课时分层评价15 数学归纳法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价15　*数学归纳法 (时间：60分钟　满分：105分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：边数最少的凸n边形是三角形.故第一步验证n＝3，故选C. 2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是(　　) A.假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立 B.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题成立 C.假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立 D.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题成立 答案：D 解析：k为正奇数时，与k相邻的下一个正奇数为k＋2，故选D. 3.用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A. B.－ C.－ D.＋ 答案：C 解析：因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.故选C. 4.利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　) A.1项 B.k项 C.2k－1项 D.2k项 答案：D 解析：用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，所以由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：＋＋…＋，共(－1)－2k＋1＝2k项.故选D. 5.(多选)对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某学生使用数学归纳法证明的过程如下： ①当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立. ②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则n＝k＋1时， ＝＜＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是(　　) A.证明过程全都正确 B.当n＝1时的验证正确 C.归纳假设正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案：BCD 解析：n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD. 6.(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞－1(n∈N*，n≥2)时，以下说法正确的是(　　) A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B.“n＝k(k∈N*，k≥2)到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C.从“n＝k(k∈N*，k≥2)到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项 D.当n＝2时，不等式左边是 答案：CD 解析：第一步应该验证当n＝2时不等式成立，故A不正确；因为＋＋＋…＋－(＋＋＋…＋)＝＋＋…＋(k∈N*，k≥2)，所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，故B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，故C正确；当n＝2时，＝，不等式左边是，故D正确.故选CD. 7.用数学归纳法证明＋＋…＋＞－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是　　　　　　　　　　. 答案：＋＋…＋＞－ 解析：从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为－，即不等式为＋＋…＋＞－. 8.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证　　　　. 答案：n＝k＋2时等式成立 解析：由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2.故还需要再证n＝k＋2时等式成立. 9.(原创题)观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋＜　　　　. 答案： 解析：由已知中的不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母值是从1开始的自然数的平方，右边分母与左边最后一项的分母的底数相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以不等式右边的第2 024项为＝，所以1＋＋＋…＋＜. 10.(13分)证明：对任意的n∈N*，不等式×××…×＞ 成立. 证明：①当n＝1时，左边＝，右边＝，因为＞，所以不等式成立. ②假设当n＝k时不等式成立，即×××…×＞成立.则当n＝k＋1时， 左边＝×××…××＞×＝ ＝ ＝ ＞， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 由①②可知，不等式恒成立. (11—13，每小题5分，共15分) 11.用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N*)能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(　　) A.5(5k－2k)＋3×2k B.(5k－2k)＋4×5k－2k C.(5－2)(5k－2k) D.2(5k－2k)－3×5k 答案：A 解析：假设当n＝k时命题成立，即5k－2k能被3整除.当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k＝5(5k－2k)＋3×2k.故选A. 12.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　) A.n＋1 B.2n C. D.n2＋n＋1 答案：C 解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域.故选C. 13.(开放题)(多选)用数学归纳法证明＞对任意n≥λ(n，λ∈N*)都成立，则以下满足条件的λ的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：CD 解析：取n＝1，则＝，＝，＞不成立；取n＝2，则＝，＝，＞不成立；取n＝3，则＝，＝，＞成立；取n＝4，则＝，＝，＞成立.猜想当n≥3时，＞(n∈N*)成立.证明：当n＝3时，＝，＝，＞成立.设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，有＞成立，则当n＝k＋1时，有＝＝＝＝，令t＝，则＝＝3－，因为t＞，故＞3－＝，因为－＝＞0，所以＞＝，所以当n＝k＋1时，不等式也成立，由数学归纳法可知＞对任意的n≥3都成立.故选CD. 14.(15分)(开放题)是否存在a，b，c使等式()2＋()2＋()2＋…＋()2＝对一切n∈N*都成立？若不存在，请说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论. 解：取n＝1，2，3可得 解得a＝，b＝，c＝. 下面用数学归纳法证明()2＋()2＋()2＋…＋()2＝＝. 即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1). ①n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以等式成立； ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立， 则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)， 所以当n＝k＋1时等式成立. 根据数学归纳法，由①②可知，当n∈N*时等式成立. 故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立. 15.(17分)已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n∈N*). (1)求a2，a3，a4的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若数列{bn}满足b1＝1，bn＝＋2bn－1(n∈N*).对任意的正整数n，是否都存在正整数m，使得am＝bn？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由. 解：(1)当n＝2时，a2＝2a1＋1＝3； 当n＝3时，a3＝2a2＋1＝7； 当n＝4时，a4＝2a3＋1＝15. (2)由数列{an}满足an＝2an－1＋1， 可得an＋1＝2(an－1＋1)， 由a1＝1，可得a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，即数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*. (3)对任意的正整数n，都存在正整数m，使得am＝bn. 由(2)可知an＝2n－1， 由bn＝＋2bn－1，可得bn＋1＝(bn－1＋1)2，则b2＋1＝(b1＋1)2＝22，b3＋1＝(b2＋1)2＝，b4＋1＝(b3＋1)2＝， 归纳得bn＋1＝(bn－1＋1)2＝， 即bn＝－1， 证明如下：①当n＝1时，b1＝－1＝1＝a1，符合题意； ②假设当n＝k(k∈N*)时，bk＝－1， 当n＝k＋1时，bk＋1＋1＝(bk＋1)2，即bk＋1＝()2－1＝－1， 所以当n＝k＋1时猜想也正确. 由①②可知bn＝－1. 又am＝2m－1，所以对任意的正整数n，都存在正整数m＝2n－1，使得am＝bn. 学科网（北京）股份有限公司 $