第五章《一元函数的导数及其应用》同步单元必刷卷【 培优卷】-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第五章《一元函数的导数及其应用》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（   ） A．贝克 B．贝克 C．贝克 D．贝克 5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．若，，，则（   ） A． B． C． D． 7．关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为16 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．若为奇函数，则且 B．当时，在上单调递增 C．当时，有两个极值点 D．当时，的图象关于点对称 10．已知，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 11．已知函数，则（   ） A．函数在上单调递减，在上单调递增 B． C．若，则实数的取值范围是 D．当时，若方程有且只有一个根，则 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若曲线在点处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为______． 13．若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 14．若函数有最大值，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设函数其中． （1）当时，求曲线在点处的切线斜率； （2）求函数的单调区间． 16．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若不等式恒成立，求的最大值. 17．已知函数，. (1)当时，证明：1是的极值点； (2)当时，证明：； (3)若，对任意的，恒成立，求的最大值. 18．已知函数． (1)证明：当时，； (2)求在区间上的零点个数． 19．已知函数在R上可导，且满足①；②在区间上单调递增. (1)证明：在区间上恒成立； (2)记，当时，恒有，求证：； (3)若，，，记，证明：存在唯一的，使得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章《一元函数的导数及其应用》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 2．若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于给出的是开区间，且是减函数，所以判断有且只有一个极大值点，所以在上有零点，由此列出不等式，求解可得实数的取值范围. 【详解】，在区间上单调递减，且. 若函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得. 3．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解. 【详解】函数，其定义域为， 对求导得， 令，可得. 当时，，单调递减； 当时，，，单调递增. 因为函数在区间上不单调，所以， 所以的取值范围是， 故选：A. 4．放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（   ） A．贝克 B．贝克 C．贝克 D．贝克 【答案】C 【分析】求导，由求得，再计算即可． 【详解】求导得：， 因为， 所以，所以 所以， 故选：C 5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据分段函数的定义求出，再求出时对应的表达式，然后求导由点斜式可得. 【详解】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：C. 6．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的换底公式，对数的运算法则以及指数函数的单调性，通过构造函数，利用导数法求出单调性比较出的大小. 【详解】，， ，， ，， ，， 设，， ， 设，，，， 在上是单调递增函数， ，，， 在上是单调递减函数， ，，， 为上的单调递减函数，， ，， ，即. 7．关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同构思想变形给定等式，结合单调性可得函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】方程，令函数， 而，则函数在R上单调递增，又方程等价于， 因此， 令函数，依题意，方程有两个不同实根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，当时，恒有， 则当且仅当时，方程有两个不同实根， 所以实数a的取值范围为. 8．已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为16 【答案】D 【分析】作出函数的图象，根据题意得到，，利用不等式性质判断A；数形结合求解判断B；利用对数性质可得，再利用基本不等式求解最小值判断D，构造函数，利用导数法求得，即可判断C. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，所以，故选项A错误； 由二次函数的对称性可得， 令或， 所以， 因为方程有四个实根，所以，故选项B错误； 又，则， 即，则，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故选项D正确； 由得， 由上面推导可知，所以， ， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以，故选项C错误. 故答案选D. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．若为奇函数，则且 B．当时，在上单调递增 C．当时，有两个极值点 D．当时，的图象关于点对称 【答案】BCD 【详解】A：因为函数的定义域为全体实数，且为奇函数， 所以，因此本选项不正确； B：， 当，时， 显然，所以在上单调递增，因此本选项正确； C：由上可知， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是该函数的极大值点，是该函数的极小值点，所以该函数有两个极值点，因此本选项正确； D：当时，， 因为， ， 所以有，所以的图象关于点对称，因此本选项正确. 10．已知，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据二阶导函数的零点求对称中心；C根据对称性和单调性以及韦达定理求出；D根据对称性和单调性以及基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 则在定义域内单调递增，故A正确； ，得，故的对称中心为即，故B正确； 因为，为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以，则， 故，得，故C错误； 因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时，故D正确. 11．已知函数，则（   ） A．函数在上单调递减，在上单调递增 B． C．若，则实数的取值范围是 D．当时，若方程有且只有一个根，则 【答案】BC 【分析】借助导数可得A；利用函数单调性与可得B；参变分离后构造函数，求导后可得该函数单调性，即可得其最小值，即可得C；利用函数的单调性计算即可得D. 【详解】对A：， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对B：因， 由，及在上单调递增， 可得，故B正确； 对C：，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即，故C正确； 对D：令，即， 由C知，函数在上单调递减，在上单调递增， 由，， ， 若方程有且只有一个根，则或，故D错误. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若曲线在点处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先求曲线在点处的切线，把问题转化成无解,再设，求函数的最小值即可. 【详解】因为，所以， 且，， 所以在点处的切线方程为：，即. 问题转化为方程，即无解. 设，，则， 由；由， 所以在上单调递减，在上单调递增. 且， 所以， 所以. 13．若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 14．若函数有最大值，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值， 若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值， 故必有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为当时，， 所以单调递减，当时，， 所以， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设函数其中． （1）当时，求曲线在点处的切线斜率； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1）1；（2）答案见解析. 【分析】（1）由题设得，求出即可知切线斜率； （2）由题意，讨论的符号，即可求单调区间． 【详解】（1）由题设，，则， ∴，故点处的切线斜率为1. （2）由题设，，又， ∴，且， 当时，，单调递增； 当时，或，单调递减； ∴在上递增，在、上递减. 16．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可； （3）依题将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【详解】（1）当时，，则， 得.又， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，得， 令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）恒成立，即恒成立， 即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 17．已知函数，. (1)当时，证明：1是的极值点； (2)当时，证明：； (3)若，对任意的，恒成立，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的导数证明1是的极值点； （2）分，两种情况讨论，当时，利用导数判断函数的单调性即可得证； （3）利用导数求函数的最小值，可得，转化为，构造函数，利用导数求最大值即可. 【详解】（1）当时，，， 时，，故； 时，，故，又， 所以1是的极值点. （2）当时，只需证明， ①当时，，，不等式显然成立； ②当时，令 ，， 令，则， 因为，，， 所以，所以单调递减， 所以，所以单调递减， 所以， 所以， 综上，原不等式得证. （3）任意的，恒成立，只需要， 又是增函数，，，， 故由零点存在性定理可知，，使得， 此时， 由题设及可知，，解得， 当，，故单调递减， 当，，单调递增， 所以，取得极小值也是最小值，所以， 所以，得， ， 令， ，得（舍去）或， 当，0单调递增，当，，单调递减， 所以时，取得极大值也是最大值， 所以， 所以的最大值是. 18．已知函数． (1)证明：当时，； (2)求在区间上的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)2个 【分析】（1）由题意结合要证明的不等式，构造函数，利用导数判断其单调性，证明，即可证明结论； （2）讨论和两种情况，当时，结合题意构造函数，判断函数的单调性，结合零点存在定理判断函数的零点个数，综合即可求得答案. 【详解】（1）设，则． 设， 则， 因为在上单调递增，所以， 又因为当时，，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． （2），当时，，所以在上单调递增， 因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点． 当时，令，则， 当时，有，所以在上单调递减， 又因为，所以存在使得， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，故在上无零点， 当时，，所以在上单调递减， 又，所以在上有且仅有一个零点． 综上所述：在上有且只有2个零点． 【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及利用导数求函数最值、证明不等式以及函数的零点问题，解答的难点在于函数零点的判断，解答时要能结合题设，恰当地构造函数，判断函数单调性，进而判断函数零点. 19．已知函数在R上可导，且满足①；②在区间上单调递增. (1)证明：在区间上恒成立； (2)记，当时，恒有，求证：； (3)若，，，记，证明：存在唯一的，使得. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令，求导，可判断的单调性，可证结论； （2）根据题意可得对恒成立，构造函数，求导，分类讨论可证结论； （3）令，求导，判断的单调性，进而可证结论. 【详解】（1）令，求导得， 因为在区间上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以； （2）因为，由（1）可知，当时，恒有， 所以，即对恒成立； 令，求导得， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以，即， 当，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 令，求导得， 所以在上单调递减，又，所以， 所以对不恒成立； 综上所述： （3）令，又，所以， 求导得， 因为在区间上单调递增，又在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增， 又，，所以， ， 所以存在唯一，使得， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增， 因为，又函数在区间上单调递减， 所以， 又， 函数在区间上单调递增， 由零点存在性定理可得存在唯一，使得，即. 即存在唯一的，使得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $