章末检测卷(1)-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

章末检测卷( A卷一基 (时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 数 1.已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果 an=2023,则序号n等于 A.667 B.668C.669 D.675 2.数列{an}满足a1=1,a+1=r·an十r(n∈N,r ∈R且r≠0)，则“r=1”是“数列{an}为等差数 列”的 ( 超 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知正数组成的等比数列{an},若a1a2o=100,那 么a,十a14的最小值为 A.20 B.25 C.50 D.不存在 4.等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3十4S2=0, 吹 则公比g= ( A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.已知数列{a,》满足递推关系：a,+1一a。十a an 分，则a 1 A.2021 1 B.2022 C30 1 D.2024 6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn 2an+1,则Sn A.2-1 c()n() 7.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死 去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时 后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下 去，6小时后细胞存活的个数是 ( A.33个B.65个C.66个D.129个 羹 8.已知数列{an}的前n项和是Sn,且S。=2an-1, 若an∈(0,2021)，则称项an为“和谐项”，则数列 {an}的所有“和谐项”的和为 ( ) A.1022 B.1023C.2046 D.2047 1 数列 本知能盘查 满分：150分)》 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错 的得0分) 9.已知数列{an}的通项公式为an=9一2n,则下列 各数中是{an}中的项的是 ) A.0 B.3 C.5 D.7 10.设{a,}是等比数列，则下列结论正确的是（) A.若a1=1,a5=4,则a3=2 B.若a1十a3>0,则a2+a4>0 C.若a2>a1,则a3>a2 D.若a2>a1>0,则a1十a3>2a2 an(nE 11.已知数列{an}满足a1=1,a+1=2+3an N*),则下列结论正确的有 A{日+}为等比数列 B.{a,}的通项公式为a,=2+1-3 1 C.{an}为递增数列 D.{}的前n项和T.=2-3n一4 12.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别 为Sa,Tm,且(n十1)S,=(7m十23)Tn,则使得 b 为整数的正整数n可能是 () A.2B.3 C.4 D.5 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分.把答案填在题中的横线上) 13.数列{a,}的前n项积为n2,那么当n≥2时，an 14.已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n 项和.若a1,a3是方程x2一5.x十4=0的两个根， 则S。= 15.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内 存1KB,然后每3分钟自身复制一次，复制后所 占内存是原来的2倍，那么开机 分钟， 该病毒占据内存64MB(1MB=2"KB). 16.在数列{an}中，a1=1,a2=2,且a+2一am=1十 (-1)”(n∈N*),则S1w= 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出20.(12分）已知等比数列{an}中，a1+a2=8,a2+ 必要的文字说明、证明过程或演算步骤) a3=24,S。为数列{an}的前n项和 17.(10分)记S,为等差数列{an}的前n项和，已知： (1)求数列{an}的通项公式； a1=-7,S3=-15. (2)若bn=an·log3(Sn十1)，求数列{bn}的前n (1)求{an}的通项公式； 项和Tn· (2)求Sn,并求S。的最小值. :21.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=n (n一6)，数列{b.}满足b=3,b+1=3b(n∈N). 18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2, (1)求数列{an},{bn}的通项公式； am+1=an+2(n∈N*). (an,n为奇数， (2)记数列{cn}满足cn= 求数列 (1)求Sn; bn,n为偶数， (2)若么=忌，数列6，的前n项和为T, {cn}的前n项和Tn 求T2m: : :22.2023年推出一种新型家用轿车，购买时费用为 16.9万元，每年应交付保险费及汽油费共1.2 万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第 19.(12分)已知数列{am}的通项公式为a,= 二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均 3n-2,n∈N*. 比上一年增加0.2万元 (1)设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费 (1)求数列十2}的前n项和S: 用、保险费、汽油费及维修费)为f(n),求f(n) (2)设bn=aan+1,求{bn}的前n项和T 的表达式； (2)这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使 用多少年，年平均费用最少)？ -------------4 120 B卷—高考能力达标 (时间：120分钟满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共：二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共 40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符：20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 合题目要求的) 求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错 1.设数列{a,}的前n项和为S。=n2一n,则as的值 的得0分) 为 ( )9.已知数列{}是首项为1，公差为d的等差 n+2") A.14 B.15 C.48 D.63 数列，则下列判断正确的是 () 2.在等差数列{an}中，a3十a5=12-a,则a1十ag= A.a1=3 ) B.若d=1,则an=n2十2n A.8 B.12 C.16 D.20 C.a2可能为6 3.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,Tn, D.a1,a2,a3可能成等差数列 :10.朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启 若产7哈 ( ) be 蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著 作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利 A易 B品 c器 D.号 用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=5,: 100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题， 将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”， Sm=-11,Sm+1=21,则m等于 ( 要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一 A.7 B.6 C.5 D.4 层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放 5.已知数列a,}满足a+1=a。-专且a=4,设{a, 的层数可以是 A.4B.5 C.7 D.8 的n项和为Sn,则使得S。取得最大值的n的11.已知数列{an}的前n项和为S。,点(n,S。+3) 值为 ( ) (n∈N")在函数y=3X2的图象上，等比数列 A.5 B.6 {bn}满足bn十bn+1=an(n∈N),其前n项和为 C.5或6 D.6或7 T,则下列结论正确的是 () 6.《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》： A.S.=2T B.T=20-1 指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图 C.T>a D.T<+ 12.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn, 案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的： 前n项积为Tm,并且满足条件a1>1,a,ag>1, 长a1,a2,a3,a,a(单位：cm)成等差数列，对应 的宽为b1,b2,b3,b4,b(单位：cm),且长与宽之 「4,0.则下列结论正确的是 () 比都相等，已知a1=288,a,=96,b1=192,则b= A.0<q<1 B.aras<l ( C.T。的最大值为T,D.S,的最大值为S A.64 B.96 C.128D.160 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 、 分.把答案填在题中的横线上) 7.已知数列{an}的前n项和Sn=3"(入一n)一6，若 :13.已知数列{an}为等差数列且a5=2,则其前9项 数列{an}单调递减，则入的取值范围是( 和S,= A.(-∞，2) B.(-∞，3) :14.将数列{3”-1}按“第n组有n个数”的规则分组 C.(-∞，4) D.(-00,5) 如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组 8.在数列{a,}中，a,=n+25,则1a1一a+a,-ag 中的第一个数是 :15.已知数列{an}的首项a1=21,且满足(2n一5) +…十a24-a25= ( am+1=(2n-3)an十4n2-16n+15,则{an}中最 A.25 B.32 C.62 D.72 小的一项是第 项 121 16.一支车队有10辆车，某天下午依次出发执行运20.(12分)在①3a2+b2+b,=0,②a4=b,③S3= 输任务.第一辆车于14时出发，以后每间隔10： 一27这三个条件中任选一个，补充在下面问题 分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，： 中，若问题中的实数入存在，求入的取值范围；若 并都在18时停下来休息.截止到18时，最后一： 问题中的入不存在，请说明理由， 辆车行驶了小时，如果每辆车行驶的速： 设等差数列{a,}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n 度都是60km/h,这个车队各辆车行驶路程之： 项和为Tn, ,a45=b,4Tn=3bn-1(n∈ 和为 km. N*),是否存在实数入，对任意n∈N都有≤Sn 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.10分)已知数列{a,}满足a,=冬，且a,+1 1求证：a一号}是等比数列： (2)求数列{an}的通项公式 :21.(12分)某学校实验室有浓度为2g/mL和0.2g/ml 的两种K溶液.在使用之前需要重新配制溶液， 具体操作方法为取浓度为2g/mL和0.2g/mL 的两种K溶液各300ml分别装人两个容积都 为500mL的锥形瓶A,B中，先从瓶A中取出 100mL溶液放人B瓶中，充分混合后，再从B 瓶中取出100mL溶液放人A瓶中，再充分混 18.（12分)已知数列{am}满足am=2am-1十2”一1(n 合.以上两次混合过程完成后算完成一次操作. ≥2)，且a4=81. 设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为 (1)求数列{an}的前三项a1,a2a3; a,g/mL,B瓶中溶液浓度为b.g/mL.(lg2≈ 0.301,1g3≈0.477) (2是香作在一个实数1…使得数列侣}为等 (1)请计算a1,b1,并判定数列{an一bn}是否为等 差数列？若存在，求出入的值；若不存在，请说 比数列？若是，求出其通项公式：若不是，请说 明理由； 明理由； (3)求数列{a.}的通项公式. (2)若要使得A,B两个瓶中的溶液浓度之差小 于0.01g/mL,则至少要经过几次操作？ 22.(12分)已知数列{an}的各项均为正数，前n项 19.(12分)已知数列{a}中，a1=1,a.a+1= 和为S。,且S=a。·（a,十1) (1)求证：数列{a2n}与{a2n-1}都是等比数列； 2 (2)若数列{an}的前2n项和为T2m,令bn=(3 (1)求证：{an}为等差数列： T2m)·n(n十1)，求数列{bn}的最大项. (2)设bn=(-1)m1·(2n一1)，求数列{bn}的 前n项和Tn· 122能力提升练 8.D[当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1-(2a-1-1)=2a, 1.A[令y血k卫，剥y=1一血卫，可以验证当y=0即x=e, 2am-1,.an=2an-1,又a1=S1=2a1-1,.a1=1,.{an}是公比为 x x 2,首项为1的等比数列，所以an=2”-1,由an=2-1<2021得n-1 =时，m -冬又对>0恒成立<日 e e e ≤10，即≤1，所求和为S2=2047.故选D] 得k≤1，又kx>0,x>0,.k>0,.0<k≤1.] 9,BD[对于A.0=9-2,解得n=立，故A不满足： 2.(aa<-27或a>5}[f'(x)=-3.x2+6x+9. 对于B,3=9一2n,解得n=3,故B满足： 令f(x)=0,解得x=一1或x=3. 对于C,5=9-2n,解得n=2,故C满足： 当f(x)>0时，-1<x<3: 对于D,7=9-2,解得n=1,故D满足.] 当f(x)0时，x<-1或x>3, 10.AD[由等比数列的性质，可得a号=a1·a=4,由于奇数项的符号 所以当x=一1时，f(x)取得极小值为f(一1)=a一5： 相同，可得a=2,因此A正确：若a1十a3>0,则a2十a1=g(a1十 当x=3时，f(x)取得极大值为f(3)=a十27. a3),其正负由g确定，因此B不正确；若aga1,则a1(g一1)>0，于 画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值： 是ag一a2=a1g(q-1),其正负由q确定，因此C不正确：若a2 小于0（如图1）或极小值大于0（如图2）， a1>0,则a1q>a1>0,可得a1>0,q>1,所以1十g>2g,则a1(1十 g2)>2a1q,即a1十a3>2a2,因此D正确.故选A、D.] 1.AD[调为2生2-二+3所以十3=2（公+小 an+l an an 又工十3=4≠0，所以{日十3}是以4为首项，2为公比的等比数 L an 图1 图2 列，1+3=4×2-1，即a=23 故选项A、B正确：由{an}的 an 所以a十27<0或a-5>0,解得a<-27或a>5 故实数a的取值范围为{aa<-27或a5}.] 通项公式为4n2+1一3 1 知，{an}为递减数列，选项C不正确：因为 3.解(1)由水箱的高为xm,得水箱底面的宽为(2一2x)m,长为： 6-22=(3-x)m =2+1-3,所以{】}的前n项和Tn=(22-3)十(23-3)十 an 2 故水箱的容积y=(2-2x)(3-x)x=2x3-8.x2十6x(0<x1). +(2+1-3)=2(2+2+…+2)-3m=2×2X01,2）-3m 1-2 (2)由(1)得y'=6.x2-16x+6,令y'=0, 2m+2-3n-4.选项D正确，故选A,B、D.] 解得x=士（舍去）或工=】 3 3 12.AC[由题意，可得三=十23：a,}和6，}均为等差数列， n+1 所以y=2x-8x2+6x(0<x<1)在(0,4 3 }内单调递增，在 .S2m-1 (2m-1)(a十a2-=(2n-1)a,同理，T-1=(2n-1） 2 (互）内单调递减· 3 二。123=7十是若会为整数，则只有 b…b-T2n 2n-1+1 所以当工=4时，水箱的容积最大 n=1,2,4,8.故选A、C] 3 13. n [设数列{an}的前n项积为Tn,则Tn=n,当n≥2时， 4.证明令f(x)=e-x-1(x≥0)， (n-1) 则f(x)=e-1≥0， T n .f(x)在[0，十∞)上单调递增， a.=Tm产1] ∴.对任意x∈[0，十∞)，有f(x)f(0),而f(0)=0, 14.63[:a1,a1是方程x2-5x十4=0的两根，且g>1, .f(x)≥0，即e≥x十1. a1=1,a3=4,则公比q=2, 令g(x)=x-sinx(x≥0)， 则g'(x)=1一cosx≥0， 因此5=1X0,29=63.] 1-2 …g(x)≥g(0),而g(0)=0, !15.48[由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成等比数列 x一sinr0, {an},且a1=2,q=2,∴.an=2",由1MB=20KB,则2”=64×210= .x十1≥sinx十1(x≥0). 26,.n=16,即病毒共复制了16次..所需时间为16×3=48（分 综上，e≥x十1≥sinx十1. 钟).] 章末检测卷（一） :16.2600.[由a1=1,a2=2且a+2-a,=1+(-1)"(n∈N“)知， A卷一基本知能盘查 当n为奇数时，an+2一an=0: 1.D[由2023=1十3(n-1),解得n=675.] 当n为偶数时，aa+?一a,=2. 2.A[当r-1时，数列{a}显然为等差数列：当数列{an}为等差数列！ 所以前100项中，奇数项为常数项1，偶数项构成以a2=2为首项， 如常教列时r=子.故“r-1”是“数列{口，)为等差数列”的无分不必 2为公差的等差数列.所以S10=50×2+50X4型×2+50×1= 2 要条件.」 2600.] 3.ACa十a十ai,十2a,a≥4u:a4u=4a1ao=400当且仅当7.解（设的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. a7=a11=10时等号成立，.a?十a11≥20.] 4.C[因为a3十4S2=0,所以a1q2+4a1十4a19=0,因为a1≠0，所以 所以{am}的通项公式为an=a1十(n-1)d=2n-9. 9+4g十4=0，所以q=-2,故选C.] (2)由(1)得S,=十a·m=m-81=(m-4)2-16. 1=1+1, 5.D迪aa.十得a4 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为一16. 18.解(1)因为an+1=an十2，所以an+1-an=2, 所以数列{}是等发数列，首项-2，公差为1 又a1=2,所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，所以 a 所以，1=2+(2023-1)×1=2024. S.=2m+nm卫×2=m+ 2 42023 (2)由(1)可知Sn=n2十n=n(n十1)， 则a2023=202] 3 所以5n(n十1)=31 6.D[因为a+1=Sn+1一Sm,所以Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn),所以 （”n+1: 1 Sn 。,所以数列S,是以S=a4=1为首项，号为公比的 所以工=3（什223+十22十） 数列所以s=(径) =3(1-2m市)厂2m中 B这开始的细胞数布年小时后的约胞数为成的数列为a.刻9.解少614，十21十子6m3,所以2十鬼 Ja1=2, a,f=2a.-1=1·2014,=20-1+1, 首项为3，公差为6的等差数列， a7=65.] 所以S.=3n+nm,1卫×6=3m. 2 182 (2)6,=a0m+1=3m2X3n十 又Sn=aa9=-11,故a1=-1, 1一9 1 =3(3m23m+} 又an=a1g”-1=-16,代入可求得m=5.] .Tn=b1十b2十…十bn-1十b, 5.C[由已知得a1=a,号，故a,是公差为-手的等差数列，又 号[-宁)十（付宁）+…+（己写）+a4所以a=4专”，专叶兰，◆a,≥0好得n≤6 4 故当n=5或n=6时，S,取得最大值.故选C.] (] !6.C[由题意，五种规格党旗的长a1,a2,ag,a1,a5(单位：cm)成等差 数列，设公差为d, 1 因为a1=288a:=96,可得d=a4=96-28 5-1 3 =-48,可得a3= 20.解(1)设等比数列{a}的公比为g, 288+(3-1)×(-48)=192, 利招-号-8 又由头与宽之比年初学且么=12，可得会一云所以么 a 故a1十a2=a1十3a1-8,解得a1=2. 所以an=a1g-l=2X3”1 192×192-128.故选C] 288 (2)由(1)知an=2×3”-1,S,=3"-1, 7.A[,S,=3"(λ-n)-6,① 所以b,=an·l0g3(Sn十1)=2×3"-1×10g33"=2n×3"-1, .S,-1=3"-1(以-n十1)-6，n>1,② 所以Tn=bh1+b,+b+…+bn=2×3°+4×31+6×32+…+；①-②得a,=3”-1(2以-2m-1)(n>1,n∈N), 2(n-1)X3m-2+2nX3”-1,① 又{an}为单调递减数列， 3T,=2×31+4×32+6×33+…+2(n-1)×3m-1+2n×3",② .am>an+1,且a1>a ①-②得-2Tn=2×3°+2×3+2×32+2×38+…+2×3m-1 .3m-1(2A-2n-1)>3"(2λ-2n-3), 2n×3"=3"(1-2n)-1. 且3λ-9>6λ-15， 所以Tn=3”(2n-1)+1 化为A<n十2(n>1),且入<2. <2, 21.解(1)当n=1时，a1=S1=-5,当n≥2时， 入的取值范围是（一∞，2）.故选A.] an=Sn-Sn-1=n2-6n-(n-1)2+6(n-1)=2m-7, 8.B[令函数y=+5, F>0. n=1适合上式，∴an=2n-7(n∈N). 由对为函教的性质得函数y=工十5在(0,5)上单调递减，在 四87号·0≠9I(N9》g= (5,十∞)上单调递增， {b}为等比数列，bn=3m-1(n∈N“). 所以当n≤5时，{an}是递减数列，当n≥5时，{an}是递增效列， (2)由1)得，6，=2,7”为奇数， 所以a1>a2>aa>a1>a5<a6<a7<<a21<a25, {3-1,n为偶数， 所以|a1-a2|十|a2-ag+…+a21-a2s =(a1-a2)+(ag-a)十(a-a)+(a1-a)+(a-a5）+(a 当n为偶数时，Tm=c1十c2十…十cn= 空(-5+2m-9） a6）++(a25-a21)=a1+a25-2a5=26+26-2×10=32,故 2 选B.」 3(1-9)_n(n-72)+3(3-1) .ACD[圈为2=1平2=1+a-1Dd.所以a=3a,=[1+ 21 an 1-9 2 8 当n为奇数时，T。=1十c2十…十cn= 空(5+2n (n-1)d](n十2").若d=1,则an=n(n十2”)；若d=0,则a2=6.因 为a2=6十6d,a3=11十22d,所以若a1,a2,a3成等差数列，则a1十a3 =2a2,即14十22d=12十12d,解得d=-5.故选A,C,D.] 31-9宁)-(n+1)(n-62+3(3"-1-1) 1-9 8 :I0.BD[设最上面一层放a1根，一共放n(n≥2)层， 综上所述： 则最下面一层放(a1十n一1)根， /n-72+3(3°。-卫，n为偶数， 于是a2a+m-）=10. 2 2 8 T,- +100m-62+33"-卫，m为奇教 整理得2a1=200+1- 2 8 因为a1∈N”,所以n为200的因数， 22.解(1)由题意，每年的雏修费构成一等差数列，n年的雏修总费用 为[0+0.2n-1]=0.1m2-0.1n(万元)，所以f0m)=16.9+ 200+1-m)≥2且为偶数， 2 验证可得n=5,8满足题意.故选BD.门 1.2n十(0.1n2-0.1n)=0.1n2+1.1n十16.9（万元），n∈N", 11,BD[因为点(n,S,十3)在函数y=3X2x的图象上， (2)该辆轿车使用n年的年平均费用为f-0.1m十1.1n十16.9 所以Sn十3=3×2”，即Sn=3×2m-3. n =0.1n+16.9+1.1 当n≥2时，a,=S,-5m-1=3×20-3-(3×20-1-3)=3×2"=1, 又当n=1时，a1=S1=3, 所以an=3X2”-1 ≥2,0.1n6+1.1=3.7(万元. 设bn=b1g-1则b1g-1+b1g=3×2m-1,可得b1=1,g=2, 所以数列{bn}的通项公式为b,=2-1 当且仅当0.1m=16,9时取等号，此时m=13. 由等比数列前n项和公式可得T=2”一1. 综合选项可知，B,D正确，] 故这种汽车使用13年报废最合算. B卷—高考能力达标 {12.ABC[1,a2a8≥1，g0,a:>1,0ag≤1,0≤g3 1.A[由于数列{an}的前n项和Sn=n2-n, 1,故A正确；a?am=a<1,故B正确：因为a?>1,0<ag<1,所以 所以S8=56,S1=42,所以a8=58-S,=14.] T?是Tn中的最大项，故C正确：因为a1>1,0<q<1,所以Sn无 2.A[由a3十a5=12-a7, 最大值，故D错误.故选A、B、C.」 得a3十a5十a7=12-3a5,即a5=4, 故a1十ag=2a5=8.] 113.18[因为数列{an}为等差数列，所以S。= a2-号×2a, 2 3.B[因为等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,Tn 9as=18.」 a1+a1111(a1+a11) :14.3150[在“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一 所以 2 2 S11 个以1为首项，1为公差的等差数列. b+b如11(b+b) ，品 因为前99组中数的个数共有1+99)X9=4950个，且第1个数 2 2 2 4.C[由已知得Sn-Sm-1=am=-16,Sn+1-Sn=am+1=32, 为3°， 故公比q=一2， 故第100组中的第1个数是3150.] 183