6.1 第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

第六章 a被 P=2+2W 计数原理 ax 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【素养要求】通过对两个计数原理的学习，发展数学抽象及逻辑推理素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)分类加法计数原理 (二)分步乘法计数原理 <任务 完成一件事 <在务 完成一件事 有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的 需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做 <分类 <分步 方法，在第2类方案中有n种不同的方法 第2步有n种不同的方法 <计数 完成这件事共有N=种不同的方法 计数 完成这件事共有N= 种不同的方法 [即学即练] :[即学即练] :1.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人 1.家住A地的小明同学准备周末去B地旅游，从A 到该体育场晨练，则他进、出门的方案有() 地到B地一天中动车组有30个班次，特快列车： A.12种B.7种C.14种D.49种 有20个班次，汽车有40个不同班次，则小明乘2.已知集合A={1,2,B={3,4,5},从集合A和集合 坐这些交通工具去B地的不同方法有( B中各取一个元素，分别作为平面直角坐标系中的 A.240种B.180种C.120种D.90种 点的横坐标与纵坐标，则不同点的个数为() A.5 B.6 C.10 D.12 2.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两 3,把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投 位数的个数为 法种数共有 种 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一分类加法计数原理 /方法技巧/ [典例](1)在所有的两位数中，个位数字大于十 应用分类加法计数原理应注意如下问题 位数字的两位数的个数为 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事， (2)满足a,b∈{-1,0,1,2}，且关于x的方程 完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成 a.x2+2x十b=0有实数解的有序数对(a,b)的个 这件事 数为 (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完 听课记录 成这件事，而不需要再用到其他的方法.即各类 方法之间是互斥的、并列的、独立的， 数学选择性必修第三册 对点训练 对点训练 有3个袋子，分别装有不同编号的红色小球6： 用0,1,2,3,4,5,6这七个数字共能组成多少个 个、白色小球5个、黄色小球4个.若从3个袋子 两位数？ 中任取1个小球，有多少种不同的取法？ 题点三 两个计数原理的简单综合 [典例]某校高中三年级一班有优秀团员8人，二 题点二 分步乘法计数原理 班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校 [典例]已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2}, 组织他们去参观某爱国主义教育基地. P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问： (1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ (1)P(a,b)可表示平面上多少个不同的点？ (2)每班选1人为组长，有多少种不同的选法？ (2)P(a,b)可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个 听课记录 人不同班，有多少种不同的选法？ 听课记录 迁移若本例条件不变，P(a,b)可表示多少个不 /方法技巧/ 在直线y=x上的点？ 综合运用两个计数原理的解题策略 (1)运用两个计数原理的关键在于正确区分“分 类”与“分步”，分类就是能“一步到位”，即任何 一类中任何一种方法，都能完成这件事；而分步 只能是“局部到位”，即任何一步中任何一种方 …/方法技巧/ 法只能完成事件中的某一部分 应用分步乘法计数原理应注意如下问题 (2)在既有分类又有分步的题型中，一般先分 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事， 类，然后在每一类中再分步 单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这： 件事，也就是说要经过几步才能完成这件事. 对点训练 (2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤 :1.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四 都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件 位数中，能被5整除的有 () 事都不可能完成.即各步之间是关联的，相互依 A.512个B.192个C.240个D.108个 存的，只有前步完成后步才能进行 :2.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一 (3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连 门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英 续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件 语和日语的各一人到边远地区支教，不同的选法 事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要 有 种？ 做到步骤完整， 第六章计数原理 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第：3.中国古代十进制的算筹记数法，在数学史上是一 一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从 个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小 这9个人中选1人完成这项工作，一共有多少种 木棍.如图是利用算筹表示数字1~9的一种方 选法？ ( ) 法.例如：3可表示为“=”，26可表示为“=⊥” 现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余， A.5 B.4 则可以用1一9这9个数字表示两位数的个数为 C.9 D.20 2.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时 验证勾股定理的示意图.现在提供5种颜色给其 中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜： 头持吉 A.13 B.14 C.15 D.16 色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案： 4.若一个三位数的各位数字中，有且仅有两个数字 共有 ) 一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”. 例如：232,114等，则不超过200的“单重数”中， 从小到大排列第22个“单重数”是 ( A.166 B.171 C.181 D.188 5.人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥 数”，则无重复数字的四位吉祥数（首位不能是 A.120种 B.260种 零)共有 个 C.340种 D.420种 温馨提示 请做课时分层检测（一） 第二课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 【素养要求】通过进一步应用两个计数原理，发展数学抽象及数学运算素养 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一组数问题 方法技巧/ [典例]用0,1,2,3,4五个数字， 对于组数问题，应掌握以下原则 (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分 (2)可以排成多少个三位数？ 类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置（末位 (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的： 或首位)分类，分类中再按特殊位置（或特殊元 三位数？ 素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多， (4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 可采用间接法求解 听课记录 (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数 字以上的数字的最高位。 对点训练 1.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字， 组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ( A.24 B.18 C.12 D.6 2.从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数 字8的自然数有 个学习讲义参考答案与解析 第六章计数原理 第二步确定b的值，也有6种方法. 根据分步乘法计数原理，得到P(a,b)可表示平面上6×6=36（个） 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 不同的点， 第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (2)确定第二象限的点，可分两步完成： 必备知识·自主梳理 第一步确定a,因为a<0,所以有3种方法； (一) 第二步确定b,因为b0,所以有2种方法， m十n 由分步乘法计数原理，得到P(a,b)可表示平面上3×2=6（个）第二 即学即练 象限的点， 1.D[根据分类加法计数原理，共有30十20十40=90（种）不同方法.]1 迁移解依题意a≠b, 2.36[按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在 第一步确定a有6种方法， 每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，1 第二步确定b有5种方法. 2个，1个，则共有8十7十6十5十4十3十2十1=36个两位数.] 由分步乘法计效原理，不在直线y=x上的点P(a,b)共有6×5=30（个）. (二) !对点训练 mXn 解第一步，确定十位数字，1,2,3,4,5,6六个数字都可以选择，有 即学即练 6种方法； 1.D[由题意知，某人从体育场进门有7种方式，出门有7种方式，根 第二步，确定个位数字，0,1,2,3,4,5,6七个数字都可以选择，有7 据分步乘法计教原理可知他进、出门的方案有7×7=49种，] 种方法， 2.B[完成这件事可分两步：第1步，从集合A中任取一个元素作为1 根据分步乘法计数原理，不同的两位数共有6X7=42(个) 点的横坐标，有2种不同的方法： 故可以组成42个两位数. 第2步，从集合B中任取一个元素作为点的纵坐标，有3种不同的题点三 方法.] :典例解(1)分三类.第一类是从一班的8名优秀团员中选择，共有 3,81[每封信都有3种不同的投法，由分步乘法计数原理可得，4封！ 8种不同的选法：第二类是从二班的10名优秀团员中选择，共有10 信共有3×3×3×3=31=81种投法.] 种不同的选法：第三类是从三班的6名优秀团员中选择，共有6种 关键能力·合作探究 不同的选法，由分类加法计数原理可得共有8十10十6=24种不同 题点一 的选法， 典例解析(1)法一根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,1 (2)分三步，第一步，从一班的8名优秀团员中选1人为组长，共有8 7,8的情况分成8类， 种不同的选法；第二步，从二班的10名优秀团员中选1人为组长， 在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4： 共有10种不同的选法；第三步，从三班的6名优秀团员中选1人为 个，3个，2个，1个 组长，共有6种不同的选法，由分步乘法计数原理可得共有8X10 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8十7十6十5十4十3： 6=480种不同的选法. +2+1=36(个). (3)分三类，每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中 法二分析个位数字，可分以下几类： 各选1人，有8X10种不同的选法：第二类是从二班、三班的优秀团 个位数字是9，则十位数字可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有 员中各选1人，有10×6种不同的选法：第三类是从一班、三班的优 8个： 秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法，因此，共有8×10十10× 个位数字是8，则十位数字可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有 6十8×6=188种不同的选法， 7个： :对点训练 同理，个位数字是7的有6个： 11.D[能被5整徐的四位数，可分为两类：一类是末位为0，由分步乘 法计数原理，共有5×4×3=60个.另一类是末位为5，由分步乘法 个位数字是2的有1个. 计数原理，共有4×4×3一48个，由分类加法计数原理得所求的四 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8十7十6十5十4十3： 位数共有60十48=108个，] +2+1=36(个) 12.20[由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会 (2)当a=0时，b的值可以是一1,0,1,2，故有序数对(a,b)的个数i 日语， 为4： 法一分两类. 当a≠0时，要使方程a.x2十2x十b=0有实数解，需使△=4一4ab≥： 第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，测教日语 0,即ab≤1. 的有2十1=3（种）选法，此时共有6×3=18（种）选法. 若a=一1，则b的值可以是一1,0,1,2，有序数对(a,b)的个数为4： 第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选教 若a=1,则b的值可以是一1,0,1，有序数对(a,b)的个数为3： 日语的有2种选法，此时有1×2=2（种）选法. 若a=2,则b的值可以是一1,0，有序数对(a,b)的个数为2. 所以由分类加法计算原理知，共有18十2=20（种）选法. 由分类加法计数原理可知，有序数对(a,b)的个数为4十4十3十 法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情 2=13. 形，入选后又要分两种：(1)教英语：(2)教日语 答案(1)36(2)13 第一类：甲入选。 对点训练 (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计效原 解有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，！ 理，有1×2=2（种）选法： 有6种不同的取法：第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有 (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原 5种不同的取法：第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4 理，有1×6=6（种）选法. 种不同的取法，其中，从这3个袋子的任意1个袋子中取1个小球都·故甲入选的不同选法共有2十6=8（种）， 能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不· 第二类：甲不入选，可分两步： 同的取法共有6十5十4=15（种）. 第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法： 题点二 第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法 典例解(I)确定平面上的，点P(a,b)可分两步完成： 由分步乘法计数原理知，有6×2=12（种）不同的选法. 第一步确定a的值，共有6种方法： 综上，共有8十12=20（种）不同选法，] 153 素养演练·提升技能 的某节)：若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4 1.C[分两类：第一类有5种选法，第二类有4种选法，共9种.] 节，自习只能选在第2节，故有1种，根据分类加法计数原理可得， 2.D[由题意知，上下两块区城颜色可以相同，也可以不同，则共有5 共有4十1=5种不同的选课方式.由以上分析可知，自习课可安排 ×4×3×1×3十5×4×3×2×2=180+240=420种涂色方案.] 在4节课中的任一节，] 3.D[根据题意，6根算筹都用上，可以表示的两位数分为两类，①个·2.B[由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志 位数字与十位数字不同的两位数，十位数字小于个位数字的有15，！ 愿者中选1人，有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种，因 19,24,28,37,46,68,共7个，把个位数字与十位数字交换，也有71 此共有4×5×4×3=240（种）选派方案.] 个：②个位数字与十位数字相同的两位数，只有33,77，共2个，则一题点三 共可以表示14十2=16个两位数.] :典例解析不考虑甲试剂不能对C细胞染色， 4.B[由题意得，不超过200的数，两个数字一样同为0时，有100， 若C,E细胞的染色试剂相同，共有4×3×2×2=48种方法， 200,共2个，两个数字一样同为1时，有110,101,112,121,113，· 若C,E细胞的染色试剂不同，共有4×3×2×(1十2)=72种方法， 131,一直到119,191，共18个，两个数字一样同为2时，有122，共1 共120种方法. 个，同理，两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个，综上，不超 现考虑甲试剂对C细胞染色， 过200的“单重数”共有2十18十8-28（个），其中最大的是200，较： 若C,E细胞的染色试剂相同，共有3×2×2=12种方法， 小的依次为199,191,188,181,177,171，…故第22个“单重数”为 若C,E细胞的染色武剂不同，共有3×2×(2十1)=18种方法， 171,故选B. 共30种方法 5.448[第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法：第二步，1 所以，符合条件的染色方法有120一30=90种， 确定百位，徐去6和千位致字外，有8种不同的选法：第三步，确定 答案90 十位，除去6和千位、百位上的教字外，有7种不同的选法.故共有8对点训练 ×8×7=448(个)不同的“吉祥数”. 1.(1)420[按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A,C是否 第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用： 同色分类： 关键能力·合作探究 第一类，A,C同色，则有5×4×3×1X3=180(种)不同的染色方法， 题点一 第二类，A,C不同色，则有5×4×3×2×2=240（种）不同的染色 典例解(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复， 方法 每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53=125（个）. 根据分类加法计数原理，共有180十240=420（种）不同的染色 (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排！ 方法，」 法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5= (2)72[①当使用4种颜色时，先着色区域1，有4种方法，剩下3 100(个). 种颜色涂其他4个区城，即有1种颜色涂相对的2块区域，有3×2 (3)被2整徐的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类， ×2=12(种)，由分步乘法计数原理得，共有4×12一48（种）， 一类是末位数字是0，则有4×3=12种排法：一类是未位数字不是 ②当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色 0,则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有 区城1，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂 3种排法，十位有3种排法，因此有2X3X3=18种排法，因而有12 十18=30种排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三 第2,4区域，另一种颜色涂第3,5区域，有2种着色方法.由分步乘 法计数原理得有4×3×2=24（种）. 位数 (4)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步！ 综上，共有48十24=72（种）.] 定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法：第二步定首位，把1,2.C[根据题意，假设正五角星的区城为A,B,C, 2,3,4中除去个位用过的一个还有3个，可任取一个，有3种方法： D,E,F,如图所示，先对A区城涂色，有3种方 第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字，先排百位有3种方 法，再对B,C,D,E,F这5个区域进行涂色，因为 法，再排十位有2种方法，由分步乘法计敦原理知共有2×3×3×2· B,C,D,E,F这5个区域都与A相邻，所以每个 =36(个). 区域都有2种涂色方法，所以共有3X2X2×2× 对点训练 2×2=96种涂色方法，门 1.B[由于题目要求是奇教，那么对于此三位数可以分成两种情况：素养演练·提升技能 奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种“奇偶奇”的情况，个位有3种情况，！1.CD[对于A,甲、乙只能站左、右两端，有2种站法，丙、丁在老师相 十位有2种情况，百位有2种情况，共12种：如果是第二种“偶奇奇”！ 邻两边，有2种站法，所以有2X2=4种站法，不符合：对于B,同A 的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能是0，只有一种 一样，有4种站法，不符合：对于C,甲站两端，有2种站法，乙与老师 情况，共6种，因此总共有12十6=18（个）奇数.] 相邻，有2种站法，丙、丁站剩下位置，有2种站法，所以有2X2×2 2.162「第一类：一位数中徐8外符合要求的有8个：第二类：两位数· =8种站法，C符合：对于D,甲、乙要么都在老师左边，要么都在老 中，十位上数字徐0和8外有8种情况，而个位数字徐8外，有9种 师右边，且甲、乙还可以相互交换，有2×2种站法，丙、丁站剩下两 情况，有8X9个符合要求：第三类：三位数中，百位上数字是1的，！ 个位置，有2种站法，所以共有2X2×2=8种站法，D符合.] 十位和个位上数字徐8外均有9种情况，有9×9个，而百位上数字！2.B[四个人工小岛记为A,B,C,D,对A分有一座桥相连和两座桥 是2的只有200符合，所以总共有8十8×9十9×9十1=162（个）.] 相连讨论，用“一”表示桥.①A只有一座桥相连时，有A一B一C 题点二 D,A-B-D-C,A-C-B-D,A-C-D-B,A-D-B-C,A- 典例解析(1)第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选1 D一C-B,共6种：②A有两座桥相连时，有C-A一B一D,D-A 法，选法有1×2×10=20（种），第二类：甲同学选择马，乙有3种选· B-C,D-A-C-B,B-A-C-D,B-A-D-C,C-A-D-B, 法，丙有10种选法，选法有1×3×10=30（种），所以共有20十30=1 共6种.故共有6十6=12种.] 50种选法. :3.C[若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙*甲丙→ (2)不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第 甲，甲→乙>丙→乙→甲3种不同的传法：同理，甲先传给丙也有3 二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有2×！ 种不同的传法，故共有3十3=6（种）不同的传法门 1×1=2(种). :4.72[先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了 答案(1)B(2)2 让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样 延伸探究解不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁 的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3=72（种）.] 在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有了一种选5，C[第一种情况，点A,B,C,D在平面a的同侧.当平面α∥平面 择，所以不同取法共有3×3X1X1=9(种)， BCD时，A与平面a的距离是a与平面BCD的距离的2倍.这种情 对点训练 况下有4个平面.第二种情况，A,B,C,D中有3个点在平面α的一 1.BD[由于生物在B层班级，所以只能选第2或第3节，故分两类：！ 若生物选第2节，则地理可安排在第1,3节，有2种选法，其他任意！ 侧，第4个点在平面。的另一侧，这时又有两种情形：一种情形是平 面a与平面BCD平行，且A与平面a的距离是平面a与平面BCD 选即可，故有2×2=4种（此种情况自习课可出现在第1,3,4节中 距离的2倍.这时有4个平面 154