第20期 4.2 等差数列-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版）

17.(15分)已知Sn是等差数列{an的前n项和，且a2=-3,S。 18.(17分)数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-)an,A是 19.(17分)定义：对于一个无穷数列{an},如果存在常数a,对 =3a4 常数 于任意给定的正数&，总存在正整数N,使得对于任意大于N的正整 (1)求数列{an}的通项公式； (1)当a2=-1时，求入及a3的值； 数n,都有1a,-al<c.则称常数a为数列{a,的极限，记作lima (2)若bn=1an1,求数列{bn}的前n项和Tn (2)数列{an{是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公 =a.根据上述定义，完成以下问题： 式；若不可能，说明理由 ()若a.=3+(-号）广4.=lo(2n-1),判数列a和 b,}是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）； (2)已知数列a,的前n项和为4，=2数列位} 是公差 为兮的等差数列： (I)求数列{a,}的通项公式； ()若T.=L+L+上+…+1证明：1im7,=1. 1a23 高中数学·选择性必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 高中数学·选择性必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 2025年11月24日·星期- 高中数学 20期总第1164期 人教A 0351-5271248 选择性必修第二册 希尔伯特的无穷旅” 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-289 大数学家希尔伯 1 1 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-n2+2n) 在一次演讲中虚构了这 等差数列 也成等差数列， b+c'a+c'a +b -「-(n-1)2+2(n-1)]=-2n+3. 分析：要判断数列{an}是等差数列，只需判 一个故事： 因为a1=1符合a., 有一家旅店，设有 判定四法 断2an+1=an+an2(n∈N,)即可，本题只需判 所以数列{a,}的通项公式为an=-2n+3, 断2 1 1 所以数列{an是等差数列. 无穷多个房间，假定每 e=b+cta+b 点评：一般地，如果一个数列的通项公式是 个房间只能住一人，所 ©山西史宁 证明：因为a2,b2,c2成等差数列， 以项数n为自变量的一次函数，即a=m+ 一、定义法 所以2=a2+2 有的房间都住满了人这 b(k,b为常数)，那么这个数列是等差数列. 例1已知数列{an是等差数列，在数列 a+c+2b 四、前n项和公式法 时一位新旅客要一个房 +1 {bn}中，b。=3an+2,证明：数列{bn}是等差数 (a+b)(b+c) 例4已知数列|an}的前n项和S。=n2 间房主说：“不成问题 列 2(a+c+2b) s-2 (a+c)·(2b+a+c)a+c 9n,第k项满足5<a4<8,则k= 他把这位旅客安排在1 分析：已知数列{an}是等差数列，要证数列 分析：根据数列的前n项和公式，判断数列 11 号房间，让1号房间的客 b}是等差数列，根据等差数列的定义，只需证 所以，十ca十ca十成等茶数列 是等差数列，进而确定数列通项公式求解 人安排到2号，2号房间 bn+1-bn是一个与n无关的常数即可. 点评：当题目所给的条件与求证的结论联 解：因为数列{an}的前n项和Sn=n2-9n 所以数列{an}是以-8为首项，2为公差的 的客人到3号，3号房间 证明：因为an}是等差数列， 系不很密切时，可先确定证明的目标，按目标写 所以an1-an=d(n∈N,且d为常数)， 出表达式并化简，在化简中运用条件求解 等差数列，所以an=2n-10, 的客人到4号，…这样 又因为bn=3an+2,所以bn+1-bn=(3a+1 三、通项公式法 要满足5<a4<8,只需5<2k-10<8, 就把新来的这位客人安 +2)-(3an+2)=3(an+1-an)=3d. 例3已知数列{an}的前n项和为S。=-n 2<k<9 排下了. 所以数列{bn是等差数列， +2n,证明：数列{an}是等差数列. 又k为自然数，因而只能取k=8. 但严重的问题来 点评：由本题可知，数列an}是公差为d的 分析：由数列{an}的前n项和为Sn,利用a 点评：在数列{an}中，Sn=an2+bn(a,b为 了，一次来了一个“无穷 等差数列，则数列{ban+c也是一个等差数列， S n=1,求出数列的通项公式，然 常数)，Sn为an}的前n项和，则数列an}是以 旅行团”，它的成员个数 且公差为bd: lSn-Sn-1n≥2， a+b为首项，2a为公差的等差数列，当Sn=an 与正整数一样多这时 二、等差中项法 后判断. +bn+c(c≠0)时，数列{an}不是等差数列，但 证明：当n=1时，a1=S,=1 从第二项起构成等差数列 刚才的应急措施行不通 例2已知a2,b2,c2成等差数列，证明： 了，怎么办呢？店主人又 例等差数列{a,}的前n项和为Sn,已知S, 所以{an}的前n项和S,取得最大值时， 有了新招.他请1号房间 <0,S。>0,则当n是多少时Sn取得最小值？ 题多变二 由a,=23n,≥0. 的客人到2号，2号的客 9(a1+ag) 29 解：由S。= 人到4号，3号的客人到6 2 =9a5<0 a1-32-3+D4,≤0 看等差数列 29 号，…这样所有的奇 得a5<0. 最值问题 数号的房间都空出来 由S10= _10(a1+ao2=5(a5+a6)>0 得臀≤u≤号 又neN,则n=l0 了，正好安排给这个“无 ©湖南段良利 得a6>0. 故选(C) 穷旅游团”的成员们住， 由非常数列的等差数列一定单调得出数列 点评：本变式题在上面题目的基础上，条件 2×20(a1+a0) 如果到了旅游旺 的前5项是负的，从第6项开始是正的，最终确 1 <0 S90 的给出方式变为数列中的两项之间的相等关系 定当n=5时，Sn取得最小值. ×19(a1+ag) 季，来了无穷多个“无穷 及首项的符号，解答时要注意a,与d的符号. 变式1在等差数列{an中，a1>0,5a;= 得S1g<0,S0>0,则Sn取最小值时，n= 旅游团”，怎么办呢？店 17ag,则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时， 变式2已知a,为等差数列，若<-1,19，故选(C). 主人略加思索，又想出 n= () 且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn取得最小 点评：解答时须根据前n项和的最值情况判 了一条妙计，把无穷多 (A)12 (B)11 (C)10(D)9 值时，n= 断数列有关项的符号，再利用数列知识进行转 个“无穷旅行团”成员都 分析：首先利用数列的通项公式确定首项 (A)17 (B)18(C)19(D)20 化，进一步确定数列相关的前项和的符号，从 安排住下了到底怎样安 a,与公差d的关系，由此进一步得到关于a,或d 的数列通项，然后再求数列前项和的最值， 分析：首先利用条件判断数列相关项的符而使问题得到解决， 排下的？留给读者去想 号，然后再利用等差数列的中项公式有a0+a 编后小结：对于等差数列{an{,当a1>0,d 解：设数列{an的公差为d, 想，当然这要费一番 =a1+a20,2a10=a1+ag,进而将它们融入数列 <0时，an}是递减数列，此时数列的前若干项 由5a=17a得 脑筋. 5(a1+4d)=17(a1+8d), 的前20项与前19项的和中，并判断它们的符为非负值，从某一项开始变为负值，故5，有最大 号，由此确定n的值 值.当a1<0,d>0时，{an}是递增数列，此时 由以上这个虚构的 3 则d=- 数列的前若干项为非正值，从某一项开始变为 故事，可以看出“无穷” 2901 解：由<-1，a,的前n项和S,有最小正值，即用a,≥0或a,≤0来确定使数列取得最 的神奇之处 所以a.=a+(n-1(-8】 值知a1>0,a10<0,其前n项和为负值一定是值的项，从而确定a,符号的转折点，进而求最 32-3n 前面有限项的和 值，此法选择的依据是：如果一个数列的通项公 29 ar. 式很容易求出，一般从。入手，通过考查其符号 因为a1>0,所以d<0. 由o+aL<0%01+a<0 a10 的转折点求Sn的最值或取得最值时n的值. 2 素养专练A 6.已知等差数列{an}中，a3=4,a,=-8. 专项小练一、等差数列 (1)求这个数列的第10项： 1.已知a=√3+2，b=√3-√2，则a,b的等 (2)-56和-40是不是这个数列中的项？如果 差中项为 ( 是，求出是第几项：如果不是，说明理由. (A)2 (B)5 e号 D方 2.已知数列{an的首项a1=1,且满足a1 an=2,则a5= () (A)5 (B)7 (C)9 (D)11 3.(多选)已知等差数列{4n}的公差为-3， 若a,>0,ag<0,则首项a1的值可能是() (A)18 (B)19 (C)20 (D)21 4.已知等差数列{an},a2+a4=3,a5=5,则 an 5.在首项为31，公差为-4的等差数列中，绝 对值最小的项是 第19期2版参考答案 故实数A的取值范围为(-2,0)： 专项小练 18.解：因为bn=na(a>0), 1.BD:2.C;3.A.4n+25.2 所以bn+1-bn=(n+1)a"1-na =a[(n+1)a-n]=a·[(a-1)n+a]. 6.解：因为3S。=a1-2”+2+2, ① (1)当a>1时，a-1>0,bn1-bn>0, 所以当n≥2时，3Sn-1=an-21+2, ② 故数列不存在最大项。 ①-②得3a=an1-an-2l(n≥2)， (2)当a=1时，bn+1-bn=1, 即an+1=4an+2(n≥2). 数列也不存在最大项。 在①中，因为a1=2,令n=1得 (3)当0<a<1时，a-1<0, a2=3a1+23-2=12=4a1+22,也符合上式， 所以a1=4an+2a+ 6-6=aa-(a+a2i 第19期3版参考答案 即61-6.与n+。2有相反的正负值， 一、单项选择题1~4BBBB5~8CACD 由于n为变量，而，为常数。 二、多项选择题9.ACD;10.ABC;11.BC. 三、填空题12.1013；13.ao,ag;14.11. 设上为不大灯，产。的最大整数， 四、解答题 r>0,n<k, 15.a,=n(n+1) 则bn+1-bn{=0,n=k, <0,n>k. 16.(1)a4=-64,a6=-60. 即有b1<b2<b3<…<bk-1<b, (2)-49是该数列的第7项. 且bg>bk+1>…, 68不是该数列的项. 故对任意自然数n,bn≤b: 17.解：(1)an=4n-18. 所以0<a<1时，{bn}存在最大项. (2)由题意得，当n≥2时， 19.(1)解：根据题意，若数列A为1,0,0,1， a=S.-S-1=2An +B-A, 可得b1=0,b2=0,b3=0,b4=1, 所以4=6A+B-A=5A+B=-9, 即数列B为：0,0,0,1； 所以B=-5A-9, 若数列A为1,2,3,4,5,6,7， 所以am=2An+B-A 可得b1=1,b2=2,b3=3,b4=4, =2An-6A-9(n≥2). b5=5,b6=6,b7=1, 若{an}的各项均为负数， 即数列B为：1,2,3,4,5,6,1 则A<0,an=2An-6A-9 (2)证明：由题设条件知b:≤a,i=1,2,3, 在n≥2时单调递减， …,n,所以Tn≤Sn, 又因为a1=-36<0, 当且仅当b:=a,i=1,2,3,…,n时，等号成立， 所以只需2<0即可， 所以a1≤a2≤a3≤…≤an≤a1, 即a2=4A-6A-9<0, 所以若S=Tm, 所以4>-号 则a1=a2=a3=a4=…=an,n∈N,: (3)解：不妨设a1=mina1,42,…,an, 数理极 恒任氯 专项小练二、等差数列的前n项和 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a+ ag=12,则S1= ( ) (A)66 (B)72 (C)132 (D)144 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3 =9,S。=81,则S2= ( (A)288 (B)144 (C)96 (D)25 3.数列{an}的前n项和为Sn,已知S。=-n2 +7n,则下列说法正确的是 ( ) （A){an}是递增数列 (B)ao=-14 (C)当n>4时，a。<0 (D)当n=3或n=4时，Sn取得最大值 4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2= 4,S6=36,则S4= 5.已知两个等差数列{an}和{bn{的前n项 和分别为4和R,且登-4，则号 = n+3 ∞|m 6.已知各项均为正数的等差数列{a,{的首 项为a1,前n项和为Sn,且满足S=a,且2a2= 3.求数列{a}的通项公式 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 (司7·各心)0中-22p(g ∞ln 若a1≥0，因为S。=0,所以a1=a2=… an=0,此时b1=b2=…=bn=0,T。=0, 显然C。取任意实数都满足条件； 下面设a1<0,则Tn≤Cn·min{a1,a2,…,an} 的充分必要条件是C,≤ a 假设maxa1,a2,…,an}=a,2≤j≤n, 因为Sn=0,所以a>0, G) 18() 当2≤j<n时，由b1=a1,b2≤a,…,b-l≤ a-1,b≤aj1,bjl≤02，…，bn-1≤an,bn=a1y 所以Tn≤S.-a,+a1=a1-a) 当j=n时，有b1=a1,b2≤a2,…,bn-l≤am-1, (名85) 082) bn a, 仍然有Tn≤Sn-an+a1=Sn-a+a1=a1 a成立， 所以2≥4-9=1-9 a 因为a,+(n-1g≥5=0，所以2≤ 第一然 所以C,的最大值为，P（≥2，neN,)。 排 8(V) 恒任款 选择性 3.在等差数列{an}中，若a2+a5+a7+20=48,则a1= Sn=a+1+1 4 ,对于任意n∈N,2”入≥Sn成立，则下列说法正确 ( 选择性 的是 必修第一二 (A)7 (B)12 (C)16 (D)24 16.(15分)已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1 (A)a2=3 4.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大 =-2,a2=2,a3=6. (B)数列{an}的通项公式为a,=4n-1 册 寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节 (1)求S,的表达式 (C)5n=n2 教 气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5 (2)求数列{an}的通项公式并证明数列{an}是等差数列. 必修第二册（人教 A 尺，前八个节气日影长之和为80尺，则小满日影长为 (D)实数X的取值范围为[？，+x） 版 (A)1.5尺 (B)3.5尺 (C)5.5尺 (D)7.5尺 同 步 5.已知等差数列{an}中，a1=9,a4=3,设Tn=|a1|+|a2l+ 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） …+1an1,则T2= 心 素养 (A)245 (B)263 (C)281 (D)290 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. A版)同步核心素养测评 6.已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a1=10,则S4 为B,且B-A=45,2A=B+615,则an= () (A)3n-2(B)3n-1(C)3n+1 (D)3n+2 13.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若am+an+3=10,am+3+ 7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数 列.若{an1-an}是公差不为零的等差数列，则称数列{an}为二阶 a=18,则2S nn+l 等差数列.现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个 14.在数列{an}中，若存在常数t,使得an+1=a1a2a…an+t(n 二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个 ∈N)恒成立，则称数列{an}为“H(t)数列”.若数列{an为“H(t) 小球，第四层放10个小球，…，则第40层放小球的个数为( (A)1640 (B)1560 数列”，且a1=2,数列{b}为等差数列，且∑a=a+1+b。-6,则 (C)820 (D)780 b= (写出通项公式) 8.已知数列{an},{bn}都是等差数列，记Sn,Tn分别为an}, 四、解答题：本题共5小题，共77分 6的前项和，晓-2哈 15.(13分)在①a1+a6+a1=3,②a3+a2=11,③a2a5=a13 = 3n 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中。高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 数评柄 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期(2025年11月）) 第17期3,4版参考答案 2后 2 学业水平测评（一） 6.由题意，以C,C店，CC的方向分别为x轴、y轴和z轴正 一、单项选择题 方向建立空间直角坐标系， 1 ~4 ACCB 5~8 BADC 设CA=CB=CC1=1,可得 提示： A10.0),41.0,1).c(0.0.0E(分01）F(0,31 1L向量a+b在向鼓a上的投影向量为a十8》口·日 a 则花=(-0,1，亦=(（0,3,1) =L,-12)(00.0,0山=0,0,2). 所以1cos(A正，1=」A正. 1A正1C1 2.由AB>0且BC<0,可得A,B同号，B,C异号， 所以A,C也是异号； 令x=0,得y=-C B >0; 7.圆M:(x+1)2+(y-2a)2=(2-1)2与圆N:(x-a)2 令y=0,得x=- A>0 +y2=(2+1)2有两条公切线，所以圆M与圆N相交， 所以直线Ax+By+C=0不经过第三象限 圆M的圆心为M(-1,2a),半径为2-1， 3.因为双曲线x2-y2=2的右焦点为(2,0)， 圆N的圆心为N(a,0),半径为2+1. 又抛物线了=mx的准线方程为x=-严 依题意可得(2+1)-(2-1)<1MW1<(2+1)+ 4 (2-1), 则-婴 =2,即m=-8, 即2<(a+1)2+(-2a)2<22, 4.m=1时，方程化为y=0,为直线； 即50+2a-3>0, m<1时，方程化为2m+二m 一=1，为椭圆； l5a2+2a-7<0, 1<m<2时，少程化为。片1，为烈层袋： 解得a∈(-子，-1)u(号，1) 8.由题可得A(-1,0),B(1,0),设P(x,y）, 而m-1≠m-2,因此曲线不可能是圆， 由双纽线的定义得IPAI×IPB1=1, 5.由题可得AB=(-1,2,0),AC=(-1,0,2), 即(x+1)2+y×√(x-1)2+y=1, 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 化简得(x2+y2)2=2(x2-y2), A记·n=0,n「-x+2z=0, 则 即 显然IOBI=1,设IOPI=r,∠POB=0, AB.n=0,-x+2y=0, 则P(rcos0,rsin0), 取x=2,则y=1,2=1, 代人方程(x2+y2)2=2(x2-y2), 于是n=(2,1,1)是平面ABC的一个法向量， r=2r2(cos20-sin20)=2r2cos 20, 又因为平面AB0的法向量为0C=(0,0,2), 所以cos0=1cos(o元，1=10元：nL 所以r=2a20=22as0-0=2×(2×名-=子 1o元1lnl 由余弦定理得 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 IPBI2=IOPI2+lOBI2-2 I OPII OBI·cos∠P0B 由上述分析可知，直线2关于原点O对称的直线过点 =子+1-2x分x1×子=分 1 (-3,0),(0,2), 所以直线，2关于原点0对称的直线方程为y-2= 所以1PB1=号所以1PA1==2 1 0-(-3)(x-0), 2-0 二、多项选择题 即2x-3y+6=0,所以(C)选项正确； 9.ABD:10.ABD:11.AC. 点(3,0)关于直线x+y=0的对称点是(0，-3)， 提示： 点(0，-2)关于直线x+y=0的对称点是(2,0)， 9.由题得m·n=(-1)×2+2×(-4)+5x=-10+5x =0,解得x=2,故(A)正确； 所以直线马关于直线4对称的直线方程为宁+名3=1， 因为m∥n,所以存在入∈R,使得m=An, 即3x-2y-6=0,所以(D)选项错误 则(-1,2,5)=A(2,-4,x)=(2入，-4，Ax), 故选(A)(C). 2入=-1， 三、填空题 即4认-，解得A=云故（)正确 2(2.0:13(5-1:14(o,25] Ax=5, x=-10, 因为m+n=(-1+2,2-4,5+x)=(1,-2,5+x), 提示： 所以1m+n1=√2+(-2)2+(5+x)7 12.由题可得B(3,1)关于x轴的对称点为B'(3,-1), 则直线松的方程为=3产已 x+1 =√5+(5+x)7=5, 解得x=-5,故(C)错误； 可得y=-x+2, 因为x=/10,则m=（-1,2,5),n=(2,-4,10), 令y=0,可得x=2,所以点P(2,0) 所以cos(m,n)=,m·n I m ll nl 13设.则Q(县少小 :X5x=-2,故(D)正确 又四边形PQFF2为平行四边形， √1+4+25×√4+16+10 所以m-。+E-2c=20-2ac-C∈(-a,), 故选(A)(B)(D). a a 10.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c], 即-a<2a-2ac-c2 <a, a (A)正确； 当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，面积守恒 规律，速度更慢，(B)正确： ==子。1，当比值储大周：越小，疏圆轨 道越圆，(C)错误 所以-1<2-2e-e2<1,可得2-1<e<1. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最 14.因为PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°， 大，在远地点时向径最大，故速度最小，(D)正确。 所以PA,AB,AD两两垂直. 故选(A)(B)(D). 以点A为坐标原点，AD,AB,AP所在直线分别为x,y,z轴， 11.由厂+y=0, 建立空间直角坐标系， 2x-3y-6=0, 解得x= 5y=-6 , 则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),P(0,0,1) 所以交点坐标为（号，号），所以(A)选项正确； 设点Q(a,b,0),其中0≤a≤2,0≤b≤1，且a+b≤2. 设平面PDQ的一个法向量为m=(x,y,z). 直线2：2x-3y-6=0与x轴的交点为(3,0)，与y轴的交 又Dp=(-2,0,1),D0=(a-2,b,0), 点为(0，-2)，直线(1过原点， m·Dp=-2x+z=0, 所以 取x=b, 所以直线4，山4和x轴围成的三角形的面积为分×3× 6 m·Dd=(a-2)x+by=0. 则y=2-a,z=2b,可得m=（b,2-a,2b), =号，所以()选项错误； 易知平面PAD的一个法向量为n=(0,1,O). 2 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 由已知条件可得 (x-2)2+(y-a)2=4[(x-2)2+(y-b)2]. m·nl 12-a1 1cos(m,m）1=l-m=/2-a+5不 2 又(x-2)2=4-y2, 2 所以2(a-4b)y+462-a2+12=0. 即a+√56=2. 所以46， 解得=4或=-4， 由题可知Saw=立AD1xb=6 l462-a2+12=0 b=1,lb=-1, 所以满足题意的定点为M(2,4),N(2,1)或M(2,-4), 结合图形，当a=2时，b取得最小值，为0； N(2,-1) 当a=0时，6取得最大值，为 18.解：(1)依题意k1=tan01,k2=tan02, 所以6的取值范围为[0,2] 且0,4均不为0或7， 若选①0，+02=T,则0=T-02, 若要组成△ADQ,则点Q不在线段AD上， 则tan01=tan(π-02)=-tan02,即k1+k2=0; 所以sm=6e(o,25] 若选②4112，则k·k2=-1. 四、解答题 (2)依题意直线1：y-1=k(x-1), 15.解：(1)由焦点F到准线的距离为2，得p=2, 直线2：y-1=k(x-1), 故抛物线的标准方程为y2=4x. 又l1过A(a,2),所以2-1=k(a-1)且a≠1， (2)由(1)知：F(1,0),则直线1为y=2(x-1), 即1=k(a-1)且a≠1， 即2x-y-2=0, 又2过B(2,b),所以b-1=k2(2-1)且b≠1， 联立抛物线可得x2-3x+1=0, 即b-1=k2且b≠1： 则xA+xg=3,xAxg=1, 若选①，则k1+2=0,所以k1=-k2=1-b, 所以IAB1=xA+xg+2=5, 即1=(1-b)(a-1)且a≠1，b≠1； 又0到直线1的距离d=-2L=25 5 51 若选@则6-1，所以6-)×。=1. 即b+a=2且a≠1，b≠1. 所以S△0B= 分1AB1d=5 (3)直线l1:y-1=k（x-1), 2a=4b. 16.解：(1)由题意有： 81 解得2， 将直线1向右平移4个单位长度， =1， lb=1, 再向上平移2个单位长度得到 a y-1=k[(x-4)-1]+2, 所以双曲线C的方程为 4 -y2=1. 即y-1=kx-5h1+2,所以-5k1+2=-k1, ②)设点八)则暗-答-1，即 2 Yo b a' 解得名，=宁 又A1(-a,0),A2(a,0) 此时直线4y-1=之(x-1),所以2-1=(a-1), 2 则有·,=。方三 =2, 解得a=3； xo +a xo-a 所以点=2， 若选①，则=-分，此时直线：y-1=-之(x-D, 所以渐近线方程为y=±2x 所以6-1=-之(2-0，解得6=分 17.解：(1)易得直线l:mx+y-2m-1=0过定点D(2, 若选②，则k2=-2,此时直线2：y-1=-2(x-1), 1), 所以b-1=-2(2-1),解得b=-1. 又圆C:(x-2)2+y2=4,所以C(2,0) 19.(1)证明：AP·AB=-2-2+4=0, 易得1AB1=2√4-CD产=25. 所以AP⊥AB,即AP⊥AB; (2)满足题意的定点M,W存在，证明如下： AP.AD=-4+4+0=0, 设P(x,y),M(2,a),N(2,b)(a≠b), 所以AP⊥AD,即AP⊥AD. 因为1PMI=21PWI,等式两边平方得 又AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD. 3 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 (2)解：(AB×AD)·AP1 =1-4-32+0-0-4-81=48, 故双曲线C的渐近线方程为y=±马， 7.抛物线C:x2=4y的焦点F(0,1),准线方程为y=-1, 又6（花，动=4++6·6+4+0 8-2+0 /105 359 圆x2+(y-1)2=4的圆心F(0,1),R=2, 所以sin(A店，4=4而 I FBI =2,I AFI y +1,I ABI yn-y, 35, 所以三角形△AFB周长为： w=专14sin(店，4动小产=16， I FBI +I AFI+I ABI=2+ya+1 +ya-ya =3+y8, 因为1<yB<3,所以△AFB周长的取值范围是(4,6)· 1(AB×A)·AP1=3Vp-Bn 8.设圆心C坐标为(a,b),则Q(0,b), 猜测：I(AB×A)·AP产在几何上可表示以AB,AD,AP为棱 圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=a2, 的平行六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）. 因为E,F两点在圆上， (2-a)2+(4-b)2=a2, 第18期3,4版参考答案 所以 (4-a)2+(2-b)2=a2, 学业水平测评（二） 解得a=2或a=10, 一、单项选择题 1b=2b=10, 1 ~4 DBBC 5 ~8 CCDB 当=10时，∠E0F为劣弧所对角，故合去 提示： (b=10 1.由题可得a-2b=(8,-5,13), 所以Q(0,2),C(2,2), 所以1a-2b1=√82+(-5)2+132=√/258. 所以1QF1=4,IQE1=22,IEF1=22, 2.由题可得a·n=0即a⊥n,所以l∥a或lCa 所以△QEF为等腰直角三角形，所以∠EQF=45. 3.直线5x-12y+2=0,即10x-24y+4=0, 二、多项选择题 则平行线间的距离d=4-（-3)=7 9.AD;10.AC;11.AB. 102+242 26 提示： 4.由题得a=25,c=3, 9.设过点P的直线方程为y=k(x+√3)-1， 因为原点O是FF2的中点， 则由直线与圆相切知-=1， 所以PF2平行于y轴，即PF2垂直于x轴， 个+ 设1PFI=x,则1PF2I=45-x, 解得k=0或k=√5. 故直线1的倾斜角为0°或60°.故选(A)(D) 在Rt△PFF2中，(45-x)2+36=x2, 解得x=7所以1PR,1=所以1=7 10.当m (分2时0<2-m<号<m+1<3, 所以0<1 1 5由直线：若+古=1(a>0,6>0)过点(1,4)， m+I<2-m 一=1表示焦点在x轴上的椭圆， +告=1，所以a+6=a+b)(合+)=1+ 则上 盼以—+了 2-mm+1 即曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故(A)正确； +号45+2√×要=9， b 若曲线C表示双曲线， 当且仅当名=名，即a=36=6时，等号成立， 则(2-m)(m+1)<0,解得m<-1或m>2, 即实数m的取值范围为(-∞，-1)U(2,+∞)，故(B)错 所以直线1方程为芳+合=1，即2x+y-6=0, 误： 6.不妨设F1(-c,0),F2(c,0),M(xoy%),且x≥2， 当m=2时，曲线C3=1,即y=. 则1MF,12-MF212=(x+c)2+后-[(x-c)2+6] 即曲线C表示两条直线，故(C)正确； =4cx0≥8c, 所以8c=86,解得c=6,b=2, 若曲线C为等轴双曲线，则2-m)(m+)<0, l-(2-m)=m+1, 4 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 解集为⑦，所以不存在m∈R,使得曲线C为等轴双曲线， 所以点M在圆O外， 故(D)错误， 过M作圆的两条切线.两切点为A,B, 故选(A)(C) 则A,B在以OM为直径的圆上， 1.若n=之则点Q到平面4BD的距离为定值，所以三校 即4,8是圆(x-)+(-子)=3与圆0：2+ 锥Q-ABD的体积为定值，(A)正确： y2=4的交点， 若m=n,则Cd=A0-AC=Ad-(AB+A)=(m-1) 两圆方程相减，得公共弦AB所在直线的方程为x+3y-4 ·AB+(n-1)AD+pA41, =0. DB=AB AD,CO.DB (m -1)-(n -1)=0, 又直线OM的方程为y=3x, 所以QC⊥BD,(B)正确； 2 若m=n,由(B)选项可知QC⊥BD,且AC⊥BD, +3y-4=0 「x= 5 解得 所以BD为平面QAC的一个法向量， Ly 3x 6 y 且1B=2,BD=AD-AB=AA+Ad-A店，BD= (AA+AD-AB)2=3,1BD1=5, 所以M的反演点的坐标为（号，号） 又因为B成，D=(而-A·(AM+A市-A)=2, 所以1励，D1.2 14,因为双曲线「的离心率为2，所以么=1， 耐方文万 不妨设A(x1y),B(x22),D(xoo), 即BD与平面QAC所成角的正弦值为，(C)错误； 因为点A,B在T上， ICd12=1(m-1)AB+(n-1)A+pAA12=(m- 1)2+(n-1)2+p2+p(m-1)+p(n-1)=m2+n2+p2- 两式相减，得+）(-）_y+)(0-) p+() a 63 因为点D是AB的中点，所以龙1+x名2=2xo+3=20, 当且仅当m=m=p=方时等号成立，所以0C长度的最 没瑞-号 小值为7，(D)错误故选(A)(B). 所以k=业.。-0-尽 三、填空题 斯-6物-0=a=1 23,1(号号)：43 同理4好=1,4的=1因为分+定+吉=3 提示： 1.1,1 12.因为d=aa+b+yc=a(e1+e2)+B(e2+e3)+y(e1 所以+6+=有+店+店=3 +e3)=(a+y)e1+(a+B)e2+(B+y)e3, 四、解答题 即(a+y)e1+(a+B)e2+(B+y)e=e1+2e2+3e3, 15解：由题意得e=台=即e一。 a , .0+y=1, 可得{+B=2,相加得2(a+B+y)=6, 由椭圆定义知IPF,I+lPF2I=2a,IF,F2I=2c=√5a, B+y=3, 又IPFI-PF2I=3, 即a+B+y=3. 所以1P所1=a+,1P所1=a-子 13.圆0：x2+y2=4, 圆心0(0,0)，半径r=2, 在△PF,E,中，由余弦定理得os∠FPF,=2 = 则0M=√2+3=√0>2， +2)广+(a-多)- ,解得a2=2 2(a+)(a-2） 8 所以SA=(a+子)(a-2)sn骨 图1 d-)-盟 -5 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 16.(1)证明：圆的方程可整理为(x2+y2-20)+a(-4x+ 令c=1,则a=2,b=1,则n=(2,1,1), 2y+20)=0(a≠2)， 故1em1--方6 ,30 由题可得+y-20=0, 得4， 30 l-4x+2y+20=0,ly=-2, 所以该圆恒过定点(4，-2). 放平面PHB与平面PCD夹角的余弦值为织 (2)解：圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5(a- 18.解：(1)由题得圆P的圆心坐标为(1,0)，半径为1， 2)(a≠2)，两圆圆心之间的距离d=√5a2, 设Q(x,y)(x>0),依题意有(x-1)2+y=x+1, ①当两圆外切时，d=r1+12, 化简整理得：y2=4x, 即V50=2+V5(a-2,解得a=1+5 故所求动圆圆心Q的轨迹M的方程为y2=4x(x>0). (2)设直线l1的方程为x=my+1(m≠0)， ②当两圆内切时，d=11-21, 则直线！的斜率k=1 即V5a=V5(a-2)-21,解得a=1- m 5 因为4,2的倾斜角互补，故直线2的方程为x=-my+1, 综上所述，a=1± 设A(x1y1),B(x22),C(3y3),D(x4,4), 5 17.(1)证明：取PD的中点为S,连接BF,SF,SC, x=m时+1得}-4m时-4=0. 由 ly2=4x 则sF∥ED,Sf=2ED=1, 所以y1+2=4m,y1y2=-4, 而ED∥BC,ED=2BC,故SF∥BC,SF=BC, 所以S医=宁1PE川%-为1=号G+为产-房 故四边形SFBC为平行四边形， 故BF∥SC,而BF平面PCD,SCC平面PCD, =号4m》+16=6m+, 所以BF∥平面PCD. (2)解：因为ED=2,故AE=1,故AE∥BC,AE=BC, 同理可得SE=宁PE1为-1=6V层+， 故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB, 因为△ABE与△CDE面积之和为125， 所以CE⊥平面PAD, 所以有12m2+1=125, 而PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED, 而PE⊥ED, 解得m=士2，所以直线么的斜率=六=±2 1 故以E为原点，EC,ED,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴 19.(1)解：把点(1,2)，(-1,0)分别代人x+y-1, 建立如图2所示的空间直角坐标系， 可得6=1+2-)-1+0-山=-2<0， 1+1 所以点A(1,2),B(-1,0)被直线x+y-1=0分隔 (2)解：联立 2-4=1可得(1-42)=1 ly =hx 1 图2 根据题意，此方程无解，故有1-4≤0，所以1k1≥ 则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 当11≥子时，对于直线)=，曲线2-4y=1上的 则P=(0,-1,-2),P2=(1,-1,-2) P元=(1,0，-2)，P7=(0,2,-2), 点(-1,0)和(1,0)满足6=二尽 1+尽2<0， 设平面PAB的法向量为m=(x,y,z), 即点(-1,0)和(1,0)被y=x分隔. 则由 可得y-22=0, m·PA=0, m·pi=0待1x-y-2z=0, 放实数k的取值花固是(”，一号]U[分+)】 令z=1,则x=0,y=-2,则m=(0,-2,1), (3)证明：设点M(x,y), 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c), 则由题意可得2+(y-2)2·1x1=1, fn·P元=0， ,「a-2c=0, 故曲线E的方程为[x2+(y-2)2]x2=1. ① 则由 可得 n·p元=0 l2b-2c=0, 对任意的yo,(0,少)不是上述方程的解， -6 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 即y轴（即x=0)与曲线E没有公共点 则n=k+1时，1+(3-1)a=0,解得a=1-3 又曲线E上的点(1,2)，（-1,2)对于y轴（即x=0)对称， 满足6=1×业=-1<0， 1+0 4.4=0,4=%-5 5a1+1 =-5, 即点(1,2)和(-1,2)被y轴分隔， 所以y轴，即x=0为曲线E的分隔线. a=,-v3 -5-5=5, √5a2+15(-5)+1 若过原点的直线不是y轴， .a3-5 万-5=0， 设为y=kx,代人[x2+(y-2)2]x2=1, a4= √3a3+1N5(5)+1 可得[x2+(kx-2)2]x2=1, 所以数列{an}为周期数列，周期为3. 令f(x)=[x2+(kx-2)2]x2-1, 所以a0=a2=-5. 当k≠2时f(0)·f(1)=-(k-2)2<0, 5.由an+l=an+n+1得a+i-a:=n+1, 所以f(x)=0在(0,1)有实数解， 所以an-am-l=n,am-l-an-2=n-1,an-2-am-3=n 即y=kx与E有公共点，所以y=x不是E的分隔线. 2,…,a2-a1=2, 当k=2时f(x)=[x2+(2x-2)2]x2-1=0,解得x=1, 即y=kx与E有公共点，所以y=x不是E的分隔线. 各式作和得：a。-a1=2+3+…+n=(n-)(n+2) 2 所以通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔 所以a。=1+n-1)(n+2) 2 线， 即x=0. 所以ao=1+9×12=55. 2 第19期2版参考答案 6.因为an}是单调递增数列， 所以对于任意的n∈N,都有al>an, 专项小练 即(n+1)2-2k(n+1)>n2-2hm, 1.BD;2.C;3.A.4. n+25.2. 化简得k<n+2 1 6解：因为3S4=a1-2+2+2, ① 所以当n≥2时，3S.-1=a。-21+2, ② 所以长<n+对于任意的neN,都成立， ①-②得3a=a+1-a。-2"(n≥2)， 因为+宁≥子，所以k<多 1 即a1=4an+2"(n≥2). 7.设第n行实心圆点的个数为a, 在①中，因为a1=2,令n=1得 由题图可得a1=0,a2=1,a3=1,a4=2,a5=3,a6=5, a2=3a1+2-2=12=4a1+22,也符合上式， …,则am=an-2+an-1(n≥3)， 所以al=4an+2l 故a7=a5+a6=8,ag=a6+a7=13, 第19期3,4版参考答案 ag=a7+ag=21,a10=ag+ag=34. 数列的概念同步核心素养测评 8.因为数列a,对任意n∈N,都有a1<+a2 2 一、单项选择题 所以an+an2>2an+,即am2-an+l>an+l-am, 1 ~4 BBBB 5~8 CACD 因此(an2-amtl)-（anl-an）>0, 提示： 所以{a+l-an}为递增数列. 1.(A),(B),(C)中的数列都是无穷数列，但是(A),(C) 所以a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5, 中的数列是递减数列，故选(B)· a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6, 2数列。的前5项依次为-1，子-宁。-。 同理可得，2a5<a4+a6<a3+a7<a2+ag<a1+ag 所以a1+a+a3+…+ag=(a1+ag)+(a2+ag)+（a3 即是是专名最 +a,）+(a4+a6）+a5>9a5, 所以数列a}的一个通项公式为a,=(-1)n+口 即9a5<9,所以a5<1. 2 二、多项选择题 3.若要使{an}为k项的有穷数列， 9.ACD:10.ABC:11.BC. 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 提示： 2女+1=(n品)+(n2)++(分 9因为a.=nn+2neN.), 1 3）+(（1-）+1=-+1+1=2-=2nn(m≥ 所以令中2=动解得n=0, n 2). 故0是这个数列的第10项，故(A)正确： 当n=1时，a1=1符合上式， 因为a=2-10+3=2(。-3)广-只。 所以6，=。，故（®）正确： 因为n∈N,,所以n=2或n=3时，an为最小项， 因为a,=2-n嘴大时，减小，增大， 即它的最小项是第2项或第3项，故(B)错误； 所以{an}为递增数列，(C)正确； 分析可得a1=2+1=3, 因为a.}为递增数列，最小项为a1=1,故(D)错误 a2=22+1=5,a3=23+1=9, 故选(B)(C) a4=24+1=17,a5=2+1=33,…, 三、填空题 故am=2”+1,故(C)正确； 12.1013;13.a10,a;14.11. 3 由递推关系4=2,4，=之， 提示： 所以4二子故D)正确 12.因为an=(n+2)(aml-an), 故选(A)(C)(D). 所以(a+3a.=（a+2a,所以2= 10.因为a.= 2,n为奇数， 所以{。年}是常数列，所以器=学 l0,n为偶数， 又a2=2,所以a2m4=1013. 所以a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故(A)正确； 因为an=1+(-1)1,所以a1=1+(-1)2=2, 13.因为a,=- (n∈N,), n-99 a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2, a4=1+(-1)5=0,故(B)正确； 所以a.=”-99+99-8 n-√99 因为a.=2m受 ,所以a=2sn受=2， =1+四-s n-99 d2 =2 sin 2 =0,a=2sin2=2, 所以当n≤9时，4=1-，随若n的增大，0. 9-n 4T da =2 sin 2 =0,故(C)正确： 越来越小且小于1，即1>a1>a2>a3…>ag>0. 因为0，=2，所以41=2=2,0，=2 当10≤n≤30时，a,=1+丽-⑧，随若m的增大， 1,4=2少=2，a4=2=1,故(D)错误 n-√99 an越来越小且大于1，即a0>a1>…>a0>1. 故选(A)(B)(C). 综上有：ag<ag<…<41<1<a0<…<a1o 1 3 1l.a=1a=a+2x1=2 所以前30项中的最大项为a1o,最小项为ag: 4=+与文哥山=+好女=子 14.因为数列{an}的每一项只可以是0或1， 所以连续3项共有23=8种不同的情况， 4=a+与文4=号.故(a)错误： 若m=11,则数列{an}中有9组连续3项， 1 则这其中至少有两组按次序对应相等， 由a。=a-1+n(n-1)' 即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”， 得aaa≥2. 1 若m=10,数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”， 则4≤m<10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列 所以an=(a-a-1)+(a-l-am-2）+…+(a3-a2）+ {an}, 1 1 (a-a）+a=n(n-+(n-1)0n-2)+…+3x2+ 所以要使数列a.}一定是“3阶可重复数列”， 8 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 则m的最小值为1. (1)当a>1时，a-1>0,bn1-bn>0, 四、解答题 故数列不存在最大项 15.解：由(n+2)ait1-na+2a1am=0(neN,) (2)当a=1时，bn1-bn=1,数列也不存在最大项. 得[(n+2)am+1-nan](a1+an)=0, (3)当0<a<1时，a-1<0, 因为an>0,所以an+l+a>0, 6u-a.=a(a-)(n+a2） 所以(n+2)a1-m,=0,所以会=元中2 a 所以a=a,·2,g·2…品=1×分×子×号× 123 即66.与1+。有相反的正负值， al a2 a3 an-1 由于n为变量，而。巴为常数， 2 xn+i=n(n+1)n≥2)， 2 设台为不大于亡。的品大整数。 又a1=1满足上式，所以a.= n(n+1) ,>0,n<k, 16.解：(1)根据a,=3m2-28n, 则ba+1-bn{=0,n=k, 得a4=3×42-28×4=-64, O,n k. a6=3×62-28×6=-60. 即有b1<b2<b3<…<bk-1<bk, (2)令3n2-28n=-49,即3m2-28n+49=0, 且bk>bk+l>…, 解得n=7或m=子（含）， 故对任意自然数n,bn≤b 所以0<a<1时，{bn}存在最大项. 所以-49是该数列的第7项. 令3n2-28n=68,即3n2-28n-68=0, 19.(1)解：根据题意，若数列A为1,0,0,1， 可得b1=0,b2=0,b3=0,b4=1, 解得1=-2或”三；，均不是正整数， 即数列B为：0,0,0,1； 所以68不是该数列的项. 若数列A为1,2,3,4,5,6,7， 17.解：(1)由题意得当A=2,C=0时，S.=2n2+Bn. 可得b1=1,b2=2,b3=3,b4=4,b5=5,b6=6,b7=1, 则当n≥2时，a.=S.-S.-1=2n2+Bn-[2(n-1)2+ 即数列B为：1,2,3,4,5,6,1. B(n-1)]=4n+B-2. (2)证明：由题设条件知b:≤a,i=1,2,3,…,n, 又a2=-10,所以8+B-2=-10, 所以Tn≤S, 所以B=-16,所以a.=4n-18(n≥2). 当且仅当b:=a,i=1,2,3,…,n时，等号成立， 当n=1时，a1=S1=2×12+(-16)×1=-14. 所以a1≤a2≤a3≤…≤am≤a1, 经检验，当n=1时，符合a,=4n-18, 所以若S=T,则a1=a2=a3=a4=…=a,neN, 所以a.=4n-18. (3)解：不妨设a1=mina1,a2,…,an}, (2)由题意得当n≥2时，an=S.-Sn1=2An+B-A, 若a1≥0，因为Sn=0,所以a1=a2=…=am=0, 所以a=6A+B-A=5A+B=-9, 此时b1=b2=…=bn=0,Tm=0, 所以B=-5A-9, 显然C,取任意实数都满足条件； 所以a.=2An+B-A=2An-6A-9(n≥2) 下面设a1<0,则Tn≤Cn·mina1,a,…,a.}的充分必要 若{an}的各项均为负数， 则A<0,a.=2An-6A-9在n≥2时单调递减， 条件是C,≤乙 a 又因为a1=-36<0,所以只需a2<0即可， 假设maxa1,a2,…,an}=a,2≤j≤n, 即4=41-61-9<0，所以4>-号 因为Sn=0,所以a;>0, 当2≤j<n时，由b1=a1,b2≤a2,…,b-1≤a-1,b;≤ 放实数4的取值范围为(-号，0） a1,b41≤a2,…,bn-1≤an,bn=a1, 18.解：因为bn=na"(a>0), 所以Tn≤Sn-a+a1=a1-a, 所以bn1-bn=(n+1)a"-na 当j=n时，有b1=a1,b2≤a2,…,bm1≤aa-1,b。=a, =a"[(n+1)a-n]=a"·[(a-1)n+a]. 仍然有Tn≤Sn-a.+a1=S4-a+a1=a1-a成立， 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 所以2≥4=1- 立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为a1,a2,…,a2, a a a 前n项和为Sn(n≤12)， 因为4+(n-1)4≥5。=0，所以2≤-n 1 ,a2+a4+a6=3a1+9d=31.5, 由题可得 所哈产所以C百片气 3=8+874=s0. 解得a1=13.5,d=-1, 所以C,的最大值为nPn≥2，neN,). 所以小满日影长为a1=a1+10d=13.5-10-3.5(尺). 第20期2版参考答案 5.由41=9，a4=3,得公差d=4=-2, 4-1 专项小练一 则am=a1+(n-1)d=-2n+11, 显然当n≤5时，an>0,当n≥6时，am<0, 1B:2c:3Bc4子a-55-l 所以T21=|a11+la21+…+la211 6.解：(1)设等差数列an}的首项为a1,公差为d, =(a1+a2+…+a5)-（a6+a,+…+a21） 则4=0+21=4，解得a=10d=-3. =2(a1+a2+…+a5）-(a1+a2+…+a21） la,=a1+6d=-8, =2×59+1D.21(9-31山=281. 2 2 所以an=10+(n-1)×(-3)=13-3n, 6.设等差数列的公差为d,首项为a1, 故a10=13-30=-17. 则B-A=15d=45,所以d=3, (2)由(1)知a.=13-3n,由-56=13-3n, 因为2A=B+615,即2A=A+45+615,则A=660, 得到n=23eN,由-40=13-3n,得到n= 3N, 等差数列的奇数项是以a,为首项，2d为公差的等差数列， 所以-56是这个数列中的项，是第23项，-40不是这个数 等差数列an}的前30项中奇数项有15项， 列中的项。 所以A=15a,+1514×6=660,解得a1=2, 2 专项小练二 所以a.=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 1.A;2.B;3.CD.4.16;5.9. 7.设第n层放小球的个数为an, 6.解：设各项均为正数的等差数列{an}的公差为d, 由题意a-a1=2,a3-a2=3,…, 因为S=a5,2a2=3, 数列{am+1-an}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以3a+3=a+4d, 解得 a1=2 所以an-aa-l=2+(n-2)=n(n≥2，neN) 2a1+2d=3, 0d=1, 故an=a1+(a2-a1）+…+(an-a-1) 1 所以a,=2+(n-l)1=n-2,即a。=n-2 =1+2+…+n=2n(n+1), 第20期3,4版参考答案 故a=7×40×41=820 等差数列同步核心素养测评 82=2可得院 =5n2-5m2-2n n·3n 3n2 一、单项选择题 因为数列{an},{bn}都是等差数列， 1~4 ADBB 5 ~8 CBCC 所以不妨令S。=(5m2-2n)t,Tn=3n2t, 提示： 所以a,=S7-S6=(5×72-2×7-5×62+2×6)t= 1.因为an}是等差数列， 63t,b=T,-T4=(3×52-3×42)t=27t, 所以a3+a1=2a5=24,即a5=12, 所以d=a6-a5=20-12=8. 所以子 2.设等差数列{an}的公差为d, 二、多项选择题 因为a=1,S=18,可得3a1+3d=3+3d=18, 9.ACD;10.AC;11.ACD. 解得d=5,所以S6=6a1+15d=6+15×5=81. 提示： 3.因为a2+a5+a17+a20=48=4a11,所以a1=12. 9.an=n+b(k,b为常数，n∈N,)的关系式符合一次函 4.设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、：数的形式，所以是等差数列，故(A)正确； 10