6.2 第3课时纽合与组合数-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

第六章 计数原理 第三课时组合与组合数 【素养要求】通过学习组合的概念及组合数公式，进一步发展数学抽象、逻辑推理及数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)组合的概念 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返 1.组合的概念 甲、乙两地 一般地，从n个不同元素中 (二)组合数 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素：1.组合数的概念 的一个组合 从n个不同元素中 的所有不 2.组合与排列的区别与联系 同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个 排列与组合两者都是从n个不同元素中取出m: 元素的组合数.用符号 表示，组合数还 (m≤n)个元素，排列与元素的 有关，而 可以用符号(”)表示. 组合与元素的 无关.只有 相同：2.组合数公式 且 也相同的两个排列才是相同；而两个 (1)组合数公式：C”= 组合只要 相同，不论元素的顺序如何， (n,m∈N*,m≤n). 都是相同的。 (2)规定：C9= [即学即练] 3.组合数公式的性质 1.(多选)下面四组元素，是相同组合的是( (1)性质1：Cw= A.a,b,c-b,c,a B.a,b,c-a,c,b C.a,c,d-d,a,c D.a,b,c-a,b,d (2)性质2：C+1= 2.以下四个问题，属于组合问题的是 ( )[即学即练] A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 :1.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 赛，不同选法有 () C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选 A.504种B.729种C.84种 D.27种 出2名幸运之星 2.若C%=10,则n= 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一组合概念的理解 C.集合{a1,a2,a3,…,an}含有三个元素的子集 [典例](1)(2023·新课标Ⅱ卷T3)某学校为了 有多少个 解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层 D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分 随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部： 别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种 两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中 选法 部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结 听课记录 果共有 ( A.C480·C5种 B.C80·C80种 C.C80·C8种 D.C480·C80种 (2)(多选)下列问题是组合问题的是 ( A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多 少次 B.平面上有2015个不同的点，它们中任意三点 不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 11 数学 选择性必修第三册 …/方法技巧/ …/方法技巧/ 区分排列与组合的方法 与排列、组合有关的方程或不等式问题要用到 区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什 排列数、组合数公式以及组合数的性质，涉及具 么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的 体数字的可以直接用公式计算；涉及字母的多 方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交： 选用阶乘式计算，计算时应注意利用组合数的 换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会 性质C=C”m简化运算.另外要注意CW中 产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是 nn的范围，求解后要验证所得结果是否符合 排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合 题意 问题 对点训练 对点训练 1.方程C7-C6=C活+2的解是 判断下列问题是组合问题还是排列问题： 准高有！个车站则这条故路线上其2卫知哈后式求C保 7 需准备多少种车票？ (2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本： (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生. 题点二 组合数的运算 [典例门 (1)式子nn+1)n+2)n+100)(m∈ 100! N)可表示为 A.A,9910 B.C991o0 3.求值. C.101C9100 D.101C100 (1)3C-2C号；(2)C8"+C31+m· (2)计算C+C+C十…十Co的值为 (3)若+C3=A+则x 听课记录 12 第六章计数原理 题点三简单的组合问题 /方法技巧/ [典例]现有10名教师，其中男教师6名，女教师： 解答简单的组合问题的思考方法 4名 (1)弄清要做的这件事是什么事； (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的 (2)选出的对象是否与顺序有关，也就是看看是 选法？ 不是组合问题； (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有 (3)结合两个计数原理利用组合数公式求出 多少种不同的选法？ 结果. (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议， 有多少种不同的选法？ 对点训练 听课记录 1.在6件产品中，有4件合格品，2件次品，每次从 中任取一件检测，取后不放回，直到2件次品全 被测出为止，则第二件次品恰好在第3次被测出 的所有检测方法种数有 () A.48 B.24 C.16 D.8 2.一个口袋内装有7个白球和1个黑球， (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球， 有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多 少种取法？ [拓展] 本例条件不变，问题变为：现从中选2名教师参 加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多： 有1名男教师的选法又是多少？ 13 数学 选择性必修第三册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(2022·新高考I卷)从2至8的7个整数中随：4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取 机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大 ( ) 于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30= A B. c 7十23.在不超过30的素数中，随机选取两个不 同的数，其和等于30的概率是 ( 2.若C+1-C=C7(n∈N*),则n等于 ( 1 1 A.11 B.12 C.13 D.14 A.12 B c D.8 3.现有甲班A,B,C三名学生，乙班D,E,F,G四名：5.在某次数学考试中，学号为i(i=1,2,3,4)的同 学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活 学的考试成绩f(i)∈{85,87,88,90,93}，且满足 动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A必须参加： (1)≤f(2)<f(3)<f(4),则这四位同学考试 的方法有 ( 成绩的所有可能情况有 种 A.19种 B.20种 温馨提示 请做课时分层检测（五） C.21种 D.22种 第四课时 组合与组合数的应用 【素养要求】 通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，发展逻辑推理及数学运算素养 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一有限制条件的组合问题 …/方法技巧/ [典例](1)(2023·新课标I卷T13)某学校开设 有限制条件的组合问题分类及解题策略 了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生： 有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类： 需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步 修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指对象去 种（用数字作答）. 掉再取，分步计数： (2)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8： 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思 位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果 路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏； 这4位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择 二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 方法有 种 听课记录 对点训练 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工 作，有4名能胜任德语翻译工作（其中有1名青 年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青 年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2 名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 14第三课时组合与组合数 !对点训练 必备知识·自主梳理 !1.5[:C7=C6+C61,且C-C6=C+2,.C61=C%+2,由组 (一) :合数公式的性质得x-1=2x十2或x-1十2x十2=16， 1.取出m(m≤n)个元素作为一组2.顺序顺序元素顺序 ∴.x=-3(舍)或x=5.] 元素 即学即练 2解始吉品屏 1.ABC[根据同一组合的概念，可知选项D中，a,b,c中有c,没有d, n!(5-n！_nl(6-n)!_7×n!(7-n! 5！ 6！ 10×71 但是a,b,d中有d,无c,故选项D不是相同组合：A、B、C选项满足！ 同一组合的概念.] 1-6.1=6-n)7-D,即n2-23m+42=0, 6 60 2.C[只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关，是组： 解得n=2或n=21,又0n≤5， 合问题.] n=2, (二) .C8=C%=28. 1.取出m(m≤n)个元素CG2.)空 n(n-1)(n-一2)…(n一m十1) m! 8解18C-2C-3×72x8-148, n！ m！(n-m)！ (2)13.(1)Ca-m(2)Cm+Cm-1 （2881≤3m9.5≤≤10.5 3n21十n, 即学即练 n∈N*,n=10, 1.c[C8- A4_9×8×7=84.] 31 cg+c,=g+c-2a0z+-46 25心品2器“2=10 题点三 2 !典例解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从 n(n-1)=20,.n=5或n=-4(舍去).] 10个不同元素中取出2个元素的组合数， 关键能力·合作探究 题点一 即c.-9=45. 典例解析(1)根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×400 (2)可把问题分两类情况： 600 第1类，选出的2名是男教师有C种方法； 40人，高中部共抽取60×00-20，根据组合公式和分步计数原理 第2类，选出的2名是女教师有C种方法， 600 则不同的抽样结果共有C8·C8种.故选D. 根据分类加法计数原理，共有C十C号=15十6-21种不同的选法. (2)A.10个朋友聚会，每两人握手一次，与次序无关，故是组合· (3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名 问题： 的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C?× B.平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意 C号=15×6=90种. 两点，与次序无关，故是组合问题： !拓展解至少有1名男教师可分两类：1男1女有CC种，2男0 C.集合{a1,a2a…,an}含有三个元素的于集，与次序无关，故是！女有C哈种. 组合问题： 由分类加法计数原理知，有CC十C=39种. D.选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱节目、乙参加独舞节： 最多有1名男教师包括两类：1男1女有CC种，0男2女有 目”与“乙参加独唱节目、甲参加独舞节目”是两个不同的选法，与次！ C种. 序有关，因此是排列问题，不是组合问题」 由分类加法计数原理知，有CC十C号=30种， 答案(1)D(2)ABC :对点训练 解)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙甲1.C[由题意可知：前面两次检测取到的是一件合格品一件次品，第 对点训练 三次又是次品，所以第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方 的车票是不同的，所以它是排列问题. 法种数为：CCC=16种.] (2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是2.解(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 排列问题. (3)从7本不同的书中，取出5本给来个学生，在每种取法中取出的： 取法种板是化-是影-的 5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题。 (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取 题点二 典例解析（1)m十1)(n十2)…(n+100 出2个，取是发- 100！ =101.nn+1)(n+2)…(n+100) (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3 1011 =101C9100. 个球k去#数是是-5 (2)法一原式=C十C-C十C-C+…+C1-C。=素养演练·提升技能 C1=330. :1.D[从7个整数中随机取2个不同的数，共有C号=21（种）取法，取 法二原式=C十C十C+…十C1。=C十C+…十C=C十C十… 得的2个数互质的情况有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}， +Ci0=…=C+C=C1=330. {3,7},{3,8},{4,5,{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},(6,7},{7,8},共 (3)原方程可化为C=六A+ 1山种，根据古典耗型的概率公式，得这2个数豆质的凝年为兰 号故达D.] (x+3)！(x+3)1 2.B[根据题意，得C+1一C片=C,变形，得C片+1=C+C.由组合 51210· 教性质，得C十C=C+1,即C+1=C+1,所以n十1=6十7，即 n=12.] “120(x210·x(x-)·(x-2 :3.B[若甲班一人参加，则必为A,则乙班选3人有CC=4种；若甲 x2-x-12=0,解得x=4或x=-3. 班2人参加，则有CC=2,则乙班选2人有C号=6，此时有2×6= 经检验，x=4是原方程的解 12种：若甲班3人参加，则乙班选1人有C3C=4,所以一共有4十 答案(1)D(2)330(3)4 12+4=20种.] 157 4.C[不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共101 (6)这是部分均匀分配问题，在(5)的基础上再分配给甲、乙、丙三 个，随机选取两个不同的数，共有C。=45种情况，而和为30的有7 人，共有C·C,C·A=90种不同的分法 十23,11+19,13+17这3种情况，所求概率为云-5故选C.] A号 (7)这是直接分配问题，从6本不同的书中选1本分配给甲，有C 5.15[由题意，分2种情况讨论：当f(1)=f2)<f(3)<f(4)时，从： 种方法，再从剩下的5本不同的书中选2本分配给乙，有C种方 集合{85,87,88,90,93}中任选三个数从小到大作为f(2),f(3), 法，最后剩下的3本不同的书全给丙，有C种方法。 f(4)的值，有C-10种可能的情况：当f(1)<f(2)<f(3)<f(4) 时，从集合{85,87,88,90,93}中任选四个数从小到大作为f(1),1 根据分步乘法计数原理，共有C·C·C=60种不同的分法，（注 f(2),f(3),f(4)的值，有C=5种可能的情况，所以一共有10十5 意与(4)的区别) =15种可能的情况.] (8)由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C种选法，再把剩下的3 第四课时组合与组合数的应用 本书分成本数分别为1,2的两份，有C·C号种分组方法，把分好组 关键能力·合作探究 的两份书分给乙、丙两个人，有A种分法 题点一 根据分步乘法计数原理，可得共有C·C·C号·A号=120种不同 典例(1)解析(1)(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案· 的分法， 共有CC=16种： :对点训练 (2)当从8门课中选修3门， ·1.D[用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个 ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC=24种： 隔板，有C=15(种)分配方法.] ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C号C=24种： :2.A[首先从14人中选出12人共C种， 综上所述：不同的选课方策共有16十24十24=64种， 然后将12人平均分成3组共©出C·C种， 故答案为：64， A (2)法一直接法.4位作介绍的家长可分两类. 第一类，4位作介绍的家长中任何两个人都不是夫妻，即4位作介绍 然后这两步相乘，得C出·C。·C A 的家长来自4个家庭，每个家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有· 将三组分配下去共C出·C·Cg种.] 两种情况，所以其选择方法有2=16种：第二类，4位作介绍的家长3.286[先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个小球， 中仅有一对夫妻，即4位作介绍的家长中有2位为一个家庭的父亲： 再把剩下的14个相同小球之间的13个空档插入3块隔板，共有 和母亲，其选法有C种，另2位家长从另三个家庭中的两个家庭中！ C1=286种放法，] 选，其选法有C号种，并且被选中的家庭是父亲作介绍还是母亲作介题点四 绍都有两种情况，其选法有2种.根据分步乘法计数原理知，作介！典例解(1)从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女 绍的家长的选法有C·CX22=48种.根据分类加法计数原理知，： 同学，有CC号种选法，分别担任语文、数学、英语，物理、化学课代 满足题意的选法有16十48=64种， 表，则有CC号A=7200种选派方法 法二间接法，从8位家长中选出4位家长有C种选法，其中这四 (2)先满足女生甲担任语文课代表，然后再选3男1女，担任其他学 位家长仅来自2个家庭不符合条件，其选法有C种，所以满足题意： 科课代表，有CCA=720种选派方法. 的选法有C一C一64种， (3)男生乙不能担任英语课代表，要分两类研究：一是选出男生乙， 答案(1)64(2)64 满足条件应该有CCCA=3456种选派方法，二是没选出男生 对点训练 乙，有CC号A=2880种选派方法，所以共有3456+2880=6336 解第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有{ 种选派方法。 CC种选法： !对点训练 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有CC种 :1.C[根据题意，甲收集1种、2种、3种，则分3种情况讨论：①甲收 选法： 集1种，乙丙各2种或一人3种，另一人1种，则有C(C+CA) 第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC号种： =42,②甲收集2种，乙丙一人2种，另一人1种，则有C号CA号= 选法， 根据分类加法计数原理，一共有CC十CC十CC号=42（种）不同！ 18,③甲收集3种，乙丙各1种，则有A号=2，则共有42十18十2= 的选法， 62种分配方案.门 题点二 :2.672[当甲、乙都不选时，有CA=A=336(种)： 典例解(1)法一可作出三角形C+C·C十C·C=116(个). 当甲、乙两个专业选1个时，有CCA=336(种). 法二可作三角形C。一C子=116（个）. 根据分类加法计数原理，共有336十336=672（种）不同的填报专业 其中以C1为顶点的三角形有C号十C·C十C=36(个). 志愿的方法.」 (2)可作出四边形C十C·C十C·C=360(个). !素养演练·提升技能 对点训练 :1.B[先将丙和丁捆在一起有A号种排列方式，然后将其与乙、戊排 1,12「从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C种方法，其中4个点 列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式， 共面的有3种情况，故可以组成C一3=12个四面体.] 所以不同的排列方式共有A号AC=24种，故选B.] 2.70[由题意知，圆上每4个点的连线中有1个交点在圆内，所以交2.C[先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余 点个数为Cg=70.] 的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C号种选法，最后将剩下的3 题点三 名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有 典例解(1)这是平均分配问题，分3步， C·C·C=60种不同的安排方法.故选C.] 第一步：从6本书中选2本给甲，有C种选法： :3.A[由题意得，6份礼物分给6个人，共有A=720种不同的分法， 第二步：从其余的4本书中选2本给乙，有C号种选法： 要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，其他3人没有拿到 第三步：把余下的2本书全部给丙，有C号种选法 自己准备的礼物，共有CX2=40种情况，所以恰好有3个人拿到 根据分步乘法计数原理得， 401 共有C·C·C=90种不同的分法， 自己准备的那份礼物的概率P-7208故选A] (2)这是平均分组问题，共有C·C·C =15种不同的分法， ,4.C[分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子 A 共有3X3=9种：若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有C× (3)这是不平均分组问题，共有C·C·C=60种不同的分法 3一9种.由分类加法计数原理知，由上述同位素可构成的不同二氧 (4)这是不平均分配问题，在(3)的基础上再进行全排列， 化碳分子共有9十9=18种.] 所以共有C·C号·C·A=360种不同的分法， !5.B[因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，安排种数可分为两类：第一 (5)这是事分均匀分组问题，共有C·C,C=15种分法. 类，若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去 A。 国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有A号=2种：第二类，若有一个人去 158