4.1 第2课时数列的推公式及前n项和公式-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学选择性必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知数列{a,}的通项公式an=2020一2兰 一202，且存4.若数列0，满足：对任意的n∈N,只有有限个 正整数m使得am<n成立，记这样的m的个数 在正整数T、S,使得ar≤an≤as对任意的n∈： 为(a),则得到一个新数列{(an)*.例如，若 N恒成立，则T+S的值为 数列{an}是1,2,3，…，n,…,则数列{(an)}是 A.15B.17C.19 D.21 0,1,2,…,n-1,…. 2.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记： 已知对任意的n∈N*,am=n2,则(a5)*= 载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数： ,(an）*)￥= 题”)，后来我国南宋数学家秦九部在《数书九章，大5.()已知数列{an中，a,=n2-m(n∈N),且 衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”是 {an}单调递增，则k的取值范围是 () 中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论！ A.(-∞，2] B.(-∞，2) 中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中： C.(-∞，3] D.(-o∞，3) 国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正 (2)已知数列{am}的通项公式为an=n2-7n-8. 整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到： ①数列中有多少项为负数？ 大的顺序排成一列，则此列数中第10项为 ②数列{am}是否有最小项？若有，求出其最小 ( 项；若没有，请说明理由。 A.116B.131 C.146 D.161 3.（多选)若数列{an}满足：对任意正整数n,{an+1 一an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数： 列”.给出下列数列{am}(n∈N*),其中是“差递 减数列”的有 ( ) A.an=3n B.an=n2+1 C.am=√n D.an=In-n +1 温馨提示 请做课时分层检测（一） 第二课时 数列的递推公式及前n项和公式 明学习目标 知结构体系 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列 课标 的前几项. 递推公式 前n项和公式 要求 2.掌握累加法、累乘法求数列通项公式的技巧. 3.会由数列的前项和公式求数列的通项公式. 重点 重点：由递推公式、数列前项和求数列通项公式 概念递推关系 求通项公式 概念Sn与an的关系 难点 难点：理解数列递推公式及数列前项和. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)数列的递推公式 项之间的关系；②若已知n的值，则由通项公式 如果一个数列的 或 之间的关系 可直接求出a,的值，而通过递推公式只能间接 可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个 数列的递推公式， 求出an的值. (2)利用递推公式求一个数列，必须具备：①数列 微点注解 第1项或前几项，②递推关系，这两个条件缺一 (1)通项公式与递推公式的区别：①通项公式反 映的是am与n的关系，递推公式反映的是项与 不可. 4 第四章数列 即时小练 微点注解 1.已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=2an 1 (1)对于由an=Sn-S1-1(n≥2)求得的an的表 达式，若令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的 十玩此数列的第3项是 ( a1相同，则说明an=Sm一Sn-1(n≥2)也适合n= 1的情况，数列的通项公式可用an=S1一Sm-1 A.1 B司 c n 表示 2.在数列{an}中，a1=一1，am十1=an一3，则ag等于 (2)对于由am=Sn-Sn-1(n≥2)求得的an的表 ( ) 达式，若令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的 A.-7 B.-4 C.-1 D.2 a1不相同，则说明an=Sm一Sm-1(n≥2)不适合 (二)数列的前n项和公式 =1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式 1.数列{am}的前n项和 S1,n=1, 表示，即an 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和， Sm-S-1,n≥2. 称为数列{an》的前n项和，记作S,即Sn= 即时小练 2.数列{an}的前n项和公式 1.数列{am}的前n项和Sn,若Sm-Sm-1=2n-1(n 如果数列{am}的前n项和 与它的 ≥2)，且S2=3,则a1+a3的值为 ( 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这 A.1 B.3 C.5 D.6 个式子叫做这个数列的前n项和公式， 2.设数列{an}的前n项和为Sn=2n-3,则an= 3.an与Sn的关系：an= 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一 数列的递推公式 对点训练 [典例]已知数列{an}中，a1=1,且满足an= 1十a,n∈N*, 若数列{an}满足a1=2,a+1=-an 3a41+)”(nN且m>ID,写出数列1a》 求a2023· 的前5项. /方法技巧/ 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄 清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可， (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后 面的项表示前面的项的形式，如am=2am+1十1. (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用 前面的项表示后面的项的形式，如am十1= an-1 2 数学选择性必修第二册 题点二由数列的递推公式求通项公式 2.己知数列{am},a1=2,an+1=2an,写出数列的前 4项，猜想an,并加以证明. [典例]已知数列{am}满足a1=一1，am十1=an十 n十n∈N,求数列的通项公式a 1 1 n [拓展] 若本例条件变为a1=1a,=1-1(n≥ 题点三数列的前n项和及应用 [典例](1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若am 2)”,求数列{an}的通项公式. (n∈N*),Sn=10,则n等于( √n+√n+1 A.90 B.119 C.120 D.121 (2)已知数列{an}的前n项和Sn=n2十2n十1(n ∈N*),则an= /方法技巧/ 已知S,求an的3个步骤 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n一1替换Sm中的n得到一个新的关系， 利用an=S,-Sm-1(n≥2)便可求出当n≥2时 am的表达式； (3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥ 2的表达式合并 …/方法技巧/ 1.累加法求数列通项公式 对点训练 形如am十1一a,=f(n)的递推公式，可以利用 1,设数列a,}的前n项和为5。-a(3”1),且a a1+(a2-a1)+(a3-a2）+…+(an-am-1) 2 =an(n≥2，n∈N)求通项公式. =54,则数列{am}的通项公式为am= 2.累乘法求数列通项公式 2.已知数列{am}的前n项和Sm满足2Sn=(n十1) 形如m+=f(n)的递推公式，可以利用a1· an an(n∈N*),且a1=2,求数列{an}的通项公式. a2.a3.…· al a2 an=an(n≥2，n∈N*)求通 an-1 项公式.以上方法叫做累乘法。 对点训练 1.设{an}是首项为1的正项数列，且(n十1)a7+1 na十an+1an=0(n∈N*),则它的通项公式an 6 第四章数列 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知数列{am}满足a1=0,a2=1,am= (2am-1n为偶数， (2十am-2n>1,且n为奇数， 则解下5个圆环所需的最 则数列{an}的前： (2an-1+1,n为奇数， (2am-2,n>2,且n为偶数， 少移动次数为 10项和为 ( : A.48 B.49 C.50 D.51 2.(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任 务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕： 太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期： 与地球绕日周期的比值，用到数列{bn:b1=1十 A.5 B.10 C.21 D.42 1 a·b2=1十·bg=1十 01十 十…，依此4设有穷数列a的前”项和为S令工 g+1 S十S2十+S,称Tn为数列a1a2…a,的 a3 类推，其中a6∈N*(k=1,2,…).则 “凯森和”.已知数列1,2,4，a的“凯森和”为6，则 A.b1<05 B.b3<bs a () C.b6<b2 D.6<b7 A.6 B.5 C.4 D.3 3.如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益5.数列{am}的前n项和为Sn,若Sm十Sm-1=2n一1 智玩具.在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用： (n≥2)，且S2=3,则a1十ag的值为 an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少 温馨提示 请做课时分层检测（二） 移动次数，数列{an}满足a1=1,且am= 4.2.1 等差数列的概念 第一课时 等差数列的概念及通项公式 明学习目标 知结构体系 课标 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念 等差数列的概念 要求 2.理解等差数列通项公式的意义. 等差 等差中项 定义法 重点：等差数列通项公式的应用. 重点 列 等差数列的通项公式 等差中项法 难点：理解等差数列的概念及等差数列通项公式的 难点 应用. 等差数列的判定 通项公式法 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)等差数列的概念 微点注解 1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一 对等差数列概念的解读 项与它的 的差都等于 常数，那 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法 文字语言 么这个数列就叫做等差数列，这个 与后续条件中“与前一项的差”相吻合。 做等差数列的 ,公差通常用字母 (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是 表示 指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺 递推公式 a+1一a,=d(d为常数) 序；②这两项必须相邻.2,2,2,2,2,3,3,…,3,…,,k,…,k,…所以(a1)*)*=1, 1 an-1= 1(n≥2)， （a,=4=2.（a,）)g"ga)=.] 5个 ?个 n-1 (a2a1)十(a-a2)+(a1ag)十…十(anan-l) 5.(1)D[:数列{an}中，an=n2-kn(n∈N“),且{an}单调递增， an+1一a>0对n∈N*恒成立， 即n+1)2kn+1)一(n2二kn)=2m十】一>0对n∈N恒成立，： 即an-a=1 1(n≥2). .k2n十1对n∈N“恒成立，即k<3.故选D.] (2)解①令a,<0,即n2-7n-8<0,解得-1<n<8. .an=a1十1- 1=-1+1-1 1(n22)· n 又，n∈N“,∴.n=1,2,3,…,7, ∴数列从第1项至第7项均为负数，共7项 又当n=1时，a1=一1，也符合上式. @法一an=n2-7n-8是关于n的二次函数，且二次函数y= n= x2-7红一8的图象的对称轴方程为x=令=3.5， ![拓展] ∴.当1≤n≤3时，{an}单调递减； 解“a1=1a,=(（1-1m≥2… 当n≥4时，{an}单调递增， .当n=3或4时，an最小，且最小项为a3=a1=-20. -a×a-⊥×-2X…×1X2Xa 法二由，Sa+1得 an-1 ndn-di d lanan-1 5n2-7n-8≤(n+1)2-7(n+1)-8, {n2-7n-8≤(n-1)2-7(n-1)-8, 又：省1=1时，a=1,将合上式a,=日 解得3n4, :对点训练 ,n∈N*,∴.当n=3或4时，am最小，且最小项为a=a1=一20. 第二课时数列的递推公式及前项和公式 1.分[法一（累乘法）起(u十1)a1n+a14=0分解肉式， 必备知识·自主梳理 得[(n+1)a+1-an](a+1十an)=0. (一) am>0,an+1十am>0, 相邻两项多项 (n十1)an+1-nan=0, 即时小练 ,2.a...an 1 :t=n 1.C[a+1=za+270a=1 an-1 3×…×” a2=7a1+2x-1, ×号× 1 8=1 a1n· 1 2.A[a2=a1-3=-1-3=-4,a3-a2-3=-4-3=-7.] 又"a1=1a2a1=m (二) 1.a十a+…十a25序号n3.{n。1, 法二（选代法）同法一，得a= {Sn-Sm-1,n≥2 n十1 即时小练 1.C[Sn-Sm-1=2n-1(m≥2)，且S2=3,.S1=0,S3=8,∴a1= an+1n十n 0,a2=3,a3=5,a1十a4=5.] 2{221[吉≥2时a=8-S1=(2,3》-[2wD a=号a只。 11 ==1.”2.” 31=2又a==2x1-3=-1,故a,{e21 n n-n-2·a-3 关键能力·合作探究 1 、1.1一2.2号·…·2a1=1 题点一 n2-1n-2 n1. [典例]解由题意，得a=3a1十1)。 2, 又a=,= 而a1=1, 法三（构造特殊效列法）同法一，得士山1=” 所以a,=3×1+二1D=7 an十1 2 Γ2 ∴.(n十1)an+1=nan, 同理a=3a,+少-10a=3a+少=2a=3a,+ .数列{nan}是常数列 2 2 .nan=1·a1=1,.an= 1 (-1)=91. !2.解由a1=2,a+1=2am,得 对点训练 a2=2a1=4=22,a3=2a2=2·22=23, 解}当号3 a1=2a3=2·23=21 猜想a,=2”(n∈N).证明如下： 由a1=2,am+1=2an, a-1-a21+3, 得===4==20m≥2. 1 an-1 an-2 =1+a1- 21 a1一1a1十 1-3 ....a1=22.·2…2=2 .an一am- an-2 a 又当n=1时，a1=21=2符合上式， 1 an=2"(n∈N"). 1十a1 a51a41一 题点三 1 3 [奥例]解折a,+示a币5.=E-) ∴.{an}是周期为4的数列， 十(3-√2)+…十（√a+1-√a)=√n+I-1=10,∴.n十1=121， 1 .n=120. a202=a1505+3=a3=2】 (2)当n≥2时，an=Sn-Sm-1=2n十1： 题点二 当n=1时，a1=S1=4≠2×1十1. [典例]解“a+1-a,=大- nn十 因比a,{公≥2 11 ,…,an 答案(1)C(2){4”1, 12n+1,n≥2 138 对点训练 ,数列{an}是递减等差数列，∴.d<0. 1.2X31[调为a4=s,-5,=43卫-32-D-4(81- 故取a1=11,d=-5,.an=11+(n-1)·(-5)=-5n十16. 2 2 2 即等差数列{an}的通项公式为an=-5n十16. 27)=27a1=54,所以a1=2,所以Sn=3"-1. 令a,=-34,即-5n十16=-34，得n=10. 当n≥2时，a=Sn-5n-1=3”-1-(3”-1-1)=2×3m-1 ∴.一34是数列{an}的第10项. 当n=1时，2×31-1=2=a1, :对点训练 故数列{an}的通项公式为an=2×3”-1,] 1. 3头[设教列{a,}的公差为d,由a1=a十(7-3)d, 4 2.解因为2S,=(n十1)an,n∈N“, 所以2Sn+1=(n十2)an+1,n∈N*, 即-？5 4=星十4d,解得d=-3」 49 两式相减得2am+1=(n十2)am+1-(n十1)an, 整理，得nam+1=(n十1)an a=a+15-3d=号+12×(）] 即异号-号，所以{}为常数列 :2.解法一根据题意，设等差数列{am}的前三项分别为a1,a1十d, a1+2d, 所以号-兰=2 则4+a2. 所以an=2n. 即3a1+3d=21, 素养演练·提升技能 (a1(a1+d)(a1+2d)=231, 1.D[由题意得，a=2十a1=2,a:=2+a=4,a=2十a:=6,a= 解释但”或{8： 月三一4 2十a7=8, a1=2a2=2,a6=2a1=4,a%=2a6=8,a1o=2a%=16 因为数列{an}为单调递增数列， 所以前10项和为0十1+2+2+4+4+6十8十8十16=51.故选D.]1 所以01=3， 1d=4. 2D[当n取奇数时，由已知=1+6=1十 一，因为 1 故等差数列{an}的通项公式为an=4n一1. 1 法二由于效列{am}为等差数列，因此可设前三项分别为a一d,a, a2十a atd, 11 一，所以b1>b,同理可得b3>b,b>b,…,于是可 手是可得{积0t时十0-对i a a1十- ,1 即/3a=21, ag十ag {a(a2-d2)=231, 得b1>b>b>b,>…,故A不正确：当n取偶数时，由已知b2=1 1+1 一，因为1> 解得但支侣 一，所以 a2 1 a1+ a2十 由于数列(a,}为单调递增数列，所以a=7, 1 0d=4. ag十 故等差数列{an}的通项公式为an=4n-1, 题点二 b<b1,同理可得b1<bs,bs<bs,…,于是可得b2<b1<b<bs<…, 1[典例]解一1，a,b,c,7成等差数列， 故C不正确：调为>工所以6>，同理可得> ,b是一1与7的等差中项， a1a十a2 b=1,+=3. 2 b6,b,>bs,又b3>b1,所以b3>bg,故B不正确.故选D.] 又a是-1与3的等差中项a=二1)十3=1， 3C[由a-{径为年我得e=2a十1=+1 2 又c是3与7的等差中项，c=3十7=5. 2 4(2a2+1)+1-8a2+5=16a1+5=21.故选C.] ∴.该数列为-1,1,3,5,7 4.A[由已知可得5+S+S+5=1+1+2)+1+2+0+1+2+4十@对点训练 4 4 1.D 5.、1用为S52m1(m≥2)，令n=2,得s,十5=3，由2.6[由题意得{十208X2,16 =6,解得a=6,故选A.] 12m+n=10×2=20, S2=3,得a1=S1=0,令n=3,得S4十S2=5,于是有S3=2,则a4= .3(m+n)=20十16=36，.m+n=12, S3一S2=1,所以a1十a=0十(-1)=-1.] .m十n=6.] 4.2.1 等差数列的概念 2 第一课时等差数列的概念及通项公式 题点三 必备知识·自主梳理 :[典例] 解教列{1}是等差数列，理由如下： (-) 2an 1.2前一项同一个常数公差d2.(3)2A=a十b :a1=2,aa+1-an+2 即时小练 am十21 1.(1)/(2)×(3)×2.ABD 3.60°[因为三内角A,B,C成等差数列，所以2B=A十C,又因为A十 a+1 2an B十C=180°，所以3B=180°，所以B=60°.] 的。=7，公益为d=之的等差数列。 即数列{上}是首项为上=号， (二) [拓展] a1+(n-1)d 1 .1 即时小练 1.A[an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.] 证明b+-ba,+2a,24-）2a,2 2.2n-5[由题知，a13,d=2,所以4n3+(1二1)×2=！ 1 an-21 2n-5.] 2(a,-2an-2-2(a,-2)2 关键能力·合作探究 1 题点一 [典例]解(1)设{an}的公差为d. 则a十d1解得a=12故a1o=12-9=3. :最列6，}是首项为子公羞为之的等差致列。 a1+7d=5, d=-1, !对点训练 (2)依题意得1十a十a=18, 1.A[:m+1-am=2(n十1)+5-(2n十5)=2，.{an}是公差为2的 (a1·a2·a3=66, :等差数列.] 3a1+3d=18, 2.证明：上，人，1成等差数列， a'b c {a1·(a1+d)·(a1+2d)=66, 解释 号-+即2ac=a+0. 139