专题07 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题07 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 5 11 该模型并非源自某一特定历史文献或数学典籍，而是‌在中考数学命题实践中逐步总结形成的解题模型‌。并被一线教师和教研群体归纳为“逆等线”这一通俗名称。逆等线模型源于初中几何中的双动点最值问题‌，是解决“两条不相连线段相等且含动点”这类题型的典型方法，其核心思想是通过构造全等三角形实现线段转化，将复杂的双动点问题转化为可求解的折线段最短问题。 其理论基础可追溯到几何变换思想，如平移、翻折与旋转，通过构造SAS全等三角形，把原本分散的动线段“拼接”成共端点的路径，最终利用“两点之间线段最短”求解最值。这种思想也与“将军饮马”“胡不归”等经典模型一脉相承，体现了初中数学中“转化与构造”的核心思想。 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 （2026·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 【答案】 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵点与点关于对称，∴，，∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵，∴四边形为矩形， ∴，，∴，∴， ∴此时，即的最小值为． 逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 1）条件：已知在边长为a的正方形ABCD中，点E、F是边BC、CD上的动点，且满足CE=DF， 求BF+DE的最小值。 证明：①DE在△DEC中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点D作∠FDG=∠DCE=90°，且DG=DC=a；构造出△DEC≌△GFD ( SAS)；证出DE=FG； ③BF+DE=BF+FG，根据两点之间，线段最短，连接BG，则BG即为所求，此时，B、F、G三点共线； ④求BG。在三角形ABG中利用勾股定理求出BG即可。 2）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b；构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ③AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。在三角形AHG中利用勾股定理求出AG即可。 3）条件：已知在菱形ABCD中，AB=m，，点E、F是边AD、BD上的动点，且满足BF=DE， 求AF+CE的最小值。 证明：①CE在△CDE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EDC，且BG=CD=m；构造出△CDE≌△GBF ( SAS)；证出CE=FG； ③AF+CE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。再根源题中已知条件（角度和长度）运用勾股定理求出AG即可。 4）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边AB、BC上的动点，且满足AE=BF， 求DF+DE的最小值。 证明：①DE在△ADE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EAD=90°，且BG=AD=a；构造出△EAD≌△FBG ( SAS)；证出DE=FG； ③DF+DE=DF+FG，根据两点之间，线段最短，连接DG，则DG即为所求，此时，D、F、G三点共线； ④求DG。在三角形ADG中利用勾股定理求出BG即可。 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 例1（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，在菱形中，，点E为射线上的动点，点F为射线DC上的动点，且，连接、，若菱形的面积为，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，作点关于的对称点，连接交于点，连接， 在菱形中，，（菱形对角相等）． ∵，∴，∴，得， ∴．，，． 在中， 当三点共线时有最小值，即取得最小值， 在中，，．故答案为：． 例2（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 【答案】 【详解】解：延长到点M，使得，连接，∵矩形，，， ∴，，，∴， ∵，∴，∴，连接 ∵，∴，故当D，F，M三点共线时，取得最小值， 且最小值为故答案为：． 例3（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：如图，连接，四边形是正方形，，， ，，，的最小值等于的最小值， 如图，作点关于的对称点，连接，则，，三点共线，连接，与的交点即为所求的点，根据对称性可知，，， 在中，，，由勾股定理得， 的最小值为，故选：C． 例4（2025·山东德州·校考一模）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，，，， ，，，，， ，， ，， ，，的最小值为，故答案为． 例5（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，∴，∵矩形中，，， ∴，，， ∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点，∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，，∴， ∴，∴， 在中，，∴的最小值是，故答案为：． 例6（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为2，∴．， ∴．∴．∴． 在和中，，∴． ∴．∴．即．∴的最小值为．故答案为：． 例7（2025·安徽·模拟预测）在矩形中，，，点，分别从，，两点同时出发，以相同的速度在，边上匀速运动，当点到达点时，，两点同时停止运动．分别连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作的垂线段，并使得，连接， ∵四边形是矩形，∴，∴， 在和中，，∴，∴，， 当点，，共线时（如图），取得最小值，即取得最小值，为的长， 此时，故选：． 例8（24-25九年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，根据正方形的性质及，可得△DCE≌△ADF，则有， ，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′， 则AE=A ′E，即，当D、E、A′在同一直线时，最小，AA′=2AB=4， 此时，在Rt△ADA′中，DA′=，故的最小值为，故答案为：D． 1．（2025·山东淄博·二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接DE，根据正方形的性质及BE=CF，∴DF=CE，AD=CD， ∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE=AF，∴AE+AF=AE+DE， 作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE=A′E，即AE+AF=AE+DE=A'E+DE， 当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′=2AB=4， 此时，在Rt△ADA′中，DA′=，故AE+AF的最小值为．故选：C． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为5，∴．∵，∴． ∴．∴．∴． 在和中，，∴．∴． ∴．即．∴的最小值为．故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交的延长线于，连接， ∵正方形，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 当三点共线时最短，∵正方形边长为3， ∴，而，∴的最小值为：；故答案为： 4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，，点为内一动点，连接、，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N， ∵，∴， ∵H是中点，∴，∴ ∵，∴，∴， ∴，，中，， ∴，∴ ∵，∴，∴， ∵，∴，∴的最小值为．故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，动点从点出发，沿方向匀速运动，运动到点时停止，同时另一个动点从点出发，以与点相同的速度沿方向匀速运动．点停止运动时点也停止运动，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，且，连接， 由题意，得：，∵正方形，∴，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在中，，∴的最小值为；故答案为：． 6．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，作D关于直线的对称点，连接，，∴，， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 在中，．故答案为：． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，在菱形中，．（1）菱形的面积为 ．（2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）如图所示，连接，交于点， ∵四边形是菱形，，，∴，且， ∴是等边三角形，∴，则， ∵，即，∴，∴，∴， ∴菱形的面积为，故答案为：； （2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接， 可得， ∵四边形是菱形，， ，， ∴四边形为平行四边形，， ，当三点共线时，最小， 四边形是菱形，，∴，∴为等边三角形，， ，，，，，，， 三点共线，当三点共线时，点，重合，， ∴，即的最小值为4． 8．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，． ∵四边形是菱形，，∴，， ∵，，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∵，当E点在AT上时取等号，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系， 点和关于轴对称， ， 四边形是菱形，，， 菱形的面积为，边长为， ，解得， 在中，根据勾股定理得：， ，，， 在和中，，， ，，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值.故答案为：. 10．（2025·山东济南·模拟预测）如图，已知正方形边长为4，O为对角线的交点，M、N分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作于点F，延长到点E，使，连接、、、， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，，，，且，， ∴垂直平分，，，∴，，∴. ∵，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴的最小值为.故答案为：． 11．（24-25八年级下·天津河西·期末）已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足，连接AE，AF，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接DE， ∵且四边形ABCD为正方形∴CD-CF=BC-BE，即DF=CE 在△ADF和△DCE中∴△ADF≌△DCE∴AF=DE；= 以BC为对称轴，作A点关于BC的对应点连接，与BC交点即为点E ∵点A和点关于BC对称，∴AE= == 由勾股定理可得：=∴的最小值为 故答案为： 12．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长到，使，连接，， 四边形是矩形，，，，．． ，，．，， 当点、、共线时，最小，最小值为的长．最小值为． ，，在中，，， ，最小值为．故答案为：． 13．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接． ∵在菱形中，，∴，， ∴和都为等边三角形，∴，． ∵，∴，∴，． ∵，∴， ∴为等边三角形，∴，∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小，∴，∴， ∴，即．故答案为：． 15．（24-25八年级下·重庆江北·期中）如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． (1)若菱形的对角线．，求的长；(2)如图1，若，求证：； (3)如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3)的最小值为 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，对角线， ，， ，，； （2）证明：在上取一点，使，连接， ，， ，，， ，∵为直角三角形，为中点， ，，， ，，； （3）解：将绕点逆时针旋转至，连接， 在上，，， 在和中，，∴，， ，，，∴的最小值为． 16.（2025·陕西渭南·校考二模）【问题提出】（1）如图1，在中，可知_；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】（2）如图2，在菱形中，，E是对角线上一点，延长至点F，使得，连接，．求证：； 【问题解决】（3）如图3，某市一湿地公园内有一块形如正方形的观光区，已知．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要沿，分别修建步行景观道，其中，点E，F分别在边和对角线上，．为了节省成本，要使所修的步行景观道之和最短，即的值最小，试求的最小值．（路面宽度忽略不计）    【答案】（1）<（2）见解析（3） 【详解】解：（1）由题意，得．故答案为：＜； （2）证明：如图2，作交于点G，    在菱形中，，，∴是等边三角形， ∴， ∵，∴，∴是等边三角形．∴， ∵．∴， ∵，∴，即， ∵，∴， 在和中．，∴，  ∴． （3）如图3，过点B作，且，连接，，    ∵，∴，∴， 又∵∴，∴，∴， ∴当点D，点E，点H三点共线时．有最小值，其值为的长， 过点H作交的延长线于M，于N． 在正方形中，∴，∴， ∵，  ∴，在正方形中，， ∴，∴四边形是矩形．∴， ∴，∴，故最小值为． 17．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）． (1)如图一，E是OC边的中点，将△AOE沿AE翻折后得到△AEF，延长AF交CD于点G，求CG的长； (2)如图二，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；(3)如图三，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN=CM，则OM+ON的最小值=____________．（直接写出结果） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）如图一：连接EG，∵矩形AOCD的顶点 ∵点E是OC的中点，∵四边形AOCD是矩形， 由折叠可知， 在和中，（HL） 设则 在中，即 （2）如图二，连接AF，DF，的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E， ∵F为BE的中点， (SAS) （3）如图三，连接OD交AC于点Q， 和都是等边三角形， 过CD中点R作交RP于点P，连接OP，MP， ∴当点M在OP上时，此时的值最小， 的最小值为．故答案为： 18．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形ABCD中，，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作交边DC于点E． (1)如图①，当点E在边CD上时，求证：；(2)如图②，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，若，求PF的长；(3)如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：方法一：证明：如下图中，连接PD， ∵四边形ABCD是正方形，∴，． 在△PCB和△PCD中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴．∴，∴． 方法二：过点P做AD的平行线，构造一线三等角的方法证明全等也可以． （2）解：如下图中，过点P作PL⊥BE于L，过点F作FQ⊥CD于Q，FJ⊥BC于J， ∵，，，∴， ∵△BPE是等腰直角三角形，PL⊥BE，∴，∴， ∵FC平分∠BCE，FQ⊥CD，FJ⊥BC，∴，∵， ∴，∴，∴． （3）解：过点C作CR⊥AC，使CR=AB=3，连接QR，BR，过点R作RT⊥BC，交BC延长线于T，如图③所示；∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=∠ACD=∠BAP=45°， ∵CR⊥AC，∴∠RCQ=90°－45°=45°，∠RCT=180°－90°－45°=45°， ∴△CTR是等腰直角三角形，∠BAP=∠RCQ，∴，∴， 在△BAP和△RCQ中，，∴△BAP≌△RCQ（SAS），∴BP=QR， ∴B、Q、R三点共线时，QR+BQ最短，即BP+BQ最短，此时，t=BR， 在Rt△BTR中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 特殊的平行四边形中的最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 5 11 该模型并非源自某一特定历史文献或数学典籍，而是‌在中考数学命题实践中逐步总结形成的解题模型‌。并被一线教师和教研群体归纳为“逆等线”这一通俗名称。逆等线模型源于初中几何中的双动点最值问题‌，是解决“两条不相连线段相等且含动点”这类题型的典型方法，其核心思想是通过构造全等三角形实现线段转化，将复杂的双动点问题转化为可求解的折线段最短问题。 其理论基础可追溯到几何变换思想，如平移、翻折与旋转，通过构造SAS全等三角形，把原本分散的动线段“拼接”成共端点的路径，最终利用“两点之间线段最短”求解最值。这种思想也与“将军饮马”“胡不归”等经典模型一脉相承，体现了初中数学中“转化与构造”的核心思想。 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 （2026·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 1）条件：已知在边长为a的正方形ABCD中，点E、F是边BC、CD上的动点，且满足CE=DF， 求BF+DE的最小值。 证明：①DE在△DEC中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点D作∠FDG=∠DCE=90°，且DG=DC=a；构造出△DEC≌△GFD ( SAS)；证出DE=FG； ③BF+DE=BF+FG，根据两点之间，线段最短，连接BG，则BG即为所求，此时，B、F、G三点共线； ④求BG。在三角形ABG中利用勾股定理求出BG即可。 2）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b；构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ③AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。在三角形AHG中利用勾股定理求出AG即可。 3）条件：已知在菱形ABCD中，AB=m，，点E、F是边AD、BD上的动点，且满足BF=DE， 求AF+CE的最小值。 证明：①CE在△CDE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EDC，且BG=CD=m；构造出△CDE≌△GBF ( SAS)；证出CE=FG； ③AF+CE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ④求AG。再根源题中已知条件（角度和长度）运用勾股定理求出AG即可。 4）条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边AB、BC上的动点，且满足AE=BF， 求DF+DE的最小值。 证明：①DE在△ADE中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作∠FBG=∠EAD=90°，且BG=AD=a；构造出△EAD≌△FBG ( SAS)；证出DE=FG； ③DF+DE=DF+FG，根据两点之间，线段最短，连接DG，则DG即为所求，此时，D、F、G三点共线； ④求DG。在三角形ADG中利用勾股定理求出BG即可。 模型1.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 例1（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，在菱形中，，点E为射线上的动点，点F为射线DC上的动点，且，连接、，若菱形的面积为，则的最小值为_____． 例2（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 例3（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 例4（2025·山东德州·校考一模）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______． 例5（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 例6（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 例7（2025·安徽·模拟预测）在矩形中，，，点，分别从，，两点同时出发，以相同的速度在，边上匀速运动，当点到达点时，，两点同时停止运动．分别连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例8（24-25九年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（  ） A． B． C． D． 1．（2025·山东淄博·二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是 ． 4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，，点为内一动点，连接、，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，动点从点出发，沿方向匀速运动，运动到点时停止，同时另一个动点从点出发，以与点相同的速度沿方向匀速运动．点停止运动时点也停止运动，连接、，则的最小值为 ． 6．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是 ． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，在菱形中，．（1）菱形的面积为 ．（2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为 ． 8．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为 ． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为 ． 10．（2025·山东济南·模拟预测）如图，已知正方形边长为4，O为对角线的交点，M、N分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ． 11．（24-25八年级下·天津河西·期末）已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足，连接AE，AF，则的最小值为 ． 12．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 13．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ． 15．（24-25八年级下·重庆江北·期中）如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． (1)若菱形的对角线．，求的长；(2)如图1，若，求证：； (3)如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 16.（2025·陕西渭南·校考二模）【问题提出】（1）如图1，在中，可知_；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】（2）如图2，在菱形中，，E是对角线上一点，延长至点F，使得，连接，．求证：； 【问题解决】（3）如图3，某市一湿地公园内有一块形如正方形的观光区，已知．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要沿，分别修建步行景观道，其中，点E，F分别在边和对角线上，．为了节省成本，要使所修的步行景观道之和最短，即的值最小，试求的最小值．（路面宽度忽略不计）    17．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）． (1)如图一，E是OC边的中点，将△AOE沿AE翻折后得到△AEF，延长AF交CD于点G，求CG的长； (2)如图二，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；(3)如图三，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN=CM，则OM+ON的最小值=____________．（直接写出结果） 18．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形ABCD中，，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作交边DC于点E． (1)如图①，当点E在边CD上时，求证：；(2)如图②，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，若，求PF的长；(3)如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $