4.1 第1课时数列的概念与简单表示-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

学习讲义参芳答案与解析 第四章数列 1 113 4.1数列的概念 a3+a1=15十24-120 第一课时数列的概念与简单表示 (2)若0为数列(a中的项， 必备知识·自主梳理 1 1 (一) 则nn十27-120m(n+2》=120. 1.确定的顺序第一个位置上{an}正整数2.序号n3.(1)有： .n十2-120=0， 限无限(2)大于小于相等 .n=10或n=-12(舍)， 即时小练 1.(1)√(2)×(3)×(4)/(5)X 即2之0是数列{a的第10项。 !题点三 序号n :[典例]解(1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分 即时小练 1.D [特殊值验证.] 母依次为2,2,23,2,2，所以它的一个通项公式为0,2 2” 2.A [当n分别等于1,2,3,4时，a1=1,a2=0,a3=1,a1=0.] 3.A[当n=19时，n(n十1)=380.] (2)这个教列的前4项可写为号(10-10，号(102-1).号(10-1) 关键能力·合作探究 题点一 号0-1. [典例]解析(1)A是递减数列：B是摆动数列：C,D是递增数列. (2)①为有穷数列：②③是无穷数列，同时①也是递增数列：②为常 所以它的一个通项公式为am=9 =6(10"-1)=2(10”-10. 3 数列：③为摆动数列. 9 答案(1)CD:(2)①②③①②③ （3)将复列支形为受亭品号… 对点训练 对于分子3,5,7,9，…，可得分子的通项公式为bn=2n十1， ②④①③②④①③[有穷数列为②④：无穷数列为 对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，可得分母的通 ①③：递增数列为②：递减数列为④：摆动数列为①：常数列为③.故 项公式为cm=n十1， 答案为：②④：①③：②：④：①：③] 题点二 所以原数列的一个通项公式为a,=士(n∈N。 n2+1 [典例们解1)由于4，=20)令n=1,2,3,4,可得此数列的前对点训练 2 解(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的 4项分别是a1=一 7a2= 2 3a1=-2. 数，并且奇数项为负，偶数项为正， (-1)” (2)此数列的图象如图所示， 所以它的一个通项公式为a,一n义十Dn∈N”, (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序 2 号大1的教的平方减1， 123 678元 所以它的一个道项公式为a,=如十)1，n∈N n+1 (3)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式 (一1)”.各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的 分子组成的数列中，奇敦项为1，偶数项为3，即奇数项为2一1，偶数 由图象可知，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递 减的 项为2十1，所以它的一个通项公式为a,=(-1)”,2十(1)，也可 [拓展] 解a,=”=1+丽-驱 n ,n为正奇数 n-99 n-99 当n≤9时，an<1且逐渐减小： 写为an 3 当n≥10时，an>1且逐渐减小.故数列{an}在{1,2,3，…，9}上是递 ,n为正偶数」 减的，在{10,11，…}上也是递减的.数列{an}有最大项和最小项，其！素养演练·提升技能 最大项为a10 0厘最小项为4,9厘 2020-2” 1 10-√99 9-99 1.D[由题意，数列{a,}的通项公式a20212-1一2021-2 对点训练 又由20<2021<21，当n≤10时，数列递减，且am<1,最小项为第 1.A[am=m2+130 10项，当n>10,数列递减，且an>1,最大项为第11项，故整个数列 的最大项为a11,最小项为第10项，使得aras对任意的n∈ n十1 N"恒成立，所以T十S=10十11=21.故选D.] .am+1- (n+1)2+1301 2.C[在正整数中，被3徐余2的数依次为2,5,8,11,14,17,20,23， 初十+ 26,29,32,35,38,41,…,3m-1,…,被5除余1的数依次为1,6,11， .an+l-an= n2+2n+131n2+130 16,21,26,31,36,41,…,5n一4，…，被3徐余2且被5除余1的数为 -n2-n十130 11,26,41,…,15n-4,….故第10项为15×10-4=146.故选C.] =(㎡+2m+1310(0+130 i3.CD[对于A,若an=3n,则an+1 一am=3(n十1)一3n=3,所以 由效列(a}从第n项起单调递减可得an+1一an<0,即一n2-n十 {an+1一an}不为递减数列，故A错误：对于B,若an=n2十1，则an+ 130<0,n∈N,即n2+1-130>0,解得m<1,5☒或m> 一a=(n十1)2-n2=2n十1，所以{an+1-a}为递增数列，故B错 2 误：对于C,若an=n,则a+1an=√n十一m= √52IT-1,又n∈N, ++后所 1 2 以(a+1-a,}为递减教列，故C正确：对于D,若a,=lnn十，则 ∴n>521-1 2 a1-a=-h=h()=(1+ 22<52<23,10.5<52T-111, 1 1 ∴.n≥11，n的最小值为11，故选A.] +2)小由画数y=n（1++2)在(0.+∞)上递减，所以 {a+1一an}为递减数列，故D正确.故选C、D.] 2.解(1)，an= n(n十2)' 4.2n2[由于12=1<5,2=4<5,32=9>5，故(a:)=2. 由数列{an}:1,2,32,…,n2,…,得{(an)”}为0,1,11 a=3x5-5a1=4×62 3个 137 2,2,2,2,2,3,3,…,3,…,,k,…,k,…所以(a1)*)*=1, 1 an-1= 1(n≥2)， （a,=4=2.（a,）)g"ga)=.] 5个 ?个 n-1 (a2a1)十(a-a2)+(a1ag)十…十(anan-l) 5.(1)D[:数列{an}中，an=n2-kn(n∈N“),且{an}单调递增， an+1一a>0对n∈N*恒成立， 即n+1)2kn+1)一(n2二kn)=2m十】一>0对n∈N恒成立，： 即an-a=1 1(n≥2). .k2n十1对n∈N“恒成立，即k<3.故选D.] (2)解①令a,<0,即n2-7n-8<0,解得-1<n<8. .an=a1十1- 1=-1+1-1 1(n22)· n 又，n∈N“,∴.n=1,2,3,…,7, ∴数列从第1项至第7项均为负数，共7项 又当n=1时，a1=一1，也符合上式. @法一an=n2-7n-8是关于n的二次函数，且二次函数y= n= x2-7红一8的图象的对称轴方程为x=令=3.5， ![拓展] ∴.当1≤n≤3时，{an}单调递减； 解“a1=1a,=(（1-1m≥2… 当n≥4时，{an}单调递增， .当n=3或4时，an最小，且最小项为a3=a1=-20. -a×a-⊥×-2X…×1X2Xa 法二由，Sa+1得 an-1 ndn-di d lanan-1 5n2-7n-8≤(n+1)2-7(n+1)-8, {n2-7n-8≤(n-1)2-7(n-1)-8, 又：省1=1时，a=1,将合上式a,=日 解得3n4, :对点训练 ,n∈N*,∴.当n=3或4时，am最小，且最小项为a=a1=一20. 第二课时数列的递推公式及前项和公式 1.分[法一（累乘法）起(u十1)a1n+a14=0分解肉式， 必备知识·自主梳理 得[(n+1)a+1-an](a+1十an)=0. (一) am>0,an+1十am>0, 相邻两项多项 (n十1)an+1-nan=0, 即时小练 ,2.a...an 1 :t=n 1.C[a+1=za+270a=1 an-1 3×…×” a2=7a1+2x-1, ×号× 1 8=1 a1n· 1 2.A[a2=a1-3=-1-3=-4,a3-a2-3=-4-3=-7.] 又"a1=1a2a1=m (二) 1.a十a+…十a25序号n3.{n。1, 法二（选代法）同法一，得a= {Sn-Sm-1,n≥2 n十1 即时小练 1.C[Sn-Sm-1=2n-1(m≥2)，且S2=3,.S1=0,S3=8,∴a1= an+1n十n 0,a2=3,a3=5,a1十a4=5.] 2{221[吉≥2时a=8-S1=(2,3》-[2wD a=号a只。 11 ==1.”2.” 31=2又a==2x1-3=-1,故a,{e21 n n-n-2·a-3 关键能力·合作探究 1 、1.1一2.2号·…·2a1=1 题点一 n2-1n-2 n1. [典例]解由题意，得a=3a1十1)。 2, 又a=,= 而a1=1, 法三（构造特殊效列法）同法一，得士山1=” 所以a,=3×1+二1D=7 an十1 2 Γ2 ∴.(n十1)an+1=nan, 同理a=3a,+少-10a=3a+少=2a=3a,+ .数列{nan}是常数列 2 2 .nan=1·a1=1,.an= 1 (-1)=91. !2.解由a1=2,a+1=2am,得 对点训练 a2=2a1=4=22,a3=2a2=2·22=23, 解}当号3 a1=2a3=2·23=21 猜想a,=2”(n∈N).证明如下： 由a1=2,am+1=2an, a-1-a21+3, 得===4==20m≥2. 1 an-1 an-2 =1+a1- 21 a1一1a1十 1-3 ....a1=22.·2…2=2 .an一am- an-2 a 又当n=1时，a1=21=2符合上式， 1 an=2"(n∈N"). 1十a1 a51a41一 题点三 1 3 [奥例]解折a,+示a币5.=E-) ∴.{an}是周期为4的数列， 十(3-√2)+…十（√a+1-√a)=√n+I-1=10,∴.n十1=121， 1 .n=120. a202=a1505+3=a3=2】 (2)当n≥2时，an=Sn-Sm-1=2n十1： 题点二 当n=1时，a1=S1=4≠2×1十1. [典例]解“a+1-a,=大- nn十 因比a,{公≥2 11 ,…,an 答案(1)C(2){4”1, 12n+1,n≥2 138第四章 a P=20+2W 数列 4.1 数列的概念 第一课时 数列的概念与简单表示 明学习目标 知结构体系 1.通过实例，了解数列的概念和表示方法. 数列的相关概念 课标 2.了解数列是一种特殊函数。 要求 数 3.会求简单数列的通项公式并会求项. 数列的单调性 数列与函数的关系 的概 数列的最大、最小项 重点 重点：数列通项公式的表示和求法， 数列的表示方法 图象法、列表法、 难点 难点：数列相关概念的理解。 通项公式法 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)数列的有关概念 1.数列的概念 微点注解 按照 排列的一列数称为数列，数列中 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数， 的每一个数叫做这个数列的项.数列的 关系如下表： 的数叫做这个数列的第1项，也叫做首项. 数列的一般形式是a1,a2,…,an…,简记为 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，}) ,这里n是 解析式 数列的通项公式 微点注解 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 值域 构成 (1)a,与a,是两个不同的概念：a,}表示数列a1, 3.数列的分类 a2,a3,…,an…,而an只表示数列{an}的第n项. (2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：数 (1)按项数分类 列的项是指出现在这个数列中某一个确定的数： 类别 含义 an,它是一个函数值，即am=f(n);而项数是指这 有穷数列 项数 的数列 个数在数列中的位置序号，它是函数值f()对 无穷数列 项数 的数列 应的自变量的值，即n. (3)数列与数集是两个不同的概念，它们的主要 (2)按项的变化趋势分类 区别：数集中的元素具有无序性和互异性，数列 类别 含义 中的项是有序的且可以相同，即如果组成两个数 从第2项起，每一项都 它的前一项 列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同： 递增数列 的数列 的数列. 2.函数与数列的关系 从第2项起，每一项都 它的前一项 递减数列 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1， 的数列 2,…n})到实数集R的函数，其自变量是 常数列 各项都 的数列 对应的函数值是数列的第n项an,记为am=f(n). 1 数学 选择性必修第二册 即时小练 (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如 am=(-1)”还可以写成an=(-1)+2的形式等. 判断正误 (4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不 (1)1,1,1,1是一个数列 是所有的函数都能用解析式表示一样. (2)数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列 (3)如果一个数列不是递增数列，那么它一定是 即时小练 递减数列 ( (4)数列的项可以相等. ( 1.已知数列a的前4项为1.-，号-则数 ) (5)数列a,b,c和数列c,b,a一定不是同一数列 列{am}的通项公式可能为 ( ) A.a =1 B.a,=-1 (二)数列的通项公式 n 如果数列{an}的第n项an与它的 之间 C.an (-1)m D.an=-1)”-1 n 的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式 子叫做这个数列的通项公式。 2.已知数列{a,的通项公式为a,=1十(1)+ 2 微点注解 n∈N*,则该数列的前4项依次为 A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 (1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析 式，即am=f(n).数列的通项公式必须适合数列 D.2,0,2,0 中的任何一项. 3.下列四个数中，是数列{n(n十1)}中的一项的是 (2)已知通项公式a,=f(n),那么只需依次用1， ( ) 2,3,…代替公式中的n,就可以求出数列的各项. A.380 B.392 C.321 D.232 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 /方法技巧/ 题点一数列的概念及分类 1.有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有 [典例](1)（多选）以下四个数列中的递增数列是 穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限 项还是无限项.若数列是有限项，则是有穷数 列，否则为无穷数列. 111 A.1248… 2.数列{an}的单调性：若满足an<am+1(n∈N*) snsn 3r, 则是递增数列；若满足an>a+1(n∈N*)则 71 是递减数列；若满足am=am+1(n∈N*)则是 111 C.-1,-2-48… 常数列；若am与am十1(n∈N*)的大小不确 定时，则是摆动数列. D.1,√2，√5，…√21 对点训练 (2)给出以下数列： ①2015~2023年某市普通高中生人数（单位：万 给出以下数列：①1，-1,1，-1，…；②2,4,6,8， 人)构成数列82,93,105,118,132,147,163， …,1000;③8,8,8,8，…；④0.8,0.82,0.83， 0.84,…,0.810.其中，有穷数列为 ;无穷 180,198; 数列为 ;递增数列为 ;递减数 ②无穷多个√构成数列√3，√3，√3，√5，…； 列为 ;摆动数列为 ;常数列为 ③一2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成 (填序号) 数列-2,4，-8,16，-32，… 题点二 通项公式的应用 其中，有穷数列是 ,无穷数列是 递增数列是 ,常数列是 ,摆动 [典例] 已知数列{an的通项公式为a,一2m一9 2 数列是 (填序号). (1)写出数列的前4项； 第四章数列 (2)画出它的图象，并判断增减性。 2.已知数列{a,的通项公式为a,=n十2n∈N). (1)计算a3十a4的值； (2)0是不是该数列中的项？若是，应为第几 项？若不是，说明理由」 [拓展] 本例若将数列的通项公式改为a,=”一√3(n∈ n-√/99 N*),试判断数列{an}的增减性；数列{an}有最 题点三由数列的前几项写通项公式 大项还是有最小项？请作出判断并求出来. [典例]写出下面各数列的一个通项公式： 1)2,3.7,1531 2’481632… (2)6,66,666,6666,… (3)3 79 11017… /方法技巧/ 1.求项或判断某数是否为数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相 应序号代入通项公式，就可以写出数列中的 指定项 (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代 /方法技巧/ 入数列的通项公式中，求出n的值.若求出的 此类问题主要靠观察（观察规律）、比较（比较已 n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不 知数列)、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联 是数列的项！ 想常见的数列)等方法求解.具体注意以下几方 2.数列单调性的判断方法和应用思路 面：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变 (1)判断数列的单调性通常是通过比较数列： 化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征 {an}中任意相邻两项am+1和an的大小来判 和绝对值特征；(5)化异为同；(6)对于符号交替 断，常用方法是定义法、作差法和作商法. 出现的情况，可用（一1）或（一1）k+1处理， (2)解决根据数列的单调性确定变量的取值 对点训练 范围问题，常利用以下等价关系： 数列{an}递增台am+1>an(n∈N*); 写出下列数列的一个通项公式，使它的前n项分 别是下列各数. 数列{am}递减曰an十1<an(n∈N*). 11 (1) 1 转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量 1X22X3’3X4'4X5,… 转化为代数式的最值来解决；或由数列的函 2)21,321,41,521… 数特征，通过构建有关变量的不等关系，解不 2 3 4 5 等式（组）来确定变量的取值范围 对点训练 1.已知数列{an}的通项公式为am= (n∈ n2+130 N),且数列{an}从第n项起单调递减，则n的 最小值为 A.11 B.12 C.13 D.不存在 数学选择性必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知数列{a,}的通项公式an=2020一2兰 一202，且存4.若数列0，满足：对任意的n∈N,只有有限个 正整数m使得am<n成立，记这样的m的个数 在正整数T、S,使得ar≤an≤as对任意的n∈： 为(a),则得到一个新数列{(an)*.例如，若 N恒成立，则T+S的值为 数列{an}是1,2,3，…，n,…,则数列{(an)}是 A.15B.17C.19 D.21 0,1,2,…,n-1,…. 2.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记： 已知对任意的n∈N*,am=n2,则(a5)*= 载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数： ,(an）*)￥= 题”)，后来我国南宋数学家秦九部在《数书九章，大5.()已知数列{an中，a,=n2-m(n∈N),且 衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”是 {an}单调递增，则k的取值范围是 () 中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论！ A.(-∞，2] B.(-∞，2) 中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中： C.(-∞，3] D.(-o∞，3) 国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正 (2)已知数列{am}的通项公式为an=n2-7n-8. 整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到： ①数列中有多少项为负数？ 大的顺序排成一列，则此列数中第10项为 ②数列{am}是否有最小项？若有，求出其最小 ( 项；若没有，请说明理由。 A.116B.131 C.146 D.161 3.（多选)若数列{an}满足：对任意正整数n,{an+1 一an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数： 列”.给出下列数列{am}(n∈N*),其中是“差递 减数列”的有 ( ) A.an=3n B.an=n2+1 C.am=√n D.an=In-n +1 温馨提示 请做课时分层检测（一） 第二课时 数列的递推公式及前n项和公式 明学习目标 知结构体系 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列 课标 的前几项. 递推公式 前n项和公式 要求 2.掌握累加法、累乘法求数列通项公式的技巧. 3.会由数列的前项和公式求数列的通项公式. 重点 重点：由递推公式、数列前项和求数列通项公式 概念递推关系 求通项公式 概念Sn与an的关系 难点 难点：理解数列递推公式及数列前项和. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)数列的递推公式 项之间的关系；②若已知n的值，则由通项公式 如果一个数列的 或 之间的关系 可直接求出a,的值，而通过递推公式只能间接 可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个 数列的递推公式， 求出an的值. (2)利用递推公式求一个数列，必须具备：①数列 微点注解 第1项或前几项，②递推关系，这两个条件缺一 (1)通项公式与递推公式的区别：①通项公式反 映的是am与n的关系，递推公式反映的是项与 不可. 4