课时分层检测(8)等比数列的性质及应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（八） 等比数列的性质及应用 …0 基础达标练0… .已知数列a.满足a-5aa+一2n,则号 1.等比数列{an}中，若a2a6十a号=元，则a3a5 等于 等于 ( 8。商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销 售价格，即根据商品的最低销售限价α，最高 A. B. C.Z n号 销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确 2.若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1=: 定实际销售价格c=a十x(b-a).这里x被 2,则数列{log2an}是 称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x A.公差为2的等差数列 恰好使得(c一a)是(b一c)和(b一a)的等比中 B.公差为lg2的等差数列 项.据此可得，最佳乐观系数x的值等于 C.公比为2的等比数列 D.公比为lg2的等比数列 :9.某城市2015年年底人口为100万人，人均住 3.设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2，则 房面积为5米2.该城市拟自2016年年初开 2a1十2的值为 ; 始每年新建住房245万米2，到2023年年底 2a3十a4 时，人均住房面积为24米2，则该城市的人口 1 A.4 8 D.1 年平均增长率约是多少？（精确到0.001，参 4.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五 考公式(1十x)8≈1十8.x,其中0<x<1) 尺，斩本一尺重四斤：斩末一尺，重二斤，问 次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金 棰，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤； 在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次 重多少？”假设金棰由粗到细各尺重量依次： 成等比数列，则从粗端开始的第三尺重量是 ( A.2√2斤 B.22斤 C.22斤 D.3斤 5.在等比数列{an}中，a1十a2十a3十a4=5, a2a3=-3,则1+1+1+1= ( al az as as A号 c号 D.- 3 6.在等比数列{an}中，存在正整数m,有am= 3,am+5=24,则am十15= 87 班级 姓名 得分 10.已知数列{c.,其中c,=2”十3”，数列c+15.1)已知等比数列(a,}满足a1=子a:a,=4 一cn}为等比数列，求常数p. (a4-1),求a2的值； (2)已知等比数列{an}为递增数列，若a1>0, 且2(a4十a6)=5a5,求数列{am}的公比q. …0 能力提升练0 1.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为 Tm,若T13=4Tg,则a8a15等于 ) A.士2 B.±4 C.2 D.4 2.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q= …O 创新拓展练 0… 2,且a1·a2·a3·…·a30=230,那么a3· 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1 a6·ag·…·a30等于 )1 A.210 B.220 C.216 D.215 =2,S5=40. (1)求{am}的通项公式； 3.已知数列a,满足a1=741=,a∈N 1 (2)设等比数列{bn}满足b3=a3,b4=a1十 设，=”一2入，n∈N*,且数列{b,}是递增数 a5,问：b,与数列{an}的第几项相等？ an 列，则实数入的取值范围是 4.在流行病学中，基本传染数R。是指在没有 外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况： 下，一个感染者平均传染的人数.R。一般由 疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频 率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某 种传染病的基本传染数R。=4,那么感染人数： 由1个初始感染者增加到1000人大约需要 轮感染？（结果取整数，初始感染者 传染R个人为第一轮传染，这R。个人再分： 别传染给R。个人为第二轮传染…) 88能力提升练 故an=a1十(n-1)d=2n-1,bn=bg-1=2m-1. 1,ABD[对于A,a+1=anq,当q=0,an=0时，等式成立，此时不是 选条件③： 等比教列，故错误；对于B,an=a19”-1,当q=0,a1=0时，等式成立， 因为S1=9,所以3a1十3d=9, 此时不是等比效列，故错误；对于C,根据等比数列等比中项的性质 因为a1十a;=8b2,a1=b1,d=g,所以2a1十7d=8a1d, 可以判定此教列为等比数列，故正确；对于D,a+1=√aan+2,当an 联立3a1十3d=9, =0,an+1=0,an+2=0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误.] 12a1+7d=8a1d, 2.C[依题意a1=a2十a3,∴.a1=a1g十a1g2,,a1≠0，.g2十g-1=} 0.q=2 一1-5（舍去）.门 解释侣 s 3 2 d-8 3.2,4,8或8,4,2[设这三个数所成等比数列中的项依次为，a,a9 9 则a1=b1=1,d=q=2, (aq≠0). 故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1g-1=2m-1 则只十a十ag=14,只·a·a9=64, 课时分层检测（八） 基础达标练 pa(+g+日)）F14a3=64, i1.C['axas-aj-axas.i.asas-2.] 解得a=4,9=2或2. 2.A[因为数列{an}是公比为4的等比数列，且a1=2,所以an=2X 4-1=22n-1,l0gan=10g222m-1=2n-1,所以数列{log2an}是公差为 故这三个所成的等比数列为8,4,2或2,4,8.] 2的等差致列.] 4.解（1)由条件可得a,+1=2n+卫。 1 . 3.A[由题意得ay=2a1,a4=4a1,a4=8a1.所以a十a些=2a十2a 2ag十a18a1+8a1 将n=1代入得，a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2,所以a3=12. ÷ 从而b1=1,b2=2,b3=4. !4.A[依题意知，金棰由粗到细各尺重量依次成等比数列， (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 在这个等比数列{an}中，首项a1=4,则a5=2, 由条件可得号2，即6,1=26， n十1n 所以a=√a1·a=V4X2-2V瓦. 又b1=1,所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列 即从粗端开始的第三尺的重量是2√2斤，故选A.] (3)由(2)可得2=2-1，所以4，=n·2m-1 5B[十1+1十上=ta+a+a.:在等比数列(a,}中， a a2 a3 a aa aaz 5.解（1)证明因为221=2%+1，=24(m=1,2,3)是同一个常 a1a1=aa=-3,所以1十+1十L=a+a+a:十a 2“n 数，所以21,22,23，a“1依次构成等比数列. (2)不存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列.理由如下： 令a4十d-a,则a1a2,a,a1分别为a-4a,a千d,a十2da>d,>6.1536[由题意知g=a=8,am+l5=an·g5=3X8=1536.] am -2d,d≠0). 假设存在a1,d使得a1,a,a,a依次构成等比数列， 7.4[因为a,a+1=2”,所以an-1an=2-1(n≥2)，所以2=2(n≥ an- 则a=(a-d)(a十d)3,且(a十d)i=a(a十2d). 2), 令14，则1=1t)1十)，且1+)三（十21）日 数列(a}的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故1 （-号<4<1，≠0）化简得+22-2=0（(*).且f=1+1. 22=4.] -1+√5 将2=1+1代入（￥）式，得(1+1)十2(1+1)-2=2+31=1+1+8.2 [已知(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项，即(c-a)2= 3t=4十1=0，则1=一4 (b-c)(b-a),把c=a十x(b-a)代入上式，得x2(b-a)2=[b-a-x 显然1=一十不是上面方程的解，矛盾，所以猴设不成立， (b-a)](b-a),即x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2,因为b>a,所以b a≠0，所以2=1-，即x2十工-1=0，解得=二1十5或工 因此不存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列. 2 创新拓展练 5 15(含去).] 1.16 [第一列构成首项为子，公差为子的等差数列，所以a1 9.解设该城市的人口年平均增长率为x(0x<1). 十（行一）X=年又周为从第三行起每一行数成等北数列， 则该城市2015年年底到2023年年底人口致量组成等比数列，记为 {an}: 且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为号，公比为子的等 则a1=100,g=1十x, 2023年年底人口数量为a=a1g=100(1十x) 比数到，所以aa=号×（合）广=最] 2023年年底，住房总面积为100×5十8×245=2460（万米2）. 2460 2.解选条件①： 由题意得1001+=24， 因为a3=5,所以a1十2d=5, 因为a2十a5=6b2,a1=b1,d=q,所以2a1+5d=6a1d, 即(1+器 联立了a1十2d=5, (1十x)8≈1十8.x(0x1) 2a1+5d=6a1d, 41 1+8≈40x≈0.003. 解得1或 (舍去)， 该城市的人口年平均增长率约是0.3% 1d=2 d12 5 :10.解因为数列{cn+1一cn}为等比数列， 所以当n≥2时，有(cn+1一pcn)2=(cn-cm-1)(cn+2一pcn+1), 则a1=b1=1,d=q=2, 将c=2”十3”代入上式得， 故a=a1十(n-1)d=2n-1,bn=b1g-1=2”-1. [2m+1+3m+1-p(2"+3")]2=[2+3"-p(2-1+3-1)门·[2+2+ 选条件②： 3m+2-p(2+1+3+1)], 因为b2=2,a1=b1,d=g,所以a1d=2, 因为ag十a1=3b3,所以2a1十5d=3a1d2, 整理得日(2-p)(3-p)·2”·3”=0, 联立∫a1d=2, 解得p=2或p=3. 2a1+5d=3a1d, 能力提升练 解得份日一合去 1.C[T13=4T, d=2 .a1a2…aga1ea11a12a13=4a1a2…ag, 则a1=b1=1,d=q=2, .a10a11a12a13=4, 168 又a10·a13=a1·a12=ag·a15, :7.3m-1[:a7+1-6a=an+1an: .(a%·a15)2=4, .(an+1-3an)(an+1十2an)=0. .aga15=士2. ,an>0,∴.an+1=3a 又，{an}为递减数列， 又a1=2, .q>0,…aga15=2.] {am}是首项为2，公比为3的等比数列， 2.B[设A=a1a1ag·…·a28,B-a2aa8…·ag9,C-a3a6ag·… ·a30,则A,B,C成等比数列，公比为g=210,由条件得A·B·C s,=2132=30-1. 1-3 =20,.B-210,∴C=B·210=220.] .44[设S1=a1+a1+…十a97 3(0,号)[由a41=a,a∈N)可得，教列a}是首项和公 S2=a2十a5十…十a98, S3=a3十ae十…十agB, 比均为宁的等地数列，所以a.声则6=”。，2=（山一2以）2，又 由等比数列前n项和的性质可得， S2=2S1,S3=4S1,又S1十S2十S3=T49=77, 因为{bn}是递增数列，所以b+1-bn=(n十1-2入)2m+1-(n-2x)2 .7S1=77,解得S1=11. =(n十2-2x)2n>0恒成立，即n十2-2λ>0恒成立，所以2λ<(n十 从而S3=4S1=44.] 2=3.所以A<号.] 9.解当9=1时，，3a1=1一q=0, a1=0与{an}是等比数列矛盾， 4.5[由题可知，第一轮传染后，感染的人数为1十R。=5:第二轮传染 后，感染的人数为(1十R,)2=52人：第三轮传染感染的人数为(1十 1,mg 1 3 R)3=53人：故感染人数可看作首项为5，公比为5的等比数列， 又，等比数列的前n项和公式为 1-9 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮.] 5.解（1)设等比数列(a,的公比为g,由aa；=4(a1-1),得a= 4(a1-1),∴a1=2, 10.解(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为g, g2=2=8,“g=2a=a19=2 则由aa122a1,得19=2， (a1+2a,=34, 1a1g3+2a1g=34, (2)由2(a1十a6)=5a5,得2(a1十a1g)=5a1q,易知a1≠0，所以2十 2g2=5g,即(2g-1)(g-2)=0,解得9=2或9=2 解得a1=4‘则a,=a1g-1=20-3. （g=2, 因为等比数列{an}为递增数列，且a1>0,所以q>1,所以g=2. 22n-3 创新拓展练 (2)bn=a2m-1一a2m= 2 -22m-3=-22m-1, 解(1)由S,=40得S,=5a1+5X4Xd=40. 2 故载列山，是首项为一子公比为4的等比盘列 又a1=2,解得d=3. 由等差数列的通项公式an=a1十(n-1)·d得an=3n一1， (1-4) 4 (2),b3=ag=3×3-1=8, 故数列{bn}的前2n项和T2n= 1一4 b1=a1+a5=2+3×5-1=16, b_16=2. 壹1-. q-68 :能力提升练 又b=b1·g2,.8=b·22,解得b1=2, :1.ABC[设数列{an}的公比为q, ∴…bn=b1·g-1=2…2m-1=2", !当a4>0时，a2023=a392020>0,A正确： .b=2=128. 当a1>0时，a2022=a1·g2018>0,B正确： 当b=an=3n-1,即128=3n-1时，n=43. 故b,与数列{an}的第43项相等. 又当q≠1时，S2023= 1(1-g023) 1-g 课时分层检测（九） 当90时，1-9>0,1-g2023>0, 基础达标练 .S2023>0, 1.D[s-1]=)”-⊥. 当0<q<1时，1-g>0,1-g028>0, 1-(1) 2 ∴.S2023>0, 2.C[ag=3S2十2，a1=3S4十2，∴.a1-a=3(S4-S2)=3aa,即： 当g>1时，1-q<0,1-g202<0, a=aig号=4] .S2023>0. 当q=1时，S2023=2023a1>0,故C正确，D不正确.] 3.C[由题设知S,=a1十a2十a4=15,又a3=5,故a1十a2=10,2.A[由题意，可得小球10次着地共经过的路程为100十100十50十 1 a11十9)=10，而a19=5,即1十g=2g,解得9=-7或9=1. …+100× (合)=1+10[++（）+…+（合）] 故选C.] 4.ABC[由8a2+a5=0得8a2十a2g=0, a2≠0，.q3=-8,.g=-2. 100+100× =30-200×(3)）'≈300米.] A中2-=4： 12 a1(1-g) 3. 2 [当g=1时，Sn=na1,S3十S6=3a1+6a1=9a1=-S≠2Sg: Ss 1-91-g511 B中·3a0gFg 3 当g≠1时，0）+02）=2×0，得2-g-g 1一9 1-9 1-9 1-9 a1(1-g) 2-2g,…2g-g-9=0,解得g=-之或g=1(合去)或d=0 C中，」 19 (舍去)，g= n中 1-q -与n有关，不确定.故选ABC.] 4.解(1)证明2S=-an十，当n≥2时，2Sn-1=一a,-1十n-1,两 5.B[由等比数列的性质，得S,S6-S,S。一S仍成等比数列，于 式相减，得2an=一an十a-1十1，即am=3a-1十3·a-立= 是，由5=8S可推出S-5=45S=7S景-子] 吉(01号)数列{a。}为等比教列。 6.30[由题设可得a,=2”,故0=2(n≥2)，故{a,}为等比数列，其(2)由2S1=-a1十1，得a1=子，由(1)知，数列{0，}是以 an-1 首项为2，公比为2故5，-202)=30.] 为首项，号为公北的等北教列.“0，子=一合（行） 1 1-2 6 169