5.3.1 第2课时函数单调性的综合问题-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

3.B[巴>0对任意≠2恒成立，所以当工<2时，f()>0:当 2-x 即x+云在[是2]上有解。 x>2时，f(x)<0.所以函数f(x)在(-∞，2)上单调递增，在(2， 十o∞)上单调递减.故选B.] 令g)=1十2，则g)=1一2>0在[22]上恒成立，所以 4.(一2,4)[由f(x)的导函数f(x)的图象知，f(x)在（一o∞，0]上单1 g(x)在「1 [7,2]上为单调递增函数，故g)m=g(2)= 9 调递减，在(0，十∞)上单调递增.当x0时，由f(x)<1=f(一2)， 得-2<x≤0；当x>0时，由f(x)<1=f(4),得0<x<4.综上所 述，f(x)<1的解集为（一2,4）.] 所以b<9 4 5.解因为h(x)=a-xlna,所以h'(x)=alna-lna. 答案(1)C(2)(-∞，0] 令h'(x)=0,解得x=0. 3)(∞，号) 由a>1,可知当x变化时，h'(x),h(x)的变化情况如下表： :对点训练 (-∞，0) 解f(x)=x2-a.x十a-1=(x-1)[x-(a-1)], 0 (0,十∞) 令f(x)=0,得x=1或x=a1, h'(x) 0 因为函数在区间(1,4)上为减函数， 所以当x∈(1,4)时，f(x)0, h(xz) 单调递减 1 单调递增 又因为西数在区间(6，十∞)上为增函数， 所以函数h(x)的单调递减区间为( ∞，0)，单调递增区间为(0，： 所以当x∈(6，十o∞)时，f(x)≥0，所以4a-16, 所以5a7. 十0∞). 即实数a的取值范围为[5,7]. 第二课时 函数单调性的综合问题 !题点三 关键能力·合作探究 :[典例]解析(I)令f(x)=a一c=x一ln(1十x),当x>0时，f(x)= 题点一 [典例]解函数f(x)的定义域是(0，十o∞)，f(x)=2x 1十>0，函数f()在(0，+∞)上单调递增，∴fx)>f(0) 设g(x)=2x2-a,由g(x)=0,得2.x2=a. 0,可得a>c.令g(x)=c-b=n(1十x)x+2,当x>0时，g(x)= 当a=0时，f(x)=2x>0,函数f(x)在区间(0，十o∞)上为增函数；： 当a>0时，由g)=0:得受我=-（合去》 士>0，“函数g红)在(0，十∞)上单调递增， 2 .g(x)>g(0)=0,可得c>b.综上，a>c>b. 当∈(0，要)时g0脚f<0:当x(要+）时 (2)记函教g(x)=f卫(x≠0，则g(x)=f)-f卫.因为当 g(x)>0,即f(x)>0. x>0时，xf(x)一f(x)<0,故当x>0时，g'(x)0,所以g(x)在 当a>0时，品签f(x)在区间（0，要) (0,十∞)上单调递减.又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，所以函数 内为减函数，在区间 g(x)是偶函数，所以g(x)在（一∞，0）上单调递增，且g(一1) g(1)=0.当0<1<1时，g(x)>0,则f(x)>0:当x<-1时，g(x)<0, (要+∞)上为增画数 则f(x)>0.综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞， -1)U(0,1).故选A 综上，当a=0时，函数f(x)在(0，十∞)上单调递增；当a>0时，西 答案(1)D(2)A 数fu)在（医+∞）上单河递坤，在(0，受）)上单洞递减 ·对点训练 11.D[构造函数f(x)=asin x, 拓展] x∈ 解函数f(x)的定义域是(0，十∞)，f(x)=2x 受受]则f代)是祸函数， x 且f(x)=sinx十rcos a. 设g(x)=2z2-a,当a<0时，g(x)>0,从而f(x)>0,所以函数 f(x)在(0，十∞)上是增函数」 当0≤≤受时f(x)≥0， 对点训练 所以fu)在[0，受]上是增通数， 解y'=x2-(a十a2)x十a3=(x-a)(x-a2), 令y'<0,得(x一a)(x一a2)0. xsin x-ysin y>0xsin x>ysin yf(x)>f(y)f(x) f(y)台|x|>y,故选D. ①当a<0时，不等式的解集为a<x<a2,此时函数的单调递减区间2.D[当工<0时，汇f(x)g(x)]了 为(a,a): =f(x)g(x)+f(x)g'(x)>0, ②当0<a<1时，不等式的解集为a2<x<a,此时函数的单调递减 令F(x)=f(x)g(x), 区间为(a,a): 则当x<0时，F(x)为增函数」 ③当a>1时，不等式的解集为a<x<a,此时函数的单调递减区间 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 为(a,a): ∴.F(-x)=f(-x)g(-x) ④当a=0或a=1时，y'≥0，此时，无单调递减区间 f(x)g(x)=-F(x). 综上所述，当a0或a>1时，函数f(x)的单调递减区间为(a,a)；! .F(x)为奇函数. 当0<a<1时，函数f(x)的单调递减区间为(a2,a):当a=0或a=1 故当x>0时，F(x)仍为增函数 1时，无单调递减区间 根据F(x)=f(x)g(x)的性质，可作出F(x)的示意图，如图所示， .f(x)g(x)<0的解集为（一∞，一3）U(0,3).] 题点二 素养演练·提升技能 [典例]解析(1)依题可知，f(x)=ae- >≥0在(1,2)上恒成 立，显然a>0,所以xe≥1 Ar图为)=x=-nI,当（e,+oo)时， 2 设g(x)=xe,x∈(1,2)，所以g'(x)=(x十1)e>0,所以g(x)在 0,所以f(x)<0,所以f(x)在(e,十∞)上为减函数.故f(a) >f(b). (1,2)上单调递增， !2.B[根据题意，由f'(x)<g'(x),得f(x)一g'(x)<0.令F(z)= g()>g(1)=e,故e≥号，即a≥=el,即a的最小值为e1 f(x)一g(x),则F(x)在[a,b]上单调递减，由单调性知，当x∈[a, e 故选C. b]时，必有F(x)≥F(b),即f(x)一g(x)≥f(b)一g(b),移项整理， 得f(x)-f(b)≥g(x)一g(b).] (2)f(x)=x2-a,因为f(x)是R上的增函数，故f(x)=x2一a≥0！3.B[构造函数g(x)=f(z)-(2x十4)，则g(-1)=2-(-2+4)= 在R上恒成立，即a≤x2,所以a0. 0,又f(x)>2, 8)易得f)=安+6222+山 ∴.g(x)=f(x)-2>0, 2x g(x)是R上的增函数 根据题意，得f()>0在[分2]小上有解， ∴f(x)>2x+4台g(x)>0=g(x)>g(-1), x>-1.] 令h(x)=2x2-2bx+1, 4.(0,1),(4,十∞)[由图象可知，不等式f(x)一f(x)<0的解集为 即A)=2-2+1>0在[2]小上有解 (0,1)U(4,+∞)，：g(x)=f卫， e 157 g)=cfe)'_f-f①，由g<0,得fr) :对点训练 (e)2 e f(x)<0,解得x∈(0,1)U(4,十∞). 1.B[因为f)=3x+4红+9x-1,所以由f(x)=x2+8x+9 因此，通数g(x)=fC2的单调递减区间为(0,1)，4，十0).] 0可知a3·a7=9,ag十a?=-8,因为等比数列中a=ag·a1且 e ag<0,所以a5=一3.] 5.解由f(x)=x3-x2+a.x+1,得f(x)=3x2-2x十a.当△=4 12.解函数f(x)的定义城为R,f(x)=2xex十x2·ex·(-x)'= 2xe-*-x2,e-*=x(2-x)e. 12a<0,即a≥号时， 令f(x)=0,得x(2一x)·e=0, f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增. 解得x=0或x=2. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： 当△=4-12a>0,即a<号时， (-∞，0) 0 (0,2) 9 (2,十∞) ◆f()=0,得x1=1 ,=1+V个38 f(z) 0 3 0 3 当x(-0,1西)时， f(z) 0 4e2 4 3 因此当x=0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)=0: f'(x)>0,f(x)单调递增： 当x=2时，f(x)取得极大值， 当x(3西，1+西)时， 3 3 且枚大值为f(2)=4e2=4 f(x)<0,f(x)单调递减： 题点二 当x(1+3a,+∞）时， [典例]解因为f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0， 3 所以f(x）=48.x2-40a.x十8a2=8(6.x2-5ax十a2)=8(2x-a) f(x)>0,f(x)单调递增. 3x-a,令f()=0.得x=受或x=号 2 综上所迷，当a≥号时，f(x)在R上单调递增： ①当a>0时， 足<：，则随着工的变化，f(x),f(x)的变化情况如 2 下表 3 3 调递增，在（一西，1+3西）上单调递 3 32 3 5.3.2函数的极值与最大（小）值 (x) 十 0 0 第一课时函数的极值 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 必备知识·自主梳 1.(1)f'(a)=0f(x)<0f(x)>0(2)f(x)>0f'(x)<0 所以当x= 时，函数f(x)取得极大值 (号) 27:当x= (3)极大值点极小值点极大值极小值2.(1)极大值(2)极 小值 时，函数f()取得极小位f(受)=0. 即时小练 1.(1)×(2)×(3)×(4)/2.A ②当a<0时，<号，则随着x的变化，f(x),f)的变化情况知 3.BC[对于Ay=x在R上单调递增，无极值：对于B,y=x2十1在 (一∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，故B正确：对于C, y=x|在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，故C正确： 3,+o∞ 对于D,y=2在R上单调递增，故D不正确.] f(x) 0 0 4.D[f(x)=-2x-3x2,令f(x)=0,有x=0或x=- f(x) 单调递增 极大值单调递减极小值 单调递增 号时0：当号<0时，fa>0:喜>0时f0, 所以当x= 号时，函数x)取得极大值f(号)=0：当x=号时， 从而在x=0时，f(x)取得极大值，在x= 号时，)取得报小值收 函数f)取得板小值了（号） 选D.] 关键能力·合作探究 综上，当a>0时，函数f(x)在x= 号处取得极大值易，在x号处 3 题点一 取得校小值0：当a<0时，函数f()在x=号处取得校大值0，在 [典例] 解(1)f(x)=x-x2-3z+3的定义为R,f()= x2-2x-3.令f(x)=0,得x=3或x=-1. I= 号处取得板小值品 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表. 对点训练 解(1)f(x)定义域为(0，十∞)， x (-0，-1) -1 (-1,3) 3 (3,十∞) 当m=1时，fx)=三+上+nx, f'(x) 0 0 f(x)=e+1)(x-1) f(x) 单调递增 极大值 单调递减极小值 单调递增 2 令f(x)>0得x>1,令f(x)<0得0<x<1. 因此当x=一1时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-1)=14: 3当 所以f(x)的增区间为(1，十∞)，减区间为(0,1). x=3时，f(x)有极小值，并且极小值为f(3)=一6. (2)f(x)=e十m)(x-1) (2)函数fx)=3+3n工的定义线为(0，十o∞)，f(r)= T? ①当m≥0时，e十m>0,f(x)在(0,1)递减，在(1，十∞)递增，函数 f(x)在x=1处取得极小值，不合题意： 3_3(x1卫，令f(x)=0,得x=1. ②当一e≤m<0时，若x∈(1，十∞)， 则e十m≥e-e>0. 当x变化时，F(x),f(x)的变化情况如下表 此时f(x)>0,函数f(x)在x=1处不可能取得极大值： (0,1) 1 (1,十∞) ③当m<-e时，ln(一m)>1. (0,1) (1,ln(-m) f(z) 0 × f'(x) 0 f(z) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 因此当x=1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(1)=3:无极大值. f(z) 158数学选择性必修第二册 第二课时 函数单调性的综合问题 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 …/方法技巧/… 题点一讨论含参数的函数的单调性 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要 [典例]讨论函数f(x)=x2-alnx(a≥0)的单 考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定 调性. 义域来确定(x)的符号，否则会产生错误. (2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部 问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因 素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解 决了，整个问题就解决了： 对点训练 试确定函数f(x)= 3x3、 1 -(a+a2)x2+a3x十 a2的单调递减区间. [拓展] 若把本例的条件“a≥0”改为“a<0”,结果如何？ 题点二 由函数的单调性求参数的取值范围 问题 [典例](1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)= ae-lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小 值为 ( A.c2 B.e C.e-1 D.e2 (2)已知函数f(x)=3x3-a.x,若函数f(x)是R 上的增函数，则实数a的取值范围是 8)已知函数)-血+-》在[哈2]山 2 存在单调递增区间，则实数b的取值范围是 54 第五章一元函数的导数及其应用 :…/方法技巧/… 题点三 利用函数的单调性比较大小、解不等式 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应 用条件f(x)≥0（或f(x)≤0），x∈(a,b)恒成 [典例] 1)已知x>0,a=xb=x-2c=n(1十 立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值 范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应 x),则 注意参数的取值是∫(x)不恒等于0的参数的 A.c<b<a B.b<a<c 范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意. C.c<a<b D.b<c<a (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调，则 (2)设函数(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函 转化为f(.x)=0在(a,b)上有解（需验证解的 数，f(-1)=0,当x>0时，xf(x)-f(x)<0, 两侧导数是否异号) 则使得f(x)>0成立的x的取值范围是() A.(-o∞，-1)U(0,1) 对点训练 B.(-1,0)U(1,+∞) C.(-∞，-1)U(-1,0) 若函数(x)-3r3-ar2+(a-1Dx+1在区 D.(0,1)U(1,+∞) 间(1,4)内为减函数，在区间(6，十∞)上为增函 /方法技巧/ 数，试求实数a的取值范围. 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函 数的单调性及其导函数的结构形式，因此熟悉 以下结论可以达到事半功倍的效果， (1)对于f'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x) g(x),更一般地，遇到f(x)>a(a≠0)，即导函 数大于某个非零常数（若a=0,则无须构造）， 则可构造h(x)=f(.x)一ax. (2)对于f'(x)十g'(x)>0,构造h(x)=f(x) +g(x) (3)对于f(x)十f(x)>0,构造h(.x)=ef(x). (4)对于f(x)-f(x)>0,构造h(x)=f (5)对于xf(x)十f(x)>0,构造h(x)=xf(x). (6)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)=fx) 对点训练 1.若x∈【-受，]且xsin-sin>0,则下 列不等式一定成立的是 ( A.x<y B.x>y C.lx<ly D.la>lyl 2.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函 数，当x<0时，f(x)g(x)十f(x)g'(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是 A.(-3,0)U(3,+) B.(-3,0)U(0,3) C.(-∞，-3)U(3,+∞) D.(-∞，-3)U(0,3) 55 数学选择性必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1,若f(x)=ln2,e<a<b,则 ( )5.(2021·全国乙卷，节选)已知函数f(x)=x3 x2十a.x十1.讨论f(x)的单调性. A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 2.已知函数f(x),g(x)在区间[a,b]上均有f(x); <g'(x),则下列关系式正确的是 A.f(x)+f(b)=g(x)+g(b) B.f(x)-f(b)=g(x)-g(b) C.f(x)≥g(x) D.f(a)-f(b)g(b)-g(a) 3.函数f(x)的定义域为R,f(一1)=2，对任意x∈ R,f'(x)>2,则f(x)>2x十4的解集为()： A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，十∞) 4.已知函数f(x)与∫(x)的图象如图所示，则函数 g(x)=x的单调递减区间为 y=f()/ y=f'(x) 温馨提示 请做课时分层检测（十九）》 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第一课时 函数的极值 明学习目标 知结构体系 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和 课标 充分条件， 函 函数极值的概念 要求 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 3.体会导数与极值的关系， 数的极 函数极值与导数的关系 含参函数 求函数的极值或极值点 不含参函数 重点 重点：求函数的极值及极值的应用， 函数极值的应用 难点 难点：对函数极值与导数的关系的理解。 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.函数的极值点与极值 ,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点， (1)极小值点与极小值 f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在 (2)极大值点与极大值 点x=a附近其他点处的函数值都小， 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在 而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 点x=b附近其他点处的函数值都大，(b)=0: 56