课时分层评价15 数学归纳法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价15　*数学归纳法

(时间：60分钟　满分：105分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

(1—9，每小题5分，共45分)

1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.4

答案：C

解析：边数最少的凸n边形是三角形.故第一步验证n＝3，故选C.

2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是(　　)

A.假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立

B.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题成立

C.假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立

D.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题成立

答案：D

解析：k为正奇数时，与k相邻的下一个正奇数为k＋2，故选D.

3.用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)

A. B.－

C.－ D.＋

答案：C

解析：因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.故选C.

4.利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　)

A.1项 B.k项

C.2k－1项 D.2k项

答案：D

解析：用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，所以由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：＋＋…＋，共(－1)－2k＋1＝2k项.故选D.

5.(多选)对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某学生使用数学归纳法证明的过程如下：

①当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立.

②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则n＝k＋1时， ＝＜＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是(　　)

A.证明过程全都正确

B.当n＝1时的验证正确

C.归纳假设正确

D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

答案：BCD

解析：n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.

6.(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞－1(n∈N*，n≥2)时，以下说法正确的是(　　)

A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立

B.“n＝k(k∈N*，k≥2)到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是

C.从“n＝k(k∈N*，k≥2)到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项

D.当n＝2时，不等式左边是

答案：CD

解析：第一步应该验证当n＝2时不等式成立，故A不正确；因为＋＋＋…＋－(＋＋＋…＋)＝＋＋…＋(k∈N*，k≥2)，所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，故B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，故C正确；当n＝2时，＝，不等式左边是，故D正确.故选CD.

7.用数学归纳法证明＋＋…＋＞－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是　　　　　　　　　　.

答案：＋＋…＋＞－

解析：从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为－，即不等式为＋＋…＋＞－.

8.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证　　　　.

答案：n＝k＋2时等式成立