4.2.1 第1课时等差数列的概念及通项公式-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第四章数列 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知数列{am}满足a1=0,a2=1,am= (2am-1n为偶数， (2十am-2n>1,且n为奇数， 则解下5个圆环所需的最 则数列{an}的前： (2an-1+1,n为奇数， (2am-2,n>2,且n为偶数， 少移动次数为 10项和为 ( : A.48 B.49 C.50 D.51 2.(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任 务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕： 太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期： 与地球绕日周期的比值，用到数列{bn:b1=1十 A.5 B.10 C.21 D.42 1 a·b2=1十·bg=1十 01十 十…，依此4设有穷数列a的前”项和为S令工 g+1 S十S2十+S,称Tn为数列a1a2…a,的 a3 类推，其中a6∈N*(k=1,2,…).则 “凯森和”.已知数列1,2,4，a的“凯森和”为6，则 A.b1<05 B.b3<bs a () C.b6<b2 D.6<b7 A.6 B.5 C.4 D.3 3.如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益5.数列{am}的前n项和为Sn,若Sm十Sm-1=2n一1 智玩具.在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用： (n≥2)，且S2=3,则a1十ag的值为 an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少 温馨提示 请做课时分层检测（二） 移动次数，数列{an}满足a1=1,且am= 4.2.1 等差数列的概念 第一课时 等差数列的概念及通项公式 明学习目标 知结构体系 课标 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念 等差数列的概念 要求 2.理解等差数列通项公式的意义. 等差 等差中项 定义法 重点：等差数列通项公式的应用. 重点 列 等差数列的通项公式 等差中项法 难点：理解等差数列的概念及等差数列通项公式的 难点 应用. 等差数列的判定 通项公式法 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)等差数列的概念 微点注解 1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一 对等差数列概念的解读 项与它的 的差都等于 常数，那 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法 文字语言 么这个数列就叫做等差数列，这个 与后续条件中“与前一项的差”相吻合。 做等差数列的 ,公差通常用字母 (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是 表示 指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺 递推公式 a+1一a,=d(d为常数) 序；②这两项必须相邻. 数学选择性必修第二册 (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前 微点注解 一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为 等差数列. (1)等差数列通项公式与一次函数的关系 2.等差中项 由等差数列的通项公式an=a1十(n-1)d可得an= (1)条件：如果a,A,b成等差数列. dn十(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项. 十q,其中p,q是常数.当p≠0时，am是关于n的一 (3)满足的关系式是 次函数；当p=0时，am=q,等差数列为常数列. 即时小练 (2)等差数列通项公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式an=a1十(1-1)d 1.判断正误 四个参数 a'd,n,an (1)常数列是等差数列. ( 知a1,d,n求an (2)一1，一2，一3，一4，一5不是等差数列.( 知a1,d,an求n (3)若数列{an}是等差数列，则其公差d=a7一ag “知三求一” 知a1,n,an求d ( 2.(多选)下列数列中，是等差数列的是 知d,n,an求a1 A.1,4,7,10 B.1g 2,1g 4,1g 8,1g 16 C.25,24,23,22 即时小练 D.10,8,6,4,2 3.在△ABC中，三内角A,B,C成等差数列，则B:1.已知等差数列{am}的首项a1=2,公差d=3,则 等于 数列{an}的通项公式为 ) (二)等差数列的通项公式 A.an=3n-1 B.an=2n+1 以首项为a1,公差为d的等差数列{am}的通项公 C.a=2n+3 D.am=3n十2 式为an= 2.等差数列一3，-1,1，…的通项公式为a,= 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一等差数列的通项公式及应用 对点训练 [典]（1)在等差数列1a,中，若a:=1a:=5·1.已知数列e,为等差数列a=号a,=一子则 求a10. (2)已知递减等差数列{am}的前三项和为18，前 a15的值为 三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断一2.已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为 34是该数列的项吗？ 21,前三项之积为231，求数列{am}的通项公式. /方法技巧/ 求等差数列通项公式的步骤 求关键量 求出等差数列的首项和公差 直接计算 列方程（组)》 计算 代入通项 将首项和公差代入a=a,+(n-1)d 公式 8 第四章数列 ;[拓展] 题点二等差中项及应用 [典例]在一1与7之间顺次插人三个数a,b,c,使 将本例中的条件“a1=2,an+1三。十2”换为“0 这五个数成等差数列，求此数列： =a,=>.记么之”试证明 an-1 数列{bn}为等差数列， /方法技巧/… 等差中项的计算 /方法技巧/ (1)条件：若A是a与b的等差中项. 1.定义法判定等差数列 (2)计算公式：A=a+b (1)条件：a+1一an=d(常数)(n∈N*)或am 2 -am-1=d(常数)(n>1,n∈N*). 对点训练 (2)结论：{an}是等差数列. (3)应用范围：通常用于解答题 1.等差数列{am)的前三项依次为x,2x十1,4x十2， 2.通项公式法判定等差数列 则x的值为 ( ) (1)条件：数列{am}的通项公式满足一次函数 A.5.x+15 B.2x+1 关系式an=kn十b(k,b是常数). C.2 D.0 (2)结论：{an}是等差数列. 2.已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中 (3)应用范围：通常用于选择、填空题 项是10，则m和n的等差中项是 题点三等差数列的判定或证明 对点训练 2an :1.数列{am}的通项公式an=2n十5(n∈N*),则此 [典例]已知数列{am}满足a1=2,am+1= an+2. 数列 ( A.是公差为2的等差数列 数列{公}是否为等差数列？说明理由。 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 2已知日方二成等老数列，求证：生，片，出 也成等差数列. : 数学 选择性必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)设d为正项等差数列{am}的公差，若d>:4.(2022·全国乙卷)记Sm为等差数列{an}的前n 0,a3=2,则 ( ) 项和.若2S3=3S2+6,则公差d= A.a2a4<4 B.ai+a4>15 5.(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项 4 C.1+1>1 D.aas>azas 和6为数列线的前n发积，已知号名=2 a5 (1)证明：数列bn}是等差数列. 2.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测 (2)求{am}的通项公式. 量影子的长度.《周髀算经》中记载：一年有二十 四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节 气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变： 化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大 寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小 满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数 列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5 尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬 至的日影长为 ( ) 晷长逐渐变小 春分 雨水惊蛰0清明谷雨 立春330 ,30立夏 。 大寒300 ·60小满 小寒。 。芒种 冬至270 90夏至 大雪· ·小暑 小雪2 立210 120大客 立秋 。150 霜阵寒露180白露处暑 秋分 晷长逐渐变大 A.11.5尺 B.12.5尺 C.13.5尺 D.14.5尺 3.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容 温馨提示 请做课时分层检测（三）》 积共4升，则第5节的容积为 升 第二课时 等差数列的性质及应用 明学习目标 知结构体系 1.了解等差数列的有关性质 课标 2.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应 等差数列的实际应用 要求 的问题. 等差数 项与序号的关系 等差数列的性质 重点 重点：等差数列的实际应用及其性质的应用 等差数列的性质 等差数列的综合问题 难点 难点：等差数列性质的应用 10对点训练 ,数列{an}是递减等差数列，∴.d<0. 1.2X31[调为a4=s,-5,=43卫-32-D-4(81- 故取a1=11,d=-5,.an=11+(n-1)·(-5)=-5n十16. 2 2 2 即等差数列{an}的通项公式为an=-5n十16. 27)=27a1=54,所以a1=2,所以Sn=3"-1. 令a,=-34,即-5n十16=-34，得n=10. 当n≥2时，a=Sn-5n-1=3”-1-(3”-1-1)=2×3m-1 ∴.一34是数列{an}的第10项. 当n=1时，2×31-1=2=a1, :对点训练 故数列{an}的通项公式为an=2×3”-1,] 1. 3头[设教列{a,}的公差为d,由a1=a十(7-3)d, 4 2.解因为2S,=(n十1)an,n∈N“, 所以2Sn+1=(n十2)an+1,n∈N*, 即-？5 4=星十4d,解得d=-3」 49 两式相减得2am+1=(n十2)am+1-(n十1)an, 整理，得nam+1=(n十1)an a=a+15-3d=号+12×(）] 即异号-号，所以{}为常数列 :2.解法一根据题意，设等差数列{am}的前三项分别为a1,a1十d, a1+2d, 所以号-兰=2 则4+a2. 所以an=2n. 即3a1+3d=21, 素养演练·提升技能 (a1(a1+d)(a1+2d)=231, 1.D[由题意得，a=2十a1=2,a:=2+a=4,a=2十a:=6,a= 解释但”或{8： 月三一4 2十a7=8, a1=2a2=2,a6=2a1=4,a%=2a6=8,a1o=2a%=16 因为数列{an}为单调递增数列， 所以前10项和为0十1+2+2+4+4+6十8十8十16=51.故选D.]1 所以01=3， 1d=4. 2D[当n取奇数时，由已知=1+6=1十 一，因为 1 故等差数列{an}的通项公式为an=4n一1. 1 法二由于效列{am}为等差数列，因此可设前三项分别为a一d,a, a2十a atd, 11 一，所以b1>b,同理可得b3>b,b>b,…,于是可 手是可得{积0t时十0-对i a a1十- ,1 即/3a=21, ag十ag {a(a2-d2)=231, 得b1>b>b>b,>…,故A不正确：当n取偶数时，由已知b2=1 1+1 一，因为1> 解得但支侣 一，所以 a2 1 a1+ a2十 由于数列(a,}为单调递增数列，所以a=7, 1 0d=4. ag十 故等差数列{an}的通项公式为an=4n-1, 题点二 b<b1,同理可得b1<bs,bs<bs,…,于是可得b2<b1<b<bs<…, 1[典例]解一1，a,b,c,7成等差数列， 故C不正确：调为>工所以6>，同理可得> ,b是一1与7的等差中项， a1a十a2 b=1,+=3. 2 b6,b,>bs,又b3>b1,所以b3>bg,故B不正确.故选D.] 又a是-1与3的等差中项a=二1)十3=1， 3C[由a-{径为年我得e=2a十1=+1 2 又c是3与7的等差中项，c=3十7=5. 2 4(2a2+1)+1-8a2+5=16a1+5=21.故选C.] ∴.该数列为-1,1,3,5,7 4.A[由已知可得5+S+S+5=1+1+2)+1+2+0+1+2+4十@对点训练 4 4 1.D 5.、1用为S52m1(m≥2)，令n=2,得s,十5=3，由2.6[由题意得{十208X2,16 =6,解得a=6,故选A.] 12m+n=10×2=20, S2=3,得a1=S1=0,令n=3,得S4十S2=5,于是有S3=2,则a4= .3(m+n)=20十16=36，.m+n=12, S3一S2=1,所以a1十a=0十(-1)=-1.] .m十n=6.] 4.2.1 等差数列的概念 2 第一课时等差数列的概念及通项公式 题点三 必备知识·自主梳理 :[典例] 解教列{1}是等差数列，理由如下： (-) 2an 1.2前一项同一个常数公差d2.(3)2A=a十b :a1=2,aa+1-an+2 即时小练 am十21 1.(1)/(2)×(3)×2.ABD 3.60°[因为三内角A,B,C成等差数列，所以2B=A十C,又因为A十 a+1 2an B十C=180°，所以3B=180°，所以B=60°.] 的。=7，公益为d=之的等差数列。 即数列{上}是首项为上=号， (二) [拓展] a1+(n-1)d 1 .1 即时小练 1.A[an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.] 证明b+-ba,+2a,24-）2a,2 2.2n-5[由题知，a13,d=2,所以4n3+(1二1)×2=！ 1 an-21 2n-5.] 2(a,-2an-2-2(a,-2)2 关键能力·合作探究 1 题点一 [典例]解(1)设{an}的公差为d. 则a十d1解得a=12故a1o=12-9=3. :最列6，}是首项为子公羞为之的等差致列。 a1+7d=5, d=-1, !对点训练 (2)依题意得1十a十a=18, 1.A[:m+1-am=2(n十1)+5-(2n十5)=2，.{an}是公差为2的 (a1·a2·a3=66, :等差数列.] 3a1+3d=18, 2.证明：上，人，1成等差数列， a'b c {a1·(a1+d)·(a1+2d)=66, 解释 号-+即2ac=a+0. 139 :+c十a十b=c(b十c)+a(a十b)=a2+c2+b(a十c_!对点训练 ac ac 1.解设从第一年起，第n年的利涧为an万元，则a1=200,am+1一an a2+c2+2ac_2(a+c)2_2(a+c -20(n∈N*), ac b(a十c) b ∴.每年的利润构成一个等差数列{an}, 十c,a十c,a十也成等差数列. 从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n. 若a,n<0,则该公司经销这一产品将亏损. 素养演练·提升技能 ∴.由an=220一20n<0,得n>11,即从第12年起，该公司经销此产 品将亏损。 1.ABC[由题知，只需22>00<dK1,aa4=(2-4小(2+d)2.2031L设m年后该市新建住房的面积为an万平方来. d>0 =4-d<4,A正确：a+a1=(2-d)2+(2+d)=d-3d+6>4> 由题意，得{an}是等差数列，首项a1=450,公差d=50, 所以am=a1十(n-1)d=400十50n. 只B正确+士 a+a-2-2ad十2+2ad1-d >1,C正确；a1a5- 42 令400+50m>820,解得n>5 a2a1=(2-2d)(2+2d)-(2-d)(2+d)=-3d<0,所以a1a5< 由于n∈N*,则n≥9. a2a1,D错误，] 所以该市在2031年新建住房的面积开始大于820万平方米.] 2,C[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊垫、春分、题点二 清明，谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数：[典例」解(1)，{αn}为等差数列， 列，设冬至的日影长为a1,公差为d,则a1十a1十a?=31.5,a3十a6十： .a15a30a5a60a5也为等差数列，设其公差为d, a9=25.5,两式相减得-6d=6,解得d=-1,所以a1十a1十a?= 则ao=a15十3d=8+3d=20,解得d'=4. 3a1+9d=31.5,解得a1=13.5.] .a75=a50十d'=24. 7 3.66 (2),a1+a5十a6+ag=2(a1十a7）=56, [设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 a1十a?=28,又a1·a7=187, 13 {a十a十ata1=3.{4a十6d=3,解得 a1-22' .a5=a1+ 88招88 d=-2. la7十as十ag=4, (3a1+21d=4, 7 d661 (3):{an}是等差数列，.a1十a1r=a3十a1s=2ag, .ag=117,.a3十a15=2ag=234. 4d=2是+4×-器] 767 :对点训练 :1.B[由等差数列的性质，得a1十a2o11=a2十a2010=2a106·因为 4.2[因为2S3=3S2十6，所以2(a1十a2十a3)=3(a十a2)十6，化简 a1,a2o11是方程x2-10.x十16=0的两根，所以a1十a2o11=10.所以 得3d=6,得d=2.] 5解1)证明由受+ a十aw6ta41o=号×10=15.] 12， 2.BD[设等差数列{an}的公差为d,易知d>0.:等差数列{an}满足 S a1十a2十ag十，十a101=0,且a1十a101=a2十a100=·=a50十a52= 得6，=2(S,五=立十2S,- 2a51.a1十a2十a3十…十a1o1=(a1十a1o1)+(a2十a1w)十…十(a50 亦可得2+是-25，=2+ 1(n≥2)， 十a52)十a51=101a51=0,a51=0,a1十a101=a2十a10w=2a51=0, 故BD正确，A错误.又：a1=a1十50d=0,…a1=-50d,a3十 a10=(at2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2X(-50d)+101d=d 即6-125，-Dn≥2)，所以6.-6-1=之 >0,故C错误.」 题点三 由号+-2可得= :[典例]解法一由题可知，第一个数列是首项为2，公差为3的等 差数列，记为{an},则其通项公式为a,=3n一1： 所以，}是首项为》，公差为二的等差教列. 第二个数列是首项为2，公差为5的等差数列，记为{bm},则其通项 公式为bm=5m一3. (2②)由1)知6，-号+之-1)-1+号 若数列{an}的第n项与数列{bm}的第m项相同，即an=bm,则3n 1=5m-3, 1+受 2(n≥2 =5m2=m+2m). 所以S.1+”于 3 又n∈N”,∴.必有m-1=3k,即m=3k+1(k为非负整数)， 2 又25m-3197,.1m40,,.m=1,4,7,…,40. 当n=1时，5=6=三，满足上式，所以S,- .两数列的公共项为2,17,32，…，197. n十1 设公共项从小到大依次排列构成的数列为{。)，则其通项公式为 6,=15p-13,公共项有401+1=14（个）. 3 当m=1时，a1=S1=h=2≠一交： 法二设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{c},则 c1-2 2,n=1, ,两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3,5，∴.数列{c。}仍 所以an n∈N", 为等差数列，且公差d=15.,.c。=c1十(p-1)d=2十(p-1)×15= 15p-13. n ,n2, 令2≤15力一13≤197，知1b≤14，.两数列共有14个公共项. 第二课时 等差数列的性质及应用 :对点训练 必备知识·自主梳理 解在数列{an}中，a1=5,公差d1=8一5=3， 1.(2)ap十ag ①2a an=a1+(n-1)d1=3n十2. 即时小练 在数列{bm}中，b1=3,公差d2=7-3=4, 1.C[a3十a1十a5=3a1=12,a1=4.] .bm=b1+(m-1)d2=4m-1. 2.B[由题意得4d=a;-a=-5-7=-12,所以d=-3.] 4一1 令an=bm,则3n+2=4m-1,…n= 3.3d[(an+1+2an+3)-(an+2an+2）=(am+1-an）+2(am+3a+2） =d+2d=3d.] ,m,n∈N*,∴.m=3k(k∈N*), 关键能力·合作探究 又8000即81010.<<9 0<n100, 题点一 .k=1,2,3,…,25,∴.两个数列共有25个共同的项 [典例]解析设该等差数列为{n},冬至、小寒、大寒、…芒种的日 影于长分别记为a1,a2,a…,a12,公差为d,由题意可得， !素养演练·提升技能 1.C[设c a+a1+a=37.5,即3a1+9d=37.5, =an十bn,由于{an},{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差 数列，设其公差为d,则c1=a1十b1一25十75=100，c2=a2十b,= (a12=4.5, a1+11d=4.5, 解得1=15.5， 100.故d=c2-(1=0.故cn=100(n∈N“).从而c37=100.] d=-1. 2.C[:a2十a1+a6十ag十a10=5a6=80,a6=16a?-2a8 所以立夏的日影子长为a10=a1十9d=6.5(尺). 答案D 3(2az-as)-3(as+as-ax)-as-8.] 140