课时分层检测(6)等差数列的前n项和的应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

课时分层检测（五） :4.解(1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0. 基础达标练 ,ag+a1=a2十a5=22,又a3a1=117, 1.D设数列a,的公差为d,剥S=分+”4，所以S=2+ ∴a3a1是方程x2-22x十117=0的两个根 2 又公差d0,∴.ag<a1,.a3=9,a1=13. 6d=20, 81十2d0、∴{aa,=4m3m∈N 解得d=3,所以S6=3十15d=48.] {a1+3d=13,1 2.B[周为S,=27,所以96a十a)_92a=27,所以9a,=27,则 (2)由(1)知，5=nX1+n,卫×4=2m2-n, 2 2 2 a5=3,故选B.] Sn2nn 3.B[设等差数列{an}的公差为d,a1=1.因为前10项的和等于前51 b,=n十c-n+c 项的和，且am十a=0,则10十45d-5十10d,2+(m十5)d=0,解得： 15 m=9.1 4.A[由题意知，a1十a1>0,a2十a11=a1十a12<0,得S11=! :{bn}是等差数列，2b=b1十b, 1(a,+a>0,5212a,+a42<0.故选A] 2 2 六2c2+c=0c=-2(c=0舍去). 5.B[由题意知a1十a2十a十a1=124, 经检验，c=一 an十am-1十am-2+am-3=156, 之符合题意，∴c=- .4(a1十an）=280, 5.解设数列{a}的公差为d,依题意得2√S=√S十√S ∴.a1十an=70. .2√2a1+d=√a1+√3a1+3d, 又8.aa-号70=210n=6.] 把a1=1代入求得d=2, 2 .am=1十(n-1)X2=2n-1, 6.6[a3十a5=2a1,.a1=0.a1=6,a1=a1十3d,.d=-2,: ∴S.=6a1+6X(5D4=6×630=6.] S.=n+"2=, 2 2 ,[设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由6S5一5S1=5,得1 :S0=n+10 (2n-1) 3a+3d)=1,所以a1=子] (+)）<121 8.+[s4=n+1a,+a±里，5%-nata 2 2 :S+的最大值是121. a1十a2n+t=ag十aa5产=，门 创新拓展练 9.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1十(n-1)d. 11.4(n十1)22n2+6n[令n=1,得/a1=4,故a1=16. 由a1=1,a3=一3，可得1十2d=-3,解得d=2. 当n≥2时，√a+√a2+…十√an-i=(n-1)2+3(n-1). 从而am=1十(n-1)X(-2)=3-2n. 与已知式相减，得√an=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n十2. (2)由(1)可知a,=3-2m,所以S,=n1+(8-2m] .am=4(n十1)2， 2 又，n=1时，a1满足上式， =2n-n2. .an=4(n十1)2(n∈N"). 由S4=-35,可得2k一k2=-35,即k2-2k-35=0, +7=4n十4， n 解得k=7或k=一5.又k∈N“,故k=7. 10.解法一设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, ,S10=100,S100=10, ÷2+号十…+气8十+0 n+1 2 （10a1+1019-Da=100, =2n2十6n.] 2 2.3m2-2n[设bn=2n-1,cn=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,得 100a1+100100-D4=10, 2 n=3m,1-3m,3+2_-3m,卫+1，于是m-1=26,k∈N,所以 2 2 2 1099 (a1=100, m=2k十1，k∈N,则ak=3(2k十1)-2=6k+1,k∈N,得am=6n-5, 解得 11 n∈N,故S,=1+6”5Xn=3m2-2m.] d=-50 2 ∴S1o=110a1+110110-1Dd 课时分层检测（六） 2 1基础达标练 =110x182+010×() 1.D[:an=26-2n,…an-am-1=-2, 100 .数列{an}为等差数列. =-110. 又a1=24,d=-2, 法二 S10,S20-S10,S0-S20,…,S100-S0,S110-S100,…成等 差数列， S=2m+21×(-2)=-+25m=-(（口2)+5 2 设公差为d, : :n∈N*,.当n=12或13时，Sn最大.] 该教列的前10项和为10X100+10X94=510=10, 2 2.A[由数列{an}为等差数列，且a1<a2<0,得公差d=a2-a1>0, 解得d=-22, 故数列{an}为递增数列，且a1<0,所以S,有最小值，无最大值.] ∴前1项和S1o=11×100+11X10×(一2)=-110. 13.AB[,S>S1,.a70,,S7>S5,a6十a7>0,∴.a6>0,.d 2 0,A正确；又S1=号(a1十am)=11a>0,B正确：S=号(a1+ 法三直桃利用性度S=S。AS.m中)，可得S a12)=6(a6十a?)>0,C不正确：{Sn}中的最大项为S6,D不正确.故 -110. 选A、B.] 1.B[由题意及等差教列的性质可得4(a1十a,)=20十60=80,4.D国为等差数列的前n项和S。是关于n的二次函数， 能力提升练 a1十a,=20.:前n项之和是100=na+a,解得n=10,故 所以由二次函数的对称性及S2014=S2021,S=S212, 2 可得2014+2021_2012+k 2 2 选B.] 2.35[设对324的18项划分中最小数为a1,最大数为a18, 解得k=2023.] 15.A[由题意，可知良马第n日行程记为am,则数列{an}是首项为97， (a18=a1十(18-1)×2， 公差为15的等差数列， 则由 【8a+a四2二324，解得1、 2 (a18=35. 驽马第n日行程记为bn,则数列{bn}是首项为92，公差为一1的等差 数列， 3.-3[因为a,=2m+3,所以a1=5,5,=5+2)+3)n=m2十4m,与 则an=97+15(n-1)=15n十82，b,=92-(n-1)=93-2. 2 Sn=an2十bn十c比较，得a=1,b=4,c=0,所以a-b十c=-3.] 因为数列(an}的前n项和为”(97十15n十82)=n(179+15n 2 2 166 数列(b,}的前n项和为n(92十93m2-n(185-2 若选②：因为an+1=an十n-8,所以an+1一a,=n一8， 2 所以a2一a1= -7,a3-ag=-6,…,an-an-1=n-9, :.n179+15m+n185-m=840. 以上(n一1)个等式等号两边分别相加得 2 (-7+n-9)(n-1) 整理得14n2十364n-1680=0, an-a= 即n2+26n-120=0, 解得n=4(n=-30舍去)，即4日相逢.] =2-17n+16 2 6.8[因为数列{an}是等差数列，且a1十as十ag=3ag>0,所以as>0.! 又a?十a1o=a%十ag<0,所以a<0.所以当n=8时，其前n项和 因为a1=9,所以a,=17n十34(n≥2). 2 最大，门 又a1=9也满足上式， ,S5「·.·∫a1十a?一a5十a0.了a5。”.Sn的最大值为S5.] a50, 所以a,=”-17n+34 2 8.5或6[d<0,ag1=lagl,.a3>0,ag<0且a3十ag=0..ag=0. ∴.a1>a2>…>a5>0,a6=0,0>a>ag>…,.当n=5或6时， 当n≥15时，an>0,故Sn不存在最大值. S,取到最大值.] !创新拓展练 9,解从第一辆车投入工作算起各车工作时间（单位：小时）依次设为： 解(1)给出的通项公式为an=2n十4. a1,a2,,a25. 理由如下： 由题意可知，此数列为等差数列，且41=24，公差d=-】 因为对任意n∈N”,a+an=2(n十1)十4-2n-4=2, 3· 所以{an}是公差为2的等差数列. 25辆翻斗车完成的工作量为a1十a2十…十a25=25×24十25X12×: 对任意m,n∈N*,且m≠n, (号）=50，而高要充成的工作量为24×20=480， am十an=2m+4十2n十4=2(1十n十2)十4=am+m+2, 所以{an}是“Q数列”. ,500>480,∴.在24小时内能构筑成第二道防线， 15u=12a1+12X114>0. (2)周为a,}是等差数列，所以S,=u6+2n+①=+5m(m∈ 10.解(1)依题意 2 a=13a1+18X124<0. N*). 2 因为Sn单调递增，且51=72十5×7=84<100，S8=82十5×8= 即/2a+11d>0 ② 104>100,所以n的最小值为8. la1+6d0. ② 注：以下答案也正确，解答步骤参考上面内容： 由a3=12,得a1十2d=12. ③ 3 将③分别代入①@，得4十70·解得 ①a,=3n十3S,=号r十号，n的最小位为7： 3+d<0, 24<d-8. ②am=6n,Sm=3n2十3n,n的最小值为6. (2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0 课时分层检测（七） 且an+1<0,则S,最大 :基础达标练 由于S12=6(a6十a7)>0,S13=13a7<0,可得a6>0,a7<0, 故在S1,S2,…,S12中S；的值最大. 1,ABD[由等比数列的定义，知A、B、D是等比数列，C中当x=0时， 能力提升练 不是等比数列.] 1.ABC[因为Sn是等差数列{an}的前n项和 :2.D[根据数列可知，该数列是一个以1为首项， 所以Sn=an2十bn(a,b为常数，n∈N”), 为公比的等比 2 则其对应西效为y=ax2十bx, -1 当a=0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选} 数列，所以该数列的通项公式为a,=1× =(一1)2× 2 项C; 当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选： () .] 项A,B； 选项D中的曲线不过原点，不符合题意.] 13.B[:b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号，∴b=-3,且a,c 2.C[由已知可得a,=10-2m,所以数列an}是以首项为8，公差为必同号.ac=}=9.] 名的等装，所以》9当”A[a用9语，=矿万 21.] 4或n=5时，Sn取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足5.C[在等北数列{an}中，：a1=1,an=a1a2aa4a5=aig°=g°. Sn≥k,所以满足条件的为n=4和n=5,因为S=S6=18,所以实数！ k的取值范围是(18,20们]. ,am=a1qm-1=qm=1,.m-1=10,.m=11.] 3视中题处爱队年起换修费北卡的年推加石有年年的身618[由题意得a=子4西受g-二-a,十4=(a十灯 修费成等差数列，设从第一年起，每年的雏修费构成的等差数列为！ (a,,则其首项为12，公差为4，所以So=10×12+2×10×9×4 (2+号)×3=18] =300(万元).月 7.-4[由题意，得(2a十2)2=a(3a十3)，解得a=-4或a=一1， 4.20[设等差数列{an}的公差为d, 当a=一1时，2a十2=0,3a十3=0，不满足条件，当a=-4时，等比 由a士a十a,=3a土9d99；解得a=39. 数列为一4，一6，一9，…，满足条件，门 1a2+a5+ag=3a1+12d=93, d=-2, :8.80,40,20,10[设这6个数所成等比数列的公比为g,则5=160g, S,=mar+Dd=39n-n(n-1)-40n 2 六g=329=2这4个数依次为80,40,2010.] =-(n-20)2+400. :9.解由题意知，an=cg,因为c≠0,9≠0,9≠1， .当n=20时，S取得最大值， antlco 对任意n∈N”都有S,n≤Ss成立，则Ss为数列{Sn}的最大值，故 a -=q为定值常数，且a1=cg k=20.] 所以数列{an}是以cg为首项，q为公比的等比数列 ,a1=9,所以{an}是首项为9，公 1 5.解若选①：因为an+1一am= 差为一号的等差数列 ,期调为号-号分-号 所以g=4,a1= a3_21 所以a,=9+(m-1)·(-寸) g4=2 1 ,82 所以a,=a1·g=号×4=32. 9n+9 (2)a4+a1=a1(g2+1)=5, 由号+号>0，得n<82, 1 a5-a1=a1(q-1)=15, 所以S,存在最大值，且最大值为Sg1或S2, 所以g一1=3， 因为51=81×9+81X0×(（号）=869.所以5，的装大值 所以g=4, 2 所以a1=1,q=士2， 为369. 所以an=a1g”-1=(士2)"-1 167班级 姓名 得分 课时分层检测（六）》 等差数列的前n项和的应用 !8.等差数列{an}中，a3|=|ag|,公差d<0,则 …0 基础达标练。… 使前n项和S,取得最大值的自然数n是 1.已知数列{am}满足an=26一2n,则使其前n 项和Sm取最大值的n的值为 ( )9.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰 A.11或12 B.12 到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来 C.13 D.12或13 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计 2.已知等差数列{am}是无穷数列，若a1<a2<: 算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调 0,则数列{an}的前n项和Sn ( 用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 A.无最大值，有最小值 小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前 B.有最大值，无最小值 只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆 C.有最大值，有最小值 翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小 D.无最大值，无最小值 时内能否构筑成第二道防线？ 3.(多选)已知S,是等差数列{an}的前n项和，且 S6>S,>S,则下列结论中正确的是( A.d<0 B.S11>0 C.S12<0 D.数列{Sm}中的最大项为S 4.在等差数列{am}中，Sn是其前n项和，且 S2014=S2021,S6=S2012,则正整数k为() A.2020B.2021C.2022D.2023 5.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里；10.设等差数列的前n项和为Sm.已知a3=12, 有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，： S12>0,S13<0. 齐去长安四百二十里，良马初日行九十七 (1)求公差d的取值范围； 里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日 (2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大，并 减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相 说明理由. 逢.问：几日相逢？ ( A.4日 B.3日 C.5日 D.6日 6.若等差数列{am}满足a7十ag十ag>0,a7十 a10<0,则当n= 时，{an}的前n项 和最大 7.等差数列{am}中，已知a5>0,a4十a7<0,则 {an}的前n项和Sm的最大值为 83 班级 姓名 得分 设Sm是数列{am}的前n项和，且a1=9, 0 能力提升练 ,求{am}的通项公式，并判断Sn是 1.（多选)已知S,是等差数列{an}的前n项和， 否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存 下列选项中可能是S,的图象的是 在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个 解答计分. 1234元 2-01234 B 41S 3 2 924 之91234元 -2 D 2.记S,为数列{an}的前n项和，已知点(n,an)在 …0 创新拓展练 04 直线y=10一2x上，若有且只有两个正整数n: 对于由正整数构成的数列{A,},若对任意 满足S≥k,则实数k的取值范围是 ( m,n∈N*,且m≠n,Am十Am也是{An}中的 A.(8,14] B.(14,18] 项，则称{Am}为Q数列.设数列{an}满足a C.(18,20] D.(18,] =6,8≤a2≤12. 3.某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第： (1)请给出一个{am}的通项公式，使得{am}既 一年需要维修费12万元，从第二年起维修 是等差数列也是“Q数列”，并说明理由； 费比上一年增加4万元，则前10年维修费总： (2)根据你给出的通项公式，设{an}的前n项 和为 万元 和为Sm,求满足Sm>100的正整数n的最 4.设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn, 小值 已知a1十a4十a7=99,a2十a5十a8=93,若 对任意n∈N都有Sm≤S6成立，则k的值 为 5.在①a+1-am=-9,②an+1=an十m-8这 两个条件中任选一个，补充在下面的问题 中，并解答 84