专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题03. 特殊的平行四边形中的最值模型 之将军饮马、遛马、造桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 9 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 12 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 14 19 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，故答案为： （2024·西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】米 【详解】解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 1）将军饮马模型 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧 图（5） 图（6） 图（7） 图（8） 模型（5）（两点都在直线外侧型） 如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（6）（直线内外侧各一点型） 如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（7）（两点都在直线内侧型） 如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军遛马与过桥模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 图3 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（24-25八年级下重庆·期末）如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 【答案】10 【详解】如图：作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值， ，，， ，，∴，， ，，在中， ， 点A和点关于轴对称，， 四边形是平行四边形，，， ，故答案为：10． 例2（2025·河南漯河·二模）如图，矩形中，是边的中点，是边上的动点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 13 【详解】解：作出点A关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小， 由轴对称的性质可得：， 矩形中，是边的中点，，， ，的最小值， 如图，动过程中，当点F移动到点C时，的值最大， 即的最大值为，故答案为：13，． 例3（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图所示，在边长为的菱形中，，点为中点，点是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， ∴四边形是菱形， ∴， 点与点关于对称，∴， ∵，∴，∴当三点共线时，则的最小值为的长， ∵， ∴为等边三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴在中，由勾股定理得，故答案为：． 例4（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，正方形的边长为4，在上，且，是上一动点．则周长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．6 【答案】D 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形，∴点B与点D关于直线对称，∴， ∴，∴周长的最小值为， ∵正方形的边长为4，∴， ∵，∴，周长的最小值为．故选：D 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．    【答案】 【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点，∴，∴， 当在同一条直线上时，有最大值， ∵在菱形中，，∴，， ∴是等边三角形，∴，，， ∵，∴，∵，∴， ∵点为的中点，∴为的中点，∴， ∴，∴是等边三角形，∴，故答案为；    例2（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵点O是的中点，∴，又∵，∴，∴，， ∵，∴，过点P作于点P，∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴，∴； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， ∵，点O是的中点，∴， ∴，，∴，， ∴，∴的最小值为：，故答案为：；． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 例1（2025·四川成都·校考一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长取最小值是 【答案】2+ 【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，∵，，∴，，AE=2． 在中，=;即四边形AEPQ的周长最小为2+： 例2（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，E，F，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长， ∵矩形中，，，∴，， 过点作的垂线，交的延长线于点H，则四边形为矩形，∴， ∵M为的中点，，∴， ∴，∴， ∴的最小值是．故答案为：． 例3（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）如图：过点作的垂线，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴， ，，∴ ，，∴点到直线的距离是3；故答案为：3； （2）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， 则长为周长的最小值；由（1）知，在中，，， ，， 由对称性可知，，，是等腰三角形， 又，，， ∴周长的最小值；故答案为：. 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 例1（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，过点作的平行线交的延长线于点. 则四边形是平行四边形，∴， ∵为边的中点，∴，∴ ∵，∴， ∴四边形的周长的最小值 ，故选C． 例2（2025·四川资阳·一模）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N ∵正方形的边长为3，∴ ∵∴∴ ∵四边形是正方形∴， ∴四边形是矩形∴∴， ∵∴∴ 又∵∴∴ ∵，∴四边形是平行四边形 ∴∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵∴∴．故选：C． 例3（2025·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：在边长为1的菱形中，，，， 将沿射线的方向平移得到，，， 四边形是菱形，，，， ，，四边形是平行四边形， ，的最小值的最小值，点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 在中，，， ，，，， ，，作， 过点D作垂足为G 在中， ．故选：． 例4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，平移至，则，连接, ∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴ ∵在正方形中，，是对角线上两点，∴∴ 在中，，∴故答案为：． 例5（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【答案】 【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．       ∵中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴四边形为平行四边形，   ∴，∴，∴当最小时，最小． ∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图， ∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 1．（2025·重庆·一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】B 【详解】如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH． 由平移的性质可知，． ∵四边形ABCD为菱形，∴，，， ∴，，∴四边形CDEG为平行四边形，∴． 由轴对称的性质可知，，，∴， ∴，即CH的长为的最小值． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴，∴， ∴为等边三角形，∴，， ∴，∴，即为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形， 结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故选B． 2．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于，交于点，连接，，如图： 由折叠的性质知是的平分线，∴点在上， ∵，∴的最小值为的长， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵为线段的垂直平分线，∴，， ∴，∴，∴四边形为平行四边形， ∵，∴四边形为菱形，∴，， ∴，∵，即，∴， ∴，即，∴，∴， ∴的最小值为．故选：C． 3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，正方形的边长为6，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【详解】解：过点作关于的对称点，连接交于点，由两点之间线段最短可知即为的最小值， ，四边形是正方形，点的坐标为，点坐标为， ，即的最小值为．故选：A 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设边上的高是h，，，， 动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，， 则的长就是所求的最短距离，在中，，， ，即的最小值为．故选D． 5．（24-25九年级下·内蒙古·期中）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点F关于对称点， ∵正方形是轴对称图形，是一条对称轴， ∴点F关于的对称点在线段上，连接， ∵P为上的一个动点，∴，则， 的最小值为的长，∵，，∴， 过点E作于点G，则， ∵四边形为正方形，∴， ∴，∴四边形为矩形， ∴，，∴， ∴．故答案为：． 6．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为 ．    【答案】2 【详解】过点A作的对称点，连接，则， ∴，∴当点，E，F共线时，最小，即最小， 此时，， 在中，，∴，， ∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴，∴，故答案为2．    7．（2025·陕西·校考二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接，四边形是菱形 在和中 连接 当共线时，最大，图中处 作于 ．即的最大值为． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，连接，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ，，四边形是平行四边形，∴，    ∵E为边的中点，∴， F点与点G关于对称，垂直平分，， ∴，，， ∴，线段的最小值为，故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，M、N是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：取边、的中点F、G，连接交于N，连接，，，如图， ∵菱形， F为的中点，G为的中点，∴F与G关于对称， ∴，此时最小， 又∵E为的中点，∴， ∵∴，，∴四边形为平行四边形， ∴∴∴此时， 最小，最小值等于， ∵菱形，∴，，∴是等边三角形， ∵G为的中点，∴，∴∴∴ ∴∴的最小值为．故答案为：． 11．（2025·校考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG， ，，， 又，四边形AOEH是平行四边形，， 当点E、点G在OC上时，最小，即最小，， ，， ，故的最小值为，故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长是5，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作D关于AE的对称点D′，交AE于F，再过D′作D′P′⊥AD于P′，交AE于N， 则DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝5， 当重合时，DQ+PQ ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′， ∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝25，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝25， ∴P′D′＝，即DQ+PQ的最小值为．故答案为： 13．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是菱形，周长为8，， ∴，，，∴是等边三角形， 在和中，∵，，， ∴，∴，∴，即的最小值为的长， ∵E是的中点，∴，∴， 即的最小值为．故答案为：． 14．（24-25·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】过点O作于点H，把点O向右平移2个单位至点，作点关于的对称点，交于点K，连接交于点E，作，交的延长线于点G．则四边形和四边形都是矩形，∴，，，． ∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∴， ∴由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值是线段的长． ∵四边形是矩形，∴，，， ∴，．∵，∴，∴， ∴，即的最小值为．故答案为：． 15．（2025·广东惠州·校考三模）如图，正方形的边长为，点，分别是对角线的三等分点，点是边上一动点，则的最小值是________.    【答案】 【详解】如图，作点关于边所在直线的对称点，连接交于点，此时有最小值，      ∵四边形是正方形，关于边所在直线的对称点， ∴，∴，∴， ∵点，分别是对角线的三等分点，∴， ∴的最小值，故答案为：． 16．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，在矩形中， ， ，与交于点O，分别过点C，D作的平行线相交于点E，点F是的中点，点G，H分别是四边形的边上的动点，则的最小值是 ．     【答案】 【详解】解：如图：过点F作，并延长交于一点，即为， ∵在矩形中，∴， ∵， ，∴，∴，∴是等边三角形 ∵与交于点O，分别过点C，D作的平行线相交于点E， ∴，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是菱形，∴与关于对称 ∵点G，H分别是四边形的边上的动点，则的最小值，即的长 ∵点F是的中点，∴ ∵∴∴ ∵是等边三角形，∴ ∴∴∴故答案为：． 18．（2025·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，点E为的中点，点F为BC上一点，连接EF，，则的长为________； 【问题探究】（2）如图2，菱形的边长为8，且，E是的中点，F为对角线上一动点，连接，求周长的最小值； 【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形所示，经测量，米，米，，并沿着对角线修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成和两个区域，其中区域为幼苗培育区，区域为作物观察区，的中点P处有一扇门，现计划在上取点E、F（点E在点F左侧），并沿修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，米，且与的长度之和最小，请问的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）11；（2）；（3）的值存在最小值，最小值为米． 【详解】解：（1）∵，点E为的中点，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，故答案为：11 （2）菱形的边长为8，点E为的中点， ，当最小时，的周长最小． 连接交AC于点，如图2． 四边形为菱形，，． 在和中，，，， ，，， 当B、F、E三点共线，即点F在点的位置时，取得最小值，最小值为的长． 过点E作交的延长线于点H，如图2． 四边形为菱形，，． ，，， ，， 即的最小值为．∴周长的最小值为． （3）过点P作于点H，如图3． ，于点H，∴． 点P为的中点，即，点H为的中点，即米． 在上取点N，使得米，连接． ，四边形为平行四边形，，． 作点N关于的对称点，连接交于点，连接交于点G，如图3． 则垂直平分，，即， 当点D、F、三点共线，即点F在点处时，取得最小值，最小值为的长．， 过点作交的延长线于点M，如图3． ∴∴．∴，∴米，∴米． 点P、H分别为的中点，为的中位线，米， 米，米，米， 即的值存在最小值，最小值为米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03. 特殊的平行四边形中的最值模型 之将军饮马、遛马、造桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 9 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 12 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 14 19 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． （2024·西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 1）将军饮马模型 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧 图（5） 图（6） 图（7） 图（8） 模型（5）（两点都在直线外侧型） 如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（6）（直线内外侧各一点型） 如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（7）（两点都在直线内侧型） 如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军遛马与过桥模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 图3 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（24-25八年级下重庆·期末）如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 例2（2025·河南漯河·二模）如图，矩形中，是边的中点，是边上的动点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 例3（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图所示，在边长为的菱形中，，点为中点，点是上一动点，则的最小值为 ． 例4（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，正方形的边长为4，在上，且，是上一动点．则周长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．    例2（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 例1（2025·四川成都·校考一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长取最小值是 例2（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 例3（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 例1（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 例2（2025·四川资阳·一模）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 例3（2025·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 例4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 例5（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    1．（2025·重庆·一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 2．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，正方形的边长为6，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·内蒙古·期中）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 6．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为 ．    7．（2025·陕西·校考二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，M、N是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 11．（2025·校考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长是5，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ． 13．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 14．（24-25·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________． 15．（2025·广东惠州·校考三模）如图，正方形的边长为，点，分别是对角线的三等分点，点是边上一动点，则的最小值是________.    16．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，在矩形中， ， ，与交于点O，分别过点C，D作的平行线相交于点E，点F是的中点，点G，H分别是四边形的边上的动点，则的最小值是 ．     18．（2025·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，点E为的中点，点F为BC上一点，连接EF，，则的长为________； 【问题探究】（2）如图2，菱形的边长为8，且，E是的中点，F为对角线上一动点，连接，求周长的最小值； 【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形所示，经测量，米，米，，并沿着对角线修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成和两个区域，其中区域为幼苗培育区，区域为作物观察区，的中点P处有一扇门，现计划在上取点E、F（点E在点F左侧），并沿修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，米，且与的长度之和最小，请问的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $