原式=C(2x十1)5-C(2x十1)1十C(2x十1)3- C3(2x+1)2+C(2x+1)-C(2.x+1)°=[(2x+1)-1]5=(2x)5 T--Ch:=-220.Tia-C =32.x5. !题点三 答案32x5 典例解析（)由二项式(：十1）的展开式的计算方法和性 (2)解①由0<p<1,得0<1-p<1,所以[p十(1一)]”=Cp”十 Cp"-1(1-)+Cgb"2(1-p)2+…十C”(1-p)-1+C(1-p)”. 质，可得展开式中的常数项是C11+Cr2C(子)·C·1 ②二项式定理逆向使用，将展开式进行合并， =13. 原式=[b十(1一p)]3=(十1-p)3=13=1. (2)因为(x十2)(2x-1)=2(2.x-1)十x(2x-1), 对点训练 所以展开式中x3的系数分为两类： 1.解方法一 2(2x-1)中x3的系数为2×C23(-1)3=-320, x(2x-1)中x3的系数为C42(一1)1=60， c2(2是）广+2(22）'+c2(2是)）+ 所以x3的系数为-320十60=一260. 答案(1)13(2)A c(是) 对点训练 =32x5-120.x2+180_135+405 243 1.63卫[方法- 32x0 2 原式[（位+）+]： x8x2 方法二 3 _(4x3-3)5 :展开式的道项为T1=(受十)）(2)1(=01， 32.x10 2,…,5). =32[c4r2)+C(4x)'(-3)+c(4r)(-3)+ 当1=5时，T6=(√2)5=4√2， C号(4x3)2(-3)3+Cg(4x2)(-3)1+C(-3)5] =32x5-120z2+180_135+405243 当0心1<5时，（受十）的展开式的通项为 xx8z732.x6 2.解(1)(1十x)6-(1-x) =C+Ciz+Cz+Cx+Cx+Cix+C-(CR-Ciz+Cix2 =1(合）56-0.25- -Cix+Ciz-Cizi+Chx)=2(Chx+Cx+Cix)=12x+ 令5-k1-2k2=0,即k1十2k2=5. 40x3+12.x5: :0≤k1<5且k1∈Z, (2)(1十丘)5+(1-E)5 =1或=3 =Cg+C+C(W)+C()3+C(W)1+C(W5+Cg-Cg√G+ 1k2=2 k2=1. C(E)2-C()3+C(E)1-C()5=2[C+C(F)2+ 帝载预为4E+CG×(侵)广×E+CC××W=4E+ C(√F)1)]=2+20x+10x2: (3)原式=C(x+1)"+C(x+1)n-1(-1)+C(x+1)n-2(-1)2+ 15,E+202-68, 2 2 …+C(x十1)m-k(-1)+…十C(-1)”=[(x十1)十(-1)]” 方法二原式 /x2+2V2x+2 =x”, 2x 327[x+2)]= 32· 题点二 (x十√2)1o 典例（口)解析已如二项式(：立)广，则它的展齐式中的通项公 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x十√)“的展开式中含x 项的系数，即C(W2) 或=G()）=(-a"Cc-,◆6=解得 ∴所米的常复项为6品] ,=1,因北(-1)a1C=一3，解得a=2,令6-3r=0,解得r=2,2.30[方法-(x2+2十5=[x2+x)+5, 32 常教项为(-1)×2×C=只 含y2的项为T3=C号(x2十x)3y, 答案 其中(x2+x)3中含x5的项为C{xx=Cx5, 所以x5y2的系数为CC=30. 159数学 选择性必修第三册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(2022·新高考I卷)从2至8的7个整数中随：4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取 机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大 ( ) 于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30= A B. c 7十23.在不超过30的素数中，随机选取两个不 同的数，其和等于30的概率是 ( 2.若C+1-C=C7(n∈N*),则n等于 ( 1 1 A.11 B.12 C.13 D.14 A.12 B c D.8 3.现有甲班A,B,C三名学生，乙班D,E,F,G四名：5.在某次数学考试中，学号为i(i=1,2,3,4)的同 学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活 学的考试成绩f(i)∈{85,87,88,90,93}，且满足 动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A必须参加： (1)≤f(2)<f(3)<f(4),则这四位同学考试 的方法有 ( 成绩的所有可能情况有 种 A.19种 B.20种 温馨提示 请做课时分层检测（五） C.21种 D.22种 第四课时 组合与组合数的应用 【素养要求】 通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，发展逻辑推理及数学运算素养 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一有限制条件的组合问题 …/方法技巧/ [典例](1)(2023·新课标I卷T13)某学校开设 有限制条件的组合问题分类及解题策略 了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生： 有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类： 需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步 修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指对象去 种（用数字作答）. 掉再取，分步计数： (2)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8： 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思 位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果 路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏； 这4位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择 二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 方法有 种 听课记录 对点训练 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工 作，有4名能胜任德语翻译工作（其中有1名青 年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青 年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2 名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 14 第六章计数原理 题点二与几何有关的组合应用题 对点训练 [典例]如图，在以AB为直 C. C.C.Cs 径的半圆周上，有异于A, :1.连接正三棱柱的6个顶点，可以组成 个四 C C B的六个点C1,C2,…,C6, 面体 线段AB上有异于A,B的 A DD,DD B 2.一个圆上有8个点，每两点连一条线段.若其中 四个点D1,D2,D3,D4 任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内 (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个 的交点个数为 (用数字回答) 三角形？其中含C1点的有多少个？ 题点三分组、分配问题 (2)以图中的12个点（包括A,B)中的4个点为 :[典例们6本不同的书，按下列要求分组或分配，求 顶点，可作出多少个四边形？ 各有多少种不同的分法， 听课记录 (1)平均分给甲、乙、丙三人，每人2本； (2)平均分为三份，每份2本； (3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 人3本； (5)分成三份，一份4本，另外两份每份1本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人各得 1本； (7)分给甲、乙丙三人，甲1本，乙2本，丙3本； (8)甲3本，另外两人中有1人1本，1人2本. 听课记录 思维升华(1)图形多少的问题通常是组合问： 题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多 算.常用直接法，也可采用间接法 (2)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运 用处理组合问题的常规方法解决，其次要注意从 不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一： 个组合的模型加以处理， /方法技巧/ 解答几何组合问题的策略 (1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间 想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的 位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新 颖，多个知识点交汇在一起，综合性强 (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组！ 合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为 组合问题的限制条件即可. (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意 在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合 题意的组合数 15 数学 选择性必修第三册 …/方法技巧/ 听课记录 求解分组与分配问题的思路方法及注意事项 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法 有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等，若平 均分为力组，则需除以A多： ②部分均匀分组，应注意不要重复，若其中及组： 元素个数相等，需除以A: ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，常用的分配方法 有三种： ①相同元素的分配问题，常用“隔板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原 理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类法分别列 式求解 对点训练 1.假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自： 主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名： 额的方法数为 ( /方法技巧/ A.30 B.21 解决排列与组合的综合应用问题的注意点 C.10 D.15 (1)审清题意，区分哪是排列，哪是组合； 2.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿 (2)往往综合问题会有多个限制条件，应认真分 者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4 析确定分类还是分步 人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的 对点训练 排班种数为 A.CCi2C B.C1A12Ag 1.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末 c.clckc 徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别 D.C12C12 C&A A 是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行 3.现有20个相同的小球，放人4个编号为1,2,3,4 算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把 的盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号 头算、龟算、珠算和计数.某学习小组有甲、乙、丙 数，则不同的放法有 种 三人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成 题点四排列、组合的综合应用 数算、把头算5种算法的相关资料，要求每人至 [典例]从5名男同学与4名女同学中选3名男 少收集其中一种，但甲不收集九宫算和了知算的 同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、 资料，则不同的分配方案种数有 物理、化学课代表。 A.38 B.56C.62 D.80 (1)共有多少种不同的选派方法？ :2.大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原 (2)若女生甲必须担任语文课代表，共有多少种： 则.一考生从某大学所给的10个专业中，选择3 不同的选派方法？ 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙 (3)若男生乙不能担任英语课代表，共有多少种 两个专业不能同时填报，则该考生有 种 不同的选派方法？ 不同的填报专业志愿的方法（用数字作答） 16 第六章计数原理 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学：4.2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件 站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和 中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和 丁相邻，则不同的排列方式共有 ( ) 吸收量可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放” A.12种B.24种C.36种D.48种 二氧化碳分子是由一个碳原子和两个氧原子构 2.(2020·新高考全国卷I)6名同学到甲、乙、丙三： 成的，其结构式为0=C=O.已知氧有160、 个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场： 170、180三种天然同位素，碳有12C、13C、14C三 馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，： 种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二 氧化碳分子共有 () 则不同的安排方法共有 ( A.9种B.12种C.18种D.27种 A.120种B.90种C.60种D.30种 5.现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑 3.某学生寝室6个人在“五一国际劳动节”前一天 雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参 各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物 加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在 全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼； 这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大 物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的 跳台的种数为 () 概率为 ( A.12 B.14 C.16 D.18 A.18 B司 温馨提示 请做课时分层检测（六） 6.3.1 二项式定理 【素养要求】 通过学习二项式定理的有关内容，发展逻辑推理素养及数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 二项式定理 在二项式定理中，若设a=1,b=x, 公式 备注 则得到公式：(1+x)”= 概念 ∈N叫做二项式定理 [即学即练] C9a"+Cha”-1b+…+Ca"-b十 1.1+3.x+3.x2+x3= (a十b)”的二项展开式 …+Cb" A.(.x+1)3 B.(x-1)3 C.(x+1)4 D.x4 展开式中各项的系数C(k=0,1,2, 的展开式中的常数项为 ( 二项式系数 …,) A号 B吉 展开式的第k十1项：T+1= 通项 c号 D动 Ca”-b 3.化简：(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2 +5(x-1)+1= 17