课时分层检测(21)函数的最大(小)值-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（二十一） 函数的最大（小）值 4…0 基础达标练0 2十1x∈[-2,2]的最大值是 7.函数f(x)=4x ,最小值是 1.函数f(x)=x3-12.x在区间[-3,1]上的最 8.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小 小值是 ( 值，则实数a的取值范围为 A.-10 B.-11 C.-15 D.-18 9.已知函数f(x)=2x3-6x2十a在[-2,2]上 2.函数f(x)=工十的最大值为 ( 有最小值-37，求a的值及f(x)在[-2,2] A.a B.(a-1)e 上的最大值. C.ela D.e4-1 3.若函数f(.x)=一x3+m.x2+1(m≠0)在区 间(0,2)内的极大值为最大值，则m的取值 范围是 ( A.(0,3) B.(-3,0) C.(-∞，-3) D.(3,十∞) 4.函数f(x)=3.x-x3在[0，m]上的最大值为 2,最小值为0，则实数m的取值范围为 ( A.[1,3] B.[1,+∞) C.(1,W3] D.(1,+∞) 5.已知函数f(x)=,x(a>0)在[1，十o∞) x2+a 上的最大值为 ,则a的值为 A.√5-1 B c D.√3+1 6.函数y=x+2cosx在区间[0,2]上的最大 值是 113 班级 姓名 得分 10.设函数f(x)=ex- 3.设/)=2-分2-2x+5,当xe[-1.2] (1)若k=0,求f(x)的最小值； 时，f(x)<m恒成立，则实数m的取值范围 (2)若k=1,讨论函数f(x)的单调性. 是 : 4.已知函数fx)-22+lnx (1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值、最 小值； (2)求证：在区间(1，十∞)上，函数f(x)的图 象在函数)=子的图象的下方. …0能力提升练0 In x,x>0, 1.已知函数f(x) 若]xo∈R使 kx,x≤0. 得f(一xo)=(xo)成立，则实数k的取值范 围是 A.(-∞，1] B(] C.[-1,+∞) D【&t∞ 2.已知e是自然对数的底数，若函数f(x)= 创新拓展练 0 e一x十a的图象始终在x轴的上方，则实数 设函数f(x)=ax3一3x+1(a>1),若对于 a的取值范围是 任意的x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立，则 A.(-1,十∞) B.(-∞，-1) 实数a的值为 C.[-1,+∞) D.(-o∞，-1] 114当f(x)>0时，解得x<-2或x>-1: 调递减.又f(1)=1-12=一11，f(-3)=一27十36=9，所以函教 当f(x)<0时，解得一2<x<一1 f(x)=x3-12x在区间[-3,1]上的最小值是f(1)=一11.] ∴.f(x)的单调递增区间为（一∞，一2），（一1，十∞）： 单调递减区间为（一2，一1， 2.D[f(x)=十4，则f(x)=1x4 e e (2)令f(x)=(2x十a)e+(x2+ax+a)e'=[x2+(2+a)x+2a]e: 所以当x1一a时，f'(x)>0, =(x十a)(x十2)e=0,解得x=-a或x=-2. 当x>1一a时，f(x)<0, a<2,. -a>-2. 所以f(x)在（一∞，1一a)上单调递增，在(1一a,十∞)上单调递减， 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表 所以f(x)mx=f(1一a)=e1,] x 一2 (-2,一a) (-a,十o∞) 3.A[由题得f(x)=-3x2十2mx,令f(x)=0,得x=2严或x=0. 3 f'(x) 0 0 十 因为fx)在区间(0,2)上的极大值为最大值，所以0<2m<2,所以 3 f(z) 单调递增 极大值 单调递减极小值 单调递增 0<m<3.] 4.A[f(x)=3x-x3, 由表可知f(x)短大住=f(-2)=(4一2a十a)e2=3, ∴.f(x)=3-3x2=3(1十x)(1-x), 解得a=4-3e2. 令f(x)=0,则x=1或x=一1（舍去）， .存在实数a<2,使得f(x)的极大值为3，此时a=4一3e2 当0≤x<1时，f'(x)>0,f(x)单调递增：当 创新拓展练 x>1时，f(x)<0,f(x)单调递减. 1.AC[由题意得，f(x)的定义域为(0，十∞)，且f(x)=e一 上 ,函数f(x)在[0，]上的最大值为2，最小 M)=f).则N()=e+之>0，A)在(0，十∞)上单洞运 值为0，且f(0)=f(5)=0,f(1)=2,如图 所示， 增，又（合）=e-2=E-2<0,h(1)=e-1>0h(x)存在唯 .1m3.] a-x2 -零点，设为，当0<<时，fx<0,fe)单调递减，当≥5.A[由f)=千a得f()=+a,当a>1时，若x>a x。时，f'(x)>0,f(x)单调递增，f(x)有唯一极小值点x0,故选项 则f'(x)<0,f(x)单调递减，若1<x<√a,则f(x)>0,f(x)单调递 A正确：令f(x)=e6一1=0，得e。=1,两边同时取对数可得 1 !增，故当三a时，函数f)有装大植2友号，得a一子1，不符 zo=In =-l血0:f()=-lhz0-2= 十x0-2≥ 合题意.当a=1时，函数f(x)在[1，十∞)上单调递减，最大值为 1 20 ,-2=0(当且仅当=1时等号成立)，又号<。<1， f(1)= ,不符合题意.当0<a<1时，函数f(x)在[1，十o∞)上单 f(xo)>0,即[f(x)]m>0,∴f(x)无零点，故选项B错误：由！ f)=+0-2,号<<1，可设g)=士十x-2别gx)= 明睡减，光时装大值方1)=品，得a=万-1，特合题高，故 a的值为√3-1.故选A.] 宁+当号1时，008)在（合上单润递效6，吾+5[由=1-2n=0,站合x[0,受]得=吾此秋 g1)<g()<(合）即0<f号故选项C正确：选项D:0,吾，受地的画数值，得当=吾时画数取释最大值，即” 错误.] 2.解易知f(zx)=3x2-3a, 后合+20s若-若+5.] 若选条件①： 9释8士 7.2 -2[f（x)=4x+)4,2z=-4+1)xD,令 (x2+1)2 (x2+1)2 所以f(x)=3x2-3, 令f(x)>0,得x<-1或x>1, f()=0,解得x=士1又f(-2)=-号f(-1)=-2,f(1)=2, 8 令f(x)<0,得-1<x<1. 所以f(x)的单调递减区间为（一1,1），单调递增区间为（一∞，一1） f2)=号，所以通教f)的最大位是2，最小值是-2.] 和(1，十∞). 18.(0,1)[,f(x)=3.z2-3a, 若选条件®：由伏》”。得8 且f(x)=0有解，∴.a=x2. 1b=4. 又x∈(0,1)，.0a1.] 所以f(x)=3x2-3, 9.解 f(x)=6x2-12x=6x(x-2). 令f(x)>0,得x<-1或x>1, 令f(x)=0,得x=0或x=2, 令f(x)<0,得一1x1. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表 所以f(x)的单调递减区间为（一1,1），单调递增区间为(-∞，一1)川 和(1，十∞). (-2,0) 0 (0,2) 2 若选条件③： f(z) + 0 令f(x)=3x2-3a=0,得x=士√a, 0 则f(x),f(x)随x的变化情况如表所示. f(x) 40十a 单调递增极大值α单调递减 -8+a (-∞，-√a) √a(-√a,wa) a (Wa,十o∞) 所以当x=一2时，f(x）mm=一40十a=一37，得a=3.当x=0时， f(z) 0 0 f(x)的最大值为3. :10.解(1)若k=0,则f(x)=ex,f(x)=e-1: f(x)单调递增 极大值单调递减极小值单调递增 当x∈（一∞，0）时，f(x)0:当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,所以 所以{a)3-3a(-a)+6=6. f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十o∞)上单调递增，故f(x)的最 小值为f(0)=1. {a)3-3ava+b=2, 解得∫a=1, (2)若k=1,则fx)=e-合2-x,定义域为R 1b=4, 所以f(x)=e-x-1,令g(x)=e一x一1， 所以f(x)=3x2-3, 令f(x)>0,得x<-1或x>1, 则g(x)=e-1, 令f(x)0,得一1x1, 由g'(x)≥0，得x≥0，所以g(x)在[0，十∞)上单调递增， 所以f(x)的单调递减区间为（一1,1），单调递增区间为（一∞，一1） 由g(x)<0,得x<0,所以g(x)在(-∞，0)上单调递减， 和(1，十∞). 所以g(x)mim=g(0)=0,即f'(x)mim=0,故f(x)≥0.所以f(x)在 R上单调递增. 课时分层检测（二十一） :能力提升练 基础达标练 1.D[由题意可得，存在实数x0≠0，使得f(一x0)=f(x0)成立， 1.B[因为f(x)=3x2-12=3(x十2)(x-2),所以当x∈[-3，-2) 时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(-2,1]时，f(x)<0,f(x)单 假设x0>0,则一x6<0, 所以有一kx。=lnxo, 180 则k=一lnx6 所以函数的极大值为f(一2)=0，极小值为f(2)=一32， Jo 当x→一∞时，f(x)<0,当x→十∞时，f(x)>0 令h(x)=- 所以函数的零点个数为2.] 则h'(x)=l血x-1 3.D[由fx)=兰(x>0),则f(x)=1n兰，令f)>0,解得 2 0<x<e,令f(x)<0,解得x>e,所以函效f(x)的单调递增区间为 令h'(x)>0,即Inx>1,解得x>e, (0,e),单调递减区间为(e,十o∞)，故当x=e时，f(x)mx=f(e),而 令h'(x)<0,即lnx<1,解得0<x<e, 则h(x)在(0，e)上单调递减，在(e,十∞)上单调递增， f(2)=1n2_ln8 6,f(3)—口3=D2,所以f(e)>f(3)f(2),7 3 所以h(x)≥h(x)mn=h(e)=-lhe=- !4.D[设毛利涧为L(P). e e. 则L(P)=PQ-20Q=(8300-170P-P2)(P-20) 所以≥] =-P3-150P2+11700P-166000. 2.A[因为函数f(x)=e一x十a的图象始终在x轴的上方，所以 所以L'(P)=-3P2-300P+11700. f(z)=e-x十a>0对-切实数x恒成立，即f(x)m>0,f(x)= 令L'(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去). ex-1,令f(x)=0,解得x=0,当x<0时，f(x)<0,则f(x)在 此时，L(30)=23000. (一∞，0)上单调递减：当x>0时，f'(x)>0,则f(x)在(0，十∞)上 根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元 单调递增，所以当x=0时，f(x)取得极小值即最小值，最小值为： 时，最大毛利润为23000元，] f(0)=1十a,所以1十a>0,即a>-1,故实数a的取值范围为(-1,5.6[设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3十18x2 +∞).] (x>0),.y=-6x2+36x=-6.x(x-6).令y'=0,解得x=0或 3.(7,十∞)[f(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x十2)，令f(x)=0,得：x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.] x=1或x=一3 2 .(0,g）[令g(x)=xe, f=1-2+5=（号）=号++5=5器 2 则g'(x)=2.xe十x2e=xe(x十2). 令g(x)=0,得x=0或一2， 又f-1)=-1-分+2+5=号f2)=8-2-4+5=7。 1 11 ∴g(x)在（一2,0）上单调递减，在(-∞，一2)，(0，十∞)上单调递增. 所以f(x) =f(2)=7,所以m>7.] 4.解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，十o∞)， g6a=-2》= 有f(x)=x+1 g(x)框小准=g(0)=0, 又f(x)=xe一a恰有三个零点。 当x∈[1，e]时，f(x)>0, fx)在区间[1，e]上为增函数， ∴f0m=fe)=2e+1,fx)m=f)=之. 7.4[若x=0,则不论a取何值，f(x)≥0显然成立； 2)证明设F)=f)Re)=宁2+hx号， 当>0即x(0,1]时，f(x)=ar3-3x+1≥0可化为a≥是 则F(x)=x+1-2x2=1-x)(1十x+2x2) 子成)=是立，时)=2，所以g)在区同 x 当x∈(1，+o∞)时，F()<0,F(x)在(1，十o∞)上单调递减，且FI)= (0,宁]小上羊洞递培，在区问[侵]小上单洞递减，因光g) 1∠0 6 g(分）=4，从而a≥4：当x<0即x∈[-1.0)时f(x)=a 故当x∈(1，十o∞)时，F(x)<0, +h<号 3+1≥0可化为a≤号一子R在区间[-一1,0上单调递增，周比 在区间(1，十o∞)上，函数fx)的图象在函数g)=号x的图象 g(x)mim=g(-1)=4,从而a≤4.综上，a=4.] .解设长方体的究为xm,则长为2xm,高为h=1812=4,5 的下方 创新拓展练 4[由题意得，f(x)=3ax2-3,当a>1时，令f(x)=3ax-3=0, 3x(<x<2) 解得=土区，士叵∈[-1,1门. 所以长方体的体积V(x)=2x2(4.5一3x)=9x2 6x(0<<2) ①当-1≤<-正时，f(x)>0,f()单调递增： 从而V'(x)=18x-18.x2=18.x(1x) @当一巨<<时，f(<0f)单调递减 令V(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1, 3 当0<x1时，V'(x)>0,当1<x<之时，V'()<0. ③当互<≤1时，f(x)>0,f(x)单调递增。 故在x=1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最 大值 所以只常f(慢)户0，且(-1)≥0即可 从而最大体积Vmm=V(1)=9X]2-6×13=3(m2),此时长方体的 长为2m,宽为1m,高为1.5m, ）≥0，得a· a -3.叵+1≥0，解得≥4， 9.解(1)由已知，f(x)=ae+b,则 由f(一1)≥0，可得a4,综上可得a=4.] 5f(0)=ae°+b=0, f(0)=ae°十b×0十1=2. 课时分层检测（二十二） 经检验，a-1,b=-1符合题意， 基础达标练 (2)证明由(1)可知，f(x)=e一x十1. 1.D[根据导函数图象知，2是函数的 要证f(x)>ex-x,只需证er-x十1>ex-x,即e-e.x十1>0. 极小值点，函数y=f(x)的大致图象 如图所示 设g(x)=e-ex十l,则g'(x)=er-e, 由于f(0)=f(3)=2,1<a<2,因此 2 y=f(x) 令g(x)=0,解得x=1, y=f(x)一a有4个零点.] 当x变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表 2.C[由题意得f(x)=3x2-12 x (-0∞，1) (1,+∞) 3(x十2)(x-2), 5-4-3-2-1012345x 令f(x)>0,得x>2或x<-2: g'(x) 0 令f(x)0,得一2x2, 3 所以函数的单调递增区间为（一©∞， g(z) 单调递减 1 单调递增 2),(2,十∞)，单调递减区问为 所以当x=1时，g(x)有最小值g(1)=e1一e×1十1=1>0. (-2,2), 故f(x)>ex-x成立. 181