5.2.3 简单复合函数的导数-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“简单复合函数的导数”，系统讲解复合函数概念及求导法则，通过分解基本初等函数复合关系（如y=sin(2x-1)由y=sinu和u=2x-1构成）搭建学习支架，衔接导数运算前后知识。 其亮点是以核心素养为导向，通过“概念判断-求导步骤-综合应用”题型链，结合“分解-求导-回代”三步法总结，如用y=log₂(2x+1)解析复合关系，以切线问题展示导数几何意义，培养数学思维与运算能力，助力学生提升解题技能，教师可直接利用系统例题与分层练习优化教学。

第五章　一元函数的导数及其应用 5.2　导数的运算 5.2.3　简单复合函数的导数 课程标准：能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数． 教学重点：复合函数的求导． 教学难点：分清函数的复合关系，选好中间变量． 核心素养：通过学习复合函数的求导法则及其简单应用，提升数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成_________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作_______． 知识点二　复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为_________．即________________________ _____________________ ． x的函数 f(g(x)) y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 2 核心概念掌握 7 核心素养形成 题型一　复合函数的概念 核心素养形成 9 【感悟提升】判断复合函数的复合关系的一般方法从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系．这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数． 核心素养形成 10 解析：y＝log2(2x＋1)是由y＝log2u，u＝2x＋1复合而成，故A是复合函数；B不是复合函数；y＝2ln x是由y＝2u，u＝ln x复合而成，故C是复合函数；y＝esinx是由y＝eu，u＝sinx复合而成，故D是复合函数．故选ACD. 核心素养形成 11 题型二　简单复合函数的求导问题 核心素养形成 12 核心素养形成 13 【感悟提升】 1．复合函数求导的步骤 核心素养形成 14 2．求复合函数的导数需处理好的几个环节 (1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量． (2)中间变量的选择应是基本函数结构． (3)关键是正确分析函数的复合层次． (4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导． (5)善于把一部分表达式作为一个整体． (6)最后要把中间变量换成自变量的函数． 核心素养形成 15 核心素养形成 16 核心素养形成 17 题型三　复合函数导数的综合应用 　 (1)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 解　解法一：f′(x)＝2f′(2－x)(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，解得f′(1)＝2.又由f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 解法二：因为f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，① 所以f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8.② 把②代入①，得f(x)＝x2，所以f(1)＝1，f′(x)＝2x， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝f′(1)＝2， 故所求切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 核心素养形成 18 核心素养形成 19 (3)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln (2x)的切线，也是曲线y＝－ln (－2x)的切线，求k，b的值． 核心素养形成 20 核心素养形成 21 核心素养形成 22 【感悟提升】　 (1)与复合函数有关的切线问题，关键是牢记复合函数的求导方法，准确求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解． (2)在解决与复合函数有关的实际应用问题时，应注意函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况． 核心素养形成 23 【跟踪训练】 3．(1)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为____________． 5x＋y－3＝0 解析：y′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5，故所求切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0. 核心素养形成 24 (2)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是____． 核心素养形成 25 核心素养形成 26 核心素养形成 27 随堂水平达标 1．函数y＝sin(2x－1)若看成复合函数y＝f(φ(x))，则下列式子正确的是(　　) A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sinx C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin(2x－1) 解析：y＝sin(2x－1)是由函数y＝sinu和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 4．烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20 ℃，加热后的温度函数T(t)＝100－ke－0.1t(k是常数，t表示加热的时间，单位：min)，则加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是___℃/min. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 5．(2024·新课标卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝____． ln 2 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 用复合函数求导法则和导数的四则运算法则求导 用复合函数求导法则和导数的四则运算法则 求导 用复合函数求导法则求导；利用导数值求自变量的值 利用复合函数求导解决实际问题 用复合函数求导法则和导数的四则运算法则求导；新定义问题 用复合函数求导法则和导数的四则运算法则 求导 已知切线方程与切点坐标求参数值 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 用复合函数求导法则求导；已知三角函数的奇偶性求参数值 用复合函数求导法则和导数的四则运算法则求导 利用复合函数求导解决实际问题 已知切线斜率求切点坐标；函数奇偶性的应用 用复合函数求导法则求切线方程 用复合函数求导法则求解切线问题 复合函数的求导法则与函数的奇偶性、周期性的综合 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 2．函数y＝4(2－x＋3x2)2的导数是(　　) A．y′＝8(2－x＋3x2) B．y′＝2(－1＋6x)2 C．y′＝8(2－x＋3x2)(－1＋6x) D．y′＝4(2－x＋3x2)(－1＋6x) 解析：y′＝4×2(2－x＋3x2)(2－x＋3x2)′＝8(2－x＋3x2)(－1＋6x)．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 二、填空题 6．函数y＝xe1－2x的导数y′＝___________． 解析：y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x. (1－2x)e1－2x 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 8．设函数f(x)＝sin(x＋φ)(0＜φ＜π)，若y＝f(x)＋f′(x)是偶函数，则φ＝___． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 12．函数f(x)＝ex－1的图象在点(0，f(0))处的切线方程为___________． x－ey＋1＝0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 13．(1)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，求a的值； (2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，求b的值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 14．(1)求函数f(x)＝cos2(ax＋b)的导函数； (2)证明：若函数f(x)可导且为周期函数，则f′(x)也为周期函数； (3)已知y＝f(x)－3x是定义域为R的偶函数，f(x)的导函数f′(x)满足f′(1＋x)＝f′(1－x)，求f′(2026)的值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 (3)因为y＝f(x)－3x是定义域为R的偶函数，所以f(－x)－3(－x)＝f(x)－3x，即f(－x)＋3x＝f(x)－3x. 对f(－x)＋3x＝f(x)－3x两边求导，得－f′(－x)＋3＝f′(x)－3，即f′(x)＋f′(－x)＝6. 因为f′(1＋x)＝f′(1－x)，所以f′(x)的图象关于直线x＝1对称，则f′(x)＝f′(2－x)．用－x代替x，可得f′(－x)＝f′(2＋x)． 将f′(－x)＝f′(2＋x)代入f′(x)＋f′(－x)＝6，得 f′(x)＋f′(2＋x)＝6.① 用x＋2代替x，得f′(x＋2)＋f′(x＋4)＝6.② 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 由②－①，得f′(x＋4)＝f′(x)， 所以f′(x)是周期为4的周期函数， 所以f′(2026)＝f′(4×506＋2)＝f′(2)． 因为f′(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f′(2)＝f′(0)． 在f′(x)＋f′(－x)＝6中，令x＝0， 得2f′(0)＝6， 解得f′(0)＝3， 所以f′(2)＝3，即f′(2026)＝3. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 　　　　　　　　　　　　　 R yeq \o\al(′,x)＝yeq \o\al(′,u)·ueq \o\al(′,x) 1．(复合函数的概念)(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－eq \f(1,x)＋1 B．y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) C．y＝eq \f(1,ln x) D．y＝(2x＋3)4 2．(简单复合函数的求导问题)设f(x)＝ln (3x＋2)－3x2，则f′(0)＝(　　) A．1 B.eq \f(3,2) C．－1 D．－2 3．(与复合函数有关的切线问题)曲线y＝sin2x在点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,4)))处的切线的斜率是____． 4．(复合函数求导的实际应用)已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为____． eq \f(\r(3),2) 　下列函数中哪些是复合函数？若是复合函数，指出其复合关系． (1)y＝xln x；(2)y＝(a＋bx)5；(3)y＝ln eq \r(3,ex＋2)；(4)y＝3log2(x2－2x＋3)； (5)y＝sin3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))). 解　(1)不是复合函数． (2)是复合函数．对于y＝(a＋bx)5，可分解为y＝u5，u＝a＋bx. (3)是复合函数．对于y＝ln eq \r(3,ex＋2)，可分解为y＝ln u，u＝veq \s\up7(\f(1,3))，v＝ex＋2. (4)是复合函数．对于y＝3log2(x2－2x＋3)，可分解为y＝3log2u，u＝x2－2x＋3. (5)是复合函数．对于y＝sin3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))，可分解为y＝u3，u＝sinv，v＝x＋eq \f(1,x). 【跟踪训练】 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－eq \f(1,x) C．y＝2ln x D．y＝esinx 解　(1)∵函数y＝(3x－2)4由函数y＝u4和u＝3x－2复合而成，∴yeq \o\al(′,x)＝yeq \o\al(′,u)·ueq \o\al(′,x)＝(u4)′·(3x－2)′＝12u3＝12(3x－2)3. (2)∵函数y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成，∴yeq \o\al(′,x)＝yeq \o\al(′,u)·ueq \o\al(′,x)＝ (ln u)′·(6x＋4)′＝eq \f(6,u)＝eq \f(6,6x＋4)＝eq \f(3,3x＋2). 　求下列函数的导数： (1)y＝(3x－2)4；(2)y＝ln (6x＋4)；(3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝eq \r(3x＋5). (3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有yeq \o\al(′,x)＝yeq \o\al(′,u)·ueq \o\al(′,x)＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)． (4)函数y＝eq \r(3x＋5)可以看作函数y＝eq \r(u)和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有yeq \o\al(′,x)＝yeq \o\al(′,u)·ueq \o\al(′,x)＝(eq \r(u))′·(3x＋5)′＝eq \f(3,2\r(u))＝eq \f(3,2\r(3x＋5)). 【跟踪训练】 2．求下列函数的导数： (1)y＝e2x；(2)y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))；(3)y＝5log2(2x＋1)；(4)y＝eq \f(1,\r(3,－3x－1)). 解：(1)设u＝2x，则y＝eu， 所以yeq \o\al(′,x)＝yeq \o\al(′,u)·ueq \o\al(′,x)＝eu·2＝2e2x. (2)设y＝cosu，u＝2x＋eq \f(π,3)， 则yeq \o\al(′,x)＝yeq \o\al(′,u)·ueq \o\al(′,x)＝－sinu·2＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). (3)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝eq \f(10,uln 2)＝eq \f(10,（2x＋1）ln 2). (4)设u＝－3x－1，则y＝u－eq \s\up7(\f(1,3))， 所以yeq \o\al(′,x)＝yeq \o\al(′,u)·ueq \o\al(′,x)＝－eq \f(1,3)u－eq \s\up7(\f(4,3))·(－3)＝(－3x－1)－eq \s\up7(\f(4,3))＝eq \f(\r(3,（－3x－1）2),（－3x－1）2). (2)已知曲线y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线斜率为k，若|k|<1，求ω的值． 解：∵曲线y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω·\f(π,2)＋\f(π,3)))＝0， ∴ω·eq \f(π,2)＋eq \f(π,3)＝nπ＋eq \f(π,2)(n∈Z)，∴ω＝2n＋eq \f(1,3)(n∈Z)， 又y′＝－ωsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))， ∴k＝y′|x＝eq \s\do7(\f(π,2))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,3)))sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,3)))×\f(π,2)＋\f(π,3)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,3)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(nπ＋\f(π,2)))＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,3))).∵|k|<1，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,3)))<1，∴n＝0，即ω＝eq \f(1,3). 解　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln (2x)的切点为(x1，ln (2x1))，且x1>0， 直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln (－2x)的切点为(x2，－ln (－2x2))，且x2<0， 由y＝ln (2x)，得y′＝[ln (2x)]′＝eq \f(1,x)， 由y＝－ln (－2x)，得y′＝[－ln (－2x)]′＝－eq \f(1,x)， 则直线y＝kx＋b与曲线y＝ln (2x)相切时的切线方程为y－ln (2x1)＝eq \f(1,x1)(x－x1)， 即y＝eq \f(1,x1)x＋ln (2x1)－1， 直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln (－2x)相切时的切线方程为y＋ln (－2x2)＝－eq \f(1,x2)(x－x2)，即y＝－eq \f(1,x2)x＋1－ln (－2x2)，由题意， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＝－\f(1,x2)，,ln （2x1）－1＝1－ln （－2x2），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(e,2)，,x2＝－\f(e,2)，)) 故k＝eq \f(1,x1)＝eq \f(2,e)，b＝ln (2x1)－1＝0. (4)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义． 解　设f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝eq \f(π,12)t＋eq \f(5π,6)， 则s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·eq \f(π,12)＝eq \f(π,4)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))， 将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq \f(π,4)coseq \f(7π,3)＝eq \f(π,8). s′(18)表示当t＝18 h时，潮水高度上升的瞬时速度为eq \f(π,8) m/h. 解析：设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝eq \f(2,2x－1)，∴y′|x＝x0＝eq \f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5). eq \r(5) (3)已知函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线与函数g(x)＝eq \f(ex－1,a)的图象相切，则实数a的值为_____． 解析：由f(x)＝x2，得f′(x)＝2x，则f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线方程为y＝2x－1，设直线y＝2x－1与函数g(x)＝eq \f(ex－1,a)的图象相切于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(ex0－1,a)))，则g′(x0)＝eq \f(e x0－1,a)＝2，eq \f(ex0－1,a)＝2x0－1，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(ex0－1,a)＝2，,\f(ex0－1,a)＝2x0－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(3,2)，,a＝\f(\r(e),2).)) eq \f(\r(e),2) (4)有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝5－eq \r(25－9t2).求函数在t＝1时的导数，并解释它的实际意义． 解：函数s＝5－eq \r(25－9t2)可以看作函数s＝5－eq \r(x)和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．由导数公式表可得seq \o\al(′,x)＝－eq \f(1,2)x－eq \s\up7(\f(1,2))，xeq \o\al(′,t)＝－18t. 故由复合函数求导法则，得seq \o\al(′,t)＝seq \o\al(′,x)·xeq \o\al(′,t)＝1,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x－)) ·(－18t)＝eq \f(9t,\r(25－9t2))， 所以s′|t＝1＝eq \f(9,\r(25－9))＝2.25(m/s)． 它表示当t＝1 s时，梯子上端下滑的瞬时速度为2.25 m/s. 2．设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝(　　) A．ln 3 B．－ln 3 C.eq \f(1,ln 3) D．－eq \f(1,ln 3) 解析：因为f′(x)＝eq \f(1,（x－1）ln 3)，所以f′(2)＝eq \f(1,ln 3). 3．(多选)若函数f(x)＝eq \f(1,2)sin2x＋sinx，则f′(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．有最大值 D．有最小值 解析：∵f(x)＝eq \f(1,2)sin2x＋sinx，∴f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx＋\f(1,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,8)，当cosx＝－eq \f(1,4)时，f′(x)取得最小值－eq \f(9,8)；当cosx＝1时，f′(x)取得最大值2，且f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)是既有最大值，又有最小值的偶函数． 解析：因为水的初始温度为20 ℃，所以T(0)＝100－k＝20，解得k＝80，所以T′(t)＝8e－0.1t，则T′(10)＝eq \f(8,e)，所以加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是eq \f(8,e) ℃/min. eq \f(8,e) 解析：设f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.设g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝eq \f(1,x＋1)，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得eq \f(1,x0＋1)＝2，解得x0＝－eq \f(1,2)，则切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，a＋ln \f(1,2)))，切线方程为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋a＋ln eq \f(1,2)＝2x＋1＋a－ln 2，因为两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. 一、选择题 1．函数y＝eq \f(1,2)(ex＋e－x)的导数是(　　) A．y′＝eq \f(1,2)(ex－e－x) B．y′＝eq \f(1,2)(ex＋e－x) C．y′＝ex－e－x D．y′＝ex＋e－x 解析：y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（ex＋e－x）))′＝eq \f(1,2)[(ex)′＋(e－x)′]＝eq \f(1,2)(ex－e－x)． 3．设f(x)＝ln (2x－1)，若f(x)在x0处的导数f′(x0)＝1，则x0的值为(　　) A.eq \f(e＋1,2) B.eq \f(3,2) C．1 D.eq \f(3,4) 解析：由f(x)＝ln (2x－1)，得f′(x)＝eq \f(2,2x－1)，由f′(x0)＝eq \f(2,2x0－1)＝1，解得x0＝eq \f(3,2). 4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M0×2－eq \s\up7(\f(t,30))，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(单位：太贝克/年)，则t＝60时，铯137的含量为(　　) A．5太贝克 B．75ln 2太贝克 C．150ln 2太贝克 D．150太贝克 解析：因为M′(t)＝－eq \f(1,30)ln 2×M0×2－eq \s\up7(\f(t,30))，所以M′(30)＝－eq \f(1,30)ln 2×M0×2－eq \s\up7(\f(30,30))＝ －10ln 2，解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－eq \s\up7(\f(t,30))，所以t＝60时，铯137的含量为600×2－eq \s\up7(\f(60,30))＝600×eq \f(1,4)＝150(太贝克)． 5．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．下列四个函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x 解析：若f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，则f′(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，f″(x)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内恒有f″(x)<0；若f(x)＝ln x－2x，则f′(x)＝eq \f(1,x)－2，f″(x)＝－eq \f(1,x2)，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内恒有f″(x)<0；若f(x)＝－x3＋2x－1，则f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内恒有f″(x)<0；若f(x)＝－xe－x，则f′(x)＝(x－1)e－x，f″(x)＝(2－x)e－x，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内恒有f″(x)>0.故选ABC. 7．设f(x)＝ln (x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，若曲线y＝f(x)与直线y＝eq \f(3,2)x在点(0，0)处相切，则a－b＝___． 解析：由曲线y＝f(x)过点(0，0)，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln (x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b，得f′(x)＝eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,2\r(x＋1))＋a，则f′(0)＝1＋eq \f(1,2)＋a＝eq \f(3,2)＋a，此即曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．由题意，知eq \f(3,2)＋a＝eq \f(3,2)，故a＝0.故a－b＝0－(－1)＝1. 解析：∵f(x)＝sin(eq \r(3)x＋φ)，∴f′(x)＝eq \r(3)cos(eq \r(3)x＋φ)，∴f(x)＋f′(x)＝sin(eq \r(3)x＋φ)＋eq \r(3)cos(eq \r(3)x＋φ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋φ＋\f(π,3)))，∵y＝f(x)＋f′(x)为偶函数，∴φ＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，即φ＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝eq \f(π,6). eq \f(π,6) 三、解答题 9．求出下列函数的导数： (1)y＝sin(1－3x)；(2)y＝3ln (4x＋5)；(3)y＝eq \f(1,\r(4＋2x))；(4)y＝e－x＋2(2x＋1)5. 解：(1)y′＝－3cos(1－3x)． (2)由y＝3ln (4x＋5)，得y′＝eq \f(12,4x＋5). (3)由y＝eq \f(1,\r(4＋2x))＝(4＋2x)－eq \s\up7(\f(1,2))，得y′＝－eq \f(1,2)(4＋2x)－eq \s\up7(\f(3,2))×2＝－(4＋2x)－eq \s\up7(\f(3,2)). (4)y′＝－e－x＋2(2x＋1)5＋e－x＋2×5(2x＋1)4×2＝e－x＋2×(2x＋1)4(－2x－1＋10)＝(9－2x)(2x＋1)4e－x＋2. 10．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e－2t. (1)求汽水温度x在t＝1处的导数，并解释它的实际意义； (2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系：x＝eq \f(5,9)y－32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数． 解：(1)因为x′＝－32e－2t，所以x′|t＝1＝－eq \f(32,e2). 它表示在t＝1附近，汽水每小时大约降温eq \f(32,e2) ℃. (2)y＝eq \f(9,5)(x＋32)＝eq \f(9,5)(16e－2t＋36)，y′＝eq \f(9×16,5)e－2t×(－2)＝－eq \f(288,5)e－2t. 11．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2)，则切点的横坐标为(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C.eq \f(ln 2,2) D．－eq \f(ln 2,2) 解析：对f(x)＝ex＋a·e－x求导，得f′(x)＝ex－a·e－x.又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e-x0＝eq \f(3,2)，解得ex0＝2或ex0＝－eq \f(1,2)(舍去)，得x0＝ln 2.故选A. 解析：因为f(x)＝ex－1，所以f′(x)＝ex－1，所以f′(0)＝e0－1＝eq \f(1,e)，所以函数f(x)＝ ex－1的图象在点(0，f(0))处的切线的斜率为k＝eq \f(1,e)，又f(0)＝e0－1＝eq \f(1,e)，所以切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))，则函数f(x)＝ex－1的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y－eq \f(1,e)＝eq \f(1,e)(x－0)，即x－ey＋1＝0. 解：(1)由题设，知曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线的斜率为k＝－eq \f(1,2)，而由y＝e2ax，得y′＝2a·e2ax， 所以y′|x＝0＝2a＝－eq \f(1,2)，解得a＝－eq \f(1,4). (2)函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝eq \f(1,x)，函数y＝ln (x＋1)的导函数为y′＝eq \f(1,x＋1). 设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln (x＋1)的切点的横坐标分别为m，n，则切线方程可以写成y＝eq \f(1,m)(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝eq \f(1,n＋1)(x－n)＋ ln (n＋1)．整理后对比，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＝\f(1,n＋1)，,ln m＋1＝ln （n＋1）－\f(n,n＋1)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,n＝－\f(1,2)，))因此b＝1－ln 2. 解：(1)由f(x)＝cos2(ax＋b)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cos(2ax＋2b)， 得f′(x)＝－eq \f(1,2)sin(2ax＋2b)·2a＝－asin(2ax＋2b)． (2)证明：设f(x)的周期为T，则f(x)＝f(x＋T)． 所以f′(x)＝[f(x＋T)]′＝f′(x＋T)·(x＋T)′＝f′(x＋T)， 即f′(x)为周期函数，且周期与f(x)的周期相同． $