4.2.2 第1课时等差数列的前项和公式-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第四章数列 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.设数列{am},{bn}都是等差数列，且a1=25,b1= 75,a2十b2=100,则由am十bm所组成的数列的第 37项的值为 ( A.0 B.37 C.100 D.-37 2.在等差数列{an}中，若a2十a4十a6十ag十a10= O D 80,则a7- 2as的值为 图1 ( 图2 A.0.75B.0.8 C.0.85 D.0.9 A.4 B.6 C.8 D.10 :4.目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某 3.(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的： 家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数 举架结构，AA',BB,CC',DD'是桁，相邻桁的水 列，且第2个月利润为2500元，第5个月利润为 平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代： 4000元，第m个月后该网店的利润超过5000 建筑屋顶截面的示意图，其中DD1,CC1,BB1, 元，则m= ( AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相 A.6 B.7 C.8 D.10 邻价的拳事之比分别为品=05瓷=， 5.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内 角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 船-合-6：已知成公考为@1 等于 () CB A.12 B.16 C.9 D.16或9 的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3= ( 温馨提示 请做课时分层检测（四） 4.2.2 等差数列的前n项和公式 第一课时等差数列的前n项和公式 明学习目标 知结构体系 课标 1.探索并掌握等差数列前项和公式. 前n项和公式的推导 要求 2.理解等差数列的通项公式与前项和公式的关系. 等差数列的 前n项和公式的应用 重点 重点：等差数列前项和公式及其性质的应用. 前n项和 难点 难点：等差数列前n项和公式的应用. 前n项和性质及应用 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 等差数列的前n项和公式 (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中， 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”. 求和公式 即时小练 微点注解 1.在等差数列{an}中，S10=120,那么a1十a1o= 在a1,d,n,an,Sn中，“知三求二” A.12 B.24 C.36 D.48 (1)在等差数列{an}中，an=a1十(n-1)d,Sn=2.已知等差数列{am}的前n项和为Sn,若a4= a中a或5，=a+2.两个公式共 18-a5,则S8等于 () 2 A.72 B.54 C.36 D.18 涉及a1,d,n,an及Sm五个基本量，它们分别表3.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn,若a6 示等差数列的首项、公差、项数、末项、前n项和.=2且S=30,则Sg -13 数学选择性必修第二册 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一等差数列前n项和的基本运算 题点二等差数列前n项和的性质及应用 [典例]在等差数列{am}中： [典例门 (1)在等差数列{am}中，a1=1,其前n项 (1)已知a5+a10=58,a4十ag=50,求S10; 和为5，若交-音=2.则5等于 () (2)已知S7=42,Sn=510,am-3=45,求n. A.10 B.100 C.110 D.120 (2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和 为100，求数列{an)的前3m项的和S3m· (3)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为 s,和T,已知2-十考*袋的值 /方法技巧/ 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值， 题目条件 等差数列的通项公式 等差数列的前n项和公式 (建立方程（组） 注意整体 : …/方法技巧/… 代入思想 (解方程（组）求出未知量 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (2)利用等差数列的性质解题. (1)整体思路：利用公式S,=na十a》,设法 S=n(aita,) 求出整体a1十am,再代入求解. 2 简化计算 (2)待定系数法：利用当公差d≠0时Sm是关于 若m+n=p+g(m,n,p,q∈N, n的二次函数，设Sn=An2十Bn(A≠0)，列出 则am+am=ap+ag 方程组求出A,B即可，或利用是关于m的 对点训练 次函数，设S=am十b(a≠0)进行计算。 (2023·全国甲卷)记Sm为等差数列{an}的前n 项和.若a2十a6=10,a4ag=45,则S5=( ) (3)利用Sm,S2m一Sm,S3m一S2m成等差数列进行 A.25 B.22 C.20 D.15 求解： 14 第四章数列 对点训练 收数列倍}是递增的等差数列 1.等差数列{an}共有2n+1项，所有的奇数项之和 C.若a,=,且{S}为等差数列，则c=0 为132，所有的偶数项之和为120，则n等于 An+c D.若a7=0,则方程Sn=0有唯一的根n=13 2.(2023·新课标I卷)记Sn为数列{an}的前n项 /方法技巧/ 和，设甲：。，为等差数列：乙：}为等差数列： 若数列{an}是公差为d的等差数列，则其前 n项和可表示为Sm=An2十Bn(n∈N*),其中A 则 ( d ,B=a1- A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 当间葛涉及等差数列的前》项 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 和时，即可设其前n项和为Sn=An2十Bn(A,B C.甲是乙的充要条件 ∈R,n∈N*),再结合题设条件解决间题 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 对点训练 题点三等差数列前n项和公式的应用 1.若等差数列{am}满足a2=7,a5=19且a1十a2十 [典例]（多选）已知等差数列{an}的公差d>0,其 …十am=am2+bm,则ab= ( ) 前n项和为Sn,则下列命题正确的是 ) A.1 B.2 C.12 D.4 ( A.数列{an}递增 2.已知数列{a,}的前n项和Sm=n2十2n-1(n∈ N*),则a1+a3十a5+…十a25= 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知等差数列{an)的前n项和为Sn,且a4十a7=:4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具， a6十3，则Sg= ( 其中最简单的二阶行列式的运算定义为 A.27 B竖 C.9 D.3 a11 a12 =a11a22一a21a12,已知S,m是等差数 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1= a21 a22 -2021,S6-2S3=18,则S2023= 1 )1 (10-a7) 列{an}的前n项和，若 =0,则 A.-2021 B.2021 1 ag C.2022 D.2023 S15= 3.(多选)已知等差数列{am}的前n项和为Sn,公差： B.45 为d,则下列数列为等差数列的是 ( ) A号 A.SS2n:S3n C.75 D.150 B.Sn S2n-Sn Ssn-S2n 5.记Sm,Tm分别为等差数列{am},{bn}的前n项 C.S.Srt S+2 n’n+1'n+2 有：子一听 n+1n+2 温馨提示 请做课时分层检测（五） 第二课时 等差数列的前n项和的应用 明学习目标 知结构体系 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系， 课标 并能解决相应的问题. 等差数列前n项和的实际应用 要求 等差数列 2.会求等差数列前项和的最值 前n项和 等差数列前几项和的最值 的应用 重点 重点：等差数列的实际应用及最值问题！ 等差数列前n项的绝对值之和 难点 难点：同重点. 153.D OD=DC=CB=BA=1,DD=0.5,CC=1,BB= (2)解法一在等差数列中， k2,AA1=k3, 一S2m成等差数列， 依题意，有k3一0.2=k1,k3一0.1=k2 ∴.30,70，S3m-100成等差数列， 且DD+CC+BB+AA=0.725. 2×70=30+(Sm-100),.S3m=210. OD+DC+CB+BA 所以05+36,0.3-0.725，故，=0.9.] 法二在华及装到中二会二或学送英列 4.B[设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{an},公差为 3m 4,则a:=2500,a=400。由a=a,+3d,即4000=2500+3d,得 所以2mm 即Sm=3(S2m-Sn)=-3×(100-30)=210. d=500.由am=a2十(m-2)×500=5000,得m=7.] 5.C[设凸多边形的内角组成的等差数列为{an},则a,=120十5(n-1) 2(a1十a) 9(a1十a4) 2 =5十115，由am180,得n<13且n∈N*,由n边形内角和定理得， (3)解 Sg_7×9+2_65 b 9(61+63)T 9+3 -12 Ga2×180=mX120+1"2×5,解得=16或m=0.:nK13.对点训练 子a+b,) 2 .n=9.」 S2m+1 4.2.2等差数列的前n项和公式 1.10[因为等差数列共有2n十1项，所以S4一S%=an+1=2m十： 第一课时等差数列的前n项和公式 必备知识·自主梳理 即182-120-1+2解得。=10.】 S=u(aita) S。=na+nn1d 2.C[方法1甲：{an}为等差数列，设其首项为a1,公差为d, 2 即时小练 果品+。以，-a+-号+a号斜 2 1.B SI= 10(a1十a1o) 2 =120,.a1十a10=24.] S= 2 2.A[由a1=18-a5,可得a1十a5=18,所以Ss= 8(a1十ag) 2 国光{侣}为等差数列，则甲是乙的充分条作： 4(a1十a5)=4×18=72.] 26 反之之：停}为等装教列，即斜一号-s8 n(n+1) 3.32[由已知可得a+5d=2, a1-31 15a1+10d=30.解得 4 41S为常教，设为 n(n+1) S=8a1+874=32.] 即+1一S n(n+1) =t,则Sn=na+1-t·n(n十1)，有S,-1=(n-1)an t·n(n-1),n≥2， 关键能力·合作探究 两式相减得：an-an+1-(n-1)an一21n,即an+1一am=21,对n=1 题点一 也成立， [典例]解(1)法一由已知条件得 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， ∫a5十a1o=2a1+13d=58, 所以甲是乙的充要条件，C正确 (a1+a4=2a1十11d=50, 方法2甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项a1,公差为d,即S 解释日 =na+unDd, 2 .S1o=10a1+ +10X00-D4=10x3+10X9×4=210. 2 则=a+,Dd=号 2 号，因此侣}为等差数到，即甲 n 法二由已知条件得 是乙的充分条件； ja5十a1o=(a1+a1o)+4d=58, (a1+ag=(a1十a1o)+2d=50, 反之乙}为等差数列，即三D n十1n ,S=S1+(m-1)D, a1十a10=42, “So=10(a+ao) 即Sn=nS1十(n1)D,Sm-1=(n-1)S1十(n-1)(n-2)D, =5×42=210, 当n≥2时，上两式相减得：Sn-Sn-1=S1十2(n-1)D,当n=1时， 上式成立， （2S,-7a+a2=7a,=42,a4=6. 于是a,=a1+2(n-1)D,又an+1an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D] 2 =2D为常数， Sn=n(a十a2_n(a1十a,-3） 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 2 2 所以甲是乙的充要条件. =n(6+45)=510. 故选：C.] 2 !题点三 n=20 [典例]解析因为数列{an}是公差d>0的等差数列，所以an+1 对点训练 am=d>0,所以数列{an}递增，故A正确； C方法一授等差数列a的公差为d,首项为a,依题意可得， a2十a6=a1十d十a1十5d=10,即a1十3d=5, 等差到的前n项和为S号十（包号）…所以子-号十 又a1ag=(a1十3d)(a1十7d)=45,解得：d=-1,a1=2, d a 所以5，=5a1+54×d=5×2+10=20. ，所以数列{}是递增的等差教列，故B正确： 2 故选：C. 若an=,则S= 2n(n十1)，所以 S,=n(n+1) n+c 2(n+c) 方法二a2十a6=2a1=10,a1a8=45,所以a1=5,ag=9, 因为{S}为等差数列，所以 S2 (n十c) 从而d0841,于是a=a1d=51=4 1×2 3×4 所以S5=5a3=20. 21叶)十23十口解得c=0或c=1,经检验，均符合题意，故C 故选：C.」 错误： 题点二 [典例](1)解析：(an)是等差数列，a1=1, 若a=0,则S13 13a十@=13a,=0,即方程5.=0有唯-的 “{件}也是等差数列且首项为子=1。 根n=13,故D正确.故选A、B、D. 答案ABD 又号-2 ,对点训练 ·{倍}的公差是1… {+'i解得径5=a+a 1,B[由a=7a=19,得a十d7,。 +…+a,=3m+u",X4=2m+n=am2+bm.a=2.6=1,ab ÷器-1+a00X1=10 2 =2. S0=100. 2.350[当n=1时，a1=S1=12+2X1-1=2; 答案B 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n十1， 141 经检验，当n=1时，1=2不符合上式， !题点二 a,=2n=1, :[典例]解(1)设等差数列{an}的公差为d, 12n十1，n≥2，n∈N*, 因此{am}徐第1项外，其余项构成以a2=5为首项，2为公差的等差！ 由题意得21十9118， 数列，从而a3a5…,a25是以a3=7为首项，4为公差的等差数列， +×4-=16释径g. ∴.a1十ag十a5十…+a2s .an=3n-12. -41+(12a+21×4）=350.] 2法-8-aa2-÷8m-21=2(口-子）1g 2 89 素养演练·提升技能 ∴.当n=3或n=4时，前n项的和取得最小值，最小值为S3=S1 1.A[因为{an}为等差数列，所以a1十a7=a6十a5=a6十3，解得a5= 18. 3,所以5，=9a十a_9X2a=9a,=27,故选A] 2 2 法二设Sn最小，则a≤0， 2.D[(1)设等差数列{a}的公差为d. (an+1≥0， a1=-2021,S6-2S3=18, 即3n-12≤0， 13(n+1)-12≥0，解得3≤n≤4， 6a+5,d6a,-2x82.d=18 又n∈N“,∴.当n=3或n=4时，前n项的和取得最小值，最小值为 Sg=S1=-18. 整理可得9d=18,解得d=2. [拓展] a2023X-22+2023X2022X2=2023.故选D.]1.解5今X5Xa+a:)号X5X2a,=5a=125,故a 2 3.BC na +aDd,S=2ma+2n(2 Dd. a10-a3=7d,即d=-1<0,故Sn有最大值， 2 3ma1+3n(3m-1)d an=a3十(n-3)d=28-n. 2 设S,装大，则{00，解得27≤n≤28，即51和Ss大，又a白 S。-Sn=ma1+2n(2,1)dn(n-1)d. 2 27,故51=52s28(27+0)-378. S,-S,=a+3m321d2n(2m-1Dd 2 2 2.解法一因为S,=S1=一18为Sn的最小值，由二次函数的图象 显然Sn,S2m,S不成等差数列， 7 可知，其对称轴为直线x=之，所以当x=0或x=7时，图象与x轴 且2(S2n-Sn)=Sn+(Sn-S2n)=2na1十n(3n-1)d, 所以Sn,S2n一Sn,Sn一S2n是等差数列. 的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N”,所以S=0,所以n=7. 由Sn=na1十n(n1)d 2 法二因为S,=S所以a1=S,-5,=0,故S,=之×7X(a1十 得号=a1+0,4 a7)=7a1=0,所以n=7. 2 :3.解(1)设数列{a}的公差为d. 所以二岩带成浮数到 依题客有十1a十d 15a1+15144=75, 4.C[由行列式的定义有1×a-1×(10-a:)=0,即a1十7d=ag=! 2 5,所以S6-15Ca,十as)_152a=75.故选C.] 解得∫a1=-2, 2 2 d=1, 5号[S,工分别为等姜载到@，6)的前m项和， Sn S.=a1+n,1D4=-2n+un,1)_n,50 2 2 2 ”十1，.不妨设5，=n(n十1)，T,=n(2n十3)m≥2时，a=S (2)法-由(1)知S,5☑ 2 S6=7X8-6×7=14,b=T。-Tg=9×21-8×19=37,则 a ③=n-5 b 2 =] 2 第二课时等差数列的前项和的应用 关键能力·合作探究 “数列(6，是公差为分的等差数列， 题点一 [典例]解(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N“,1≤n≤ 首项4-号-a=一2 31),最多售出a件. 由题意知∫a4=3十3(k-1), 又工，为数列{侣}的前：项和， (a-2(31-k)=3, 解得了=13， T.=-2n+里×含2 2 (a5=39, 2 81 .7月13日该款服装销售最多，最多售出39件 ()器 (2)设Sn是数列{an}的前n项和， a。=3n1≤n≤13， .当n=4或n=5时，(Tn)mm=-5. 165-2n,14n31, 法二 易知6，=”，5，由么.≤0， 2 (3+3n)n,1≤n≤13， (bn+1≥0， 解得4≤n5. .Sn= 2 273+(51-n)(n-13),14n≤31. 故Tn的最小值为T1=T5=-5. S13=273>200, !题点三 ∴.当1n≤13时，由Sn>200,得12≤n≤13， :[典例]解(1)设等差数列的公差为d, 当14n31时，日销售量连续下降， 由am20,得23n31, 由题意可得a+d11 {5w=1au+1o9=40 ,∴.该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）. 对点训练 1.7[设m分钟后相道，依题意，有2十n”,卫+5m=70,整理得r 中包十g释{侣。 d=-2' 2 所以an=13-2(n-1)=15-2m, 十13n一140=0.解得n=7或n=一20（舍去）.所以相遏是在开始运1 （2周为5.=13+)5-2m=14mm, 动后7分钟，] 2 2.解将李强每一天跑的路程记为数列{an},由题意知，{an}是等差 数列，则a1=500,公差d=40.所以S1o=10a1+10X10-卫4 令a,=15-2>0,解得a<号，且a∈N, 2 当n≤7时，则an>0,可得Tn=a1十a2|十…十|an=a1十a2十 =10×5000十45×400=68000，故李强10天一共跑了68000m. …十an=Sn=14n-n； 142