5.2.3 简单复合函数的导数-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

2.D[因为f(x)=x”十2a.x十a2-1,所以y=f(x)的图象开口向： 上，排徐②④. 1-In 3x 1-xln 3x 若y=f(x)的图象为①，则a=0,f(-1)=号： e (2)y'=(x√+)'=x'√I+x+x(√+x)1 若y=f(x)的图象为③，则a一1=0，得a=士1. 又y=f(x)的图象的对称轴为直线x=一a, =+x+x2 _(1+2x2)√+x 所以a>0,所以a=1,所以f(-1)=子】 √1+x 1十x2 3.A[由题意可知，该三次函数的图象满足以下条件：过点(0,0)，(2，： 3)y=xcos(2x+受)小in(2x+受) 0),在点(0,0)处的切线方程为y=一x,在点(2,0)处的切线方程为 )一3江一6，以此对选项进行检验.对于选项Ay=子-号2一工 -(-sin 2x)cos 2x--x sin 4x, 里然过两个定点，又=受-x一1，则y1==一11=2=3，故 =(分xm4r=sm4红-受s4X4= 2 sin 4x- 条件事满足：对于选项B,-号2十一31,0=-3≠-1，故不对点训练 2 符合条件：对于选项C=子2-1,1==2≠3，不符合条件：对 1-cos3 解(1)，y= 2 于选项D.=子2+x一21，=0=一2≠-1，不符合条件.] a=(合m号=gn子x 2 2 4.1西[设注入水后水面高度为，水面所在圈的丰径为的奇 (2)y=(sin'+sin )=(sin)(sin)' 3 =3sin'x cos x+3x2cos 专脚冬因为水的体积为宁质=%1=5：即=4面 二1-)(1- 1 (3)y-0-()' N)=4X宫，所以当1=1时)=4酒即水面上 1一x 1一x 3 1 升的速度为1严m/s] 2(1-x)V1-x 5.(-o∞，-4)U(0,+o∞)[因为y=(x+a)e,所以y'=(x十a十1) 4y=x1n(1+x)+[ln1+z)]'-ln1+x)+1十 e.设切点为A(x,(x十a)exo),O为坐标原点，依题意得，切线斜 题点三 率kaA=y1x==（十a十1)e,=Z+a)e,化简，得8+ [典例]解析(1)设曲线y=n(2x-1)在点(x0,)处的切线与直 ,C0 线2x-y十3=0平行. ao一a=0.因为曲线y=(x十a)e有两条过坐标原，点的切线，所以 2 关于x0的方程x十a.xo-a=0有两个不同的根，所以△=a2十4a>0,! “y=2x气 解得a<-4或a>0,所以a的取值范围是(-o∞，一4)U(0,十∞).] 2 六y1=62x。气=2，解得=1， 5.2.3简单复合函数的导数 必备知识·自主梳理 ∴%=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0). v=f(g(x))ya·u :切点(1,0)到直线2x-y十3=0的距高为d=120+3-5. 即时小练 √4+1 2 即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2.x-v十3=0的最短距离是√5. 1.B[fx)=0n2x+1)]'(2x+1)'=2x+J (2)令y=f(x),则曲线y=e在点(0,1)处的切线的斜率为f(0), 2.D[因为f(x)=10(1-2x)°×(-2)=-20(1-2x)”,所以f(1) 又切线与直线x十2y十1=0平行， =20.] 关键能力·合作探究 所以f(0)=一2 题点一 因为f(x)=er, [典例]解(1)y=(1-2x)专， 所以f(x)=(er)y=er·(a.x)'=ae, 1 设y=u立，u=1-2x, 所以f(0)=ae=a,故a=-2 则y'=.'4'=(w)'(1-2x/=（zu)·(-2)=(1- 答案(1)A(2)-号 2x)- ·对点训练 (2)设v=log24,u=2.x十1， 1.D[由f(t)=√10t, 2 则y'=y'a,'=(ogw02x+1y=2×2=2z+员n2 1 得f(t)= ·(10)/=V@ 2 2/10 2 即y=(2x+1)1n2 (3)设y=e,u=3x十2， 所以f(40)三片=.了 2√/40 则y:'=y.u'.=(e)/·(3z十2)'=3e=3er+2, :2.解设u=sinx, 即y'=3ex+2, y(esin)'=(e")'(sin z)'=cos ze"in, 4设y=sin,=2x+号 即v==1, 则切线方程为y一1=x一0，即x一y十1=0. 则'=.u,'=(sinu)y(2x+号)）/=cosu…2=2cos(2x+5） 若直线1与切线平行，可设直线1的方程为x一y十c=0. 对点训练 两平行线间的距离d】-2,解得c=3或c=-1. 解(1)y=2(x2-4)(x2-4)'=2(x2-4)·2x=4x3-16.x. 故直线1的方程为x一y十3=0或x-y-1=0. (2)y=[1og2(2x2+3x+1)]' 素养演练·提升技能 (2x+3z+1)n2(2x2+3x+1D :1.石[因为fx)=5n5x+,所以f)+fx)=cos5x+) 4.x+3 =(2x2+3x+1)n2 n5x+=-2sin(8x+0吾）若f()+f()为奇通 (3)y'=[+b)]'=ein+b[sin(a.x十b)]了 =eim(+b·cos(ax+b)·(a.x+b)'=acos(ar+b)·in(+b, 数，则f0)+f(0)=0,即2sin(0吾)=0，所以0-百=kx(∈ 题点二 [典例]解(：0n3/-安×(3)/=士 Z),又因为0e(0,x),所以0=吾.] x 12.0-1[由曲线y=f(x)过，点(0,0)，得1n1十1十b=0,故b=-1. y=(In 3x)'e'-(In 3x)(e')' 由f)=ln(x+1)+干T+a+b.得f'（)=市+2干 1 (e")2 155 十a,期f0)=1+号十a=号+a,此即为画线y=f)在点(0,0) 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： ∞，0) 0 (0,2) 2 (2,十∞) 处的切线的斜率.由题意，得十a=2,故a=0.] f(x) 0 0 3.C[由g(x)=x2+1,得g'(x)=2x,令x2+1=2x,解得1=x2= 1,即a=1. f(x) 单调递减 f(0) 单调递增 f(2)单调递减 由(x)=ln(x+2),得(=干2 .f(x)的单调递减区间为( ∞，0)和(2，十∞)，单调递增区间为 (0,2). 设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x十2)- (2)易知函数的定义域为（一∞，0）U(0,十∞) x+2 易知F(x)在(-2，十o∞)上单调递增， 当x=-1时，F(-1)=-1<0, =1 令f(x)=0,得x=-1或x=1, 当x=0时，F(0)=n2-号=ln-1nE>0, 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： 2 故-1<b<0 -1 (-1,0)(0,1) 1 (1,十∞) 由(x)=cosx(x∈(0，π)，得9'(x)=-sinx, f(z) 0 0 令cosx=-sinx,得sinx十cosx=0, 剥②sim(e+)）=0… 1)单调递减 单调 f(x) 单调递增 f( f(1)单调递增 递减 又x(0,,所以x+于=，得x-平，即c= A .函数f(x)的单调递减区间为（一1,0）和(0,1)，单调递增区间为 综上可知，ba<c.故选C.] (-,-1)和(1，十∞) 4=(+1[x+1+克] [两边取对数，得lny=ln(x十 (3)函数y=x2-nx的定义城为(0，十o∞)， 1y=h(x+),两边求导可得子=n(+1)十弄，所以Y- 又y'=红十1)(x-1) x [nz+1)+千]=(x+1y[n(x+1)+年] 若y>0,即{x十1)(x-1)>0, 1x>0, 5.解设f)=3nx=g0=臣+g。 解得x>1: 若y<0,即{x十1)(x-1)<0, 所以)=fg)=3osr·吾=子o0s(侣+晋） 5π x>0, 解得0<x<1. 将t=18代入s'(t), 得18)=于0s受=晋(mh. 故函数y=号2-nx的单调递增区间为(1，十∞)：单调递减区间 为(0,1) (18)表示当1=18h时，湖水的高度上升的速度为牙mh :对点训练 解函数f(x)的定义域为(-o∞，0)U(0,十o∞)， 5.3.1函数的单调性 必备知识·自主梳理 1.递增递减2.快陡峭慢平缓 令f(x)>0.期(x+D(x历>0 即时小练 1.D[:f(x)=(x-3)e,.f(x)=e+(x-3)e=(x-2)e,由 .x>b或x<一√历 f(x)>0,得x>2,故选D.] ∴，函数的单调递增区间为（一∞，一√b)和(b,十∞）. 2.B[函数y=立x-hx的定义城为(0，十∞)，=x 令f'()<0,则是a+6)(x⑥<0， 红-1)x+卫，令y<0,则可得0<<1.门 .一√b<x<Wb,且x≠0. .西数的单调递减区间为（一√万，0）和(0，√D) 3.B[由图象可知，函数f(x)在(1,5)内单调递减，则在(1,5)内有！题点三 f(x)<0,故f(3)<0.] [典例]解由题可知函数f(x)的定义城为R,f'(x)=6x-6x 第一课时函数的单调性与导数 36=6(x2-x-6)=6(.x-3)(x+2). 关键能力·合作探究 由f(x)>0,得x<-2或x>3, 题点一 .函数f(x)的单调递增区间是（一∞，一2）和(3，十∞). [典例]证明：fx)=e+合f(x=e-e=e(e-1), 由f(x)<0,得-2<x3, .函数f(x)的单调递减区间是（一2,3）. 当x∈(0，十o∞)时，由指数函数的性质知et>0,e2x>1,∴.f(x)> 由已知得f(-2)=60,f(3)=一65 60 f(0)=16. 40 0,因此西数f(x)=e十】在(0，十o∞)上是增函数. ∴，结合函数单调性及以上关键点画出函数 0 e 对点训练 f(x)大致图象如图所示（答案不唯一）. -4-3-2-1012345x 20 1.A[f(x)=2z一sinx,f(x)=2-cosx>0在(-o∞，十o∞)上对点训练 -40 恒成立，·f(x)在（一∞，十）上是增函数.] 解当2x<3时，f(x)<0,可知函数 在此区间上单调递减； 60 2.解因为f)=云+ln>0. 当x>3或x<2时，f(x)>0,可知函数 8 所以f(x)= 京+-2>0 套这商◆餐网上酒湾=0，可知在这 两点处的两侧，函数单调性发生改变， 令f)<0,得0K<号，令f)>0,得>号， 综上可画出函数f(x)图象的大致形状，如 y=f(x 图所示（答策不唯一） 所以∫(x)的单调递减区间为(0，受)单调递增区间素养演练：提升技能 0 3 11.D[函数f(x)在(0，十∞)，(-∞，0) 为（受，+∞） 上都是减函数，∴.当x>0时，f(x)<0,当x<0时，f(x)<0.] 题点二 !2.A[因为函数f(x)(x∈R)上任一点(，%)的切线方程为y [典例]解(1)易知函数的定义域为（一∞，十∞）. (x6-x0一2)x十（y一x8十x6十2x),即函数在任一点(x0,)的切 线斜率为k=x号一x0一2，即任一点的导数为f(x)=x2-x一2= f(x)=(2)'ex+x2(e)'=2ze-x2e=e·(2x-x2), (x-2)(x十1)，由f(x)<0,得-1<x<2,即函数f(x)的单调递 令f(x)=0,得x=0或x=2, 减区间是（一1,2）.故选A,」 156数学选择性必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)= :3.如图所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段 x-2 : 与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段 则函数在x=一1处的切线方程是 : 为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析 式为 ( ) A.2x-y+1=0 B.x-2y+2=0 y/千米 C.2x-y-1=0 D.x+2y-2=0 y=3x-6 湖面 2.下面四个图象中，有一个是函数x)=专：3+ 27千米 a.x2+(a2-1)x十1(a∈R)的导函数y=f'(.x)的 A.y= 72-B.= 2x3+1 x2-3x 图象，则f(-1)= C.y=- D.y=3+22-2a 4.现有一倒放圆锥形容器，该容器深24m,底面直 径为6m,水以5πm3/s的速度流入，则当水流入 时间为1s时，水面上升的速度为 m/s. 1 5.(2022·新高考I卷)若曲线y=(x十a)e2有两 B.- 2 条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 D.- 1 温馨提示 请做课时分层检测（十六） 5.2.3 简单复合函数的导数 明学习目标 知结构体系 课标 1.掌握复合函数的求导法则 要求 2.能求简单的复合函数（限于形如f(ax+b)的导数. 复合函数复合函数求导法则应用 重点 重点：利用复合函数的求导公式求导数 难点 难点：对复合函数求导公式的理解 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 复合函数及其导数 微点注解 般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过 使用复合函数求导法则的注意事项 定义 中间变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数 为y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数 复合而成的，选择适当的中间变量. 对于复合函数y=f(g(x),yx=」 ,即y对x (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量 求导 的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变 法则 求导，而其中特别要注意的是中间变量的导 量对自变量的导数 数，如(sin2x)′=2cos2x,不能得出(sin2.x) =cos 2x. 48 第五章 一元函数的导数及其应用 (3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算： 即时小练 法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成 自变量的函数，如求y=sim2红十写)的导就，设 1.设f(.x)=ln(2.x+1),则f'(x)= 1 2 y=sin,u=2z+,剥y=y。·。=cosu A.2x十1 B.2x+1 C. 1 2 2=2cos2x+5) 2x+1 D.一2x+1 2.设函数f(x)=(1-2x)10,则(1)= (4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省 A.0 B.-1 C.-20D.20 略不写 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一复合函数的导数 题点二复合函数与导数的运算法则的综合应用 [典例]求下列函数的导数： [典例]求下列函数的导数， =;(2)y=log2(2x+1); (1)y=1n3;(2=x+; (3)y=+2(4)y=sin2x+ (3)y=xcos 〔2x+小sin2x+ …/方法技巧/ 1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结 /方法技巧/ 构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式， (1)求复合函数的导数的步骤 对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行 分层 选择中间变量，写出构成它的内、外层函数 等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的： 分别求导 分别求各层函数对相应变量的导数 2.复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略， 相乘 把上述求导的结果相乘 即不必再写出函数的复合过程，直接运用公 变量回代 把中间变量回代 式，开始由外及内逐层求导. (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数 对点训练 通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个 变量求导；③计算结果尽量简洁， 求下列函数的导数 对点训练 （1)y=sin2号(2)y=sin3x+sinr； 求下列函数的导数， (3)y= =;(4)y=xln(1+x). √1-x (1)y=(x2-4)2;(2)y=l0g2(2.x2+3.x+1); (3)y=esin(ar+6) 49 数学选择性必修第二册 题点三复合函数求导的综合应用 对点训练 [典例] (1)曲线y=ln(2x一1)上的点到直线1.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间 2x一y十3=0的最短距离是 ( t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)= A.√5 B.2√5 C.35 D.0 √10t,则在时刻t=40min的降雨强度为() (2)设曲线y=ear在点(0,1)处的切线与直线 A.20 mm/min B.400 mm/min x+2y十1=0平行，则a= 1 1 C.mm/min D.mm/min /方法技巧/… 利用导数的几何意义解题时的注意点 :2.曲线y=enx在(0,1)处的切线与直线1平行，且 (1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首 与1的距离为√2，求直线1的方程。 先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将 切点坐标设出， (2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将 切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组. (3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的 导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重 要的条件. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知函数∫(x)=cos(5x+0)(0<0<π)，若：5.某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关 f(x)十f'(x)是奇函数，则0= 系式s)=3sin(是+}0≤≤24)，其中：的 2.设f(x)=ln(x+1)+√x+I+ax+b(a,b∈R,a, 单位是m,t的单位是h,求函数在t=18时的导 b为常数)，曲线y=了x)与直线y=三x在点(0， 数，并解释它的实际意义。 0)处相切.则a= ,b= 3.定义方程f(x)=(x)的实数根xo为函数f(x) 的“新驻点”，若函数g(x)=x2十1，h(x)=ln(x 十2)，p(x)=cosx(x∈(0，元)的“新驻点”分别 为a,b,c,则a,b,c的大小关系为 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 4.函数y=[f(x)])在求导时可运用对数法：在 解析式两边同时取对数得到lny=g(x)· lnf(x),然后两边同时求导得义=g'(x)nf(x)+ gf得是-小·gna+ g引，用此法探球y一(+严>0的导 数为 温馨提示 请做课时分层检测（十七） 50