课时分层检测(2)数列的递推公式及前n项和公式-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（二） 数列的递推公式及前n项和公式 6.数列{an}满足an=4au-1十3，且a1=0,则此 …0 基础达标练 数列的第5项是 1.在数列1a.}中a1=1a,=1十2)(n≥2.7.数列1a,}满足a+1=2ag=2:则a 1 an-1 n∈N*),则a5= R号 c. 0.3 8.数列{an}中，a1=2,an=2am-1(n∈N",2≤n ≤10)，则数列{an)的最大项为 2.已知数列{am}中，a,-1=man十1(n>1),且 :9.已知数列{an}的前n项和为Sn,求数列{an》 a2=3,a3=5,则实数m等于 ( 的通项公式 A. B. 3 C.2 D.3 (1)Sm=3”+2;(2)Sm=n2-n. 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n,则a2 十a1g等于 ( A.36 B.35 C.34 D.33 4.设数列{am}的前n项和为Sn,且Sn= a1(4"-1) 3 ,若a4=32,则a1的值为( ) A B c 0. 1 5.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数 列，则该数列的一个递推公式可以是( A.an+1=an十n,n∈N B.am=am-1+n,n∈N*,n≥2 C.am+1=am十(n+1),n∈N*,n>2 D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2 74 班级 姓名 得分 10.如图，将正三角形的每一条边三等分，并以 能力提升练 每一条边上居中的一条线段为边向外作正 三角形，便得到第1条“雪花曲线”（如图乙 1.(多选)由1,3,5，…，2n一1，…构成数列 的实线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重 {an,数列{bn}满足b1=2,当n≥2时，bn= 复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”（如： 61则 ( 图丙)，这样一直继续下去，得到一系列的 A.b3的值是7 B.b4的值是9 “雪花曲线”.设第n条“雪花曲线”有an C.b5的值是15 D.b6的值是33 条边 2.设数列a,}的前n项和为S,且a1=1.s, 十nan}为常数列，则am= ( 1 2 A.3n可 B.n(n+1) (1)写出a1,a2的值； 6 D.52m (2)求出数列{am}的递推公式. C.(m+1)(n+2 3 3.已知数列{an的前n项和为Sn=n(72+3) n∈N*,现从前m(m∈N*)项a1,a2,…,am 中抽出一项（不是a1也不是am),余下各项 的平均数为40，则抽出的是第 项 4.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=An2十 Bn+C,A≠0. (1)当A=2,C=0,且a2=一10时，求数列 {am}的通项公式； 75 班级 姓名 得分 (2)设{am}的各项均为负数，当a1=一36，a3 (1)写出一个数列，用它表示当n分别为2， =一9时，求实数A的取值范围. 3,4,5,6,…时方阵中的士兵人数； (2)写出(1)中数列的第5、第6项，用a5,a6 表示； (3)若把(1)中的数列记为{a,},求该数列的 通项公式am; (4)求a10,并说明a10所表示的实际意义. 0 创新拓展练0… 1.在数列{an}中，a1=2,am+1=a,+ln1十 分》则a, A.2+1n n B.2+(n-1)In n C.2+nln n D.1+n+ln n 2.如图，有n(n≥2)行n+1列的士兵方阵， 。。。…年。。 76(2)x在变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表 故xf(x)≤x2十ax十1等价于lnx-x≤a, 2 2 x -2 令g(x)=lnx-x,则g(x)=1-1, -1) 令g'(x)=0,解得x=1.:f(x)的定义域为(0，十∞) f'(x) 0 0 当0<x<1时，g(x)>0;当x>1时，g(x)<0. 故x-1是g(x)的极大值，点，且是最大值点，则g(x)≤g(1)=1, 单调 单调 f(x) 2 3 22 综上，a的取值范围是[一1，十∞). 递减 2 单调递增 27 递减 (2)证明：由(1)知，g(x)≤g(1)=-1,即1nx-x十1≤0. 则f(.x)在[一2,1]上的最大值为2，最小值为 3 当0<x<1时，f(x)=(x十1)lnx-x十1=xnx十(lnx-x+1) 0: 题型四 解(1)f(x)=+1 +lnx-1=lnx十 ，20f 当x≥1时，f(x)=lnx十(xnx-x十1)=nx十z +1, .(x-1)f(x)≥0. 课时分层检测参考芳答案与解析 课时分层检测（一） 当a=-1时4，=月一子，是然是递培教列，故爱小位为山=0， 基础达标练 B正确： 1.C[由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3十1=10，所以a2a3 =20.] 令a,=n叶升=a,得-a十a=0,当0<a<4时，△=a2-4a<0, 2.C[A、B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意，故选C.] 故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C错误： 3.D[由√2n-1=3W5-√45，得2n-1=45,即2n=46,解得n= 23,故选D.] 若a,是递增数列，别a>4即a十1十异>十号得a< 4.AD[由于an=n2满足an=n<(n十1)2=an+1(n∈N"),故数列n2十n,又n2十n≥2，所以a<2,D正确.] {an}是递增数列，选项A正确； 26a,=6=号（十96当>5里∈N时a>0,且 n十11 数列1,2,3与3,2,1的顺序不同，不是同一个数列，选项B错误： 由于4，=sin匹，数列{a,}的前四项依次为1,0，-1,0，且a1=数列递减：当n≤5且n∈N时，a,<0,且数列递减.故当n=6时， am最大.] s如t-sn(受+2x）-n受-a: 13.210[观察数列中的星星构成的规律：当n=1时，有1个，当n-2 2 时，有1十2个，当n=3时，有1十2十3个，所以当n=20时，有1十2 所以数列{an}是周期数列，且是无穷数列，选项C错误，选项D: 十3+…十20=21×10=210个.] 正确， 5选项A中取不到1，其通项公式中不合4，A错民：选项B时解（证明a=fm》=”骨1一日 中，当n是奇数时，an-2X1=2,当n是偶数时，an=2×0=0,B正 确：选项C中，a1=0≠2，C错误；选项D中，a1=cos元十1=0≠2，D 又n∈N0<≤1a,<1 错误.故选B.] (2)数列{an}是递增数列.理由如下： 6.9[因为a,=19-2,且an>0,于是有19-2n>0,解得n<2,而！ 19 :a+1-a,=nt1）1u n+1 n n∈N”,则nmx=9,所以符合条件的最大正整数n的值为9.] 1 1 nn十1n十2n 7.十3[a,a1a+=n十·干2干n千3] …an+1>an{an}是递增数列. 7 8.4-36[由题意，a+1-an=2m-7,令2n-7>0,得n> 5,解①)证明因为。片7了 72+7n∈N*), 故数列{an}从第4项开始递增. 所以0<an1, an=n(n-8)-20=(n-4)2-36, 故数列的各项都在区间(0,1)内. 故当n=4时，{an}的最小值为a1=一36.] 2 9.解(1)令an=一n2+n十110=20， 即n2一n-90=0,.(n十9)(n-10)=0, .n=10或n=-9(舍). 期号<<neN, .20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项. (2)令an=一n2+n十110=0， 解得n=1,即在区间（行，子）内有且只有1项数列中的项，为@ 即n2-n-110=0, ·创新拓展练 .(n-11)(n+10)=0, a,=2-(答案不唯一)[因为西数a,=2- 工的定义城为N, .n=11或n=-10(舍) .当n-11时，an-0. 且an=2- 10,解(1)易知该数列由从4开始的偶数构成，所以该数列的一个通· 日在N上单洞递增，0<2司<2，所以满足3个条件 n 项公式为am=2n十2，n∈N“ 的教列的通项公式可以是，=2子] (2)通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择 (一1)“拥整符号.又第1项可改写成分数一号，所以每一项的分母： 课时分层检测（二） 基础达标练 依次为3,5,7,9，，可写成2n十1的形式.分子为3=1×3,8=2× =X5,244X6.…,可写成十2的形式，所以这数列的1.D[由题知，a=1a,=2a,=a=3a号 一个道项公式为a=(一1)，贸∈N。 2.A[由题意得a=ma十1，即3=5m十1m=号] （8)将载列变形为号1-01，号1-a01).号1-0.01)，故演8.C85=2×2X212X)1a=5-5 :182-2×18-(172-2×17)=33,a2+a18=34.] 列的一个通项公光为a,(-)N。 .A[周为S-Da,=32,所以S,S,-25a68a 3 3 3 能力提升练 ，由)=x 32,所以a1=z,故选A.] 1.ABD[当a=2时，an=n十 兰的单调性及a1=5.B[结合图象易知，41=1，am=3=a1十2，a,=6=a,+3,a=10= 3,a2=3,可知A正确： !a3十4， 163 .an=an-1十n,n∈N”,n≥2.] =2十lnn(n≥2). 6.255[因为an=4am-1十3，所以a2=4×0十3=3，a3=4×3+3= 又a1=2=2十1n1,符合上式， 15,a1=4×15+3=63,a5=4×63+3=255.] 所以a,=2十lnn 元宁[由0=云及a=2.得2=4解得立由 1 法二（累加法）由题意得an+1一an =(+分）=ln(1+)-nm: 宁，得2-10，解得a=-1,同理得a:=2.由此可得a4=2412, a,=-1=2.a1=] a2-a1=ln2, a3-a2 =In 3-In 2, 8.1024[:a1=2,an=2an-1, a-ay =In 4-In 3, a≠00m=2>1, an-1 an-am-1-lnn-ln(n-1)(n≥2)， an>an-1,即{an}单调递增， 以上各式两边分别相加， {an}的最大项为a1o=2ag=4a%=… 得an=2+ln2+(ln3-n2)+…十[lnn-ln(n-1)](n≥2). =2°·a1=2°×2=20=1024.] 所以an=2十lnn(n≥2). 9.解(1)当n=1时，a1=S1=5: 因为a1=2也适合上式，所以an=2十lnn.] 当n≥2时，a,=S,一Sn-1=(3”十2)-(3-1十2)=2·3-1，a1=52.解(1)当n=2时，士兵方阵为2行3列，人数为6； 不满足上式， 当=3时，士兵方阵为3行4列，人数为12. 故a-ge2 依此类推，所求敦列为6,12,20,30,42，… (2)方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示士兵方阵为6行 (2)当n=1时，a1=S1=12-1=0, 7列，第6项表示士兵方阵为7行8列，故a5-42,a6=56. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2-n)-[(n-1)2-(n-1)]=2m-2, (3)根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式，前4项 又a1=0满足an=2一2，故an=2n-2. 分别为6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6，因此an=(n十1) 10.解(1)a1=12,a2=48. (n十2)(n∈N. (2)由“雪花曲线”的作法可知，第n条“雪花曲线”的每条边都可得！ (4)圈为a10=11×12=132,所以a10表示11行12列的士兵方阵中 到第n十1条“雪花曲线”的四条边. 士兵的人数 ,an+1 4a,∴数列{an}的递推公式为an+1=4an 课时分层检测（三） 能力提升练 基础达标练 1.BD[因为6。=a%-1所以b,=a=a=3,h=a,=a=5b,=1.Da=2d=642,d=1.] a62=a5=9,b:=a%,=an=17,b,=a,=a7=33.] :2.C[由等差数列的定义，得d=一2.] 2,B[由题意知，S,十ma,=2,当n≥2时，(n十1)a.=(n-1)a,-1,从3.A[设{a,的首项为a1,公差为d,根据题意得 a3十as=a1十2d+a1十7d=22,解得a1"8 a1 a? a3 an-1 (a6=a1十5d=7, n(m十1)当n=1时a1=1,符合上式.故选B] 2 所以a5=47+(5-1)×(-8)=15.] 4.A[由题意得a+1-√a-E, 3.6[设抽出的一项是第x项(1<x<m,x∈N“),则a=S,-5-1故数列{√a)是首项为√=2E,公差为2的等差数列， =7x-2,且Sm=40(m-1)十ax· 所以√a,=2V2+2(n-1)=√2n十V2,故an=2(n十1)2.] :.m(7m+3》=40(m-1)+7x-2. 2 5.D[:a+1a,=乞数列{a,是首项为2，公差为号的等差数 ∴.m2-11m+12-2x=0, 显然只有当x=6,m=11时满足题意，∴.抽出的是第6项.] 列，a,=41+m-1D…号=2+”2号am=2+101-52.] 2 4.解(1)由题意得，当A=2,C=0时，Sn=2n2十Bn. 16.-2 当n≥2时，a,=S,-Sn-1=2m+Bn-[2(n-1)2+B(n-1)]= 4n十B-2. .(÷3] [设a,=-24+0,-1Dd,由a,二一24十8d0,解得 1a1o=-24+9d>0, 又a2=-10,.a2=8+B-2=-10, ∴.B=-16,∴a,=4n-18(n≥2，n∈N), 8<d≤3.] 当n=1时，a1=S1=2×12+(-16)×1=-14 i8.2[,ln3是ln9与ln3的等差中项，∴.2n3=ln9a十1n3, 经检验，当n=1时，符合an=4n一18， : ∴.ln32=ln(9r·3b)=ln32m+b,.32=32a+h,.2a十b=2.] .an=4n-18,n∈N 19.解（1)由题意知了1T10’解得了19” (2)由题意得，当n≥2时，an=S,-Sn-1=2An十B-A, (a1+(8-1)d=2, a3=6A十B-A=5A十B=-9. ,.B=-5A-9, (2)由题意知士a十(61)d=12解得{a1, 1a1+(4-1)d=7, 1d=2. an=2An+B-A=2An-6A-9(n≥2，n∈N*）, ∴.a4=a1+(9-1)d=1十8×2=17. 若{an}的各项均为负数，则A<0, 1 1 an+2 ∴.an=2An一6A-9在n≥2时单调递减， 10.解(1)证明由 又，a1=一36<0，，只需a2<0即可，即a2=4A-6A-9<0, 1-760,426a,-0-2a+ am十2 A>-2 9 号”+ a+1-2an2=,n 故实教A的取位范国为（号，0） 创新拓展练 N,说数别{}是等基数列 (2)由(1)知1 1n十3 1,A[法一（选代法）由题意得 a=a1+h(1+十)）=am+ln子， 所以a,=2n十10 n+3 n∈N" a,=a:+n（1+）-a+ln号， :能力提升练 a=a+lh 1.AC[由等羞中项的定义知，x=b 2 x2=a2-2 2 a,=a,1+(+）=a,+hnm≥2. 则a,=a+l+ln+h+…+in () 即a2-2ab-3b2=0, ∴.(a-3b)(a+b)=0, .a=3b或a=-b.] 164