课时分层检测(19)函数单调性的综合问题-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（十九） 函数单调性的综合问题 :8.已知函数f(x)=x一sinx,则不等式f(x十1) 0 基础达标练0… +f(2-2x)>0的解集是 1.若函数f(x)=a.x3-x在R上为减函数，则9.求函数f(x)=(a十1)lnx十ax2十1的单调 区间. A.a≤0 B.a<1 C.a<2 1 D.a≤3 2.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上 是单调函数，则实数a的取值范围是( A.(-∞，-√3]U[√5，+∞) B.[-5,3] C.(-∞，-√3)U(5,十∞) D.(-√3，√3) 3.已知函数f(x)=x3一12x,若f(x)在区间 (2,m十1)内单调递减，则实数m的取值范 围是 A.[-1,1] B.(-1,1] C.(-1,1) D.[-1,1) 10.设f(x)=一 4.(多选)已知函数f(x)的导函数为f(x),且 3+22+2a.若f)在 (x)<f(x),对任意的x∈R恒成立，则 (停十∞)上存在单调递增区间，求a的取 值范围 A.f(ln2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0) C.f(ln2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0) 5.已知函数f(.x)=x2-9lnx十3.x在其定义域 内的子区间(m一1，m十1)内不单调，则实数 m的取值范围是 ( A侵别 . c(,别 n 6.若函数f(x)=(x2十m.x)ex的单调递减区 间是[一号小则实数m的值为 7.若函数y=- +bx有三个单调区间，则 b的取值范围是 109 班级 姓名 得分 0 能力提升练 0 0 创新拓展练 0 1.若函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个 设函数f(x)=xex(k≠0)」 子区间(k一1，k十1)上不是单调函数，则实 (1)求函数f(x)的单调区间； 数的取值范围是 ( ) (2)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增， A[-2别 求的取值范围 c[,2) 1别 2.(多选)已知函数f(x)=xln(1+x),则 ( A.f(x)在(0，十∞)上单调递增 B.f(x)有两个零点 C.曲线y=f(.x)在点 -2(2)处切 线的斜率为-1一ln2 D.f(x)是偶函数 3.已知函数f(x)=a.x-lnx,若f(x)>1在区 间(1，十∞)上恒成立，则实数a的取值范围 为 4.已知函数f(x)=x3十ax2+x十1，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)设函数f()在区间(-号，)内是减 函数，求a的取值范围. 1104.解(1)f()=1 一x十12十x十1，x∈(0，十∞). f(x)是增函数，则不等式f(x十1)十f(2-2x)>0等价于f(x+1)> f(2-2x)=f(2x一2)，即x十1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为 由f(x)>0,得>0， 解得0<<1十5 (-∞，3).] 0-x2+x+1>0, 2 19.解f(x)的定义城为(0，十oo)」 故fx)的单调递增区间是(0,1+5） : f(=a+1+2ax 2ax2十a+1 2 (2)证明：令F(x)=f（x)-(x-1)x∈(0，十o∞). 当a≥0时，f(x)>0,故f(x)在(0，十o∞)上单调递增. 当a一1时，f'(x)<0,故f(x)在(0，十o∞)上单调递减. 则F(x)=1-x 当一1<a<0时，令f'(x)=0, 当x∈(1，十∞)时，F‘(x)<0,所以F(x)在(1，十∞)上单调递减， a1（舍去）， 故当x1时，F(x)<F(1)=0,即当x>1时，f(x)x一1. 解释密 创新拓展练 解f'(x)=3ax2+2bx+c, 则当r(√密)时，f>0: 因为f(x)在（一∞，一1）上是增函数，在（一1,0）上是减函数， 所以f(-1)=3a一2b十c=0. ① 要+）时f<0 由f(x)的导函数是偶函数，得b=0, ② 又f(x)在x=0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以！ 故f()的单调通增区间为(0，√云) ,单调递减区间为 f'(0)=c=-1, ③ 由①②③，得a=3b=0,c=-1, (要+∞） 即=分+8 0.解f)=-2+x+2a=-（x-）'++2a 课时分层检测（十九） 当z[号+）时，f)的最大位为f(学)）=号+2a,画数 基础达标练 1.A[,f'(x)=3ax2-1≤0恒成立 有单调递增区同，即在（号，十∞）上，导画数大于零有解，令号+ a0.] 2.B[由题意知，f'(x)=-3x2十2a.x-1,因为y=f(x)在R上是单1 2a>0,得a>-9, 调函数，且y=f(x)的图象开口向下，所以f(x)≤0在R上恒成} 立，故△=4a2-12≤0，即-√5≤a≤√5.故实数a的取值范围是！ 所以当a（-号，+∞)时，f(x)在（号，十∞）上存在单洞递增 区间. [-√5,5].] !能力提升练 3.D[f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),由f(x)<0,得-2<x< 2m≥-2， .C[由题意，得函数f()的定义城为(0，十∞)f()=4r子 2,由题意(2m,m十1)二(-2,2)，所以 m十1≤2，解得-1≤m< 2mm十1， 令f了x)=0,解得x=号或x=一名（舍去） 1.故选D.] 4.AB[令g(x)=f 当0心<号时fx)<0.函数f)在区同(（0，宁)上单润递减： e 则g(x=f)-f卫<0， 当>子时，f)>0,函数fx)在区间（合，十∞）上单调递增. 因为函数f(x)在区间(k-1,k十1)上不是单调函数， 故g(x)在R上单调递减，而ln2>0,2>0, 故g(n2)<g(0),g(2)<g(0), 所以-1<<+1.解得<kK 即fn22<f0).f2fo」 又k-1≥0，所以1≤k<号故选C] 2 e 1 所以f(ln2)<2f(0),f(2)<ef(0).] 2,AC[对于A,周为当x(0,十∞)时，f(x)=ln(x+1)十千> 5.D[f(x)=2x-9+3(x>0. : 0,f(x)单调递增，故A正确：对于B,令xn(x十1)=0，解得x=0, 9+3=0, 令f(x)=0,即2z- 故B错误：时于C国为f)=n红+D十币所以f(号)厂 解得x=受成x=一3（合去 2 -1一1n2,故C正确：对于D,f(x)的定义城为(-1， 所以当x∈(0，受)时，f(x)<0,f(x)单调递减：当x∈ 2 十)，不关于原点对称，故D错误.] (受十）时.f)>0f)单调运增 3.[1,十oo)[由已知a>1中h兰在区间(1，十∞)上恒成立，设g()= x 因为f(x)在区间(m一1，m十1)上不单调， 所以m-1<号<m十1，解得号<m<号 1+血工，所以g=血<0(x>1),所以gx)=士l血兰在区间 x 因为(m一1，m十1)是函数f(x)定义城内的子区间，所以m一1≥0， (1,十∞)上单调递减.所以g(x)<g(1).因为g(1)=1,所以1+l血 即m≥1. 1在区间(1，十∞)上恒成立，所以a≥1.] 所以实数m的取值范国是[1，受）故选D.] 4.解(1)f(x)=3x2+2ax+1,△=4(a2-3). 6.-号[f)=[2+(m+2)z+me. 当△>0，即a>5或a<-√5时， 令f(x)>0,即3x2+2ax+1>0, 图为f化)的单朔减区间是[子1小 解得>二a+公色或<aa3, 3 所以f(x)=0的两个根分别为x1=一立x2=1, 令f(x)<0,即3x2+2ax十1<0， 即（号）=0解得m=一】 解得二ay公3<<a十a3 3 3 f(1)=0, 故函数f(x)的单调递增区间是 7.0,十∞)[若函教y=号+b6x有三个单调区间，则y=一4 -oo,a va2 3) (a+a3,+∞） 3 十b=0有两个不相等的实数根，所以b>0.] 单调递减区问是 8.(-o∞，3)[因为f(x)=x-nx,所以f-x)=x十sinx=一f（x), -a-a2-3 a十√a-3 即函数f(x)为奇函数，函数的导数f(x)=1一c0sx≥0，则函数： 3 3 178 当△<0，即-√5<a<5时，对所有的x∈R都有f(x)>0,故f(x)(2)由已知可得f(x)=(x-t2十3)(x-t)(x-t2-3)=(x一t2)3- 在R上单调递增. 9(x-t2)=x3-3t2.x2+(36-9)x-t8+9t2. 当△=0，即a=士5时，f(-号）=0，且对所有的x≠-号都有 故f(x)=3.x2-6t2x十316-9. 令f(.x)=0,解得x=t2一√3或x=t2十√5. f'(x)>0,故f(x)在R上单调递增. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表 2 (2)若函数f)在区问（号，一号）内是减函数， (-0∞， t2-3 (12-√5， t2+√3 (t2十√3 2 (f -3 ≤0， 12-√3) t2+√5) 十∞) 只需 解得a≥2， f f'(.x) × 0 0 故a的取值范围是[2，十o∞). f(x) 单调递增极大值 单调递减极小值单调递增 创新拓展练 解1)由f6)=1+xe=0,得=士k≠0. 所以函数f(x)的极大值为f(t2-√3)=（一√5）一9X(一√5)=6√5， 函数f(x)的极小值为f(t2十√5)=（√5）3-9×5=-6√5. 若>0.则当(-∞，太)时，f)<0,函教f)单朔递减10.解f)8x21 当（冬，十∞）时，f>0,品我x)单调递增， 令f(x)=0,得x= 号或x=1, 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： 若0，翻当∈(，)时f>0.通教)单调运培 1 (1,十∞) 当z∈(-方，+∞）时，f(x)0,通数fx)单调递减。 踪上，当>0时，通数f(x)的单洞道减区间为(-∞，一太）单调 f'(x) 0 0 十 递增区间为（冬，十∞）：当K0时，函数f(x)的单调递减区同 f(z) 极大值 → 极小值 为（太，十∞）单洞递增区间为(-∞，）月 f(x)的极大值是f(号)-品+a, 极小值是f(1)=a一1. (2)由(1)知，若k>0,则当且仅当一 1≤-1，即0<≤1时，函数 (2)函数f(.x)=x3-x2-x十a=(x-1)2(x十1)十a-1, 由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0, f(x)在区间（一1,1）内单调递增：若k一0，则当且仅当 >≥1，即 x取足够小的负数时，有f(x)<0, 一1≤k<0时，函教f(.x)在区间(-1,1)内单调递增 曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点。 综上可知，若函数f(x)在区间（一1,1）内单调递增，则k的取值范围： 是[-1,0)U(0,1]. )知太度=f(子）=贵+a, 课时分层检测（二十） f(x)粒小位=f(1)=a一1， 曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点， 基础达标练 f(x)粒大推<0或f(x)粒小值>0， 1.BC[对于Ay=3a2≥0，所以y=x3单调递增，无极值； 即号+a<0或a-1S0, 对于C,根据图象，在(0，十∞)上单调递增，在（一∞，0）上单调递减，！ 所以C符合； a<- 易成a>1 对于D,y=2单调递增，无极值.] 2.C[f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f(x)的符号由负变 :当a∈(，易)U1,十o)时，曲线y=)与x轴仅有- 正，则f(x)是极小值.由图象易知有两个极大值点，两个极小 个交点 值点.] :能力提升练 3.C[因为f(x)=x3-3x2-9x,所以f(x)=3x2-6x-9=3(x2-11.C[函数f(x)=x十2cosx的导数为f'(x)=1-2sinx,令f'(x)= 2z3.令f)=0,得x=3或x=1当x∈(-2,2)时f()在：0，得snx= (一2，一1)内是增函数，在（一1,2）内是减函数，故f(x)在(-2,2)内！ 2,又因为x∈[0，受]所以x=后，当x∈ 有极大值f(-1)=一1一3十9=5，而无极小值，故选C.] 4.A[a,b,c,d成等比数列，∴ad=6c,又(b,c)为函数y=3x-x3的极 (0,)时，f()>0,当x∈（后，受）时，f()<0,所以画数 夫推=必退3w-0仁d-2] f(x)=x+2cos x 在[0吾)上单润递增，在（合·受]上单洞递 5.B[由y=e-2m.x,得y'=e-2m.因为函数y=e-2mx有小于 减，所以函数f(u)=x+2osx在[0，受]上的极大值点为否.] 零的校值点，所以e-2m=0有小于零的实根，即m=2e有小于2.D[f(x)=3er-2e2r-e=e(3e2r-2e-1)=e(e-1)(3er+ 零的实根，“<00<2e<号0<m<子】 1), 令f(x)=0,则e-1=0,解得x=0. 6.- 号[为fx)=+2+1， 在区间(-∞，0)上，f(x)<0,f(x)为减函数， 在区间(0，十o∞)上，f'(x)>0,f(x)为增函数， 1a+2b+1=0, 结合f(x)的图象（图略）可知， 由题意得日十4h十1=0， 若函数f(x)=er-e2r-e-a存在零点，则必有f(0)=一a-1≤ 2 0,解得a≥-1， 所以a=一 短检验，符合题意] 即a的取值范围为[一1，十o∞)，故选D.] 13.1[由题意得，m≠0，且f'(x)=3m.x2十21.x十p, 7.c[依题意f(x)=3ax2十2bx.由题图可知，当x<0时，f(x)<0,! 由题图可知，x=2是函数的极大值点，x=一1是极小值，点，即2，一1 当0<x<2时，f(x)>0,故当x=0时，函数f(x)取极小值f(0): 是f(x)=0的两个根， =c.] 8.(-2,2)[f(x)=3x2-3,令f(x)=0,得x=1或x=-1,因为当： 代o”+0 x∈(-∞，-1)时，f(x)>0,当x∈(-1,1)时，f(x)<0,当x∈ ·.p=-6m,2n=-3m, (1,十∞)时，f(x)>0,f(x)粒小准=f(1)=一2，f(x)拉大位=f(-1) ·f(0)=p=-6m,f(1)=-6m, =2,函数y=x3-3x的大致图象如图所示，所以一2<a<2.] 9.解。(1)由已知可得f(x)=x(x-1)(x十1)=x3-x,故f(x)=: f得-1] 3.x2-1.因此f(0)=0,f(0)=-1. 4.解(1)当a=1时，f(x)=(x2十x十1)e, 又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y-f(0)=:f(x)=(2x十1)e+(x2+x十1)e f'(0)(x一0)，故所求切线方程为x十y=0. =(x2+3x十2)e. 179