课时分层检测(9)等比数列的前n项和公式-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（九） 等比数列的前n项和公式 基础达标练o… 7.已知正项数列{am}满足a品+1一6a=a+1· a.若a1=2,则数列{an}的前n项和Sn= 1.设数列{（一1）”}的前n项和为Sn,则S 等于 8.已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为 A.n[(-1)”-1 B.-1)+1+1 2 Tn,T99=77,则a3十a6十ag十…十ag9= C.-1)"+1 D.-1)”-1 2 2 :9.已知等比数列{an}的公比为q,且有1一q= 2.等比数列{an}中，a3=3S2+2,a4=3S3十2， 3a1,试用g表示{an}的前n项和. 则公比q等于 ( A.2 B司 C.4 3.等比数列{am}的前n项和为Sn,若S3=l5, a3=5,则公比q的值为 ( A B.1 C.-2或1 D.2或1 4.(多选)设等比数列{am}的前n项和为Sn,若 8a2十a5=0,则下列式子中数值确定的是 ;10.在等比数列{an}中，a2·a3=2a1,且a4与 ( 2a7的等差中项为17. A.2+ S (1)求数列{am}的通项公式； an-1 (2)设bn=a2m-1一a2n,求数列{bn}的前2n c.S D. Sx+1 项和T2n 5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若 6=3, ( ) A.2 B 3 C.8 D.3 6.对于数列{am},若点(n,an)(n∈N*)都在函 数f(x)=2x的图象上，则数列{am}的前4 项和S4= 89 班级 姓名 得分 设等差数列{an}的前n项和为Sm, …0 能力提升练 0 数列{bn}为等比数列，b1=2a1,b2=2a2,求 L.（多选)已知等比数列{am}的前n项和是Sm, 数列{abn}的前n项和Tn 则下列说法一定成立的是 ( 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个 A.若a3>0,则a2023>0 解答计分. B.若a4>0,则a2022>0 C.若a3>0,则S2023>0 D.若a3>0,则S2023<0 2.一弹球从100米高处自由落下，每次着地后 又跳回到原来高度的一半再落下，则第10 次着地时所经过的路程之和是（结果保留到： …0 创新拓展练。… 个位) ）1,已知函数f(x)=1ogx,给出三个条件： A.300米B.299米C.199米D.166米 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3十 ①fa,)=2:@fa,)=n:@a,)=元从中 S6=2Sg,则数列的公比q= 选出一个能使数列{an}成等比数列的条件， 4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2S 在这个条件下，数列{an}的前n项和Sn= =-an十n(n∈N*). ( A.3”-1 B.2n+1-1 1)求证：数列{如，一}为等比数列： D2(3*-1D (2)求数列{am一1}的前n项和Tn c8-0 2.已知数列{am}满足a1=1,且am一3am+1= anan+1+1. 1)证明数列{a,十} }是等差数列，并求数列 {am}的通项公式； (2)若bn= 三。十求数列{b的前n项 和Sn 5.在1a2+a=6,5,=45.(2)S.=管+分， (8)”,产气0≥2.a1=1这三个条件中 任选一个补充在下面的问题中，并加以 解答. 90又a10·a13=a1·a12=ag·a15, :7.3m-1[:a7+1-6a=an+1an: .(a%·a15)2=4, .(an+1-3an)(an+1十2an)=0. .aga15=士2. ,an>0,∴.an+1=3a 又，{an}为递减数列， 又a1=2, .q>0,…aga15=2.] {am}是首项为2，公比为3的等比数列， 2.B[设A=a1a1ag·…·a28,B-a2aa8…·ag9,C-a3a6ag·… ·a30,则A,B,C成等比数列，公比为g=210,由条件得A·B·C s,=2132=30-1. 1-3 =20,.B-210,∴C=B·210=220.] .44[设S1=a1+a1+…十a97 3(0,号)[由a41=a,a∈N)可得，教列a}是首项和公 S2=a2十a5十…十a98, S3=a3十ae十…十agB, 比均为宁的等地数列，所以a.声则6=”。，2=（山一2以）2，又 由等比数列前n项和的性质可得， S2=2S1,S3=4S1,又S1十S2十S3=T49=77, 因为{bn}是递增数列，所以b+1-bn=(n十1-2入)2m+1-(n-2x)2 .7S1=77,解得S1=11. =(n十2-2x)2n>0恒成立，即n十2-2λ>0恒成立，所以2λ<(n十 从而S3=4S1=44.] 2=3.所以A<号.] 9.解当9=1时，，3a1=1一q=0, a1=0与{an}是等比数列矛盾， 4.5[由题可知，第一轮传染后，感染的人数为1十R。=5:第二轮传染 后，感染的人数为(1十R,)2=52人：第三轮传染感染的人数为(1十 1,mg 1 3 R)3=53人：故感染人数可看作首项为5，公比为5的等比数列， 又，等比数列的前n项和公式为 1-9 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮.] 5.解（1)设等比数列(a,的公比为g,由aa；=4(a1-1),得a= 4(a1-1),∴a1=2, 10.解(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为g, g2=2=8,“g=2a=a19=2 则由aa122a1,得19=2， (a1+2a,=34, 1a1g3+2a1g=34, (2)由2(a1十a6)=5a5,得2(a1十a1g)=5a1q,易知a1≠0，所以2十 2g2=5g,即(2g-1)(g-2)=0,解得9=2或9=2 解得a1=4‘则a,=a1g-1=20-3. （g=2, 因为等比数列{an}为递增数列，且a1>0,所以q>1,所以g=2. 22n-3 创新拓展练 (2)bn=a2m-1一a2m= 2 -22m-3=-22m-1, 解(1)由S,=40得S,=5a1+5X4Xd=40. 2 故载列山，是首项为一子公比为4的等比盘列 又a1=2,解得d=3. 由等差数列的通项公式an=a1十(n-1)·d得an=3n一1， (1-4) 4 (2),b3=ag=3×3-1=8, 故数列{bn}的前2n项和T2n= 1一4 b1=a1+a5=2+3×5-1=16, b_16=2. 壹1-. q-68 :能力提升练 又b=b1·g2,.8=b·22,解得b1=2, :1.ABC[设数列{an}的公比为q, ∴…bn=b1·g-1=2…2m-1=2", !当a4>0时，a2023=a392020>0,A正确： .b=2=128. 当a1>0时，a2022=a1·g2018>0,B正确： 当b=an=3n-1,即128=3n-1时，n=43. 故b,与数列{an}的第43项相等. 又当q≠1时，S2023= 1(1-g023) 1-g 课时分层检测（九） 当90时，1-9>0,1-g2023>0, 基础达标练 .S2023>0, 1.D[s-1]=)”-⊥. 当0<q<1时，1-g>0,1-g028>0, 1-(1) 2 ∴.S2023>0, 2.C[ag=3S2十2，a1=3S4十2，∴.a1-a=3(S4-S2)=3aa,即： 当g>1时，1-q<0,1-g202<0, a=aig号=4] .S2023>0. 当q=1时，S2023=2023a1>0,故C正确，D不正确.] 3.C[由题设知S,=a1十a2十a4=15,又a3=5,故a1十a2=10,2.A[由题意，可得小球10次着地共经过的路程为100十100十50十 1 a11十9)=10，而a19=5,即1十g=2g,解得9=-7或9=1. …+100× (合)=1+10[++（）+…+（合）] 故选C.] 4.ABC[由8a2+a5=0得8a2十a2g=0, a2≠0，.q3=-8,.g=-2. 100+100× =30-200×(3)）'≈300米.] A中2-=4： 12 a1(1-g) 3. 2 [当g=1时，Sn=na1,S3十S6=3a1+6a1=9a1=-S≠2Sg: Ss 1-91-g511 B中·3a0gFg 3 当g≠1时，0）+02）=2×0，得2-g-g 1一9 1-9 1-9 1-9 a1(1-g) 2-2g,…2g-g-9=0,解得g=-之或g=1(合去)或d=0 C中，」 19 (舍去)，g= n中 1-q -与n有关，不确定.故选ABC.] 4.解(1)证明2S=-an十，当n≥2时，2Sn-1=一a,-1十n-1,两 5.B[由等比数列的性质，得S,S6-S,S。一S仍成等比数列，于 式相减，得2an=一an十a-1十1，即am=3a-1十3·a-立= 是，由5=8S可推出S-5=45S=7S景-子] 吉(01号)数列{a。}为等比教列。 6.30[由题设可得a,=2”,故0=2(n≥2)，故{a,}为等比数列，其(2)由2S1=-a1十1，得a1=子，由(1)知，数列{0，}是以 an-1 首项为2，公比为2故5，-202)=30.] 为首项，号为公北的等北教列.“0，子=一合（行） 1 1-2 6 169 合（分）a,=2(片)+…a-1=-(分)”- 2Sn=1×2+2X22+3×23+…+(n-1)·2"-1十n·2”,② ①-②，得-5，=1×1+1×2十1×22+…+1×2n-1-n·2”= 专白】等传)】÷ 1-20.2-m·2=2”-1-1·2°=(1-020-1， 1-2 1一 所以Sn=(n-1)·2”+1. 5.解选(1)：设等差数列{an}的公差为d,等比数列(bn}的公比为g. 课时分层检测（十） 由货6释-解得 !基础达标练 19a5=45, 1a5=5, D[5g可知g2.] 所以公差d专号=1， 所以an=ag十(n-3)X1=m. 2.C[因为a,-22-1-,所以数到a,的前5项和55 2” 所以b1=2,b2=4, 所以公比9-会=2，所以么==2兴 [-(合)）] .1 所以an·bn=n·2”. 1 5-1+京 选(2)： 3.B[当n≥2时，an=Sn-S-1=(a-1)·a”-1;当n=1时，a1= 当n=1时，a1=S1=1: 当≥2时a,=5.51=受+号0少”号- S1=a-1,a,=(a-1)·a-1,n∈N“.a中=a,故数列{an}- 2 2 定是等比致列.] a1=1满足上式，所以a,=, 所以b1=2,b2=4. 14.B[依题意，每天的织布数构成一个公比q=2的等比数列{a,},其 前n项和为S, 设等比数列{bn}的公比为q, 2=2,所以b,=b1g1=2" 则9一6 则S6=5,Sm=31 35 所以an·bn=n·2”. :s,-92-5,解得a员 选(3)：设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为g. 1-2 由2兰气≥2得号-2。 1-29) 1 ∴.Sm= ?-解得m3故选B了 又a1=1,所以a2=2a1-2, 5.C[根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细 所以公差d=a2一a1=1,所以an=. 所以6=2,6=4，所以公比。=号=2， 商将病奉企事杀死，则1十2+22+2十…十201≥200号> 所以bn=b1g”-1=2. 200,.2"≥201，结合n∈N,解得n≥8，即至少需要8秒钟细菌将病 毒全部杀死，故选C.] 所以an·bn=n·2”, 综上，无论选(1)，(2)，(3)，都有： 1 Tn=a1b1十a2b2十…+a,bn=1×2+2×22+3×23+…+nX2",① 16.32 [由题意，正方形的边长将成以号为首项，号为公比的等比教 2 2Tn=1×22+2×21+…+(n-1)X2"+n×2"+1,② 列，知共得到1023个正方形，则有1十2十…十2m-1=1023,.n= ①-②，得-Tn=2+2十23十…十2”-n×2n+1 _2-2"×2-n×2+1 10最小正方形的边长为号×（停）=立] 一2 :7.40[由S30=13S10,知9≠1， =(1一n)×2m+1-2. 由S0=13S0, 整理得T。=(n-1)×2m+1+2. 1S1o+S30=140, 创新拓展练 得S0=10, 1.D[已知函数f(x)=log3x的定义域为(0，十∞). 1S30=130, 若选0.别f(a,)=10ga,=2,a,=3,0=32中 由等比数列的前n项和的性质得S10,S20一S10,S30一S0成等比 数列， an 32” 则(S20-SL0)2=S16(S30-S20), 32+1-2” =32不是常数，则{an}不是等比数列：若选②，则f（an)= 即(S20-10)2=10(130-S20), l0g3a,=,an=3”,.aL_3 解得S0=40或S20=-30(舍去).] 3 -=3m+)m=3是常数，则{a,}是 (-2)1[当≥2时，因为S号4，十合①.所以51号4,1十 2 以=8为有项，以5为公比的等比北列，时S子8 寸②.①@得a,=号a号a,即a,=-2a1又因为5 2 2 2 若选③，则a,)0ga,三六e,=3,8世=空a1了a十子所以a=1,所以数列a,是以1为首 3m不是常数，则(an}不是等比数列.] 比的等比数列.所以an=(一2)”-1.] 2.解(1)证明因为an一3am+1-a,an+1+1, 9.解(1)由题意知S≠2S4,9≠1， 由等比数列的前n项和等距分段的性质知， 所以a+1- a,+3 g=5、S_637=8,故g=2, 7 两边都加上1，得a+1十1 2(an+1) am十3 S,=142=7,代入g可得41=1， 所以1 1 1 1 1一9 .an=2”-1 1 (2)由(1)知b,=2m-1十n-1, a+1十1an十Iz 所以级列{}是以宁为公差的等发数列，且首项是十市宁 ,=1+2+…+x+[1+2++-1]=2+-1. !10.解(1)依题意，an+1=an·(1十0.2)一x, 2一1 所以。+=公，所以an 整理得a1-5x=号(a,-5z). 2调为么三引=：2 2=号，又a1-5x=1000-52 an-5x 所以数列{b}的前n项和 Sn=1X1+2×21+3×22+…+n·2”-1,① “数列(0，-5x是以1000-5x为首项，号为公北的等比数列. 170